《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教學(xué)建議 - 佛山市高明區(qū)廣播電視大學(xué)

1、中央電大經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)建議李木桂(廣東電大經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)責(zé)任教師)經(jīng)與中央電大責(zé)任教師聯(lián)系，以后試題將與2007年1月試題結(jié)構(gòu)一樣，重點(diǎn)相同。由于單項(xiàng)選擇題與填空題涉及知識(shí)面較寬，下文僅略作介紹，重點(diǎn)放在計(jì)算題與應(yīng)用題上。下面結(jié)合溝通的結(jié)果，按各章順序提出教學(xué)建議：微分學(xué)第1章 函數(shù)考試知識(shí)點(diǎn)：定義域，經(jīng)濟(jì)函數(shù)，函數(shù)值，已知復(fù)合函數(shù)求原來函數(shù)，判斷函數(shù)異同，函數(shù)的奇偶性1、 定義域 求定義域主要圍繞以下幾個(gè)方面考慮：有分式時(shí)，其分母不為0；有對(duì)數(shù)時(shí)，其真數(shù)大于0；有開平方時(shí)，平方根內(nèi)的表達(dá)式非負(fù)。注意：定義域通常用區(qū)間表示。2、 經(jīng)濟(jì)函數(shù) （1）對(duì)于需求函數(shù)，要求能由需求函數(shù)寫出價(jià)格函數(shù)。（2）對(duì)

2、于成本函數(shù)，在給定固定成本和單位變動(dòng)成本時(shí)，能寫出成本函數(shù)；其它類型的成本函數(shù)通常是直接給出的。（3）在已知成本函數(shù)時(shí)能寫出平均成本函數(shù)。（4）收入函數(shù)=價(jià)格×銷售量，在給出價(jià)格（或需求函數(shù)）時(shí)，能寫出收入函數(shù)。（5）利潤函數(shù)=收入函數(shù)-成本函數(shù)，能寫出利潤函數(shù)。如：某企業(yè)生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為60元，這種產(chǎn)品的需求函數(shù)為q=1000-10p（q為需求量，p為價(jià)格），求成本函數(shù)，收入函數(shù)和利潤函數(shù)。解：成本函數(shù)C(q)=2000+60q(元)從需求函數(shù)可得價(jià)格函數(shù)p=100-0.1q收入函數(shù)R(q)=pq=100q-0.1q2(元)利潤函數(shù)L(q

3、)=R(q)-C(q)=40q-0.1q2-2000(元)3、 函數(shù)值 包括初等函數(shù)和分段函數(shù)的函數(shù)值。4、 由復(fù)合函數(shù)求原來函數(shù) 如：已知，求f(x)解法一（特殊解法）解法二（配方法） 解法三(代換法)設(shè)x+2=t ,則x=t-2，代入得5、 判斷函數(shù)異同 只有當(dāng)函數(shù)定義域及對(duì)應(yīng)規(guī)則兩要素都相同時(shí)，它們才是相同的。6、 函數(shù)的奇偶性 首先要記住定義；其次是記住一些常見的奇、偶函數(shù)，并利用奇、偶函數(shù)的四則運(yùn)算來判斷奇偶性。常見奇函數(shù)：等；常見偶函數(shù)：等（其中C是常數(shù)）。如是非奇非偶函數(shù)；是偶函數(shù)；是奇函數(shù)。注意：經(jīng)濟(jì)函數(shù)中的成本函數(shù)、收入函數(shù)及需求函數(shù)、平均成本函數(shù)是本課程的重點(diǎn)內(nèi)容，要切實(shí)理

4、解。基本初等函數(shù)主要掌握定義，復(fù)合函數(shù)分解主要是為求導(dǎo)數(shù)作準(zhǔn)備的，同樣需要切實(shí)掌握。微分學(xué)第2章 極限、導(dǎo)數(shù)和微分考試知識(shí)點(diǎn)：極限計(jì)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)或微分，切線方程，切線斜率，二階導(dǎo)數(shù)，無窮小量，導(dǎo)數(shù)值本章重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（計(jì)算題10分）。1、 極限的計(jì)算 只需考慮可能在單項(xiàng)選擇題或填空題中出現(xiàn)的簡(jiǎn)單情形。極限的計(jì)算側(cè)重掌握因式分解法、有理化法及利用兩個(gè)重要極限計(jì)算的方法。（1）類型：通常是化為無窮小來計(jì)算，即有分式時(shí)，分子、分母同時(shí)除以最高次冪；或利用第二個(gè)重要極限來計(jì)算。 （2）類型：當(dāng)沒有分母或分母極限不為0時(shí)，可利用連續(xù)性，直接將x0代入；當(dāng)分母極限為0 而分子極限不為0時(shí)，直接得出

5、結(jié)果；當(dāng)分子、分母極限均為0時(shí)，可利用因式分解、有理化或第一個(gè)重要極限來計(jì)算；當(dāng)出現(xiàn)-的情形時(shí)應(yīng)先通分。2、 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）計(jì)算 （隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，只要求作形成性考核）這部分是微積分最重要的內(nèi)容，首先要記熟導(dǎo)數(shù)公式與法則，然后套用；其次是對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)要會(huì)求導(dǎo)數(shù)值、微分及二階導(dǎo)數(shù)。教材中有大量的例題與習(xí)題，這里僅列舉幾個(gè)例子：（1） 設(shè)，求dy。解：（2） 設(shè)，求。解：先化簡(jiǎn)得，注意常數(shù)導(dǎo)數(shù)為0，故有。（3） 設(shè)，求。解：。3、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 主要是會(huì)求切線方程或切線斜率。4、 無窮小量 要注意與重要極限的區(qū)別，以下幾個(gè)結(jié)論要特別注意： 5、 連續(xù)的概念要注意如下問題：設(shè)在x=0連

6、續(xù)，則k= 。（答案：）（這里利用連續(xù)性的定義，有）微分學(xué)第3章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用考試知識(shí)點(diǎn)：需求彈性，求最大利潤時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤，求最小平均成本時(shí)的產(chǎn)量及最小平均成本，駐點(diǎn)與極值點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間，單調(diào)性。本章的重點(diǎn)：最值應(yīng)用題（20分）。1、 求最大利潤（最小平均成本、最大收入）時(shí)的產(chǎn)量（或銷售量）這部分是本課程的重點(diǎn)，要求熟練掌握。（1） 某廠每生產(chǎn)一批某種產(chǎn)品，其固定成本為20000元，每生產(chǎn)1噸產(chǎn)品的成本為60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)規(guī)律為q=1000-10p（q為需求量，p為價(jià)格）。試求成本函數(shù)，收入函數(shù)；產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大？假設(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售出，求獲得最大收入時(shí)的銷售量。 解：成本函數(shù)C(

7、q)=60q+20000，由需求規(guī)律得p=100-0.1q，收入函數(shù)R(q)=100q-0.1q2利潤函數(shù)L(q)=R(q)-C(q)=40q-0.1q2-20000，邊際利潤函數(shù)，令0得q=200（噸），由于駐點(diǎn)唯一，故產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤最大。，令（噸），由于駐點(diǎn)唯一，故產(chǎn)量為500噸時(shí)收入最大。（2） 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品q單位的成本函數(shù)為C(q)=900+20q+q2，問q為多少時(shí)，能使平均成本最低？最低平均成本是多少？解：平均成本函數(shù)為 令=0得q=30（單位），由于駐點(diǎn)唯一，故產(chǎn)量為30單位時(shí)平均成本最低，最低平均成本為。2、 需求彈性 主要是記住公式后套用。如：設(shè)需求函數(shù)，則需求彈性為

8、Ep=-5p。3、 求單調(diào)區(qū)間或給定某區(qū)間時(shí)判斷該區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。如：函數(shù)f(x)=x2-4x+5的單調(diào)增加區(qū)間是（2，+），在區(qū)間（0，+）內(nèi)先單調(diào)減少，后單調(diào)增加。4、 函數(shù)極值 應(yīng)側(cè)重于駐點(diǎn)、極值點(diǎn)等概念的理解，而簡(jiǎn)單函數(shù)的極值、最值問題適當(dāng)考慮便可。微分學(xué)第4章 多元函數(shù)微分學(xué)本章不作考試要求。一元函數(shù)積分學(xué)（第1 章不定積分及第2 章定積分）考試知識(shí)點(diǎn)：用湊微分法計(jì)算積分，簡(jiǎn)單廣義積分，原函數(shù)概念，不定積分性質(zhì)，用分部積分法計(jì)算積分，定積分的導(dǎo)數(shù)。本章重點(diǎn)：湊微分法（或分部積分法）計(jì)算不定積分（或定積分）（計(jì)算題10分）。1、湊微分法（第一換元積分法）（包括不定積分和定積分）這部

9、分是這兩章的重點(diǎn)，要熟練掌握，但不必考慮過難的題目。如： 。2、原函數(shù)與不定積分的概念要理解清楚，如“”是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，與“的原函數(shù)是f(x)”是截然不同的。湊微分是湊微分法和分部積分法的基礎(chǔ)。（1） 設(shè)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則；（2） 湊微分如sinxdx=-d(cosx)等。2、 廣義積分 主要考慮形如的簡(jiǎn)單積分。如： 4、不定積分的性質(zhì) 主要考慮導(dǎo)函數(shù)（或微分式）的不定積或不定積分的導(dǎo)數(shù)（或微分）。如：設(shè)，則f(x)=2xln2+3x25、 分部積分法 主要考慮的類型，（其中是實(shí)數(shù)，n=1,2），基礎(chǔ)較低的學(xué)員可用列表法。如：（1）（公式法）=（2）（列表法） （+） lnx

10、x2 () 由上面列表得: 注意：lne=1,ln1=0。6、 定積分是一個(gè)常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)必為0。如： 。一元函數(shù)積分學(xué)第3章 積分應(yīng)用考試知識(shí)點(diǎn)：已知邊際成本（邊際收入）及固定成本求成本函數(shù)（收入函數(shù)、利潤函數(shù)）或它們的增量，奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分，已知邊際成本（或邊際收入）求最大利潤（最大收入）問題。（微分方程內(nèi)容只作形成性考核?。┍菊轮攸c(diǎn)：已知邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)求最值問題（20分）1、 已知邊際成本（邊際收入）及固定成本求成本函數(shù)（收入函數(shù)、利潤函數(shù)）或它們的增量 一般采用定積分來計(jì)算，這樣不容易出錯(cuò)（當(dāng)然也可以使用不定積分來計(jì)算）。如（1） 設(shè)某商品的邊際收入函數(shù)為，則（2） 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)

11、品的邊際成本函數(shù)為，固定成本為90，則總成本函數(shù)產(chǎn)量從1單位增加到3單位時(shí)成本增量為。2、 奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分 若f(x)為奇函數(shù)，則；若f(x)為偶函數(shù)，則。如 3、已知邊際成本（邊際收入），求最大利潤問題 如（1） 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本（萬元/百臺(tái)），邊際收入（萬元/百臺(tái)）。問：產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大？從利潤最大時(shí)產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤有什么變化？解：邊際利潤為，令得唯一駐點(diǎn)q=10，故產(chǎn)量為10百臺(tái)時(shí)利潤最大。 利潤增量為，即從利潤最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤將減少20萬元。（2） 生產(chǎn)某種產(chǎn)品q噸時(shí)的邊際成本為（萬元/噸），固定成本為5萬元，收入函數(shù)為R(q)=15q-0.5

12、q2（萬元）。試求產(chǎn)量為多少可使利潤達(dá)到最大？并求最大利潤。 解：，令得唯一駐點(diǎn)q=4，即當(dāng)產(chǎn)量為4噸時(shí)利潤最大。最大利潤L(4)= 。（也可用不定積分去解：由（萬元/噸），有C(q)= 3q+q2+c,又固定成本為5萬元，C(q)=3q+q2+5，從而L(q)=R(q)-C(q)=12q-1.5q2-5，故最大利潤L(4)=12×41.5×425=19(萬元)。）線性代數(shù) 第1章 行列式本章不作考試要求。線性代數(shù) 第2章 矩陣考試知識(shí)點(diǎn)：計(jì)算矩陣的秩，逆矩陣的計(jì)算，解矩陣方程，可逆矩陣概念，矩陣乘定義，矩陣轉(zhuǎn)置與乘法的簡(jiǎn)單計(jì)算，特殊矩陣概念。本章重點(diǎn)：求逆矩陣（計(jì)算題15

13、分）1、 計(jì)算矩陣的秩（A階梯形矩陣階梯形矩陣的非0行個(gè)數(shù)就是矩陣的秩）、計(jì)算逆矩陣（2、3階矩陣）（A I）（I A-1）及矩陣方程求解（對(duì)AX=B可使用（A B）（I X）計(jì)算）是本章重點(diǎn)內(nèi)容。如（1） 設(shè)矩陣A=，求A-1。 解：（A I）=(2)解矩陣方程：解：(3)已知矩陣A=，求(ABT)1。解：先計(jì)算ABT=再求逆：（ABT I）=2、 矩陣乘法計(jì)算（并注意矩陣乘法的條件，交換律與消去律的不滿足性），可逆矩陣的概念與性質(zhì)（特別是（AB）1=B-1A-1，（AT）-1=（A-1）T），矩陣轉(zhuǎn)置也要掌握好，要理解特殊矩陣的概念。線性代數(shù) 第3章 線性方程組考試知識(shí)點(diǎn)：解齊次或非齊次線

14、性方程組（無參數(shù)），含有參數(shù)的齊次或非齊次線性方程組解的判定（并在有解時(shí)求其解），解的判定定理。本章重點(diǎn)：解齊次或非齊次線性方程組（有參數(shù)或無參數(shù)）（計(jì)算題15分）。1、 本章首先要記住兩個(gè)判定定理：AX=b 有解秩(A)=秩() AX=b 有唯一解秩(A)=秩()=n及其推論:AX=0有非0解秩(A)<n其次是要掌握好用初等行變換解線性方程組并寫出方程組的解(對(duì)AX=b,增廣矩陣行簡(jiǎn)化階梯形矩陣,然后寫出唯一解或一般解;對(duì)AX=0，A行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，然后寫出一般解)。如（1） 解線性方程組 解：故一般解為：（其中，為自由求知量）（2） 解齊次線性方程組： 解： 故一般解為：（其中，為自由求知量）2、 含有參數(shù)的線性方程組的判定，并在有解時(shí)求其解。如：（1） 討論取何值時(shí)線性方程組有解？在有解的情況下求一般解。 解：故當(dāng)=-4時(shí)，方程組有解。此時(shí)一般解為：（其中為自由求知量）（2） 設(shè)線性方程組試a,b為何值時(shí)，方程組無解？有唯一解？有無窮多解。 解： 故當(dāng)a=3， b1時(shí)，秩(A) 秩(),線性方程組無解；當(dāng)a3，b為任意時(shí)，秩(A)=秩()=未知量個(gè)數(shù)，線性方程組有唯一解；當(dāng)a=3， b=1時(shí)，秩(A)=秩()<未知量個(gè)數(shù),線性方程組有無窮多解。（3） 設(shè)齊次線性方程組討論的情況，使齊次線性方程組有非0解