有限元大作業(yè)

1、1推導(dǎo)有限元計算格式，理解有限元原理： 建立圖示受拉直桿在自重（設(shè)單位長度重度為q，截面積為A）和外力P作用下的拉伸問題的微分方程，并分別利用不同的原理（變分求極值（最小勢能或虛功原理）、加權(quán)殘值法）推導(dǎo)有限元計算格式（取兩個單元）。手工求出端點的位移（自己給定參數(shù)值）。設(shè)桿長為L，截面面積為A(x)，彈性模數(shù)為E,單位長重量q ，受拉桿x處的位移為u(x)。取微元dx的力平衡，建立受拉桿位移所滿足的微分方程 ，dx上下截面內(nèi)力與微元自重相等得 得解析解：將其分為兩個單元，節(jié)點為1,2,3，得有限元法：1)位移函數(shù) 得令 2)應(yīng)變、應(yīng)力表達(dá) 3)勢能表示4)單元平衡方程a)最小勢能原理 b)虛

2、位移原理 由虛位移任意性得，積分得 記為同理 可得： 與解析解結(jié)果一致。試題1：圖示無限長剛性地基上的三角形大壩，受齊頂?shù)乃畨毫ψ饔?，試用三?jié)點常應(yīng)變單元和六節(jié)點三角形單元對壩體進(jìn)行有限元分析，并對以下幾種計算方案進(jìn)行比較：1） 分別采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元和六節(jié)點三角形單元計算；（注意ANSYS中用四邊形單元退化為三節(jié)點三角形單元）2） 分別采用不同數(shù)量的三節(jié)點常應(yīng)變單元計算；3） 當(dāng)選常應(yīng)變?nèi)菃卧獣r，分別采用不同劃分方案計算。答：1）分別采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元和六節(jié)點三角形單元計算；（注意ANSYS中用四邊形單元退化為三節(jié)點三角形單元）A 問題描述三角形大壩無限長，

3、可取大壩的界面，并視為平面應(yīng)力應(yīng)變問題。B 有限元建模1.1 建立一個工程名為quiz1 的工程， 在preference( 過濾) 選項中選擇structural（結(jié)構(gòu)）,過濾掉其他的物理問題；1.2 在命令欄中輸入/PREP7,進(jìn)入前處理階段；1.3 接著就在material prop（材料）選項中選擇彈性、線性、各向異性材料，同時為其配置楊氏彈性模量2.1e11和泊松比0.3；1.4 配置完之后就要開始進(jìn)行模型的建立，根據(jù)大壩的尺寸建立模型；1.5 三節(jié)點常應(yīng)變?nèi)切螁卧捎么_定邊長后用Tri,free劃分，六節(jié)點三角形單元將單元節(jié)點的配置改為ET，1，PLANE42即可，其他與常應(yīng)變?nèi)?/p>

4、角形單元一致；1.6 求解和查看結(jié)果。圖1.1 模型圖C 計算結(jié)果及結(jié)果分析1) 采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元和六節(jié)點三角形單元計算 (a) (b) (c) (d) (e) (f)圖1.2 3節(jié)點計算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點位移圖（c）Y方向節(jié)點位移圖（d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖（e）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖（f）Z方向節(jié)點應(yīng)力圖 圖1.3 6節(jié)點計算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點位移圖（c）Y方向節(jié)點位移圖（d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖（e）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖分別采用相同的單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元和六節(jié)點三角形單元的計算結(jié)果如下表1.1。單元類型變形大小節(jié)點位移節(jié)點應(yīng)

5、力X方向Y方向X方向Y方向Von mises三節(jié)點三角形單元DMX=0.134E-5DMX=0.134E-5SMX=0.130E-5SMN=-0.339E-6SMX=0.657E-7SMN=-5782.27SMX=2283.17SMN=-18151.3SMX=5809.65SMN=690.95SMX=14648六節(jié)點三角形單元DMX=0.144E-5DMX=0.144E-5SMX=-0.139E-5SMN=-0.376E-6SMX=0.7E-7SMN=-4077.74SMX=1606.24SMN=-17828.3SMX=5787.56SMN=660.069SMX=17812.2表1.1 相同的

6、單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元和六節(jié)點三角形單元的計算結(jié)果2) 不同數(shù)量的三節(jié)點常應(yīng)變單元計算 (a) (b) (c) (d) (e) (f)圖1.4 多節(jié)點數(shù)計算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點位移圖（c）Y方向節(jié)點位移圖（d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖（c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖分別采用相同的不同單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元計算結(jié)果如下表1.2。單元類型變形大小節(jié)點位移節(jié)點應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向Von mises三節(jié)點三角形單元DMX=0.134E-5DMX=0.134E-5SMX=0.130E-5SMN=-0.339E-6SMX=0.657E-7SMN=-5782.27SM

7、X=2283.17SMN=-18151.3SMX=5809.65SMN=690.95SMX=14648六節(jié)點三角形單元DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.142E-5SMN=-0.373E-6SMX=0.705E-7SMN=-8042.38SMX=2491.95SMN=-23131.4SMX=6305.1SMN=345.475SMX=18440.7表1.2 相同的單元數(shù)目的不同數(shù)量單元的計算結(jié)果根據(jù)不同單元數(shù)量的計算結(jié)果，隨著單元數(shù)的增加，計算結(jié)果呈單向變化?？芍獑卧獢?shù)越多，計算結(jié)果越精確。3）采用不同劃分方案計算 方案一 方案二 （a） (b) (c) (d) (e

8、) (f)圖1.5 方案一計算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點位移圖（c）Y方向節(jié)點位移圖（d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖（c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖 （a） (b) (c) (d) (e) (f)圖1.2 方案二計算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點位移圖（c）Y方向節(jié)點位移圖（d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖（c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖分別采用相同的不同單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元計算結(jié)果如下表1.3。單元類型變形大小節(jié)點位移節(jié)點應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向Von mises方案一DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.143E-5SMN=-0.

9、375E-6SMX=0.697E-7SMN=-7925.18SMX=2562.66SMN=-23020.2SMX=6380.43SMN=345.475SMX=18426.5方案二DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.142E-5SMN=-0.375E-6SMX=0.704E-7SMN=-7988.35SMX=2463.79SMN=-22904.2SMX=6335.71SMN=345.475SMX=18440.7表1.3 相同的單元數(shù)目的不同數(shù)量單元的計算結(jié)果可以看出，兩種劃分方案的計算結(jié)果中，X/Y方向的節(jié)點位移接近，而節(jié)點應(yīng)力部分相應(yīng)的值也都比較接近。試題2：圖示薄板

10、左邊固定，右邊受均布壓力P=100Kn/m作用，板厚度為0.3cm；試采用如下方案，對其進(jìn)行有限元分析，并對結(jié)果進(jìn)行比較。1）三節(jié)點常應(yīng)變單元；（2個和200個單元）2）四節(jié)點矩形單元；（1個和50個單元）3）八節(jié)點等參單元。（1個和20個單元）答：1） 三節(jié)點常應(yīng)變單元； A、 問題描述及數(shù)學(xué)建模題中給出的是一個平面應(yīng)力應(yīng)變問題，左邊受固定約束，右邊施加P=100kn/m的均布載荷。B、 建模及計算過程假定薄板的材料為鋼，楊氏模量E=210GPa，泊松比v=0.3，使用solid單元的4節(jié)點42單元退化得到三節(jié)點常應(yīng)變單元。C、 計算結(jié)果及分析其中使用2個三節(jié)點常應(yīng)變單元的計算的幾何模型如圖

11、2.1所示。圖2.1 4節(jié)點2單元幾何模型計算結(jié)果如圖2.2所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.2 2個三節(jié)點常應(yīng)變單元的計算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）Z方向節(jié)點應(yīng)力圖使用200單元的計算結(jié)果如圖2.3所示。 （a） （b） （c） （a） （b） （c） 圖2.3 200個三節(jié)點常應(yīng)變單元的計算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖單元數(shù)目變形大小節(jié)點位移節(jié)點應(yīng)力X方向Y方向X方向

12、Y方向von mises2單元DMX=0.742E-6DMX=0.742E-6SMN=0.725E-6SMN=-0.829E-7SMX=0.156E-6SMN=-103346SMX=-96653.6SMN=-28996。1SMX=5949.06SMN=86254.5SMX=100801200單元DMX=0.742E-6DMX=0.742E-6SMX=-0.723E-6SMN=-0.139E-6SMX=0.163E-6SMN=-111116SMX=-90306.6SMN=-33334.7SMX=1762.98SMN=-86602.5SMX=104805由對比可以看出，兩種不同數(shù)目單元的計算結(jié)果在

13、Y方向的位移都顯現(xiàn)出了不對稱性，與老師上課所講的例子出現(xiàn)一樣的結(jié)果，這是由于單元類型的原因，此例采用三角形單元會出現(xiàn)這樣的誤差。 2） 四節(jié)點矩形單元（1個和50個單元）1個單元的計算結(jié)果如下圖2.4所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.4 1個四節(jié)點常應(yīng)變單元的計算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖50個四節(jié)點矩形單元的計算結(jié)果如下圖2.5所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.5 50個四節(jié)點常應(yīng)變單元的計算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖

14、 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）von mises節(jié)點應(yīng)力圖單元數(shù)目變形大小節(jié)點位移節(jié)點應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向von mises1單元DMX=0.713E-6DMX=0.742E-6SMN=-0.690E-6SMN=-0.179E-6SMX=0.179E-6SMN=-106204SMX=-93796.3SMN=-31861.1SMX=9497.06SMN=105081SMX=10743650單元DMX=0.732E-6DMX=0.742E-6SMX=-0.716E-6SMN=-0.154E-6SMX=0.154E-6SMN=-127278S

15、MX=-94304.2SMN=-38183.3SMX=4526.3SMN=86354.8SMX=120532可以看出，50個四節(jié)點單元的計算結(jié)果比1個四節(jié)點單元的結(jié)果在x方向、y方向和von mises應(yīng)力都表現(xiàn)出更加細(xì)致的信息，結(jié)果更加精確。 3） 八節(jié)點等參單元。（1個和20個單元）1個八節(jié)點等參單元（在ANSYS中選擇8node183）的計算結(jié)果如圖2.6所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.6 1個八節(jié)點等參單元的計算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖20個八

16、節(jié)點等參單元的計算結(jié)果如圖2.7所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.6 20個八節(jié)點等參單元的計算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖單元數(shù)目變形大小節(jié)點位移節(jié)點應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向von mises1單元DMX=0.728E-6DMX=0.728E-6SMN=-0.715E-6SMN=-0.133E-6SMX=0.133E-6SMN=-100000SMX=-100000SMN=-21011.7SMX=7003.89SMN=98309.7SMX=1052642

17、0單元DMX=0.733E-6DMX=0.733E-6SMX=-0.716E-6SMN=-0.154E-6SMX=0.154E-6SMN=-132258SMX=-90206.2SMN=-34114.6SMX=7379.44SMN=82284.1SMX=131091可以看出單元數(shù)越多，所能表征的幾點位移或應(yīng)力細(xì)節(jié)越豐富，所得結(jié)果也越精確。試題3：圖示一簡化直齒輪輪齒截面，高h(yuǎn)=60mm，齒根寬b=60mm，齒頂寬c=25mm，齒頂作用力P=10Kn；試采用不同單元分析輪齒上位移及應(yīng)力分布，并只指出最大應(yīng)力位置。 解：分別采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點常應(yīng)變單元和六節(jié)點三角形單元和四節(jié)點單元計算；A、

18、問題描述及數(shù)學(xué)建模題中給出的是一個平面應(yīng)變問題。 B、 建模及計算過程假定薄板的材料為鋼，查閱相關(guān)資料可得鋼的楊氏模量E=210GPa，泊松比v=0.3，使用solid單元的4節(jié)點42單元退化得到三節(jié)點常應(yīng)變單元。其中斜力加載方法：1.激活工作平面WorkPlaneChange Active CS toWorking Plane2.工作坐標(biāo)系調(diào)整：WorkPlaneOffset WP by Increments.3.建立局部柱坐標(biāo)系：WorkPlaneLocal Coordinate SystemsCreate Local CSAt WP Origin4.選擇加載對象5.節(jié)點坐標(biāo)系設(shè)置（保持與

19、局部坐標(biāo)系一致）Main MenuPreprocessorModelingCreateNodesRotate Node CS To Active CS6.加載斜力，即可！ 其中使用三節(jié)點常應(yīng)變單元的計算的幾何模型及局部放大如圖3.1所示。圖3.1 三節(jié)點常應(yīng)變單元建模和加載力圖C、 計算結(jié)果及分析 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖3.2 三節(jié)點常應(yīng)變單元的計算結(jié)果a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖使用六節(jié)點三角形單元的計算結(jié)果如下圖3.3所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖3.3 六節(jié)點三角形單元的計算結(jié)果a）變形圖 （b）X方向節(jié)點位移圖 （c）Y方向節(jié)點位移圖 （d）X方向節(jié)點應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖使用四節(jié)點單元的計算結(jié)