有限元大作業(yè)

1、1推導(dǎo)有限元計(jì)算格式，理解有限元原理： 建立圖示受拉直桿在自重（設(shè)單位長(zhǎng)度重度為q，截面積為A）和外力P作用下的拉伸問(wèn)題的微分方程，并分別利用不同的原理（變分求極值（最小勢(shì)能或虛功原理）、加權(quán)殘值法）推導(dǎo)有限元計(jì)算格式（取兩個(gè)單元）。手工求出端點(diǎn)的位移（自己給定參數(shù)值）。設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，截面面積為A(x)，彈性模數(shù)為E,單位長(zhǎng)重量q ，受拉桿x處的位移為u(x)。取微元dx的力平衡，建立受拉桿位移所滿足的微分方程 ，dx上下截面內(nèi)力與微元自重相等得 得解析解：將其分為兩個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)為1,2,3，得有限元法：1)位移函數(shù) 得令 2)應(yīng)變、應(yīng)力表達(dá) 3)勢(shì)能表示4)單元平衡方程a)最小勢(shì)能原理 b)虛

2、位移原理 由虛位移任意性得，積分得 記為同理 可得： 與解析解結(jié)果一致。試題1：圖示無(wú)限長(zhǎng)剛性地基上的三角形大壩，受齊頂?shù)乃畨毫ψ饔?，試用三?jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元對(duì)壩體進(jìn)行有限元分析，并對(duì)以下幾種計(jì)算方案進(jìn)行比較：1） 分別采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元計(jì)算；（注意ANSYS中用四邊形單元退化為三節(jié)點(diǎn)三角形單元）2） 分別采用不同數(shù)量的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元計(jì)算；3） 當(dāng)選常應(yīng)變?nèi)菃卧獣r(shí)，分別采用不同劃分方案計(jì)算。答：1）分別采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元計(jì)算；（注意ANSYS中用四邊形單元退化為三節(jié)點(diǎn)三角形單元）A 問(wèn)題描述三角形大壩無(wú)限長(zhǎng)，

3、可取大壩的界面，并視為平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題。B 有限元建模1.1 建立一個(gè)工程名為quiz1 的工程， 在preference( 過(guò)濾) 選項(xiàng)中選擇structural（結(jié)構(gòu)）,過(guò)濾掉其他的物理問(wèn)題；1.2 在命令欄中輸入/PREP7,進(jìn)入前處理階段；1.3 接著就在material prop（材料）選項(xiàng)中選擇彈性、線性、各向異性材料，同時(shí)為其配置楊氏彈性模量2.1e11和泊松比0.3；1.4 配置完之后就要開(kāi)始進(jìn)行模型的建立，根據(jù)大壩的尺寸建立模型；1.5 三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變?nèi)切螁卧捎么_定邊長(zhǎng)后用Tri,free劃分，六節(jié)點(diǎn)三角形單元將單元節(jié)點(diǎn)的配置改為ET，1，PLANE42即可，其他與常應(yīng)變?nèi)?/p>

4、角形單元一致；1.6 求解和查看結(jié)果。圖1.1 模型圖C 計(jì)算結(jié)果及結(jié)果分析1) 采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元計(jì)算 (a) (b) (c) (d) (e) (f)圖1.2 3節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖（d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（e）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（f）Z方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 圖1.3 6節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖（d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（e）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖分別采用相同的單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元的計(jì)算結(jié)果如下表1.1。單元類型變形大小節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)應(yīng)

5、力X方向Y方向X方向Y方向Von mises三節(jié)點(diǎn)三角形單元DMX=0.134E-5DMX=0.134E-5SMX=0.130E-5SMN=-0.339E-6SMX=0.657E-7SMN=-5782.27SMX=2283.17SMN=-18151.3SMX=5809.65SMN=690.95SMX=14648六節(jié)點(diǎn)三角形單元DMX=0.144E-5DMX=0.144E-5SMX=-0.139E-5SMN=-0.376E-6SMX=0.7E-7SMN=-4077.74SMX=1606.24SMN=-17828.3SMX=5787.56SMN=660.069SMX=17812.2表1.1 相同的

6、單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元的計(jì)算結(jié)果2) 不同數(shù)量的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元計(jì)算 (a) (b) (c) (d) (e) (f)圖1.4 多節(jié)點(diǎn)數(shù)計(jì)算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖（d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖分別采用相同的不同單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元計(jì)算結(jié)果如下表1.2。單元類型變形大小節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向Von mises三節(jié)點(diǎn)三角形單元DMX=0.134E-5DMX=0.134E-5SMX=0.130E-5SMN=-0.339E-6SMX=0.657E-7SMN=-5782.27SM

7、X=2283.17SMN=-18151.3SMX=5809.65SMN=690.95SMX=14648六節(jié)點(diǎn)三角形單元DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.142E-5SMN=-0.373E-6SMX=0.705E-7SMN=-8042.38SMX=2491.95SMN=-23131.4SMX=6305.1SMN=345.475SMX=18440.7表1.2 相同的單元數(shù)目的不同數(shù)量單元的計(jì)算結(jié)果根據(jù)不同單元數(shù)量的計(jì)算結(jié)果，隨著單元數(shù)的增加，計(jì)算結(jié)果呈單向變化?？芍獑卧獢?shù)越多，計(jì)算結(jié)果越精確。3）采用不同劃分方案計(jì)算 方案一 方案二 （a） (b) (c) (d) (e

8、) (f)圖1.5 方案一計(jì)算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖（d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖 （a） (b) (c) (d) (e) (f)圖1.2 方案二計(jì)算結(jié)果（a）變形圖（b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖（d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖（d）Von mises應(yīng)力圖分別采用相同的不同單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元計(jì)算結(jié)果如下表1.3。單元類型變形大小節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向Von mises方案一DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.143E-5SMN=-0.

9、375E-6SMX=0.697E-7SMN=-7925.18SMX=2562.66SMN=-23020.2SMX=6380.43SMN=345.475SMX=18426.5方案二DMX=0.147E-5DMX=0.147E-5SMX=-0.142E-5SMN=-0.375E-6SMX=0.704E-7SMN=-7988.35SMX=2463.79SMN=-22904.2SMX=6335.71SMN=345.475SMX=18440.7表1.3 相同的單元數(shù)目的不同數(shù)量單元的計(jì)算結(jié)果可以看出，兩種劃分方案的計(jì)算結(jié)果中，X/Y方向的節(jié)點(diǎn)位移接近，而節(jié)點(diǎn)應(yīng)力部分相應(yīng)的值也都比較接近。試題2：圖示薄板

10、左邊固定，右邊受均布?jí)毫=100Kn/m作用，板厚度為0.3cm；試采用如下方案，對(duì)其進(jìn)行有限元分析，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較。1）三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元；（2個(gè)和200個(gè)單元）2）四節(jié)點(diǎn)矩形單元；（1個(gè)和50個(gè)單元）3）八節(jié)點(diǎn)等參單元。（1個(gè)和20個(gè)單元）答：1） 三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元； A、 問(wèn)題描述及數(shù)學(xué)建模題中給出的是一個(gè)平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題，左邊受固定約束，右邊施加P=100kn/m的均布載荷。B、 建模及計(jì)算過(guò)程假定薄板的材料為鋼，楊氏模量E=210GPa，泊松比v=0.3，使用solid單元的4節(jié)點(diǎn)42單元退化得到三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元。C、 計(jì)算結(jié)果及分析其中使用2個(gè)三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元的計(jì)算的幾何模型如圖

11、2.1所示。圖2.1 4節(jié)點(diǎn)2單元幾何模型計(jì)算結(jié)果如圖2.2所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.2 2個(gè)三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元的計(jì)算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）Z方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖使用200單元的計(jì)算結(jié)果如圖2.3所示。 （a） （b） （c） （a） （b） （c） 圖2.3 200個(gè)三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元的計(jì)算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖單元數(shù)目變形大小節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)應(yīng)力X方向Y方向X方向

12、Y方向von mises2單元DMX=0.742E-6DMX=0.742E-6SMN=0.725E-6SMN=-0.829E-7SMX=0.156E-6SMN=-103346SMX=-96653.6SMN=-28996。1SMX=5949.06SMN=86254.5SMX=100801200單元DMX=0.742E-6DMX=0.742E-6SMX=-0.723E-6SMN=-0.139E-6SMX=0.163E-6SMN=-111116SMX=-90306.6SMN=-33334.7SMX=1762.98SMN=-86602.5SMX=104805由對(duì)比可以看出，兩種不同數(shù)目單元的計(jì)算結(jié)果在

13、Y方向的位移都顯現(xiàn)出了不對(duì)稱性，與老師上課所講的例子出現(xiàn)一樣的結(jié)果，這是由于單元類型的原因，此例采用三角形單元會(huì)出現(xiàn)這樣的誤差。 2） 四節(jié)點(diǎn)矩形單元（1個(gè)和50個(gè)單元）1個(gè)單元的計(jì)算結(jié)果如下圖2.4所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.4 1個(gè)四節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元的計(jì)算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖50個(gè)四節(jié)點(diǎn)矩形單元的計(jì)算結(jié)果如下圖2.5所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.5 50個(gè)四節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元的計(jì)算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖

14、 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）von mises節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖單元數(shù)目變形大小節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向von mises1單元DMX=0.713E-6DMX=0.742E-6SMN=-0.690E-6SMN=-0.179E-6SMX=0.179E-6SMN=-106204SMX=-93796.3SMN=-31861.1SMX=9497.06SMN=105081SMX=10743650單元DMX=0.732E-6DMX=0.742E-6SMX=-0.716E-6SMN=-0.154E-6SMX=0.154E-6SMN=-127278S

15、MX=-94304.2SMN=-38183.3SMX=4526.3SMN=86354.8SMX=120532可以看出，50個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元的計(jì)算結(jié)果比1個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元的結(jié)果在x方向、y方向和von mises應(yīng)力都表現(xiàn)出更加細(xì)致的信息，結(jié)果更加精確。 3） 八節(jié)點(diǎn)等參單元。（1個(gè)和20個(gè)單元）1個(gè)八節(jié)點(diǎn)等參單元（在ANSYS中選擇8node183）的計(jì)算結(jié)果如圖2.6所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.6 1個(gè)八節(jié)點(diǎn)等參單元的計(jì)算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖20個(gè)八

16、節(jié)點(diǎn)等參單元的計(jì)算結(jié)果如圖2.7所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖2.6 20個(gè)八節(jié)點(diǎn)等參單元的計(jì)算a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖單元數(shù)目變形大小節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)應(yīng)力X方向Y方向X方向Y方向von mises1單元DMX=0.728E-6DMX=0.728E-6SMN=-0.715E-6SMN=-0.133E-6SMX=0.133E-6SMN=-100000SMX=-100000SMN=-21011.7SMX=7003.89SMN=98309.7SMX=1052642

17、0單元DMX=0.733E-6DMX=0.733E-6SMX=-0.716E-6SMN=-0.154E-6SMX=0.154E-6SMN=-132258SMX=-90206.2SMN=-34114.6SMX=7379.44SMN=82284.1SMX=131091可以看出單元數(shù)越多，所能表征的幾點(diǎn)位移或應(yīng)力細(xì)節(jié)越豐富，所得結(jié)果也越精確。試題3：圖示一簡(jiǎn)化直齒輪輪齒截面，高h(yuǎn)=60mm，齒根寬b=60mm，齒頂寬c=25mm，齒頂作用力P=10Kn；試采用不同單元分析輪齒上位移及應(yīng)力分布，并只指出最大應(yīng)力位置。 解：分別采用相同單元數(shù)目的三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元和六節(jié)點(diǎn)三角形單元和四節(jié)點(diǎn)單元計(jì)算；A、

18、問(wèn)題描述及數(shù)學(xué)建模題中給出的是一個(gè)平面應(yīng)變問(wèn)題。 B、 建模及計(jì)算過(guò)程假定薄板的材料為鋼，查閱相關(guān)資料可得鋼的楊氏模量E=210GPa，泊松比v=0.3，使用solid單元的4節(jié)點(diǎn)42單元退化得到三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元。其中斜力加載方法：1.激活工作平面WorkPlaneChange Active CS toWorking Plane2.工作坐標(biāo)系調(diào)整：WorkPlaneOffset WP by Increments.3.建立局部柱坐標(biāo)系：WorkPlaneLocal Coordinate SystemsCreate Local CSAt WP Origin4.選擇加載對(duì)象5.節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系設(shè)置（保持與

19、局部坐標(biāo)系一致）Main MenuPreprocessorModelingCreateNodesRotate Node CS To Active CS6.加載斜力，即可！ 其中使用三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元的計(jì)算的幾何模型及局部放大如圖3.1所示。圖3.1 三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元建模和加載力圖C、 計(jì)算結(jié)果及分析 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖3.2 三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元的計(jì)算結(jié)果a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖使用六節(jié)點(diǎn)三角形單元的計(jì)算結(jié)果如下圖3.3所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 圖3.3 六節(jié)點(diǎn)三角形單元的計(jì)算結(jié)果a）變形圖 （b）X方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)位移圖 （d）X方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （c）Y方向節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖 （d）von mises應(yīng)力圖使用四節(jié)點(diǎn)單元的計(jì)算結(jié)