西安交通大學(xué)02-03年高等數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考試試題及答案

1、 高等數(shù)學(xué)測(cè)試題（3）一、解答下列各題(每小題5分，共25分)1設(shè)，求全微分. 2求曲線，在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的切線和法平面方程.3計(jì)算曲線積分，式中是曲線上從到的一段.4求函數(shù)的極值.5求微分方程的一個(gè)特解.二、解答下列各題(每小題6分，共24分)1 在軸上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)的距離等于它到平面的距離.2 函數(shù)由方程所確定，求.3改變二次積分的積分次序，其中連續(xù).4 計(jì)算曲面積分,其中是由所確定的立體的表面外側(cè).三、（9分）計(jì)算三重積分，其中由所確定.四、（9分）求半徑為的質(zhì)量分布均勻的半球面的重心坐標(biāo).五、（9分）求微分方程的積分曲線方程，使其在點(diǎn)與直線相切.六、（9分）設(shè)曲面方程為（為正常數(shù)）.具

2、有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，試證明此曲面上任一點(diǎn)處法線恒垂直于一常向量.七、（9分）求微分方程滿足的特解.八、（6分）設(shè)是光滑的正向簡(jiǎn)單閉曲線，所圍的區(qū)域記為，是的單位外法線向量，是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)，試證： 參考答案一、1.。2.點(diǎn)當(dāng)時(shí),。 切線 ,法平面,=0。3.原式。4.由 得駐點(diǎn)(4,1)。 在(4,1)處,。5.， 二、1.設(shè)所求點(diǎn)為,則，解得或；2.；3.原式；4.由高斯公式得,原式。三、。四、設(shè)半球面方程為，重心為。五、,且, , ， 六、令, ,則,曲面法向量 取 則 從而。七、令 則代入原方程， ，即 , 令,， 得，由 ，得。 得 得 八、，(2002.6.17)一

3、、解答下列各題(每小題6分，共60分)1 設(shè)點(diǎn)為從原點(diǎn)到一平面的垂足，求該平面的方程.2 求過(guò)點(diǎn)的平面，使它與平面垂直，且與直線平行.3 設(shè)，求. 4 在曲面上求一切平面，使該切平面垂直于直線.5 求曲線上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程.6 改變二次積分的積分次序，其中連續(xù).7 計(jì)算，其中積分域是：.8 計(jì)算曲線積分，其中是橢圓周正向.9 計(jì)算曲面積分，其中為錐面被圓柱面截下的部分曲面.10. 求微分方程的通解.二、（7分）求函數(shù)極值.三、（7分）函數(shù)由方程所確定，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且，求.四、（7分）設(shè)為上半球面的外側(cè)，計(jì)算曲面積分。.五、（7分）計(jì)算曲線積分，其中為以為直徑的從到上半圓周.六、（7分）求微分方程的通解.七、（5分）已知連續(xù)可微函數(shù)滿足 試求函數(shù).參考答案（02.6.17）一、1.，2. ，平面方程為 。 3.。4. 法向量為平面方向數(shù)為，兩者平行得，所以得法平面方程為： .5.切向量為，切線方程為.6。 7.用先二后一法得 。8.驗(yàn)證，L不包含原點(diǎn)，故。9.第一型面積分 。10齊次方程的通解為,用常數(shù)變易法求非齊方程的特解,非齊方程的通解為。二、令，得，正定，三、設(shè)，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得 ,