第二章 信號分析及信道

1、( )()0, 1, 2,.,f tf tnT nt T 為為 的周期。的周期。非周期信號非周期信號：不具有重復性的信號。：不具有重復性的信號。( )f t2. 信號是否具有重復性：周期信號和非周期信號信號是否具有重復性：周期信號和非周期信號 周期信號周期信號：固定的時間間隔重復變化的信號。即，：固定的時間間隔重復變化的信號。即，/22/21lim( )TTTPft dtT2( )Eft dt ( )f t2|( )|f t可用信號的頻譜函數(shù)來表示。頻譜函可用信號的頻譜函數(shù)來表示。頻譜函數(shù)表征信號的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅數(shù)表征信號的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和相位。在頻域上分析

2、信號稱為頻域分析。和相位。在頻域上分析信號稱為頻域分析。時間特性主要指信號隨時間變化快慢、時間特性主要指信號隨時間變化快慢、幅度變化的特性。在時域上分析信號稱為時域分析。幅度變化的特性。在時域上分析信號稱為時域分析。 ( )f x1 ()()2f xf x（ 為基波角頻率）0001( )cossin2nnnaf tantbnt02 /T/20/22( )cosTnTaf tntdtT/ 20/ 21( )2TTaft d tT/20/22( )sinTnTbf tntdtT.(t)的均值（直流分量）. (t)的第n次余弦波的振幅. (t)的第n次正弦波的振幅000cossincos()nnnn

3、antbntcnt2200arctannnnnnnbcabcaa其中:，0001( )cossin2nnnaf tantbnt根據(jù)：根據(jù)：001( )cos()2nnncf tcntcos2jxjxeex0( )jntnnf tF e001( )cos()2nnncf tcnt0/2/21( )(0, 1, 2, 3,.)TjntnTFf t edt nT 000*;=()22nnjjnnnnnnFcaccFeFeFF(復振幅)的共軛0( )jntnnf tF e000*;=()22nnjjnnnnnnFcaccFeFeFF(復振幅)的共軛注：（1）一般，F(xiàn)n是一個復數(shù)，它與頻率之間的關(guān)系圖形

4、稱為信號的幅度頻譜幅度頻譜：Fn確定周期信號(t)的第n次諧波分量的幅度。 （2）離散譜：離散譜：不連續(xù)，僅存在于 0 的整數(shù)倍處。把非周期信號看作T的周期信號。這樣周期信號的頻譜分析可以推廣到非周期信號。 當周期T時，T(t)= (t), t -,+ ， 即：非周期信號(t):構(gòu)造的周期信號T(t)：lim( )( )TTftf t當 ，有0( )()jntTnnftF et 0/20/212( );TjntnTTFf t edtTT0000/2/2221(1(2)TjntjntTjnTTTntjnTTnftftftededt eTt e令 滿足狄利克雷（Dirichlet）條件 ，則可展開

5、傅里葉級數(shù)：( )Tft式中，（分量間隔） （2-8）（2-9）將（2-9）代入（2-8）中，得到0,Tdn 1( )lim( )( )2jtjtTTf tftf t edt ed 稱（2-11）為傅里葉正變換，（2-12）為傅里葉反變換。兩式稱為的傅里葉變換對， 表示為：( )( )i tFf t edt（2-11）1( )( )2j tf tFed（2-12）令( )()f tF1( ) ( )( ) ( )Ff f tf tfF可簡記為：那么，1( )lim( )( )2j tj tTTf tftf t edt ed( )( )i tFf t edt( )f t dt 1( )( )2j

6、 tf tFed正變換：反變換： 12( )( )aftbft12( )( )aFbF2()f( )F t()f at1(/ )|Faa()ft()F0()f tt0( )jtf t e( )nnd f tdt()( )nnjt f t( )tfd12( )( )()Rf t ftdt0( )j tFe0()F()( )njF( )nnd Fd1( )(0) ( )FFj *12( )( )FF12( )( )f t f t( )cos( )cf tt12( )*( )f tf t12( )( )FF( )f t121( )*( )2FF1 ()()2ccFFsgn( ) ( )jF常用信號的

7、傅里葉變換：矩形脈沖，指數(shù)函數(shù)，沖激脈沖，正負號函數(shù)，階躍函數(shù)，復指數(shù)函數(shù)，常數(shù)，余弦函數(shù)，正弦函數(shù)，周期信號0( )00,0tttt(t)的表達式是什么？設(shè) (t) 是周期為T的周期信號，把它展開成指數(shù)傅里葉級數(shù)，得到：0( )jntnnf tF e02,T0/2/21( )TjntnTFf t edtT式中，00 ( )jntjntnnnnf f tfF eF f e002()jnten 0( )2()nnff tFn （2-16）可見：周期信號的傅里葉變換由一系列位于各諧波頻率周期信號的傅里葉變換由一系列位于各諧波頻率 n0上的沖激函數(shù)組成，各沖激函數(shù)的強度為上的沖激函數(shù)組成，各沖激函數(shù)

8、的強度為 2Fn 。小結(jié)：引入沖激函數(shù)之后，對周期信號也能進行傅里葉變換，從而對周期信號和非周期信號可以統(tǒng)一處理，這給信號的頻域分析帶來了很大的方便。1212( )*( )( )()f tf tff td1221( )*( )( )*( )f tf tf tf t1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf tf tf t123123( )*( )*( )( )*( )*( )f tftf tf tftf t121212( )*( )( )*( )( )*( )d f tf tf tf tf tf tdt1212( )*( )( )( )f tf t

9、FF12121( )( )( )*( )2f t f tFF( )( ) ()Rf t f tdt 功率信號的自相關(guān)函數(shù)：/2/21( )lim( ) ()TTTRf t f tdtT 自相關(guān)函數(shù)反映了一個信號與其延遲自相關(guān)函數(shù)反映了一個信號與其延遲 秒后的信號之間秒后的信號之間相關(guān)的程度。相關(guān)的程度。當當 =0，能量信號的自相關(guān)函數(shù)，能量信號的自相關(guān)函數(shù)R(0)等于信號的能量；等于信號的能量； 而功率信號的自相關(guān)函數(shù)而功率信號的自相關(guān)函數(shù)R(0),等于信號的平均功率。等于信號的平均功率。1212( )( )()Rf t f tdt /21212/21( )lim( )()TTTRf t f

10、tdtT 互相關(guān)函數(shù)反映了一個信號與另一個延遲 秒后的信號間相關(guān)的程度?；ハ嚓P(guān)函數(shù)和兩個信號的前后次序有關(guān)，即有2112( )()RR1212( )( )()Rf t f tdt 2121( )( )()Rf t f tdt令t1=t+，得21112112( )( )()()Rf tf tdtR即：2112( )()RR證明：2( )Eft dt221( )( )( )21( )( )21( )()21|( )|2jtjtEft dtf tFeddtFf t edt dFFdFd21|( )|2EFd( )fE2( ) |( )|fEF1( )2fEEd 能量信號能量信號(t) 的自相關(guān)函數(shù)和

11、能量譜密度是一對傅的自相關(guān)函數(shù)和能量譜密度是一對傅里葉變換里葉變換，即( )( )ffRE( )( ) ()Rf t f tdt ( ) () ( )()()jjjF RRededf tdtf t f tdtf ted1111*2( )( )()()( )()()()j tj tj tj tj tf tdtf t edf t eedf t edf t etF jF jFjFdtj令t1=t+，則 =t1-t ，d =d t1證明：/22/21lim( )TTTPft dtT2/22/211|( )|lim( )lim2TTTTTFPft dtdTT( )TF是 的截短函數(shù) 的頻譜函數(shù)( )f

12、t( )Tf t( )fP( )( )ffRP2|( )|( )limfTFPT1( )2fPPd功率信號功率信號 (t) 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對傅里葉變換一對傅里葉變換，即隨機過程有兩個基本屬性：隨機過程有兩個基本屬性：(t)是時間是時間t的函數(shù)；的函數(shù)；（2） 在任意時刻在任意時刻t1上，觀察到的全體樣本卻是不確定的，上，觀察到的全體樣本卻是不確定的，是一個隨機變量。是一個隨機變量。12( ) ( ),( ),( ),( )iNtn t n tn tnt12( ) ( ), ( ), ()Mtttt1E ( )( , )txf x t dxE ( )( )

13、ta t如果t2t1,并令t2=t1+，則 是t2與 t1之間的時間間隔，則相關(guān)函數(shù)12可表示為11+ 。這說明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時刻t1及時間間隔 ，即：相關(guān)函數(shù)是 t1和 的函數(shù)。10/2(1)2cos(2)|(0) 2cos(2)|(/ 2) 2cos(2)|1tEEtPP 在t=1時， 在t1=0,t2=1時， 12120,1220/2(0,1)2cos(2) 2cos(2)|2cos2cos(2)(0) 4cos|(/ 2) 4cos|2ttREttEPP 解：/2/21(1)lim( ) ( )TTTax t dtEtT/2/21(2)( )lim( ) ()( )TTTRx t

14、 x tdtRT（2-68） 其中其中: )2)(exp(21)(22xxf均值，均值， 2方差方差xf(x)1)(dxxf21)(dxxf21)(dxxf,12)2exp(21)(2xxf正態(tài)分布函數(shù)F(x)：xdzzxF)2)(exp(21)(22Q(x)稱為概率積分函數(shù)：21( )exp()22xzQ xdzdzexerfxz022)(dzexerfxerfcxz22)(1)(21( )xerfc xexx時：xxerfc222)(x時：122)(xxerf11(),222( )11(),22xaerfxaF xxaerfcxa當當有線信道狹義信道（具體媒質(zhì)的不同）無線信道調(diào)制信道廣義信

15、道（功能不同）編碼信道（1）調(diào)制信道）調(diào)制信道 模擬信道的質(zhì)量用信號在傳輸過程中發(fā)生的模擬信道的質(zhì)量用信號在傳輸過程中發(fā)生的失真失真及及輸出信噪比輸出信噪比來衡量。來衡量。 數(shù)字信道的輸入和輸出均為比特流，其特性用數(shù)字信道的輸入和輸出均為比特流，其特性用誤碼率誤碼率衡量衡量。調(diào)制信道傳輸?shù)氖悄M信號編碼信道傳輸?shù)氖菙?shù)字信號收、發(fā)轉(zhuǎn)換器：放大，頻率變換，電電磁波的轉(zhuǎn)換。 圖2.6調(diào)制信道與編碼信道（2）編碼信道）編碼信道R()0 tn20P()20n物理意義：表明該隨機過程上任何兩個隨機變量之間都是不相關(guān)的，只有當=0時例外。R()0P()20nf0-f0-1/2f01/2f0-fcfcff0f

16、Ps(f)s(t)頻率近似為fc緩慢變化的包絡a(t)ffc( )a t( ) t( )( )cos( )( )0cta ttta t（2-78） cos()sincos( )sin()( )ccttttttt cossinccsstttttttt為同相分量為正交分量 cos()sin()ccscttttt將式 （2-78）展開，得到：2. 用同相分量和正交分量表示( )( )cos( )cta ttt( )cos()cs tAt( )( )cos( )sinccscn tn ttn tt )()(21exp202222AzIAzzzf0z包絡的概率密度函數(shù)為：22( )cos( ) sin(

17、 )csz tAn tAn tsin( )( )arctancos( )scAn ttAn t式中：式中： CC信道的容量信道的容量 S S信號的平均功率信號的平均功率(W)(W)； N N加性高斯白噪聲的平均功率加性高斯白噪聲的平均功率(W)(W) ； B B信道帶寬信道帶寬(Hz)(Hz)。這就是著名的香農(nóng)信道容量公式。這就是著名的香農(nóng)信道容量公式。（2-116） 在有干擾的信道中，由于信道頻帶受限和噪聲的存在，使信道在有干擾的信道中，由于信道頻帶受限和噪聲的存在，使信道傳輸信息的最大能力受到限制。傳輸信息的最大能力受到限制。信息論中的鼻祖香農(nóng)信息論中的鼻祖香農(nóng)( (shannon)sha

18、nnon)把把信道傳輸信息的最大極限速率定義為信道容量信道傳輸信息的最大極限速率定義為信道容量，并已嚴格的證明了：并已嚴格的證明了：在信道中存在白色高斯噪聲時，信道的容量在信道中存在白色高斯噪聲時，信道的容量C C可用下式表示：可用下式表示： 2log (1)(bit / s)SCBNBB信道帶寬信道帶寬( (Hz)Hz)； S S信號功率信號功率( (W)W)；n n0 0噪聲噪聲單邊功率譜密度單邊功率譜密度( (W/Hz)W/Hz)； N = n N = n0 0B B 為噪聲功率為噪聲功率( (W)W)。 由于噪聲由于噪聲N N與信道帶寬與信道帶寬B B有關(guān)，若設(shè)有關(guān)，若設(shè)單位頻帶內(nèi)單位頻帶內(nèi)的噪聲功率的噪聲功率為為n n0 0，則噪聲功率，則噪聲功率N = nN = n0 0B B 。香農(nóng)公式的另一種形式為。香農(nóng)公式的另一種形式為（2-117）20log (1)(bit / s)SCBn B由式（由式（2-117）可見，一