柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介

1、四四. . 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介問題提出問題提出t57301p2 1. 1.平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系分別是平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系分別是怎樣建立的？怎樣建立的？平面直角坐標(biāo)系：平面直角坐標(biāo)系：由兩條互相垂直的有由兩條互相垂直的有向直線建立的；向直線建立的；平面極坐標(biāo)系：平面極坐標(biāo)系：由一點引一條射線建立由一點引一條射線建立的的. . 2. 2.空間直角坐標(biāo)系是怎樣建立的？空間直角坐標(biāo)系是怎樣建立的？由三條兩兩互相垂直的有向直線建立的由三條兩兩互相垂直的有向直線建立的. . 3. 3.通過平面直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系，通過平面直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系，使得平面上的點可以用直角坐標(biāo)

2、或極坐使得平面上的點可以用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)表示，對空間一點，可以用空間直角標(biāo)表示，對空間一點，可以用空間直角坐標(biāo)表示，但在某些實際問題中，用空坐標(biāo)表示，但在某些實際問題中，用空間直角坐標(biāo)表示空間點的位置并不方便，間直角坐標(biāo)表示空間點的位置并不方便，因此，我們還需要建立新的空間坐標(biāo)系因此，我們還需要建立新的空間坐標(biāo)系來解決這些問題來解決這些問題. .探究（一）：探究（一）：柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系 思考思考1 1：有一個圓形體育場，自正東方向有一個圓形體育場，自正東方向起，按逆時針方向等分為十二個扇形區(qū)起，按逆時針方向等分為十二個扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)十二區(qū)，十二區(qū)，那么每個

3、座位票是如何設(shè)定的？那么每個座位票是如何設(shè)定的？ 第幾區(qū)，第幾排，第幾座第幾區(qū)，第幾排，第幾座. . 思考思考2 2：設(shè)體育場第一排與體育場中心設(shè)體育場第一排與體育場中心O O的距離為的距離為300m300m，前后相鄰兩排的間距都，前后相鄰兩排的間距都為為1m1m，每層看臺的高度為，每層看臺的高度為0.6m0.6m，那么第，那么第九區(qū)第三排正中的位置九區(qū)第三排正中的位置A A與體育場中心與體育場中心O O的水平距離為多少的水平距離為多少m m？從正東方向到位置？從正東方向到位置A A的水平旋轉(zhuǎn)角是多少？位置的水平旋轉(zhuǎn)角是多少？位置A A距地面的距地面的高度為多少高度為多少m m？ 302m 3

4、02m， ，1.8m1.8m1712思考思考3 3：根據(jù)坐標(biāo)思想，可以用數(shù)組根據(jù)坐標(biāo)思想，可以用數(shù)組(302(302， ，1.8)1.8)表示點表示點A A的準確位置，那的準確位置，那么這個空間坐標(biāo)系是如何建立的？么這個空間坐標(biāo)系是如何建立的？1712x xO Oz z在水平面內(nèi)建立極坐標(biāo)系在水平面內(nèi)建立極坐標(biāo)系OxOx，過極點，過極點O O作水平面的垂作水平面的垂線線 Oz.Oz.P Px xO Oz z思考思考4 4：上述所建立的坐標(biāo)系叫做上述所建立的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)系系，對于空間一點，對于空間一點P P，點，點P P的柱坐標(biāo)如何的柱坐標(biāo)如何表示？表示？Q Qz z設(shè)點設(shè)點P P在水

5、平面上的射影為在水平面上的射影為Q Q，點，點Q Q的極坐標(biāo)的極坐標(biāo)為為 ( (，) )，點，點Q Q與點與點P P的有向距離為的有向距離為z z，則，則有序數(shù)組有序數(shù)組 ( (，z)z)為點為點P P的柱坐標(biāo)的柱坐標(biāo). .思考思考5 5：為了表示方便，柱坐標(biāo)為了表示方便，柱坐標(biāo) ( (，z)z)中三個坐標(biāo)分量的取值范圍分別中三個坐標(biāo)分量的取值范圍分別如何約定為宜？如何約定為宜？P Px xO Oz zQ Qz z00，00，2)2)， zRzR. .思考思考6 6：若按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)若按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系，那么點系和柱坐標(biāo)系，那么點P P的直角坐標(biāo)的直角坐標(biāo) (x

6、(x，y y，z) z) 和柱坐標(biāo)和柱坐標(biāo)( (，z)z)之間的互化之間的互化公式是什么？公式是什么？P Py yO OQ Qz zz zx xx xcoscos， y ysinsin， z zz.z.思考思考7 7：給定一個底面半徑為給定一個底面半徑為r r，高為，高為h h的的圓柱，建立柱坐標(biāo)系，如何利用柱坐標(biāo)圓柱，建立柱坐標(biāo)系，如何利用柱坐標(biāo)描述圓柱的側(cè)面？描述圓柱的側(cè)面？P Py yO Oz zx xQ Qr r， 00，2)2)， z0z0，h.h. 設(shè)點的直角坐標(biāo)為設(shè)點的直角坐標(biāo)為(1，1，1)，求它，求它在柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo).111cossinz 2解得解得= ，

7、= 424點點在柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為在柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 （ ， ，1）. 注：注：求求時要注意角的終邊與點的時要注意角的終邊與點的射影所在位置一致射影所在位置一致北極北極南極南極赤道赤道地軸地軸P子子午午線線o南極南極赤道赤道P地軸地軸北極北極o探究（二）：球坐標(biāo)系探究（二）：球坐標(biāo)系 思考思考1 1：地球上一點地球上一點P P的經(jīng)度和緯度分別是什的經(jīng)度和緯度分別是什么概念？對地球表面上一點的位置，一般用么概念？對地球表面上一點的位置，一般用哪種方式來確定？哪種方式來確定？經(jīng)度：經(jīng)度：過點過點P P從北極到南極的半圓面與子從北極到南極的半圓面與子午面所成的二面角的平面角；午面所成的二面角的平面

8、角；緯度：緯度：過點過點P P的球半徑與赤道平面所成的的球半徑與赤道平面所成的角角. .對地球表面上一點的位置一般用經(jīng)度和對地球表面上一點的位置一般用經(jīng)度和緯度來確定緯度來確定. . 航天器到地表面的距離，航天器所處航天器到地表面的距離，航天器所處位置的經(jīng)度和緯度位置的經(jīng)度和緯度. .思考思考2 2：要確定航天器在天空中某一時刻要確定航天器在天空中某一時刻的位置，可通過哪些數(shù)據(jù)來確定？的位置，可通過哪些數(shù)據(jù)來確定？思考思考3 3：設(shè)航天器到地表面的距離為設(shè)航天器到地表面的距離為r r，航天器所處位置的經(jīng)度為航天器所處位置的經(jīng)度為，緯度為，緯度為，如何建立空間坐標(biāo)系，才能方便得出如何建立空間坐標(biāo)

9、系，才能方便得出r r，的值？的值？Q QO Oz zx xr在赤道平面上，取在赤道平面上，取地球球心為極點，地球球心為極點，以與零子午線相交以與零子午線相交的球半徑所在射線的球半徑所在射線OxOx為一條極軸，再為一條極軸，再以經(jīng)過北極的球半以經(jīng)過北極的球半徑所在射線徑所在射線OzOz為另為另一條極軸一條極軸. .P P思考思考4 4：上述坐標(biāo)系稱為上述坐標(biāo)系稱為球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系或或空間空間極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系，因為極角是極徑與極軸所成，因為極角是極徑與極軸所成的角，那么航天器的緯度角的角，那么航天器的緯度角可換成哪可換成哪個角來反映？個角來反映？P PQ QO Oz zx xr射線射線OPOP與

10、與OzOz軸正軸正向所夾的角為向所夾的角為. .思考思考5 5：一般地，在球坐標(biāo)系中，對空一般地，在球坐標(biāo)系中，對空間任意一點間任意一點P P，設(shè)，設(shè)|OP|OP|r r，射線，射線OPOP與與OzOz軸正向所夾的角為軸正向所夾的角為，OxOx軸按逆時針方軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到向旋轉(zhuǎn)到OPOP在水平面上的射影在水平面上的射影OQOQ所轉(zhuǎn)過所轉(zhuǎn)過的最小正角為的最小正角為，則點，則點P P的位置可以用的位置可以用有序數(shù)組有序數(shù)組(r(r，)表示，該有序數(shù)表示，該有序數(shù)組叫做點組叫做點P P的的球坐標(biāo)球坐標(biāo)，其中三個坐標(biāo)分，其中三個坐標(biāo)分量的取值范圍分別是什么？量的取值范圍分別是什么？ r0 r0，

11、00， 00，2).2).P PQ QO Oz zx xr(r(r，)思考思考6 6：若按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)若按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，那么點系和球坐標(biāo)系，那么點P P的直角坐標(biāo)的直角坐標(biāo) (x(x，y y，z) z) 和球坐標(biāo)和球坐標(biāo)(r(r，)之間的互化之間的互化公式是什么？公式是什么？P PQ QO Oz zx xry yx xrsincosrsincos， y yrsinsinrsinsin， z zrcosrcos. .思考思考7 7：利用空間直角坐標(biāo)系，柱坐標(biāo)系利用空間直角坐標(biāo)系，柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系，研究空間圖形的幾何特征或球坐標(biāo)系，研究空間圖形的幾何特征時，應(yīng)如何根據(jù)問題的特點選擇坐標(biāo)系？時，應(yīng)如何根據(jù)問題的特點選擇坐標(biāo)系？涉及三個距離用空間直角坐標(biāo)系；涉及三個距離用空間直角坐標(biāo)系；涉及兩個距離和一個角用柱坐標(biāo)系；涉及兩個距離和一個角用柱坐標(biāo)系；涉及一個距離和兩個角用球坐標(biāo)系涉及一個距離和兩個角用球坐標(biāo)系. . 設(shè)點的球坐標(biāo)為設(shè)點的球坐標(biāo)為(2， ， )，求，求它的直角坐標(biāo)它的直角坐標(biāo).343433222212244332222122443222224 xsincos-ysinsinzcos(- （）2點點在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為