有限元第五章 有限元動力學(xué)基本原理

1、第五章第五章 有限元動力學(xué)分析基本原有限元動力學(xué)分析基本原理理 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 1.1.單元一致質(zhì)量矩陣單元一致質(zhì)量矩陣 2.2.單元集中質(zhì)量矩陣單元集中質(zhì)量矩陣 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣二、單元阻尼矩陣二、單元阻尼矩陣 1.1.速度阻尼矩陣速度阻尼矩陣 2.2.應(yīng)變阻尼矩陣應(yīng)變阻尼矩陣三、機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型 1.1.無阻尼自由振動方程無阻尼自由振動方程 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 3.3.其他方法其他方法 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)計算 1.1.振型疊加法振型疊加法 2.2.直

2、接積分法直接積分法 在前面的介紹中，我們均假設(shè)作用在彈性體（或結(jié)在前面的介紹中，我們均假設(shè)作用在彈性體（或結(jié)構(gòu)）上的載荷與時間無關(guān)，與此相應(yīng)的，位移、應(yīng)力構(gòu)）上的載荷與時間無關(guān)，與此相應(yīng)的，位移、應(yīng)力及應(yīng)變等也都和時間無關(guān)，即前面介紹的全部內(nèi)容皆及應(yīng)變等也都和時間無關(guān)，即前面介紹的全部內(nèi)容皆稱結(jié)構(gòu)靜力學(xué)有限元方法。但工程實(shí)際中還存在著另稱結(jié)構(gòu)靜力學(xué)有限元方法。但工程實(shí)際中還存在著另外一類載荷與時間有關(guān)的動載荷作用于結(jié)構(gòu)或彈性體，外一類載荷與時間有關(guān)的動載荷作用于結(jié)構(gòu)或彈性體，此時，相應(yīng)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等都與時間有關(guān)，而此時，相應(yīng)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等都與時間有關(guān)，而且必須考慮慣性力和加速度等因

3、素，這類分析或問題，且必須考慮慣性力和加速度等因素，這類分析或問題，成為動力學(xué)分析。成為動力學(xué)分析。 對于質(zhì)點(diǎn)對于質(zhì)點(diǎn)彈簧系統(tǒng)的振動，大家比較熟悉，例如彈簧系統(tǒng)的振動，大家比較熟悉，例如一個自由度為一個自由度為n n的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)彈簧振系，其動平衡方程為彈簧振系，其動平衡方程為 PKCM&第五章第五章 有限元動力學(xué)分析基本原有限元動力學(xué)分析基本原理理 上式中每一項(xiàng)的含義不同上式中每一項(xiàng)的含義不同 為彈性力K 為阻尼力C?&M對于單元體而言，可以得到類似的上述方程對于單元體而言，可以得到類似的上述方程 eeeeeeepkcm&第五章第五章 有限元動力學(xué)分析基本原有限元動力學(xué)分析基本原理理 單元質(zhì)量

4、矩陣根據(jù)其形成過程分為一致質(zhì)量陣和單元質(zhì)量矩陣根據(jù)其形成過程分為一致質(zhì)量陣和集中質(zhì)量陣，各有自身的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。集中質(zhì)量陣，各有自身的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。1.1.一致質(zhì)量矩陣一致質(zhì)量矩陣一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 在離散后的結(jié)構(gòu)中，取出一個單元，根據(jù)達(dá)朗貝在離散后的結(jié)構(gòu)中，取出一個單元，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，單位體積上作用的慣性力為：爾原理，單位體積上作用的慣性力為： 慣性力是分布力，按分布力向節(jié)點(diǎn)等效的原則和慣性力是分布力，按分布力向節(jié)點(diǎn)等效的原則和實(shí)施過程，有：實(shí)施過程，有： eetNNttq222222一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 1.1.一致質(zhì)量矩陣一致質(zhì)量矩陣于是

5、，令于是，令 eVTVeTTVeqdVNNdVtNNdVqNR 22 VTedVNNm一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 1.1.一致質(zhì)量矩陣一致質(zhì)量矩陣 的計算式是通式，并因?yàn)橛嬎阗|(zhì)量矩陣和剛度矩的計算式是通式，并因?yàn)橛嬎阗|(zhì)量矩陣和剛度矩陣使用的形狀函數(shù)一致，因此被稱為一致質(zhì)量陣。陣使用的形狀函數(shù)一致，因此被稱為一致質(zhì)量陣。em2.2.集中質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣 在工程實(shí)際中，為了求解方便，有人把單元質(zhì)量在工程實(shí)際中，為了求解方便，有人把單元質(zhì)量平均分到單元的各個節(jié)點(diǎn)上，如平面三角形單元的平均分到單元的各個節(jié)點(diǎn)上，如平面三角形單元的質(zhì)量可分配為：質(zhì)量可分配為：VkjidVmmm3一、

6、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 2.2.集中質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣為：單元質(zhì)量矩陣為：kkjjiiemmmmmmdiagm3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣一次桿單元一次桿單元 21126222121212121ldxAdxAdxNNAmllTle一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣二次桿單元二次桿單元 1688841814304224222122212121222121AldxAdxNNAmTlTle一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量

7、矩陣三次梁單元三次梁單元2222422313221561354313422135422156420llllllllllllAlme一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣三角形三角形平面問題單元平面問題單元20210201021010201010212稱對tme一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣矩形平面問題單元矩形平面問題單元4042040204102040102042010204020102049稱對abtme二、單元阻尼矩陣的計算二、單元阻尼矩陣的計算 阻尼矩陣非常復(fù)雜

8、，主要是阻尼本身的復(fù)雜性引阻尼矩陣非常復(fù)雜，主要是阻尼本身的復(fù)雜性引起的，一般均為假設(shè)，如阻尼力正比于單元的運(yùn)動起的，一般均為假設(shè)，如阻尼力正比于單元的運(yùn)動速度，此時得到的阻尼矩陣正比于單元質(zhì)量矩陣；速度，此時得到的阻尼矩陣正比于單元質(zhì)量矩陣；也可以假設(shè)阻尼力正比于單元的應(yīng)變速度，此時得也可以假設(shè)阻尼力正比于單元的應(yīng)變速度，此時得到的阻尼矩陣則正比于單元剛度矩陣，還有一些其到的阻尼矩陣則正比于單元剛度矩陣，還有一些其他類型的假設(shè)，如上述兩者的組合，分別有：他類型的假設(shè)，如上述兩者的組合，分別有： eeeeeeekmckcmc二、單元阻尼矩陣的計算二、單元阻尼矩陣的計算 對于組合阻尼，如已知結(jié)構(gòu)

9、的阻尼比及結(jié)構(gòu)的固對于組合阻尼，如已知結(jié)構(gòu)的阻尼比及結(jié)構(gòu)的固有頻率，其計算方法有：有頻率，其計算方法有：2222)(2)(2ijiijjjiijijji如果如果jijiji22ji則則1.1.結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的運(yùn)動方程結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的運(yùn)動方程三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動固有頻率和振型問題，在有限元方機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動固有頻率和振型問題，在有限元方法求解釋，對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題既是矩陣的特征值和特法求解釋，對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題既是矩陣的特征值和特征向量問題。關(guān)于矩陣的特征值及特征向量問題，征向量問題。關(guān)于矩陣的特征值及特征向量問題，是矩陣?yán)碚撝斜容^熱門的研究領(lǐng)域，下

10、面我們僅簡是矩陣?yán)碚撝斜容^熱門的研究領(lǐng)域，下面我們僅簡單地羅列以下常見方法的名稱，具體的方法求解步單地羅列以下常見方法的名稱，具體的方法求解步驟，可以參考有關(guān)書籍，有大量的軟件保重均包含驟，可以參考有關(guān)書籍，有大量的軟件保重均包含求解特征值和特征向量的軟件程序。求解特征值和特征向量的軟件程序。 結(jié)構(gòu)在無外力作用時，得到的是自由振動，此時結(jié)構(gòu)在無外力作用時，得到的是自由振動，此時阻尼影響不大，結(jié)構(gòu)的自由振動可簡化為：阻尼影響不大，結(jié)構(gòu)的自由振動可簡化為： 0KM 1.1.結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的運(yùn)動方程結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的運(yùn)動方程三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧運(yùn)動設(shè)

11、結(jié)構(gòu)作簡諧運(yùn)動 tsin0代入無阻尼振動方程，可得代入無阻尼振動方程，可得 002MK上式解存在的條件為上式解存在的條件為 02MK這是計算方法中最典型的特征值問題。這是計算方法中最典型的特征值問題。2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 這種方法用于求解基頻或最高階頻是很有效的，并這種方法用于求解基頻或最高階頻是很有效的，并且能得到相應(yīng)的特征向量。且能得到相應(yīng)的特征向量。 020MK將無阻尼自由振動方程改寫將無阻尼自由振動方程改寫為為三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 0201KM即有即有 020S迭代步驟迭代步驟 )0(令令 )1 (2)1 ()0(S代入代入2.2.矩陣迭代法矩陣

12、迭代法 ）（和12)1 (求得求得 )2(2)2(1）（S再代入再代入 )1(2)1(iiiS）（以此類推以此類推 )1(kk）（收斂條件收斂條件2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 330352023300020001KM例題：已知一振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭例題：已知一振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭代法計算其最高階固有頻率和振型。代法計算其最高階固有頻率和振型。3/10002/100011M解：解：2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 1105 . 15 . 210231SMS 在開始迭代時，需

13、選取初始迭代向量，可以按經(jīng)驗(yàn)在開始迭代時，需選取初始迭代向量，可以按經(jīng)驗(yàn)估計，也可以用靜力學(xué)特性的位移值，選得合適可估計，也可以用靜力學(xué)特性的位移值，選得合適可以減少迭代時間。先假設(shè)：以減少迭代時間。先假設(shè)： T111)0(于是有于是有 0011111105 . 15 . 21023)0(S2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 T0011)1(2)1(推得推得 031130011105 . 15 . 21023)1(S繼續(xù)迭代繼續(xù)迭代 T03/113)2(2)2(推得推得 1 . 05 . 016 . 303/111105 . 15 . 21023)

14、2(S繼續(xù)迭代繼續(xù)迭代2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 如此繼續(xù)迭代，經(jīng)過如此繼續(xù)迭代，經(jīng)過1010次迭代，可得次迭代，可得 20467. 069300. 01386. 42047. 0693. 011105 . 15 . 21023)10(S 2047. 06930. 0120467. 069300. 01)10()11(推得推得 T205. 0693. 01386. 4)11(2)11(2于是于是2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 得到的固有頻率是最高階頻率，因?yàn)檎裥偷淖兓牵旱玫降墓逃蓄l率是最高

15、階頻率，因?yàn)檎裥偷淖兓牵?05. 0693. 01符號變化兩次，振系是符號變化兩次，振系是3 3自由度，因此，得到的是第自由度，因此，得到的是第3 3階頻率和振型。階頻率和振型。 在工程實(shí)際中，人們一般關(guān)心的主要是結(jié)構(gòu)的低階在工程實(shí)際中，人們一般關(guān)心的主要是結(jié)構(gòu)的低階頻率。因此，在進(jìn)行迭代過程中作適當(dāng)?shù)淖儞Q，使矩頻率。因此，在進(jìn)行迭代過程中作適當(dāng)?shù)淖儞Q，使矩陣不按陣不按 為特征值進(jìn)行迭代，而是按為特征值進(jìn)行迭代，而是按 為特征為特征值進(jìn)行迭代，從而得到值進(jìn)行迭代，從而得到 的最大值，也是的最大值，也是 的的最小值。最小值。22/12/12 KMMK01 MK1兩邊同左乘兩邊同左乘 ，得到，得

16、到2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型 在計算過程中，引入?yún)?shù)在計算過程中，引入?yún)?shù)21 將其代入無阻尼自由振動運(yùn)動方程，則有將其代入無阻尼自由振動運(yùn)動方程，則有 1K T MKT1令三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法依次類推依次類推 采用前述的迭代步驟，用采用前述的迭代步驟，用 代替代替 ，即可得到，即可得到 值值 T S ) 1 () 1 ()0(T ) 1(1)(iiiT）（直到直到 ）（1)(-kk停止迭代停止迭代）（ 121i得到得到 ) 1( i此時為低階特性此時為低階特性三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率

17、與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 330352023300020001KM例題：已知一振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭例題：已知一振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭代法計算其最高階固有頻率和振型。代法計算其最高階固有頻率和振型。 6/115 . 115 . 15 . 111111K解：解：三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 5 . 5315 . 4313211MKT于是于是 6 . 14 . 1161115 . 5315 . 431321)0(T仍選仍選 T111)0(三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型2

18、.2.矩陣迭代法矩陣迭代法6287. 14433. 11773. 8629. 1443. 11768. 8628. 1442. 116 . 8繼續(xù)迭代繼續(xù)迭代從而得到從而得到 T629. 1443. 11114. 01)4(42）（三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型3.3.用濾波法計算最低用濾波法計算最低n n階特征對階特征對 工程中關(guān)心的不僅是最低階特征對，而是最低階的工程中關(guān)心的不僅是最低階特征對，而是最低階的n n階特征對，這是僅用迭代法不行，可用濾波法。階特征對，這是僅用迭代法不行，可用濾波法。4.4.行列式搜索法行列式搜索法 這一方法利用特征值分離定理，通過對稱矩陣

19、的三這一方法利用特征值分離定理，通過對稱矩陣的三角分解計算矩陣的行列式值，用加速割線法求出靠角分解計算矩陣的行列式值，用加速割線法求出靠近下一個未知特征值的移動，然后用移位逆迭代求近下一個未知特征值的移動，然后用移位逆迭代求特征向量。特征向量。三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型5.5.廣義雅克比法廣義雅克比法 廣義雅克比法通過廣義雅克比旋轉(zhuǎn)矩陣把剛度廣義雅克比法通過廣義雅克比旋轉(zhuǎn)矩陣把剛度矩陣和質(zhì)量矩陣同時變換成對角矩陣，然后求得矩陣和質(zhì)量矩陣同時變換成對角矩陣，然后求得特征值和特征向量，當(dāng)矩陣階數(shù)不高時，求解速特征值和特征向量，當(dāng)矩陣階數(shù)不高時，求解速度較快。度較快。6.6

20、.子空間迭代法法子空間迭代法法 子空間迭代法是瑞利子空間迭代法是瑞利- -李茲法和同時逆迭代法結(jié)李茲法和同時逆迭代法結(jié)合的產(chǎn)物，用于僅求解工程問題的低階固有特征合的產(chǎn)物，用于僅求解工程問題的低階固有特征對，求解速度非常快。對，求解速度非?？?。三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振型7.7.蘭索斯法蘭索斯法 蘭索斯法也是迭代法的一種，這是目前求解低蘭索斯法也是迭代法的一種，這是目前求解低階特征值和特征向量速度最快的一種，有興趣的階特征值和特征向量速度最快的一種，有興趣的同學(xué)可以參閱同學(xué)可以參閱振動與沖擊振動與沖擊雜志雜志19871987年第年第3 3期期上吳立系老師的文章上吳立系老師

21、的文章“求解大型稀疏對稱矩陣廣求解大型稀疏對稱矩陣廣義特征值問題的義特征值問題的LanczosLanczos方法及通用程序方法及通用程序”。8.8.奇異剛度矩陣的處理奇異剛度矩陣的處理 采用移軸技術(shù)，在彈性位能中加入部分給定的采用移軸技術(shù)，在彈性位能中加入部分給定的動能，以便使剛度矩陣成為正定矩陣，關(guān)鍵在移動能，以便使剛度矩陣成為正定矩陣，關(guān)鍵在移軸系數(shù)的確定。軸系數(shù)的確定。四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算 機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)計算是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的另一個主機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)計算是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的另一個主要問題，最常用的方法有振型疊加法和直接積分法。要問題，最常用的方法有振型疊加法和

22、直接積分法。1.1.振型疊加法振型疊加法 設(shè)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程為設(shè)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程為 )(tPKCM 并設(shè)已求得其無阻尼自由振動的頻率和振型，記并設(shè)已求得其無阻尼自由振動的頻率和振型，記 為第為第i i階固有振型，則有振型的線性疊加來表示運(yùn)動階固有振型，則有振型的線性疊加來表示運(yùn)動狀態(tài)的結(jié)構(gòu)位移為狀態(tài)的結(jié)構(gòu)位移為 i0 )()()(0220110tztztznn四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算1.1.振型疊加法振型疊加法令令 n020100 )()()(21tztztzzn則則 z0 z 0z&0 )(000tPzKzCzM )(0000000tPzKzCzMTTTT IMT00

23、 2222100nTdiagK nnTdiagC222221100四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算1.1.振型疊加法振型疊加法于是，振動方程解耦為于是，振動方程解耦為 )(2)(2)(202202222222101211111tpzzztpzzztpzzzTnnnnnnnTT&M&)()()(21tztztzn，依次用求解常微分方程的方法可以得到解：依次用求解常微分方程的方法可以得到解：再代回再代回 z0可以得到問題的解。可以得到問題的解。四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算1.1.振型疊加法振型疊加法 通常情況下，高階振型對動力響應(yīng)影響較小，因通常情況下，

24、高階振型對動力響應(yīng)影響較小，因此，只取最低的此，只取最低的3 35 5階（階（1010）階振型就可以得到）階振型就可以得到滿意精度的動力響應(yīng)。滿意精度的動力響應(yīng)。2.2.直接積分法直接積分法對于動力學(xué)方程對于動力學(xué)方程 )(tPKCM 假設(shè)已知其初始條件假設(shè)已知其初始條件 000 如果將求解時間如果將求解時間T T等分成等分成n nT T個時間區(qū)間個時間區(qū)間 ，并能，并能通過前若干個時刻的解來確定下一時刻的解，就可通過前若干個時刻的解來確定下一時刻的解，就可獲得問題的解，直接積分法可以解決這一問題。獲得問題的解，直接積分法可以解決這一問題。t四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算

25、2.2.直接積分法直接積分法 直接積分中對動力學(xué)方程是逐步地進(jìn)行數(shù)值積分的，直接積分中對動力學(xué)方程是逐步地進(jìn)行數(shù)值積分的，“直接直接”的意思是指：進(jìn)行數(shù)值積分前沒有進(jìn)行把方的意思是指：進(jìn)行數(shù)值積分前沒有進(jìn)行把方程變?yōu)榱硪环N形式的變換。程變?yōu)榱硪环N形式的變換。 直接積分有兩個假設(shè)，一個是動力學(xué)方程的解只在直接積分有兩個假設(shè)，一個是動力學(xué)方程的解只在相隔相隔 的一些離散時間區(qū)間上滿足方程，而不要求的一些離散時間區(qū)間上滿足方程，而不要求在任意時刻都滿足方程；另一個是假設(shè)位移速度和加在任意時刻都滿足方程；另一個是假設(shè)位移速度和加速度在每一個時間區(qū)間速度在每一個時間區(qū)間 內(nèi)按一定的規(guī)律變化。內(nèi)按一定的規(guī)

26、律變化。tt 直接積分法有中心差分法、直接積分法有中心差分法、HouboltHoubolt法、法、Wilson- Wilson- 法、法、NewmarkNewmark和龍格和龍格- -庫塔法。庫塔法。四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法對于加速度對于加速度 ttttttt212 上式的誤差為上式的誤差為 高階小量高階小量 2t對于速度對于速度 tttttt21方程在方程在t t時刻為時刻為 ttttPKCM 將速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到將速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動

27、力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法 ttttttCtMtMtKPCtMt)211()2()211(222中心差分法中心差分法顯然，求解顯然，求解 ，需要，需要2 2個初始條件個初始條件 和和 tt tt t我們有初始條件我們有初始條件 ，根據(jù)，根據(jù) 000 、 tttttt-00202121 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法可以解得可以解得 02002 ttt注意，有注意，有 02002 ttt于是，可以求得方程的解。歸納起來后，中心差分于是，可以求得方程的解。歸納起來后，中心差分法的計算步驟為法的計算步驟為2 2大步，

28、大步，9 9小步。小步。四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法第一步：初始計算第一步：初始計算230212012211aaaatata1.1.形成形成 CKM、2.2.計算初始值計算初始值 000 、3.3.選取時間步長選取時間步長 , ,并計算積分常數(shù)并計算積分常數(shù) crttt ,4.4.計算計算 0300- att5.5.形成有效質(zhì)量陣形成有效質(zhì)量陣: : CaMaM106.6.做三角分解做三角分解: : TLDLM 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法第二步：對每

29、一時間步長第二步：對每一時間步長 tttttCaMaMaKPP)()(1027.7.計算在時刻計算在時刻t t的有效載荷的有效載荷8.8.求解在時刻求解在時刻 的位移的位移 tt tttTPLDL9.9.如果需要，計算時刻如果需要，計算時刻 的速度和加速度的速度和加速度 tt )()2(10tttttttttttaa 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法說明：說明：1. 1. 的取值的取值t 是結(jié)構(gòu)最高頻率對應(yīng)的周期，是最小周期。是結(jié)構(gòu)最高頻率對應(yīng)的周期，是最小周期。crtncrTtt2.2.求解方程是顯式差分，對于對角線質(zhì)量陣和

30、無求解方程是顯式差分，對于對角線質(zhì)量陣和無阻尼振動求解很方便，可以直接求解，不需進(jìn)行阻尼振動求解很方便，可以直接求解，不需進(jìn)行三角分解。三角分解。四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法例題：一個二自由度振動系統(tǒng)，其動力方程為：例題：一個二自由度振動系統(tǒng)，其動力方程為：100422610022121&已知該系統(tǒng)的自由振動周期為已知該系統(tǒng)的自由振動周期為 ，試用中心差分，試用中心差分法求解步長為法求解步長為 和和 時，方程的解。時，方程的解。8 . 22T102Tt 210Tt 解：取解：取1212個步長的系統(tǒng)響應(yīng)，假設(shè)個步長的系統(tǒng)響應(yīng)

31、，假設(shè) 0,000100004226100221 計算計算 0 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法考慮考慮 ，有，有 0392. 01,5 .25279. 128. 021,8 .12)28. 0(12302120aaaaaa 1000 28. 0t因而有因而有 392. 001000392. 00028. 000t四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 8 .12005 .25000079. 110028 .12M ttttP8 .12005 .255 .212245100對每個時刻步長求解方程對每個時刻步長求解方程 tttP8 .12005 .25時間時間t2t3t4t5t6t7t8t9t10t11t12t100.030.170.491.021.702.402.913.072.772.041.0220.391.452.834.145.025.264.904.173.372.782.542.60四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)