向量在幾何證題中的運(yùn)用.

1、向量在幾何證題中的運(yùn)用學(xué)生姓名 阿卜杜合力力阿不力孜 學(xué) 號(hào)： 20080101002 系 部：數(shù)學(xué)系 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)：2008-1 班 指導(dǎo)教師：完成日期：2013 年 月 日摘要向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一。在數(shù)學(xué)中我們通常用點(diǎn)表示位置，用射線表示方向，幾何問題的向量證法是一種新穎的具有很多優(yōu)點(diǎn)的證題方法，它不但能使問題簡(jiǎn)化而且還能在證題過程中使各類知識(shí)融合貫通。在本文中主要介紹幾種用向量法來證明幾何問題的方法。并說明這種方法在解題中的應(yīng)用和重要性。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：向量；向量的線性運(yùn)算；共線向量；數(shù)量積；向量積目錄摘摘要要 .1引引言言 .11.1.向量的線性運(yùn)算在證題中的運(yùn)用

2、向量的線性運(yùn)算在證題中的運(yùn)用 .12.2.共線點(diǎn)問題共線點(diǎn)問題 .23.3.共點(diǎn)線問題共點(diǎn)線問題 .34.4.共面問題共面問題 .55.5.向量的數(shù)量積在證題中的運(yùn)用向量的數(shù)量積在證題中的運(yùn)用 .76.6.向量的向量積在證題中的運(yùn)用向量的向量積在證題中的運(yùn)用 .97.7.三向量的混合積在證題中的運(yùn)用三向量的混合積在證題中的運(yùn)用 .11參參考考文文獻(xiàn)獻(xiàn) .13致謝致謝 .14引言向量在數(shù)學(xué)和物理中的應(yīng)用很廣泛的一個(gè)概念。利用向量解決一些相關(guān)數(shù)學(xué)問題將大大減少解決步驟，大多數(shù)問題用向量來解決往往解法簡(jiǎn)單明快，尤其是用向量法解決三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線等問題比較方便?？傊?，許多幾何證明題用向量法來解間單明

3、快。1.1.向量的線性運(yùn)算在證題題中的應(yīng)用向量的線性運(yùn)算在證題題中的應(yīng)用向量的加法，減法，數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。與向量有關(guān)的任何問題都有向量的線性運(yùn)算。用向量的線性運(yùn)算解決問題時(shí)，必須注意向量的方向。例 1證明連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行于第三邊 ，且等于第三邊的一半。 證明：如圖所示設(shè)三角形 ABC 兩邊AB,AC 之重點(diǎn)分別為 M,N則1111()2222MNANAMACABACABBC 故 且/ /MNBC12MNBC例 2.證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 證明：設(shè)平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線AC 與 BD 相交于 M 且互相平分（如圖所示）可以看出：ABAMMBMB

4、AMDMDMMCDC 因此 , / /ABDC ABDC 即四邊形 ABCD 是平行四邊形2.共點(diǎn)線問題共點(diǎn)線問題 共點(diǎn)線是指：兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同直線都相交于同一點(diǎn)，那么稱這些直線為共點(diǎn)線。 解決此類問題往往用下列兩種方法來，欲證三直線共點(diǎn)，可通過下列方法來證明：123,L L L(1).在三線上取三點(diǎn)，去證這三點(diǎn)關(guān)于某定點(diǎn)由相同的定位向量。(2).如令交于，去證點(diǎn)關(guān)于某定點(diǎn)由相同的定位12,L Lp1, ()p p pL向量。例 3：平行六面體的四條對(duì)角線及四對(duì)對(duì)棱中點(diǎn)線共八條，證它們必共點(diǎn)。證：如圖（3-1） ，設(shè)平行六面體的一組對(duì)菱的OADBCGEF,DB GC中點(diǎn)為且連線中點(diǎn)為，其他

5、三組對(duì)棱中點(diǎn)連線的中點(diǎn)為,M N,M N1p234,ppp再設(shè) 則,OAa OBb OCc 11()2OPOMON 1 11()()2 22ODOBOGOC 1 11()2 22abac1()2abc同理1(),(1,2,3)2iopabci 這說明四點(diǎn)重合，最后設(shè)的中點(diǎn)依次為1234,p ppp,AF GB CD OE 則5678,pppp5111()()()222OPOAOFOAOBOCabc 同理 1(),(6,7,8)2iOPabci這說明八點(diǎn)重合，于是命題得證。12345678,p ppppppp3.共線點(diǎn)問題共線點(diǎn)問題共線點(diǎn)問題是指：三個(gè)或三個(gè)以上的不同點(diǎn)都在同一條直線上，那么稱這

6、些點(diǎn)為共線。解決此類問題往往用兩個(gè)向量 與共點(diǎn)的充要條件為a(0)b b 或兩個(gè)向量 共線的充要條件是ab1122,ax ybxy或兩個(gè)向量與共線的充要條件12210 x yx y111,ax y z222,bxyz是來解決。111222:xyzxyz例 4：過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線上的兩點(diǎn)。22(0)ypx p,A B點(diǎn)是在拋物線上的準(zhǔn)線上，且。證明直線過原點(diǎn)。C/ /OxBCAC證明：要證明直線過原點(diǎn)與共線，設(shè)ACAOAC從條件知道221212(,), (,)22yyAyBypp2(,),(,0)22PpCyF2221111,0,222PypyAFyypp 222221212121,22

7、2yyyyAByyyyppp 因?yàn)槿c(diǎn)共線,A F B所以/ /AFBC 2222121211()()22pyyyyyypp 化簡(jiǎn)得或21yy212.y yp 221pyy 222221112110,22ypypyACyyppy 。2211110,0,22yyAOyypp 。2222222222111111111()()() ()().()02222pyypyy pyypyyppypp 在一條直線上。/ /,AOACA O C所以直線是過原點(diǎn)。AC 例 5：試證，三點(diǎn) A,B,C 共線點(diǎn)的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)使得且,其中 O 是任意取定的, , 0ABOBOC 0一點(diǎn)。 證明：必要性，

8、若 A,B,C 共線則與共線，所以存在不全為AB AC零的實(shí)數(shù) K,L 使得任取一點(diǎn) O，由上式得0K ABLAC 0K OBOAL OCOA 即令,則0KL OAKOBLOC KL ,1K且0ABOBOC 0 充分性，若對(duì)某一點(diǎn) O，有不全為零的實(shí)數(shù)使得, , 且則于是0ABOBOC 0 即因此0OAOBOC 0OBOAOCOA ,0ABAC 由于和 不能全為零，從而與共線，所以三點(diǎn) A,B,C 是共AB AC線4.4.共面問題共面問題如果一組向量都與一平面平行則稱它們是共面的。這組向量就叫做共面向量。解決此類問題往往用向量的共面條件，如果兩向量不共線則向量與向量共面的充要條件是，存在不全為

9、零的, a b p , a b 實(shí)數(shù)小使或三個(gè)向量, x ypxayb 共面的充要條件是：它們的坐111222333,ax y zbxyzcxy z標(biāo)為行（列）三價(jià)行列式的值為 .即01112223330 xyzxyzxyz推論：四個(gè)點(diǎn)共面的充要條件是,1,2,3,4iiiiA X Y Zi 11122233344411011xyzxyzxyzxyz例 6：對(duì)于任何空間四邊形，試證它的一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線段與另一對(duì)對(duì)邊平行于同一個(gè)平面。證明：如圖（4-1）利用多邊形加法則可得EFEAADDF 1EFEBBCCF 又分別是的中點(diǎn),E F,AB CD故有 （2）EAEB DFCF 將（2）代入（1）

10、中兩式相加得2EFADBC 即與共面。1122EFADBC EF ,AD BC 與平行于一個(gè)平面。EF,AD BC例 7：平面栽空間四邊形的各邊與點(diǎn)OABC,OA AB BC CO如圖（4-2）證明。,E F G H1OEAFBG CHEAFB GC HO證明：設(shè)建立仿射坐標(biāo)系則令123,OAe OBe OCe 123; ,o e e e 再令1231,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1eee 則,OEAFBGCHEAFBGCHO111,0,0 ,0 ,0,0,0,11111OEOFOHOGHG 由于四點(diǎn)共面，所以,E F G H00110100110011將第列乘以加到第四列得1,2,31化

11、簡(jiǎn)得001100001000110 即 。1OEAFBG CHEAFB GC HO5.5.向量的數(shù)量積在證題中的應(yīng)用向量的數(shù)量積在證題中的應(yīng)用向量的數(shù)量積是:兩個(gè)向量的模和它們夾角的余弦之積叫做, a b 向量 和 的數(shù)量積，記作即 。aba b cos,a baba b 用數(shù)量積可以解決兩個(gè)線段相等，兩角相等。兩條直線垂直等問題。要證明兩個(gè)線段相等，先把兩個(gè)線段改為兩個(gè)向，然后去證明這兩個(gè)向量數(shù)量平方相等。用數(shù)量積證明兩角相等，多采用計(jì)算角度的方法去解。用數(shù)量積證明垂直問題的一般步聚為：欲證量線段（或直線）垂直，可將此兩線段改為兩個(gè)向量，然后證這兩個(gè)向量的數(shù)量積為零，積或0a bab 那么或

12、1122,ax ybx y12120abx xy y那么 。111222,ax y zbxyz1212120abx xy yz z欲證直線與平面垂直，可在直線上配置一個(gè)非零向量 ，在平a面上配置不共線向量 和 ，去證和即可達(dá)到目的，或bc0a b 0a c 平面的法向量平行于向量 。a例 8：如圖（5-1）在正方體中分別是的1111ABCDABC D,E F1,BB CD中點(diǎn)。證明：面面 AED 11AFD。證明：建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz設(shè)正方體的菱長(zhǎng)為 ，則110,0,1 ,1,0,1 ,AA1111,1,0,0 ,0,0,122EFD1,1,1,0 ,1,1,1BB如 111,0,0 ,

13、1,0,0DAD A 又設(shè)平面的法向量分別為1111,1,0, 122DED F 11,AED AFD則12,n n 1111,0,01,1,0,122nDADE xyZ圖 5-1A1ABCC1D1DB1EF2111111,0,00, 10,1,.22nD AD F ， 1211.011022n n ，即面面 。12nn AED 11AFD例 9：求證 。coscoscossinsin證明：建立直角坐標(biāo)系。以 為中心作單位圓，在的半圓oxy00y 上任取兩點(diǎn) 。,A B設(shè)并假設(shè),OAa OBb ( , )( , )22ia j 則并設(shè)( , )i b 于是 cos ,sinacos,sinb.

14、coscossinsinab 另外.cos( , )aba ba b cos( , )cos()a b 故。cos()coscossinsin例 10。證明三角形的三條高交于一點(diǎn)。證明：如圖所示 H 是三角形 ABC 的高 AD與 BE 的交點(diǎn)只需證 CH 垂直于 AB 證法一：因即故0HB BC 0HCCABC HC BCAC BC 同理由得因此0AB AC HC ACBC AC 于是這就證0HC ABHC ACHC CBBC ACAC BC HCAB 明了三角形的三條高交于一點(diǎn)。證法二：令則因,HAa HBb HCc ,ABba BCcb CAac 故同理由得從而HABC 0,acba c

15、a b HBCA a bb c ，所以a cb c 0cbaHCAB 6.6.向量的向量積在證題中的應(yīng)用向量的向量積在證題中的應(yīng)用任意兩個(gè)向量的向量積是由下列條件決定的向量，記為, a b 或 。ab, a b它的長(zhǎng)度為：sin( , ).aba ba b 它的方向?yàn)椋海?）與都垂直；（2）三個(gè)向量按此, a b , ,a b ab 順序構(gòu)成右手系。向量積常用來處理幾何中和面積有關(guān)的問題。例如：求三角形和四邊形的面積，證明面積比或等比，求點(diǎn)到直線的距離等。用向量積時(shí)必須注意。abba例 11：試證三角形面積的海倫公式：試中2()()()p papbpc 1()2pabc 是三角形的三邊長(zhǎng)，為面

16、積。, ,a b c證明: 12ab 設(shè) ,aa bb cc221()2ab 2221sin( , )4aba b 22211cos( , )4a ba b 2222221142abca bab2222222222211(2)()(2) 21616ababcababcababc2222111616abccababcabccbacab11112222222abcabccabcaabcbp papbpc2p papbpc 例 12。用向量積證明三角形的正弦定理sinsinsinabcABC 證：記, ,于是，因此有ABc ACbBCa cabbcab，又, sin,sin,sin,b cb ca

17、ca ca ba b ,b cA ,，所以 ,a cB ,a bC aabbcc即.sinsinsinbcAacBabCsinsinsinabcABC 7.三向量的混合積在證題中的應(yīng)用任意三個(gè)向量的混合積是一個(gè)數(shù)量，它等于與先作向量積，, ,a b c abab然后再與向量作數(shù)量積的結(jié)果，記作或。c.ab c , ,a b c 三個(gè)不共面向量的混合積的絕對(duì)值于以.為菱的平行六面體的, ,a b c , ,a b c 體積。所以三向量的混合積多用于證明有關(guān)體積的問題。利用三向量的混合積還可以解決共面問題。例 13: 設(shè)兩直線是異面直線。直線依次與交于和12,L L12,m m12,L L,A B四點(diǎn)，試證直線是異面直線 。,C D,AB CD證明：設(shè)的方向向量為則因?yàn)楫惷嬷本€故12,L L12,.BAa CDb 12,L L12,0a CDaCBBAAD 210a 所以 1121,aCDaa 1212,0aa 這說明直線是異面直線。,AB CD總結(jié)在本文中主要討論了利用向量法來證明有關(guān)線性運(yùn)算，共線點(diǎn)，共點(diǎn)線，共面等幾何問題，還有利用向量的向量積，數(shù)量積，和混合積等性質(zhì)來證明幾何問題。由這些方法表明了向量在幾何證題中的優(yōu)越性。即把幾何問題化為向量問題來解決時(shí)可以使問題很容易解決。所以掌握好向量概念，應(yīng)用這些概念解決問題是不錯(cuò)之選。 參考文獻(xiàn)1席振偉、張明 向量