通訊原理第3章 隨機(jī)信號(hào)分析

1、第第 三三 章章 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析概述：概述： 作為信息傳輸過程中的信息信號(hào)通常是無法預(yù)知的，而作為信息傳輸過程中的信息信號(hào)通常是無法預(yù)知的，而且攜帶信息的信號(hào)再傳輸過程中不可避免地要受到各種噪聲的且攜帶信息的信號(hào)再傳輸過程中不可避免地要受到各種噪聲的干擾，而這種干擾又是隨機(jī)出現(xiàn)的，因此應(yīng)該用隨機(jī)過程的理干擾，而這種干擾又是隨機(jī)出現(xiàn)的，因此應(yīng)該用隨機(jī)過程的理論來描述隨機(jī)的信息信號(hào)和噪聲。論來描述隨機(jī)的信息信號(hào)和噪聲。 隨機(jī)過程的含義有兩點(diǎn)隨機(jī)過程的含義有兩點(diǎn)：其一，它是一個(gè)時(shí)間函數(shù)，隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)稱為隨機(jī)過其一，它是一個(gè)時(shí)間函數(shù)，隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)稱為隨機(jī)過程的一個(gè)程的一個(gè)樣本樣本

2、；其二，它再每個(gè)時(shí)刻上的函數(shù)值不是確定的，而是一個(gè)隨機(jī)其二，它再每個(gè)時(shí)刻上的函數(shù)值不是確定的，而是一個(gè)隨機(jī)變量，隨機(jī)過程再不同時(shí)刻有不同的變量，隨機(jī)過程再不同時(shí)刻有不同的隨機(jī)變量隨機(jī)變量。為為例例以以) )c co os s( (tA 03.1 隨機(jī)過程及其通過系統(tǒng)的傳輸隨機(jī)過程及其通過系統(tǒng)的傳輸二、二、 概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 隨機(jī)過程能夠看成是隨時(shí)間隨機(jī)過程能夠看成是隨時(shí)間t t而變化的一族隨機(jī)變量，故可而變化的一族隨機(jī)變量，故可將隨機(jī)變量的概率分布推廣用于隨機(jī)過程。將隨機(jī)變量的概率分布推廣用于隨機(jī)過程。1.一維分布函數(shù)與概率密度函數(shù)一維分布函數(shù)與概率密度函數(shù)

3、) )( () )( (11tXttX的取值為一維隨機(jī)變量的取值為一維隨機(jī)變量在任一特定時(shí)刻在任一特定時(shí)刻隨機(jī)過程隨機(jī)過程的的函函數(shù)數(shù)，記記和和時(shí)時(shí)刻刻是是取取值值概概率率1111txxtXP ) )( ( ) )( ( ) ), ,( (11111xtXPtxF 的的一一維維概概率率分分布布函函數(shù)數(shù)稱稱為為過過程程) )( (tX11111111xtxFtxpx ) ), ,( () ), ,( (定定義義的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，則則若若它它對(duì)對(duì)) ), ,( () )( (11txptX一般記為一般記為的一維概率密度函數(shù)，的一維概率密度函數(shù)，為過程為過程2 . 二維概率分布二維概

4、率分布: :) ) ( () ), ,( ( ，記記為為構(gòu)構(gòu)成成二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量21tXtX) )( () ), ,( (, ,) )( (2121tXtXtttX的的取取值值為為在在任任兩兩個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)刻刻隨隨機(jī)機(jī)過過程程的二維分布函數(shù)。的二維分布函數(shù)。稱為過程稱為過程) )( (tX 二維概率分布可以描述隨機(jī)過程在任兩個(gè)時(shí)刻之間關(guān)聯(lián)二維概率分布可以描述隨機(jī)過程在任兩個(gè)時(shí)刻之間關(guān)聯(lián)，且通過積分可以求得兩個(gè)一維概率密度，可見二維概率分布且通過積分可以求得兩個(gè)一維概率密度，可見二維概率分布比其一維概率分布含有較多的統(tǒng)計(jì)特性信息，對(duì)隨機(jī)過程的比其一維概率分布含有較多的統(tǒng)計(jì)特性信息，對(duì)隨機(jī)過程的

5、描述要細(xì)致些，但它還不能反映隨機(jī)過程在兩個(gè)以上時(shí)刻的描述要細(xì)致些，但它還不能反映隨機(jī)過程在兩個(gè)以上時(shí)刻的取值之間關(guān)聯(lián)。取值之間關(guān)聯(lián)。 ) )( (, ,) )( ( ) ), , , ,( (221121212xtXxtXPttxxF 3. n維概率分布維概率分布隨機(jī)過程隨機(jī)過程 在任意在任意n個(gè)時(shí)刻個(gè)時(shí)刻 的取值的取值 ) )( (tXnttt, , , ,21),),( (1tX , ,) )( (, , ,) )( (, ,) )( ( ) ), , , ,; ;, , , ,( (nnnnnxtXxtXxtXPtttxxxF 22112121n維分布函數(shù)：維分布函數(shù)： n維概率分布可以

6、描述任意維概率分布可以描述任意n個(gè)時(shí)刻的取值之間關(guān)聯(lián)，比其低維個(gè)時(shí)刻的取值之間關(guān)聯(lián)，比其低維概率分布含有更多的統(tǒng)計(jì)特性信息，對(duì)隨機(jī)過程的描述更細(xì)微些，概率分布含有更多的統(tǒng)計(jì)特性信息，對(duì)隨機(jī)過程的描述更細(xì)微些，故若隨機(jī)過程的觀測(cè)時(shí)刻點(diǎn)數(shù)取得越多，則隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性可故若隨機(jī)過程的觀測(cè)時(shí)刻點(diǎn)數(shù)取得越多，則隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性可以描述得越細(xì)致。以描述得越細(xì)致。 從理論上來說，完全描述一個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，需要維數(shù)從理論上來說，完全描述一個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，需要維數(shù)趨于無窮，但從工程實(shí)際來說，許多場(chǎng)合僅取二維即可。趨于無窮，但從工程實(shí)際來說，許多場(chǎng)合僅取二維即可。) )( () )( () ),

7、,( () )( () )( (nntXtXtXntXtX212維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量構(gòu)構(gòu)成成n維概率維概率密度函數(shù)密度函數(shù)12121212121xxxtttxxxFtttxxxpnnnnnnn ) ), , , ,; ;, , , ,( () ), , , ,; ;, , , ,( (統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)獨(dú)獨(dú)立立，則則：若若) )( (, ,) ), ,( () ), ,( (tXtXtX21統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立時(shí)n維概率密度函數(shù)等一維概率密度函數(shù)的乘積維概率密度函數(shù)等一維概率密度函數(shù)的乘積三、三、 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征(矩函數(shù)矩函數(shù)) 描述隨機(jī)變量的平均統(tǒng)計(jì)參量是數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，描

8、述隨機(jī)變量的平均統(tǒng)計(jì)參量是數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征 (隨機(jī)變量最一般的數(shù)字特征稱為隨機(jī)變量最一般的數(shù)字特征稱為矩矩) 隨機(jī)過程可看成是隨時(shí)間而變化的一族隨機(jī)變量，將隨機(jī)隨機(jī)過程可看成是隨時(shí)間而變化的一族隨機(jī)變量，將隨機(jī)變量的數(shù)字特征的概念推廣于隨機(jī)過程即可得到描述隨機(jī)過程變量的數(shù)字特征的概念推廣于隨機(jī)過程即可得到描述隨機(jī)過程的平均統(tǒng)計(jì)函數(shù)，當(dāng)然它不再是確定的值，而是確定的時(shí)間函的平均統(tǒng)計(jì)函數(shù)，當(dāng)然它不再是確定的值，而是確定的時(shí)間函數(shù)，統(tǒng)稱為數(shù)，統(tǒng)稱為矩函數(shù)矩函數(shù)。) ), ,( () ), ,( () ), ,( () ), , , ,; ;, , , ,(

9、 (nnnnntxptxptxptttxxxp22112121 1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望( (一階原點(diǎn)矩一階原點(diǎn)矩) ) 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 在某一特定時(shí)刻在某一特定時(shí)刻 的取值為一維隨機(jī)變量的取值為一維隨機(jī)變量 其數(shù)學(xué)期望是一個(gè)確定值。隨機(jī)過程其數(shù)學(xué)期望是一個(gè)確定值。隨機(jī)過程 在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻 的取值仍為的取值仍為一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量 ( (注意此處注意此處 已固定，故已固定，故 已非隨機(jī)過程已非隨機(jī)過程) )。)(tX1t)(1tX)(tXt)(tXt)(tx數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望) )( () ), ,( () ) ( ( tmdxtxxptXE 它是時(shí)間它是時(shí)間t 的函數(shù)，是過程的函數(shù)，

10、是過程X (t)在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻 t 的數(shù)學(xué)期望或統(tǒng)的數(shù)學(xué)期望或統(tǒng)計(jì)均值，稱為隨機(jī)過程計(jì)均值，稱為隨機(jī)過程X (t) 的數(shù)學(xué)期望或統(tǒng)計(jì)均值的數(shù)學(xué)期望或統(tǒng)計(jì)均值( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )。 統(tǒng)計(jì)均值是對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)均值是對(duì)隨機(jī)過程X (t) 中的所有樣本在任一時(shí)刻中的所有樣本在任一時(shí)刻 t 的取的取值進(jìn)行平均，因而值進(jìn)行平均，因而統(tǒng)計(jì)平均也稱為集合平均統(tǒng)計(jì)平均也稱為集合平均。2. 方差方差( (二階中心矩二階中心矩) ) 隨機(jī)過程隨機(jī)過程 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 是確定的時(shí)間函數(shù)，因是確定的時(shí)間函數(shù)，因而而 仍為隨機(jī)過程，仍為隨機(jī)過程， 在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻 t 的取的取值仍為隨機(jī)變量，故方差定義為

11、：值仍為隨機(jī)變量，故方差定義為：) )( (tX) )( (tm) )( () )( () )( (tmtXtX ) )( (tX )( () )( ( )( ()( ( 22tmtXEtXEtXD ) )( () )( () ), ,( () ), ,( () )( () ), ,( () )( () ), ,( () ), ,( () ) ( ( ttmdxtxpxdxtxptmdxtxptxmdxtxpxdxtxptmx2222222 方方差差 是時(shí)間是時(shí)間t的確定函數(shù)，表示隨機(jī)過程的確定函數(shù)，表示隨機(jī)過程 中的所有樣中的所有樣本在任一時(shí)刻本在任一時(shí)刻t的取值的取值( (隨機(jī)變量隨機(jī)變量

12、) )對(duì)其分布中心的平均偏離程度對(duì)其分布中心的平均偏離程度. .) )( (t2) )( (tX3. 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 數(shù)學(xué)期望和方差分別為一維隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩和二階中心數(shù)學(xué)期望和方差分別為一維隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩和二階中心矩，它們只能表示隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的平均統(tǒng)計(jì)特性，不能矩，它們只能表示隨機(jī)過程在各個(gè)孤立時(shí)刻的平均統(tǒng)計(jì)特性，不能反映隨機(jī)過程在任意兩時(shí)刻的取值之間關(guān)聯(lián)。反映隨機(jī)過程在任意兩時(shí)刻的取值之間關(guān)聯(lián)。 為描述隨機(jī)過程在兩個(gè)時(shí)刻的取值之間的關(guān)聯(lián)程度，用相關(guān)為描述隨機(jī)過程在兩個(gè)時(shí)刻的取值之間的關(guān)聯(lián)程度，用相關(guān)函數(shù)來表述。定義隨機(jī)過程的二階混合原點(diǎn)矩函數(shù)來表述。定義隨機(jī)過程的

13、二階混合原點(diǎn)矩( (自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)) )為：為：4. 自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)表示過程在任兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間的平均關(guān)聯(lián)自協(xié)方差函數(shù)表示過程在任兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間的平均關(guān)聯(lián)的的二二階階混混合合中中心心矩矩為為：定定義義) )( () ), ,( (21tXtX) ) ( () ), ,( ( ) ), ,( (2121tXtXEttR 2121212211dxdxttxxptmxtmx) ), , , ,( () ) ( () ) ( ( ) ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( (221121tmtXtmtXEttC 21212121dxdxt

14、txxpxx) ), , , ,( ( : :時(shí)時(shí)，則則有有當(dāng)當(dāng)ttt 21) )( ( ) ) ( () )( ( ) ), ,( () ) ( ( ) ) ( () )( ( ) ), ,( (ttmtXEttCtXEtXtXEttR222 此時(shí)自協(xié)方差為方差，相關(guān)函數(shù)為一維隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩此時(shí)自協(xié)方差為方差，相關(guān)函數(shù)為一維隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩5. 均方差均方差定義隨機(jī)過程的二階原點(diǎn)矩定義隨機(jī)過程的二階原點(diǎn)矩dxtxpxtXE ) ), ,( () ) ( ( 22為均方差為均方差自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系：自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系： ) )( () )( () ), ,(

15、() ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( (2121221121tmtmttRtmtXtmtXEttC 四、平穩(wěn)隨機(jī)過程四、平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程的主要特點(diǎn)是其統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化。平穩(wěn)隨機(jī)過程的主要特點(diǎn)是其統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的平移而變化。1. 狹義平穩(wěn)狹義平穩(wěn)( (嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)) ), , , ,; ;, , , ,( () ), , , ,; ;, , , ,( (tttxxxptttxxxpnnnnnn 21212121 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程 的任意的任意n維概率分布不隨計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇不維概率分布不隨計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇不同而變化，即當(dāng)時(shí)間平移任一常數(shù)同

16、而變化，即當(dāng)時(shí)間平移任一常數(shù)時(shí)，其時(shí)，其n維概率密度維概率密度( (或分布或分布函數(shù)函數(shù)) )不變化，則稱不變化，則稱 為嚴(yán)格平穩(wěn)過程，即滿足：為嚴(yán)格平穩(wěn)過程，即滿足：) )( (tX) )( (tX 即概率分布與觀測(cè)的起點(diǎn)無關(guān)，可以任意選擇觀測(cè)的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。即概率分布與觀測(cè)的起點(diǎn)無關(guān)，可以任意選擇觀測(cè)的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。 嚴(yán)格地說所有隨機(jī)過程都是非平穩(wěn)的，但平穩(wěn)過程的分析要嚴(yán)格地說所有隨機(jī)過程都是非平穩(wěn)的，但平穩(wěn)過程的分析要容易得多，而通常遇見的隨機(jī)過程大多數(shù)接近于平穩(wěn)過程。容易得多，而通常遇見的隨機(jī)過程大多數(shù)接近于平穩(wěn)過程。嚴(yán)平穩(wěn)過程其一，二維分布和矩函數(shù)的特點(diǎn)：嚴(yán)平穩(wěn)過程其一，二維分布和矩函數(shù)的特

17、點(diǎn)：一維分布一維分布:) )( () ), ,( () ), ,( () ), ,( (11111101xpxptxptxptnn 令令一維概率分布與時(shí)間無關(guān)一維概率分布與時(shí)間無關(guān)二維分布二維分布: :) ), , ,( () ), ,; ;, ,( (xxpttxxpnt21122101 令令 二維概率分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，僅與時(shí)間間隔二維概率分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，僅與時(shí)間間隔有關(guān)有關(guān)) ), ,; ;, ,( () ), ,; ;, ,( (ttxxpttxxpnn 21212121矩函數(shù)矩函數(shù): :有有關(guān)關(guān)自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)僅僅與與，RdxdxxxpxxttR) )( () ), , ,(

18、 () ), ,( ( 21212121( )( )E X txp x dxm 均值為常數(shù)均值為常數(shù)例例1：若：若 為隨機(jī)變量，討論它們的平穩(wěn)性為隨機(jī)變量，討論它們的平穩(wěn)性. .YtYtXYtX, ,) )( (, ,) )( ( 21解解：常數(shù)常數(shù) YmYEtXE )( ( 12211YYEtXtXE )( () )( ( 無無關(guān)關(guān)與與 t非非廣廣義義平平穩(wěn)穩(wěn)顯顯然然) )( (tX2YtmtYEtXE )( ( 2221212212212YxttYtYtEtXtXEttR )( () )( ( ) ), ,( (廣廣義義平平穩(wěn)穩(wěn)顯顯然然) )( (tX12. 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)( (寬平穩(wěn)寬

19、平穩(wěn)) ) 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程 X(t) 的數(shù)學(xué)期望時(shí)與時(shí)間的數(shù)學(xué)期望時(shí)與時(shí)間 t 無關(guān)的常量，相關(guān)函無關(guān)的常量，相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，即：有關(guān)，即：) )( () ), ,( () ) ( ( RttRmtXE 21，則該隨機(jī)過程為廣義平穩(wěn)過程則該隨機(jī)過程為廣義平穩(wěn)過程。廣義平穩(wěn)只說明一維和二維統(tǒng)計(jì)特性是平穩(wěn)的，廣義平穩(wěn)只說明一維和二維統(tǒng)計(jì)特性是平穩(wěn)的，狹義平穩(wěn)是說明狹義平穩(wěn)是說明 n 維統(tǒng)計(jì)特性是平穩(wěn)的。維統(tǒng)計(jì)特性是平穩(wěn)的。例例 2: 某隨機(jī)過程某隨機(jī)過程 X(t) =A cos(w t+)，其中，其中A，w為常量，為常量， 為為0 022范圍均勻分布的隨機(jī)變量，試求該

20、過程的數(shù)學(xué)期望范圍均勻分布的隨機(jī)變量，試求該過程的數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)。說明是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。和相關(guān)函數(shù)。說明是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 dtAtXE20002 / /) )c co os s( ( ) ) ( ( )( () )( ( ) ), ,( (tXtXEttR )cos(cos() )cos(cos( ttAE 00022220002/ /) ) c co os s( ( c co os stEA 202/ /c co os s A 解解: :均值為常數(shù)均值為常數(shù), ,自相關(guān)函數(shù)僅和時(shí)間間隔有關(guān)自相關(guān)函數(shù)僅和時(shí)間間隔有關(guān), ,故過程廣義平穩(wěn)故過程廣義平穩(wěn)3. 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性

21、 隨機(jī)過程有兩個(gè)變量隨機(jī)過程有兩個(gè)變量x 和和 t，故能采用兩種平均方法，即統(tǒng)，故能采用兩種平均方法，即統(tǒng)計(jì)平均和時(shí)間平均。計(jì)平均和時(shí)間平均。 矩函數(shù)指的矩函數(shù)指的統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均，即對(duì)集合中的所有樣本在同一時(shí)刻的，即對(duì)集合中的所有樣本在同一時(shí)刻的取值用統(tǒng)計(jì)的方法求其平均，也稱取值用統(tǒng)計(jì)的方法求其平均，也稱集合平均集合平均，用，用 或或E表示。 統(tǒng)計(jì)平均的方法使得實(shí)際工程量很大統(tǒng)計(jì)平均的方法使得實(shí)際工程量很大，在實(shí)際工程中我們大，在實(shí)際工程中我們大多數(shù)采用多數(shù)采用樣本平均或稱為時(shí)間平均樣本平均或稱為時(shí)間平均的方法。的方法。 隨機(jī)過程是一族時(shí)間函數(shù)的集合，這集合中的每個(gè)樣本都是隨機(jī)過程是一族時(shí)間

22、函數(shù)的集合，這集合中的每個(gè)樣本都是時(shí)間的確定函數(shù)，對(duì)集合中的某個(gè)特定樣本在各個(gè)時(shí)刻的值，用時(shí)間的確定函數(shù)，對(duì)集合中的某個(gè)特定樣本在各個(gè)時(shí)刻的值，用一般的數(shù)學(xué)方法求平均，稱為時(shí)間平均，記為一般的數(shù)學(xué)方法求平均，稱為時(shí)間平均，記為的的時(shí)時(shí)間間均均值值為為：樣樣本本) )( (tXidttXTtXTTiTi 221/ / /) )( (l li im m) )( (的的時(shí)時(shí)間間自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)為為：樣樣本本) )( (tXidttXtXTtXtXTTiiTii 221/ / /) )( () )( (l li im m) )( () )( ( 時(shí)間平均只需一個(gè)樣本，對(duì)確定的時(shí)間函數(shù)，可用一般的時(shí)

23、間平均只需一個(gè)樣本，對(duì)確定的時(shí)間函數(shù)，可用一般的數(shù)學(xué)方法作計(jì)算，時(shí)間平均與統(tǒng)計(jì)平均相比要簡(jiǎn)易實(shí)用得多，數(shù)學(xué)方法作計(jì)算，時(shí)間平均與統(tǒng)計(jì)平均相比要簡(jiǎn)易實(shí)用得多，它是實(shí)際測(cè)量隨機(jī)過程的主要方法。它是實(shí)際測(cè)量隨機(jī)過程的主要方法。 ) ) ( () )( ( ) )( () )( () ) ( ( ) )( (: :tXtXEtXtXtXEtXpp即即據(jù)概率論可知，只要滿足下式，就可認(rèn)為平穩(wěn)過程具有遍歷性。據(jù)概率論可知，只要滿足下式，就可認(rèn)為平穩(wěn)過程具有遍歷性。 dCdCTTTT) )( () )( (limlim/ / /或或0122通常通信系統(tǒng)中隨機(jī)信號(hào)和噪聲都能滿足這一條件。通常通信系統(tǒng)中隨機(jī)信號(hào)

24、和噪聲都能滿足這一條件。各態(tài)歷經(jīng)性：各態(tài)歷經(jīng)性：若由隨機(jī)過程每個(gè)樣本的時(shí)間平均從概率意義上等若由隨機(jī)過程每個(gè)樣本的時(shí)間平均從概率意義上等于集合的統(tǒng)計(jì)平均，則稱過程具有各態(tài)歷經(jīng)性于集合的統(tǒng)計(jì)平均，則稱過程具有各態(tài)歷經(jīng)性( (也稱遍歷性也稱遍歷性) )。 物理意義：物理意義：隨機(jī)過程的任一樣本在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的任一樣本在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，都經(jīng)歷了這過程的各種可能狀態(tài)，任一樣本是具有充分代表性的樣本。這過程的各種可能狀態(tài)，任一樣本是具有充分代表性的樣本。例題見書例題見書P21，例，例2-24. 平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)： ) )( () )( (, ,) )( (

25、) )( (CCRRxxxx 000 相關(guān)函數(shù)在相關(guān)函數(shù)在0 0 時(shí)具有最大值，且非負(fù)，表明過程在間隔時(shí)具有最大值，且非負(fù)，表明過程在間隔為零時(shí)的兩個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)最大。為零時(shí)的兩個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)最大。 對(duì)于周期性隨機(jī)過程，由對(duì)于周期性隨機(jī)過程，由 ，即相關(guān)函數(shù)同樣也，即相關(guān)函數(shù)同樣也具有周期性，且周期具有周期性，且周期T T仍然保持不變：仍然保持不變：) )( () )( (TRR ) )( ()( () )( ( )( () )( ( ) )( (TRTtXtXEtXtXERxx ) )( () )( (RRxx ) )( () )( (CCxx 相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)相關(guān)函數(shù)是偶函

26、數(shù) （方方差差）交交流流功功率率：直直流流功功率率：平平均均功功率率200RRRPRxxxx) )( () )( () )( () )( (: : 5. 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 對(duì)于平穩(wěn)過程，間隔對(duì)于平穩(wěn)過程，間隔的兩個(gè)起伏量之間的關(guān)聯(lián)程度，可用的兩個(gè)起伏量之間的關(guān)聯(lián)程度，可用協(xié)方差函數(shù)表示，但協(xié)方差函數(shù)還與兩個(gè)起伏量的強(qiáng)度有關(guān)，如協(xié)方差函數(shù)表示，但協(xié)方差函數(shù)還與兩個(gè)起伏量的強(qiáng)度有關(guān)，如果兩個(gè)起伏量很小，即使關(guān)聯(lián)程度較強(qiáng)，這時(shí)協(xié)方差函數(shù)也不會(huì)果兩個(gè)起伏量很小，即使關(guān)聯(lián)程度較強(qiáng)，這時(shí)協(xié)方差函數(shù)也不會(huì)很大，可見協(xié)方差函數(shù)并不能確切地表示關(guān)聯(lián)程度的大小，應(yīng)除很大，可見協(xié)方差函數(shù)并不能確切地表示關(guān)聯(lián)程度的大

27、小，應(yīng)除去起伏量強(qiáng)度的影響，需要對(duì)協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理，定義無去起伏量強(qiáng)度的影響，需要對(duì)協(xié)方差函數(shù)作歸一化處理，定義無量綱的比值量綱的比值: :20CCC) )( () )( () )( () )( ( 自相關(guān)系數(shù)或歸一化的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)系數(shù)或歸一化的自相關(guān)函數(shù)注意和確定信號(hào)定義的不同！注意和確定信號(hào)定義的不同！( )1( )0 ，表示完全相關(guān)，表示完全相關(guān)，表示不相關(guān)，表示不相關(guān)6. 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程) ), , , ,; ;, , , ,( (),), , , ,; ;, , , ,( (mmnnnntttyyyptttxxxp 21212121: :) ), ,( (

28、) )( (它它們們的的概概率率密密度度為為和和設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)過過程程tYtX維維聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)為為：定定義義兩兩過過程程的的mn ) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,( (mnmnmnttttttyyyxxxF 21212121 mmnnytYytYytYxtXxtXxtXP ) )( (, , ,) )( (, ,) )( (; ;) )( (, , ,) )( (, ,) )( (22112211定義兩過程的定義兩過程的n+m維聯(lián)合概率密度為：維聯(lián)合概率密度為：) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;,

29、 , , ,( (mnmnmnttttttyyyxxxp 21212121nnmnmnmnmnyyyxxxttttttyyyxxxF 212121212121) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,( (若有若有) ), , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,; ;, , , ,( (mnmnmnttttttyyyxxxp 21212121) ), , , ,; ;, , , ,( () ), , , ,; ;, , , ,( (mmmnnntttyyyptttxxxp 21212121統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)獨(dú)獨(dú)立立與與則則稱稱過過程程) )( () )(

30、 (tYtX定義兩過程的互相關(guān)函數(shù)為：定義兩過程的互相關(guān)函數(shù)為：dxdyttyxxyptYtXEttRXY ) ), , , ,( () ) ( () )( ( ) ), ,( (212121互協(xié)方差函數(shù)為互協(xié)方差函數(shù)為:)( () )( ()( () )( () ), ,( (221121tmtYtmtXEttCYxXY 若若X(t)和和Y(t)各自是廣義平穩(wěn)過程，且它們的互相關(guān)函數(shù)僅各自是廣義平穩(wěn)過程，且它們的互相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)刻是時(shí)刻的單變量函數(shù)，即的單變量函數(shù)，即) )( () ), ,( (RttRXYXY 21則稱過程則稱過程X ( t )和和Y( t )是聯(lián)合平穩(wěn)過程。是聯(lián)合平穩(wěn)過

31、程。上式等價(jià)于上式等價(jià)于) )( () )( () )( (mmRYXXY 或或) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( () )( ( tYEtXEtYtXE 若對(duì)任意若對(duì)任意值都有值都有0 ) ) ( () )( ( tYtXE統(tǒng)計(jì)獨(dú)立一定不相關(guān)，反過來則不成立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立一定不相關(guān)，反過來則不成立互相關(guān)系數(shù)互相關(guān)系數(shù): :YXXYXYCr) )( () )( ( 00 ) )( () )( (CrXYXY或或若對(duì)任意若對(duì)任意值都有值都有則過程則過程X ( t )和和Y( t )不相關(guān)。不相關(guān)。則過程則過程X ( t )和和Y( t )正交。正交。 212121212121dydxttyxp

32、yxtYtXEttRXY) ), ,; ;, ,( () ) ( () )( ( ) ), ,( () )( () )( () ), ,( () ), ,( (2122221111tmtmdytypydxtxpxYX ) ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( (221121tmtYtmtXEttCYXXY 022112122221111 ) ) ( () )( () ) ( () )( ( ) ), ,( () ) ( ( ) ), ,( () ) ( ( tmtmtmtmdydxtyptmytxptmxYYXXYX例例1 隨機(jī)過程隨機(jī)過程X (t) 和和Y (t)

33、 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求它們的互相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求它們的互相關(guān)函數(shù) 和互協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)例例2 設(shè)有兩個(gè)過程設(shè)有兩個(gè)過程) )s si in n( () )( () )c co os s( () )( (ttYttX 00 量量上上的的均均勻勻分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變，是是為為常常數(shù)數(shù)，200問這兩個(gè)過程是否聯(lián)合平穩(wěn)，相關(guān)，正交，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？問這兩個(gè)過程是否聯(lián)合平穩(wěn)，相關(guān)，正交，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？解：解： ) )( (s si in n ) ) c co os s( () ) ( () )( ( ) ), ,( (ttEtYtXEttRXY 00tE000212221s si in n s si in

34、n ) )( ( s si in n 協(xié)方差函數(shù)不為零，兩過程相關(guān)，同時(shí)也是不統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的協(xié)方差函數(shù)不為零，兩過程相關(guān)，同時(shí)也是不統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的0210 RtYtXEXYs si in n) )( () ) ( () )( ( 兩過程不正交兩過程不正交兩過程的均值為零，所以互協(xié)方差函數(shù)等于互相關(guān)函數(shù)兩過程的均值為零，所以互協(xié)方差函數(shù)等于互相關(guān)函數(shù)聯(lián)合平穩(wěn)聯(lián)合平穩(wěn)五五、高斯高斯( (正態(tài)正態(tài)) )隨機(jī)過程隨機(jī)過程 正態(tài)分布是實(shí)際工作中最常見的一種分布，在無線電技術(shù)中，正態(tài)分布是實(shí)際工作中最常見的一種分布，在無線電技術(shù)中，最常遇見的正態(tài)隨機(jī)過程。最常遇見的正態(tài)隨機(jī)過程。 正態(tài)隨機(jī)過程具有一些特點(diǎn)，例如它

35、的任意正態(tài)隨機(jī)過程具有一些特點(diǎn)，例如它的任意n維分布只取決于維分布只取決于其一，二維分布函數(shù)，又如正態(tài)隨機(jī)過程經(jīng)過線性變換侯仍然是正其一，二維分布函數(shù)，又如正態(tài)隨機(jī)過程經(jīng)過線性變換侯仍然是正態(tài)分布，因此它便于數(shù)學(xué)分析，它被廣泛應(yīng)用于噪聲的理論模型。態(tài)分布，因此它便于數(shù)學(xué)分析，它被廣泛應(yīng)用于噪聲的理論模型。) ), , , ,; ;, , , ,( (nntttxxxf2121 ) ) )( ( (e ex xp p ) )( ( njnkkkkjjjjknnmxmx11212121正態(tài)隨機(jī)過程或高斯過程的特點(diǎn)是其正態(tài)隨機(jī)過程或高斯過程的特點(diǎn)是其n n維聯(lián)合概率分布是正態(tài)維聯(lián)合概率分布是正態(tài)分布

36、。其分布。其n n維分布為維分布為: :正態(tài)隨機(jī)過程的正態(tài)隨機(jī)過程的n維概率密度函數(shù)僅由各隨機(jī)變量的維概率密度函數(shù)僅由各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和歸一化協(xié)方差函數(shù)數(shù)學(xué)期望和歸一化協(xié)方差函數(shù)( (相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)) )所決定所決定nnnnnn213122221113121 kjkkjjjkmtxmtxE ) )( ( ) )( ( 結(jié)論結(jié)論1 1：如果過程是廣義平穩(wěn)的如果過程是廣義平穩(wěn)的，則其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方，則其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與差函數(shù)只與有關(guān)，則有關(guān)，則n維概率密度函數(shù)也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，維概率密度函數(shù)也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故故它也是狹義平穩(wěn)的它也是狹義平穩(wěn)的。歸一化協(xié)方差函數(shù)行列式歸一

37、化協(xié)方差函數(shù)行列式的的代代數(shù)數(shù)余余因因子子中中元元素素是是行行列列式式j(luò)kjk（相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)）是是歸歸一一化化互互協(xié)協(xié)方方差差函函數(shù)數(shù)jk10 jkjkkjkj10 jk, ,則則上上式式則：則：),;,(2121nntttxxxf221212112221()1exp2(2 )()1exp( , ) (, )(,)22njjnnjjjjnjjnnjjjxmxmf x tf x tf x t 若高斯過程各個(gè)隨機(jī)變量?jī)蓛芍g互不相關(guān)，則有：若高斯過程各個(gè)隨機(jī)變量?jī)蓛芍g互不相關(guān)，則有：結(jié)論結(jié)論2：若高斯過程中各隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，若高斯過程中各隨機(jī)變量之間互不相關(guān)， 則它們一定是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

38、則它們一定是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。結(jié)論結(jié)論3：高斯過程通過線性系統(tǒng)后仍然是高斯過程。高斯過程通過線性系統(tǒng)后仍然是高斯過程。六、六、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜) )( () )( () )( () )( (XtXTttXtXTiTiiTi ，且且其其它它02采用與確定信號(hào)同樣的分析方法，設(shè)采用與確定信號(hào)同樣的分析方法，設(shè) 是過程是過程 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，令令：) )( (tXi) )( (tX它仍然是隨機(jī)函數(shù)，故取其統(tǒng)計(jì)平均變成只是頻率的確定函數(shù)。它仍然是隨機(jī)函數(shù)，故取其統(tǒng)計(jì)平均變成只是頻率的確定函數(shù)。21()()lim() ixxiTTPE PEXT 功率譜：功率譜：平穩(wěn)過程的功率譜

39、與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系仍為一對(duì)傅立葉變換對(duì)：平穩(wěn)過程的功率譜與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系仍為一對(duì)傅立葉變換對(duì)：) )( () )( (RxxdttXTdttXTPTiTTTiTi ) )( (l li im m) )( (l li im m222211的的平平均均功功率率為為：樣樣本本) )( (tXiTdXTiTT 2211) )( (l li im m21()lim()ixiTTPXT 樣本的功率譜：樣本的功率譜：七、七、 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng) ( )() ( )() ( )( )(0)xxE Y tEX thdE X thdmhdm H常數(shù)( )X t( )Y t( )h t(

40、 ,) ( ) ()() ( )() ( )()() ( ) ( )() ( ) ( )( )YXYRt tE Y t Y tEX tu h u duX tv h v dvE X tu X tv h u h v dudvRvu h u h v dudvR 僅與 有關(guān) 平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)后仍然是平穩(wěn)的，平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)后仍然是平穩(wěn)的， 而通過非線性系統(tǒng)后將不再平穩(wěn)。而通過非線性系統(tǒng)后將不再平穩(wěn)。2()( )() ( ) ( )( ) ( ) ( )()()()()()jYYjXjzj vj uXXXPRedRvu h u h v edudvdRz h u h v eeedudvdzPHHP

41、H ,jj zj vj uzvuzvueeee 令即那么Y (t) 的輸出功率譜：的輸出功率譜：八、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器八、平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器：00000( ,) ( ) ()( )cos()cos()1( )coscos(2)2YXR t tE Y t Y tE X ttX ttRt1. . 輸出過程的自相關(guān)函數(shù)：輸出過程的自相關(guān)函數(shù)：2. . 輸出過程的功率譜：輸出過程的功率譜：時(shí)域相乘時(shí)域相乘頻域卷積頻域卷積000( )( ,)11( )cos()()24jYYjXXXPR t tedRedPP 時(shí)間平均時(shí)間平均( )X t( )Y t0cost非平穩(wěn)非平穩(wěn)記住結(jié)論！記住結(jié)論！(

42、)X t( )Y t），（，20)cos(0t平穩(wěn)平穩(wěn)作業(yè)：作業(yè)：23，25，273.2 噪聲及其特性噪聲及其特性 噪聲存在于通信系統(tǒng)的各個(gè)部分，它的存在會(huì)使通信系統(tǒng)質(zhì)噪聲存在于通信系統(tǒng)的各個(gè)部分，它的存在會(huì)使通信系統(tǒng)質(zhì)量變壞，可靠性下降，因此在討論通信系統(tǒng)性能時(shí)，分析它的抗量變壞，可靠性下降，因此在討論通信系統(tǒng)性能時(shí)，分析它的抗噪聲性能是一個(gè)重要內(nèi)容，是研究各種通信體制的重要內(nèi)容，也噪聲性能是一個(gè)重要內(nèi)容，是研究各種通信體制的重要內(nèi)容，也是我們?nèi)绾芜x擇不同通信體制的重要參考，同時(shí)抗噪聲性能的好是我們?nèi)绾芜x擇不同通信體制的重要參考，同時(shí)抗噪聲性能的好壞，也是我們選擇不同通信體制的基礎(chǔ)壞，也是我

43、們選擇不同通信體制的基礎(chǔ). . 無論在恒參信道或變參信道，都存著在加性噪聲，它們迭加無論在恒參信道或變參信道，都存著在加性噪聲，它們迭加在接收信號(hào)上，對(duì)通信質(zhì)量有很大的影響，其特點(diǎn)是它們都獨(dú)立在接收信號(hào)上，對(duì)通信質(zhì)量有很大的影響，其特點(diǎn)是它們都獨(dú)立于信號(hào)而存在，并以迭加形式干擾信號(hào)。而乘性噪聲是隨著信號(hào)于信號(hào)而存在，并以迭加形式干擾信號(hào)。而乘性噪聲是隨著信號(hào)的出現(xiàn)而出現(xiàn)，消失而消失。的出現(xiàn)而出現(xiàn)，消失而消失。一一 、加性噪聲的分類加性噪聲的分類1. .無線電噪聲：無線電噪聲：來源于別的無線電發(fā)射機(jī)來源于別的無線電發(fā)射機(jī)；2.2.工業(yè)噪聲：工業(yè)噪聲：來源于各種電氣設(shè)備來源于各種電氣設(shè)備，如：電力

44、線，電路開關(guān)，如：電力線，電路開關(guān)， 電焊機(jī)，高頻電爐。電焊機(jī)，高頻電爐。3.3.天電噪聲：天電噪聲：來源于自然界中各種電磁波源來源于自然界中各種電磁波源，如雷電，宇宙，如雷電，宇宙 的電磁輻射。的電磁輻射。4.4.內(nèi)部噪聲：內(nèi)部噪聲：來源于信道內(nèi)的設(shè)備和元器件來源于信道內(nèi)的設(shè)備和元器件，如電阻和各種導(dǎo)體，如電阻和各種導(dǎo)體 內(nèi)自由電子的熱運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的熱噪聲，電子管和晶內(nèi)自由電子的熱運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的熱噪聲，電子管和晶 體管內(nèi)因電子發(fā)射不均勻性所引起的散彈噪聲，以體管內(nèi)因電子發(fā)射不均勻性所引起的散彈噪聲，以 及電源設(shè)備因?yàn)V波不良而引起的交流噪聲等。及電源設(shè)備因?yàn)V波不良而引起的交流噪聲等。信道內(nèi)的加性噪

45、聲來源很多，信道內(nèi)的加性噪聲來源很多，按來源按來源的不同，可分為：的不同，可分為：1.單頻噪聲：?jiǎn)晤l噪聲：電源的交流噪聲，設(shè)備的自激振蕩，高頻電爐的干擾電源的交流噪聲，設(shè)備的自激振蕩，高頻電爐的干擾等，特點(diǎn)是波形連續(xù)，頻譜單一，單頻噪聲可通過實(shí)際測(cè)量而確定，等，特點(diǎn)是波形連續(xù)，頻譜單一，單頻噪聲可通過實(shí)際測(cè)量而確定，采取措施可預(yù)防。采取措施可預(yù)防。 2.脈沖噪聲：脈沖噪聲：工業(yè)噪聲的點(diǎn)火花，電路通斷時(shí)所產(chǎn)生的噪聲，閃電工業(yè)噪聲的點(diǎn)火花，電路通斷時(shí)所產(chǎn)生的噪聲，閃電干擾等，特點(diǎn)是突發(fā)脈沖的幅度大，持續(xù)時(shí)間短，它對(duì)模擬通信影干擾等，特點(diǎn)是突發(fā)脈沖的幅度大，持續(xù)時(shí)間短，它對(duì)模擬通信影響不大，對(duì)數(shù)字通

46、信會(huì)造成危害響不大，對(duì)數(shù)字通信會(huì)造成危害(一串錯(cuò)碼一串錯(cuò)碼)。3.起伏噪聲起伏噪聲：熱噪聲，散彈噪聲：熱噪聲，散彈噪聲和和天電噪聲天電噪聲的的宇宙噪聲宇宙噪聲，這類噪聲，這類噪聲的特點(diǎn)是波形隨時(shí)間做不規(guī)則的隨機(jī)變化，它是一種固有噪聲，既的特點(diǎn)是波形隨時(shí)間做不規(guī)則的隨機(jī)變化，它是一種固有噪聲，既不可避免，又始終起作用，它是影響通信質(zhì)量的主要因素。不可避免，又始終起作用，它是影響通信質(zhì)量的主要因素。 以后分析研究噪聲對(duì)通信系統(tǒng)的影響時(shí)，一般就是指起伏噪聲。以后分析研究噪聲對(duì)通信系統(tǒng)的影響時(shí)，一般就是指起伏噪聲。按性質(zhì)分為：按性質(zhì)分為：二、二、噪聲和有色噪聲噪聲和有色噪聲白噪聲是指整個(gè)頻率范圍內(nèi)具有

47、恒定的功率譜密度的噪聲，白噪聲是指整個(gè)頻率范圍內(nèi)具有恒定的功率譜密度的噪聲， 完全理想的白噪聲是不存在的，但只要噪聲功率譜均勻分完全理想的白噪聲是不存在的，但只要噪聲功率譜均勻分布的范圍超過工作頻段范圍很多時(shí)，可視為白噪聲。布的范圍超過工作頻段范圍很多時(shí)，可視為白噪聲。 Hz1310電阻熱噪聲的功率譜密度均勻分布范圍約為電阻熱噪聲的功率譜密度均勻分布范圍約為 ，通常認(rèn)為它，通常認(rèn)為它是典型的白噪聲，散彈噪聲和宇宙噪聲的功率譜均勻分布范圍是典型的白噪聲，散彈噪聲和宇宙噪聲的功率譜均勻分布范圍在一般的工作頻率范圍也近似為恒定，因此也可視為白噪聲，在一般的工作頻率范圍也近似為恒定，因此也可視為白噪聲

48、，在以后研究和分析的加性噪聲就指白噪聲在以后研究和分析的加性噪聲就指白噪聲(也稱起伏噪聲也稱起伏噪聲)( )nP 常數(shù)常數(shù)，白噪聲的特點(diǎn)：白噪聲的特點(diǎn)： 以迭加的形式干擾用用信號(hào)以迭加的形式干擾用用信號(hào)加性噪聲加性噪聲 功率譜密度為常數(shù)功率譜密度為常數(shù) 統(tǒng)計(jì)特性是零均值的正態(tài)分布，也稱高斯白噪聲。統(tǒng)計(jì)特性是零均值的正態(tài)分布，也稱高斯白噪聲。有色噪聲：有色噪聲：在整個(gè)頻帶范圍，功率譜是非均勻分布的噪聲，所在整個(gè)頻帶范圍，功率譜是非均勻分布的噪聲，所有除白噪聲以外的噪聲稱為有色噪聲，也稱頻帶有限的噪聲，有除白噪聲以外的噪聲稱為有色噪聲，也稱頻帶有限的噪聲，或者說白噪聲通過具有帶限的系統(tǒng)后，就稱為有

49、色噪聲?；蛘哒f白噪聲通過具有帶限的系統(tǒng)后，就稱為有色噪聲。即帶限噪聲即帶限噪聲00()2()0nnnPPn ，雙邊譜雙邊譜單邊譜單邊譜三、信噪比和信噪比增益三、信噪比和信噪比增益信噪比：同以點(diǎn)上信號(hào)功率與噪聲功率之比信噪比：同以點(diǎn)上信號(hào)功率與噪聲功率之比NSPPNSNSlglg) )( () )( (10或或噪聲功率噪聲功率信號(hào)功率信號(hào)功率 信噪比增益信噪比增益：) )( () )( (輸輸入入信信噪噪比比輸輸出出信信噪噪比比iiNSNSG00 輸輸出出信信噪噪比比輸輸入入信信噪噪比比噪噪聲聲系系數(shù)數(shù) 00NSNSFiin四四 、窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲 一個(gè)系統(tǒng)的通頻帶一個(gè)系統(tǒng)的通頻帶 遠(yuǎn)小

50、于中心頻率遠(yuǎn)小于中心頻率 ，即有：，即有：f001Bff或0f這種系統(tǒng)稱為窄帶系統(tǒng)這種系統(tǒng)稱為窄帶系統(tǒng) 若此窄帶系統(tǒng)的輸入過程為白噪聲或?qū)拵г肼?，則由于系若此窄帶系統(tǒng)的輸入過程為白噪聲或?qū)拵г肼暎瑒t由于系統(tǒng)的帶通選擇特性，輸出過程的功率譜只分布在中心頻率附近統(tǒng)的帶通選擇特性，輸出過程的功率譜只分布在中心頻率附近的窄帶范圍，這種噪聲稱為的窄帶范圍，這種噪聲稱為窄帶噪聲窄帶噪聲，也稱，也稱窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲。 窄帶系統(tǒng)窄帶系統(tǒng)高斯白噪聲高斯白噪聲 窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲 02n白噪聲功率譜白噪聲功率譜f02n窄帶噪聲功率譜窄帶噪聲功率譜 1-f0f0f理想帶通特性理想帶通特性000( )(

51、 )cos( )( )cos ( )cos( )sin ( )sinn tttttttttt窄帶噪聲的第一種表示形式窄帶噪聲的第一種表示形式:0( )( )cos( )n tttt 窄帶噪聲的第二種表示形式窄帶噪聲的第二種表示形式:00( )( )cos( )sincsn tnttn tt 窄帶噪聲可看作一個(gè)包絡(luò)和相位緩慢變化的準(zhǔn)正弦信號(hào)。窄帶噪聲可看作一個(gè)包絡(luò)和相位緩慢變化的準(zhǔn)正弦信號(hào)。相對(duì)于中心頻率相對(duì)于中心頻率1. 窄帶噪聲的時(shí)間表示窄帶噪聲的時(shí)間表示( )( )cos ( )( )( )sin ( )csn tttn ttt 同同相相分分量量正正交交分分量量22( )( )( )( )

52、( )arctan( )cssctn tn tn ttn t 隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)包絡(luò)隨機(jī)相位隨機(jī)相位關(guān)系關(guān)系隨機(jī)性！隨機(jī)性！ ttnttntnttnttntnsc0000coscos) )( ( sinsin) )( () )( (sinsin) )( ( coscos) )( () )( (互為希爾波特變換互為希爾波特變換顯然顯然) )( () )( ( ) )( () )( ( tntntntncssc 2. .同相分量和正交分量的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)同相分量和正交分量的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù))( () )( ( ) )( (tntnERccnc ) )( (sinsinsinsin) )(

53、() )( (coscossinsin) )( () )( (sinsincoscos) )( () )( (coscoscoscos) )( ()( (sinsin) )( ( ) )( (coscos) )( (sinsin) )( ( coscos) )( ( ttRttRttRttRttnttnttnttnEnnnnnn 000000000000由希爾波特變換性質(zhì)可知由希爾波特變換性質(zhì)可知)()()()()(nnnnnnnRRRRR0000000000sin)(cos)()(cossin)(sin)cos()(sinsin)(cos)cos()(nnnnnRRttttRttttRRc同

54、理可求得：同理可求得：00sin)(cos)()()(nnnnRRRRcs有關(guān)函數(shù)僅與的自相關(guān)和是一個(gè)平穩(wěn)過程，則因?yàn)?()()(tntntnscttnEttnEtnEsc00sin)(cos)()(0)(0)()(tnEtnEtnsc的均值為零，則由于穩(wěn)過程都是均值為零的廣義平和可見)()(tntncs據(jù)自相關(guān)函數(shù)的表示式據(jù)自相關(guān)函數(shù)的表示式 可得：可得：)0()0()0(nnnRRRscononnnRRRRscsin)(cos)()()(結(jié)論：結(jié)論： 一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量和正交一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量和正交 分量同樣是均值為零的平穩(wěn)高斯過程。分量

55、同樣是均值為零的平穩(wěn)高斯過程。 同相分量和正交分量的自相關(guān)函數(shù)相等且具有相同的功率譜密度同相分量和正交分量的自相關(guān)函數(shù)相等且具有相同的功率譜密度 同相分量和正交分量具有相同的功率且等于窄帶隨機(jī)過程的功率同相分量和正交分量具有相同的功率且等于窄帶隨機(jī)過程的功率 同相分量和正交分量都是低通限帶過程。同相分量和正交分量都是低通限帶過程。補(bǔ)充作業(yè)補(bǔ)充作業(yè)：若窄帶噪聲（帶寬為：若窄帶噪聲（帶寬為2 2W，中心頻率為，中心頻率為0 0）的功率）的功率譜為譜為n0 0/ /2, , 試推導(dǎo)出它的同相和正交分量的功率譜密度為試推導(dǎo)出它的同相和正交分量的功率譜密度為 n0( (W W ) )。02n02n04n

56、08n08n04n00( )( )cos( )sinicsn tn ttn tt01( )( )2cn tn t習(xí)題習(xí)題ttnttntttnttntnosocoosocp2sin2)(2cos1 2)(cossin)(cos)()(2互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)。，它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的關(guān)的，而對(duì)于高斯過程它們是互不相，由于均值為零，所以正交，即此它們?cè)偻粫r(shí)刻互為希爾波特變換，因和由于)0()0()()(csscnnnnscRRtntn且有且有)()()()(cscsscnnnnnnnRRRR0)0(0)0()()(cssccsnnnnnnnRRRRcncnccccnccccnccnnccnccnccn

57、nccccQInnRRttttRttttRttRttRttRttRttnttnttnttnEtntnERQIcos)(sin)()(sinsin)(cos)cos()(sincos)(cos)sin()(sinsin)()(cossin)()(sincos)()(coscos)()(sin)()(cos)( sin)( cos)()()()(同理可求得同理可求得cncnnnRRRIQcos)(sin)()(比較可得比較可得)()(IQQInnnnRR由相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知由相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知)()(IQQInnnnRR所以所以)()(IQIQnnnnRR)()(QIQInnnnRR0)0()0(

58、0IQQInnnnRR時(shí)有當(dāng) 可見在同一時(shí)刻，兩個(gè)分量是正交的，互相關(guān)函數(shù)為零，可見在同一時(shí)刻，兩個(gè)分量是正交的，互相關(guān)函數(shù)為零， 由于均值為零，所以互協(xié)方差函數(shù)為零，是由于均值為零，所以互協(xié)方差函數(shù)為零，是互不相關(guān)互不相關(guān)的，的， 對(duì)于高斯過程，它們是對(duì)于高斯過程，它們是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。的?；ハ嚓P(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)為奇函數(shù)3. 窄帶高斯噪聲包絡(luò)和相位的概率分布窄帶高斯噪聲包絡(luò)和相位的概率分布窄帶高斯噪聲的同相分量和正交分量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，窄帶高斯噪聲的同相分量和正交分量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為：其聯(lián)合概率密度函數(shù)為：22222222222212121nnnnscscscsce

59、eenpnpnnp ) ) )( ( () )( () )( () ), ,( ( ) )( () )( (a ar rc ct ta an n) )( () )( (s si in n) )( () )( () )( () )( () )( () )( (c co os s) )( () )( (tntnttttntntnttttnscsscc22的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)得得到到：的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度可可以以從從，相相位位由由概概率率論論可可知知，包包絡(luò)絡(luò)scnn, ,) ), ,( () ), ,( () ), ,( () ), ,( (nnnnppscsc 雅克比行列式雅克比

60、行列式nnnnnnscscsc c co os ss si in ns si in nc co os s) ), ,( () ), ,( (2222( , )2pe 因此因此222222222200( )( , ),02ppdede 2222001( )( , ),0222ppded 包絡(luò)的概率密度：包絡(luò)的概率密度：瑞利分布瑞利分布相位的概率密度：相位的概率密度：均勻分布均勻分布五、余弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲五、余弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲ttnttntntAtssc000sin)(cos)()(cos)(噪聲信號(hào) 余弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲是通信中常遇到的又一種情形余弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲是通信中常遇到的又