第4章Poisson過(guò)程

1、第第4 4章章 Poisson過(guò)程過(guò)程4.1 Poisson Poisson過(guò)程過(guò)程4.2 與與PoissonPoisson過(guò)程相聯(lián)系的若干分布過(guò)程相聯(lián)系的若干分布4.3 PoissonPoisson過(guò)程的推廣過(guò)程的推廣4.4 更新過(guò)程更新過(guò)程1 1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造年入巴黎綜合工科學(xué)校深造. 在畢業(yè)時(shí)，在畢業(yè)時(shí)，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師, 受到拉普拉受到拉普拉斯、拉格朗日的賞識(shí)斯、拉格朗日的賞識(shí). 法國(guó)數(shù)學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家. 1781年年6月月21日生于法國(guó)盧瓦日生于法國(guó)盧瓦雷省的皮蒂維耶，雷省的皮蒂維耶，1840年年4月月25日卒于法國(guó)索鎮(zhèn)日卒于

2、法國(guó)索鎮(zhèn). 泊松的科學(xué)生涯開(kāi)始于研究微分方程及其在擺的運(yùn)動(dòng)和聲泊松的科學(xué)生涯開(kāi)始于研究微分方程及其在擺的運(yùn)動(dòng)和聲學(xué)理論中的應(yīng)用學(xué)理論中的應(yīng)用. 他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問(wèn)題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和物理問(wèn)題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn). 他對(duì)積分理論、行星他對(duì)積分理論、行星運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論運(yùn)動(dòng)理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)都有重要貢獻(xiàn). 1800年畢業(yè)后留校任教，年畢業(yè)后留校任教，1802年任副教授年任副教授, 1806年接替傅年接替傅里葉任該校教授里葉任該校教授. 18

3、08年任法國(guó)經(jīng)度局天文學(xué)家年任法國(guó)經(jīng)度局天文學(xué)家,1809年任巴黎年任巴黎理學(xué)院力學(xué)教授理學(xué)院力學(xué)教授. 1812年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士.2(0-1)分布分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 只可能有兩個(gè)值只可能有兩個(gè)值: 0 和和 1，其概率分布其概率分布為為：qpXPpXP1) 0( ,) 1(pqXDpXE)( ,)(二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為n重貝努利試驗(yàn)中事件重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X B (n, p)，概率分布為：，概率分布為：(),0,1,kn knP Xkp qknknpqXDnpXE)( ,)(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)3泊松分布泊松分布

4、 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的所有可能取值為的所有可能取值為0, 1, 2, ，而取各個(gè)值的概率為而取各個(gè)值的概率為則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布，簡(jiǎn)記，簡(jiǎn)記為為P( )。)0( , 2 , 1 , 0 ,!e為常數(shù)kkkXPk)( ,)(XDXE泊松定理泊松定理 在二項(xiàng)分布中，設(shè)在二項(xiàng)分布中，設(shè) np= 是常數(shù)，則有是常數(shù)，則有!elimkkXPkn4復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)5 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程N(yùn)(t)，t0稱為計(jì)數(shù)過(guò)程，如果稱為計(jì)數(shù)過(guò)程，如果N(t)表示從表示從0到到 t 時(shí)刻某一特定事件時(shí)刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù)，它發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個(gè)特點(diǎn)：具備以下兩個(gè)特點(diǎn)： N(

5、t) 0且取值為整數(shù)；且取值為整數(shù)； 若若s t , 則則 N(s) N(t) 且且N(t) N(s)表示表示(s , t時(shí)時(shí)間內(nèi)事件間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。發(fā)生的次數(shù)。4.1 Poisson4.1 Poisson過(guò)程過(guò)程計(jì)數(shù)過(guò)程計(jì)數(shù)過(guò)程6 ,0,1,2,!nttP N tsN snenn注：注：由由( 3 )可知過(guò)程有平穩(wěn)增量可知過(guò)程有平穩(wěn)增量; 由于由于E(N(t)= t, 常將常將 稱為稱為Poisson過(guò)程的過(guò)程的速率速率或強(qiáng)度或強(qiáng)度，表示單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)。，表示單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)。PoissonPoisson過(guò)程定義過(guò)程定義 計(jì)數(shù)過(guò)程計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t)，t0稱為

6、參數(shù)為稱為參數(shù)為 00的的Poisson過(guò)程，如果：過(guò)程，如果： (1) N(0)=0; (2) 過(guò)程有獨(dú)立增量過(guò)程有獨(dú)立增量; (3) 對(duì)任意的對(duì)任意的 s，t 0，7解解(0.5)1,(2.5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P NNN5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155.0設(shè)設(shè) 表示在時(shí)間表示在時(shí)間 t 時(shí)到達(dá)的顧客數(shù)時(shí)到達(dá)的顧客數(shù), 9:00為為0時(shí)刻時(shí)刻( )N t顧客到達(dá)某商店服從參數(shù)顧客到達(dá)某商店服從參數(shù) 人人/小時(shí)的泊松過(guò)程，小時(shí)的泊松過(guò)程，已知商店上午已知商店上午9:00開(kāi)門，試求到開(kāi)門，試求到9:30時(shí)僅到一位顧客，時(shí)僅到一

7、位顧客，而到而到11:30時(shí)總計(jì)已達(dá)時(shí)總計(jì)已達(dá)5位顧客的概率。位顧客的概率。4 PoissonPoisson過(guò)程在排隊(duì)論中的應(yīng)用過(guò)程在排隊(duì)論中的應(yīng)用(0.5)1) (2.5)(0.5)4)P NP NN8 若以若以N(t)表示表示0,t時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù)時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù). Poisson過(guò)過(guò)程程 是很好的一種近似是很好的一種近似. 考慮保險(xiǎn)公司每次考慮保險(xiǎn)公司每次賠付都是賠付都是1, 每月平均每月平均4次接到索賠要求，則一年中它次接到索賠要求，則一年中它要付出的平均金額為多少？要付出的平均金額為多少？( ),0N t t 4 12(4 12)(12)(0),!nP NNnen 事故的發(fā)生

8、次數(shù)和保險(xiǎn)公司接到的索賠數(shù)事故的發(fā)生次數(shù)和保險(xiǎn)公司接到的索賠數(shù)(12)(0)4 1248.E NN解解: 設(shè)一年開(kāi)始為設(shè)一年開(kāi)始為0時(shí)刻，時(shí)刻，1月末為時(shí)刻月末為時(shí)刻1，則年末，則年末為時(shí)刻為時(shí)刻12：均值均值9設(shè)設(shè) 是一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程，它滿是一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程，它滿（1）（2）過(guò)程有平穩(wěn)獨(dú)立增量，）過(guò)程有平穩(wěn)獨(dú)立增量，（3）存在）存在 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，（4）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)，( ),0N t t (0)0;N0,0h ()( )1( ),P N thN thh0h()( )2( ).P N thN thPoisson過(guò)程的等價(jià)定義過(guò)程的等價(jià)定義10Poisson過(guò)程的等價(jià)性過(guò)程的等價(jià)性(說(shuō)明說(shuō)明)11證明

9、：只需要驗(yàn)證 服從參數(shù)為 的Poisson分布即可。記有因此令 得解此微分方程由 得 . 故( )N tt( )( ),0,1,2,.nP tP N tnn120( )( )1( )( ).1( ),P hP N hP hP hP h 0000()()0()( )0,( )0( )0 ()( )0( )( )( )(1( ).P thP N thP N thN tN tP N tP N thN tP t P hP tho h000()( )( )( ),P thP thP thh 0,h 00( )( ).PtP t 0( ).tP tKe0(0)(0)01PP N1K 0( ).tP teP

10、oisson過(guò)程的等價(jià)性過(guò)程的等價(jià)性(證明證明)12令令 ，得，得由歸納法得到由歸納法得到當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 1n 0111() () ( ),()( )0 ( )1,()( ) 1 (),()( )2( ) ( )( ) ( )( )(1) ( )( )( ).nnnnnP thP N thnP N tn N thN tP N tnN thN tP N thn N thN tP t P hPt P ho hh P thPto h 1()( )( )( )( ),nnnnP thP tP tPthh 0h 1( )( )( ).nnnPtP tPt ()( )( ).!ntntP teP N tn

11、nPoisson過(guò)程的等價(jià)性過(guò)程的等價(jià)性(證明證明)于是于是13 反之，證明Poisson過(guò)程滿足條件(1)-(4)，只須驗(yàn)證條件(3),(4)()( )1( )(0)11!hhP N thN tP N hNe0()1( )( ),!nnhhhhhhhn2()( )2( )(0)2()( ).!nhnP N thN tP N hNhehnPoisson過(guò)程的等價(jià)性過(guò)程的等價(jià)性(證明證明)14 事件 A 的發(fā)生形成強(qiáng)度為 的Poisson過(guò)程 如果每次事件發(fā)生時(shí)以概率 p 能夠被記錄下來(lái)，并以M(t)表示到 t 時(shí)刻被記錄的事件總數(shù)，則 為一個(gè)強(qiáng)度為 的Poisson過(guò)程。( ),0.N t t

12、 ( ),0M t t p()0,( ).!mptpttP M tmem0( )( )|( ) ( )nP M tmP M tm N tmn P N tmn00()() (1) (1)()! !m nmnmmnttm nnntptp tCppeemnm n(1)0() (1) ()().!mnmmttp tptnptp tptpteeeemnmm即驗(yàn)證Poisson過(guò)程定義的應(yīng)用過(guò)程定義的應(yīng)用分析：分析： 由于每次事件獨(dú)立，記錄與不記錄都與其他事件是否被記錄獨(dú)立。事件發(fā)生服從Poisson分布，所以M(t)具有平穩(wěn)增量，只需驗(yàn)證M(t)服從均值為 的Poisson分布。pt15 設(shè)設(shè)N( t

13、), t0)是參數(shù)為是參數(shù)為的泊松過(guò)程的泊松過(guò)程, 事件事件A在在0,時(shí)間時(shí)間區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)n次，試求次，試求:PN(s)=k|N()=n, 0kn,0st=0, t 內(nèi)事件A不出現(xiàn) PX1t=PN(t)=0=etXn的分布的分布 1111,0.tXFtP Xtet 即X1 服從均值為1/的指數(shù)分布. 21(2) 由泊松過(guò)程的平穩(wěn)獨(dú)立增量性,有 PX2t|X1=s=P在(s, s+t 內(nèi)事件A不發(fā)生|X1=s X1=sX2s+t=PN(s+t) N(s)=0 |X1=s= PN(t) N(0)=0= PN(t)=0= et由獨(dú)立增量性，與由獨(dú)立增量性，與s無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) 故X2與X1相互獨(dú)立，

14、且X2也服從均值為1/的指數(shù)布.22由平穩(wěn)增量性由平穩(wěn)增量性(3) 對(duì)于一般 n1 和t0,以及 r1，r2，rn-10, 有PXnt |Xi=ri ,1in1=PN(t+r1+ +rn1) N(r1+r2+rn1)=0= PN(t) N(0)=0= et. 1,0.tnnFtP Xtet 即23 故Xn與X1 , Xn-1相互獨(dú)立，且Xn也服從均值為1/的指數(shù)布.注注 (1) 上述定理的結(jié)果應(yīng)該在預(yù)料之中上述定理的結(jié)果應(yīng)該在預(yù)料之中,因?yàn)椴匆驗(yàn)椴此蛇^(guò)程有平穩(wěn)增量松過(guò)程有平穩(wěn)增量,過(guò)程在任何時(shí)刻都過(guò)程在任何時(shí)刻都“重新開(kāi)重新開(kāi)始始”,這恰好就是這恰好就是“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”的體現(xiàn)的體現(xiàn),正好與

15、指正好與指數(shù)分布的數(shù)分布的“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”是對(duì)應(yīng)的是對(duì)應(yīng)的. (2) 泊松過(guò)程的另一個(gè)等價(jià)定義：泊松過(guò)程的另一個(gè)等價(jià)定義： 如果每次事件發(fā)生的時(shí)間間隔如果每次事件發(fā)生的時(shí)間間隔X1,X2,相互相互獨(dú)立，且服從同一參數(shù)獨(dú)立，且服從同一參數(shù) 的指數(shù)分布，則計(jì)數(shù)過(guò)的指數(shù)分布，則計(jì)數(shù)過(guò)程程N(yùn)(t),t0是參數(shù)為是參數(shù)為 的泊松過(guò)程的泊松過(guò)程. (3)上述定義提供模擬泊松過(guò)程的途徑上述定義提供模擬泊松過(guò)程的途徑.24甲、乙兩路公共汽車都通過(guò)某一車站，兩路汽車的到達(dá)分別甲、乙兩路公共汽車都通過(guò)某一車站，兩路汽車的到達(dá)分別服從服從10分鐘分鐘1輛輛(甲甲)，15分鐘分鐘1輛輛(乙乙)的泊松分布的泊松分布

16、. 假定車總不假定車總不會(huì)滿員，試問(wèn)可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所會(huì)滿員，試問(wèn)可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時(shí)間的概率分布及其期望需等待時(shí)間的概率分布及其期望.例題例題解解:兩路車混合到達(dá)過(guò)程為兩路車混合到達(dá)過(guò)程為 ，)()()(21tXtXtX6/121甲、乙兩路公共汽車到達(dá)情況的泊松分布甲、乙兩路公共汽車到達(dá)情況的泊松分布 和和 的參數(shù)分別為的參數(shù)分別為 ，)(1tX)(2tX10/1115/12 公共汽車的到達(dá)時(shí)間間隔服從均值為公共汽車的到達(dá)時(shí)間間隔服從均值為6分鐘的指數(shù)分鐘的指數(shù)分布。分布。再由指數(shù)分布的無(wú)記憶性，再由指數(shù)分布的無(wú)記憶性，這位乘客的等待時(shí)這位乘

17、客的等待時(shí)間也服從均值為間也服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。分鐘的指數(shù)分布。25 離去的人數(shù)離去的人數(shù) 是強(qiáng)度為是強(qiáng)度為3的的Poisson過(guò)程過(guò)程(小時(shí)小時(shí)為單位為單位). 設(shè)設(shè)8：00為為0時(shí)刻時(shí)刻, 則則( )N t12()(12)(4)(0),0,1,2,!nnttP NNkeekkk912(12)(4)9.9!P Ne 例題例題 早上早上8：00開(kāi)始有無(wú)窮多個(gè)人排隊(duì)等候服務(wù)，只有開(kāi)始有無(wú)窮多個(gè)人排隊(duì)等候服務(wù)，只有一名服務(wù)員，每個(gè)接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的服從均值為一名服務(wù)員，每個(gè)接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的服從均值為20min的指數(shù)分布。那么，中午的指數(shù)分布。那么，中午12：00為止平均多少人為止

18、平均多少人已離去，已有已離去，已有9個(gè)人接受服務(wù)的概率是多少？個(gè)人接受服務(wù)的概率是多少？解：解：其均值為其均值為12，即到，即到12：00為止，離去的人數(shù)為止，離去的人數(shù)平均為平均為12人人, 有有9個(gè)人接受過(guò)服務(wù)的概率為個(gè)人接受過(guò)服務(wù)的概率為26 1(),0;(1)!0,0Snnttetftnt 注：在排隊(duì)論中稱注：在排隊(duì)論中稱Sn 服從服從愛(ài)爾朗分布愛(ài)爾朗分布. 參數(shù)為參數(shù)為的泊松過(guò)程的泊松過(guò)程N(yùn)(t),t0,事件事件A第第n 次出現(xiàn)的等待時(shí)間次出現(xiàn)的等待時(shí)間Sn服從服從 分布分布,其概率密度為：其概率密度為： ( , )nSn的分布的分布定理定理4-24-227( )( ),0!nktS

19、nk ntFtP StP N tnetk 1,1 !nnkkttSSk nk nttftFteekk 1,0.(1)!nttetnSnt=N(t)n=0, t內(nèi)內(nèi)A至少出現(xiàn)至少出現(xiàn)n次次證證: 因因Sn是事件是事件A 第第 n次出現(xiàn)的次出現(xiàn)的等待時(shí)間等待時(shí)間,故故28注：注：1), 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 110,0,1,1!xxf xxexxe dxnn 22),XEXDX 若有 123),XYXY若且與獨(dú)立，則獨(dú)立，則12,.XYProof 2: 因?yàn)橐驗(yàn)镾n=X1+X2+Xn， Xi均服從指數(shù)分布，而參數(shù)為均服從指數(shù)分布，而參數(shù)為指數(shù)分布即為指數(shù)分布即為1,所以所以Sn服從服從,.n2

20、9 已知儀器在已知儀器在 0 , t 內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的次數(shù)內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的次數(shù) N(t) 是具有參數(shù)是具有參數(shù) 的的泊松過(guò)程。若儀器振動(dòng)泊松過(guò)程。若儀器振動(dòng)k (k 1)次就會(huì)出現(xiàn)故障，求儀器次就會(huì)出現(xiàn)故障，求儀器在時(shí)刻在時(shí)刻 t0 正常工作的概率。正常工作的概率。解：解：1(), 0( )(1)!0 , 0kktStetftkt 故儀器故儀器在時(shí)刻在時(shí)刻 t0 正常工作的概率正常工作的概率為為:010()()d(1)!ktkttPP Stetk 故障時(shí)刻即儀器發(fā)生第故障時(shí)刻即儀器發(fā)生第k次振動(dòng)的時(shí)刻，次振動(dòng)的時(shí)刻，Sk 服從服從 分布分布:01000()()!nktntP Ntken 例題例題30設(shè)

21、有設(shè)有n位顧客在位顧客在0時(shí)刻排隊(duì)進(jìn)入僅有一個(gè)服務(wù)員的系統(tǒng)時(shí)刻排隊(duì)進(jìn)入僅有一個(gè)服務(wù)員的系統(tǒng).假定每位顧客的服務(wù)時(shí)間獨(dú)立假定每位顧客的服務(wù)時(shí)間獨(dú)立,均服從參數(shù)為均服從參數(shù)為的指數(shù)的指數(shù)分布分布.以以N(t)表示到表示到 t 時(shí)刻為止已被服務(wù)過(guò)的顧客人數(shù)時(shí)刻為止已被服務(wù)過(guò)的顧客人數(shù).求求:（1）EN(t) ; （2）第）第n位顧客等候服務(wù)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望位顧客等候服務(wù)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望; （3）第第n位顧客能在位顧客能在 t 時(shí)刻之前完成服務(wù)的概率時(shí)刻之前完成服務(wù)的概率. 100( )1!knxxkxF xek ,n 例題例題31解解:（1）由新定義）由新定義, N(t),t0為強(qiáng)度為強(qiáng)度的的Poiss

22、on 過(guò)程，過(guò)程，故故 EN(t)=t ；（2）記第）記第n位顧客完成服務(wù)的時(shí)刻為位顧客完成服務(wù)的時(shí)刻為 ，根據(jù)定理，根據(jù)定理4-2, 第第n位顧客等候服務(wù)時(shí)間為位顧客等候服務(wù)時(shí)間為,nn 101,0!nkntnktPtFtetk （3）根據(jù)定理）根據(jù)定理4-2,11,nn11nnE1111111,nnniniiinX EEX3200. (1) (2)tPoissonaaW一理發(fā)師在時(shí)開(kāi)門營(yíng)業(yè)，設(shè)顧客按強(qiáng)度為 的過(guò)程到達(dá)，每個(gè)顧客理發(fā)需 分鐘，求:第二個(gè)顧客到達(dá)后不需等待就直接理發(fā)的概率；第二個(gè)顧客到達(dá)后等待時(shí)間的平均值12221, SSXSS 設(shè)第一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間為第二個(gè)顧客到達(dá)時(shí)間為則二人

23、時(shí)間差，22(1), ()xaaXaP Xaedxe若則第二個(gè)顧客到達(dá)后不需等待就直接理發(fā)，例題例題33解解:22222(2),00, XaaXaXXaWXa若則第二個(gè)顧客到達(dá)后需要等待，等待時(shí)間分鐘，故等待時(shí)間 201( )()1 .ataXEWwft dtatedtae3420 ()1,axaP Xaedxe 22( )( ),0tXXftFtet22( ) ()1,tXFtP Xte 4.2.2 事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布 假設(shè)在假設(shè)在0, t 內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生一次，我們已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一事件到達(dá)時(shí)間要確定這一事件到達(dá)時(shí)間X1的分布。的分布。泊松過(guò)程泊松

24、過(guò)程平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程 可以認(rèn)為可以認(rèn)為0, t 內(nèi)長(zhǎng)度相等的區(qū)間包含這個(gè)事內(nèi)長(zhǎng)度相等的區(qū)間包含這個(gè)事件的概率應(yīng)該相等，或者說(shuō)，這個(gè)事件的到達(dá)時(shí)件的概率應(yīng)該相等，或者說(shuō)，這個(gè)事件的到達(dá)時(shí)間應(yīng)在間應(yīng)在0, t 上服從均勻分布。上服從均勻分布。11|( )?P Xs N t 對(duì)于對(duì)于0st有有35即即條件條件分布函數(shù)分布函數(shù)為：為：1|( ) 10,0( ),01,X N tssFssttst條件分布密度條件分布密度為：為：11100其它|( ),( ),XNtstfst 11,11,0|111101t sstP Xs N tP N sN tN sP Xs N tP N tP N t

25、P N sN tN sseestetP N t0stX136在已知在已知N(t)=n的條件下，事件發(fā)生的的條件下，事件發(fā)生的 n個(gè)時(shí)刻個(gè)時(shí)刻S1， S2， ,Sn的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為定理定理4-41212!( ,.,),0.nnnnf tttttttt 證明證明 設(shè)設(shè) ，取，取 充分小使得充分小使得1210nntttttih1, 1,2,iiithtin11,1,2,( ) ()( )1,()()0,0,( )0( ( )iiiiiiiiiiP tSth in N tnP N thN tN tN thin N tP N tn 3711()11()!nnhthhhntnnnh eh

26、eeetnnhht 所以，所以，1max012122,1( )( ,)lim!, 0.iiiiinhni nnnP tSthin N tnf tth hhntttt 38 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的條件分布與的條件分布與0, t 區(qū)間上服從均勻分布的區(qū)間上服從均勻分布的n個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量 的順序統(tǒng)計(jì)量的順序統(tǒng)計(jì)量 的聯(lián)合分的聯(lián)合分布相同。布相同。 在已知在已知0, t 發(fā)生了發(fā)生了n次事件的前提下，各次事次事件的前提下，各次事件發(fā)生的時(shí)刻件發(fā)生的時(shí)刻 （不排序）可看作相互（不排序）可看作相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從0, t 上的均勻分布。上的均勻分布。( )

27、N tn12,.,nS SS12,.,nY YY(1)(2)( ),.,nYYY12,.,nS SS說(shuō)明說(shuō)明39假設(shè)乘客按參數(shù)為假設(shè)乘客按參數(shù)為 的泊松過(guò)程來(lái)到一個(gè)火車站，若火的泊松過(guò)程來(lái)到一個(gè)火車站，若火車在時(shí)刻車在時(shí)刻 t 起程，求在起程，求在0, t內(nèi)到達(dá)車站的乘客等待時(shí)間總內(nèi)到達(dá)車站的乘客等待時(shí)間總和的期望，即求和的期望，即求其中，其中， 是第是第 i 個(gè)乘客的來(lái)到時(shí)刻。個(gè)乘客的來(lái)到時(shí)刻。iS( )1()N tiiEtS 例題例題在在N(t)給定的條件下，取條件期望，給定的條件下，取條件期望，解：解：( )111()|( )()|( )|( ).N tniiiiniiEtSN tnEt

28、SN tnntESN tn 40記記 為為n個(gè)獨(dú)立的服從個(gè)獨(dú)立的服從(0, t 上均勻分上均勻分布的隨機(jī)變量，有布的隨機(jī)變量，有12,.,nU UU111|( ),2()|( ).22nniiiiniintESN tnEUntntEtSN tnnt ( )( )112() ()|( )( )( ).222N tN tiiiiEtSE EtSN tN t tttEE N t所以所以41( )( )P N sk N tn 1knkknssCtt 參數(shù)為參數(shù)為 n 和和 s/t 的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布( ),( )( )P N sk N tnP N tn ( ),( )( )( )P N sk N t

29、N snkP N tn ()() ()!()!()!ksn kt sntsetseknkten !()!()!kn knnstsknkt 設(shè)在設(shè)在0, t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次次,且且0 s t,對(duì)對(duì)0 k n ,求在求在0, s內(nèi)事件內(nèi)事件A發(fā)生發(fā)生 k 次的概率次的概率.練習(xí)練習(xí)解：解：42( ) ()( )P N sk P N tsnkP N tn 設(shè)事件設(shè)事件A在在s時(shí)刻被記錄的概率是時(shí)刻被記錄的概率是 ，若以，若以 表示表示到到 t 時(shí)刻被記錄的事件數(shù)，還是一個(gè)時(shí)刻被記錄的事件數(shù)，還是一個(gè)Poisson過(guò)程么？過(guò)程么？解：解： 不是一個(gè)不是一個(gè)Poisson過(guò)程，雖然它具

30、有獨(dú)立過(guò)程，雖然它具有獨(dú)立增量性增量性. 但是，受但是，受 影響，不再有平穩(wěn)增量性影響，不再有平穩(wěn)增量性.可以證明，對(duì)可以證明，對(duì) 依然是依然是Poisson分布，參數(shù)與分布，參數(shù)與 有關(guān)有關(guān). 的均值為的均值為 其中其中( )P s( )M t( )M t( )P s,( )t M t,( )t P s( )M t,tp01( ).tpP s dst例題例題430000,t|N(t)=m+ks|N(t)=m+k11( )( ).tttpPPdsP s dsP s dstt事件在內(nèi)發(fā)生且被記錄事件在 發(fā)生且被記錄00( )( )|( ) ( )()(1)( ).kmkkP M tmP M tm

31、 N tmk P N tmkmkpp P N tmkm事實(shí)上，若對(duì)N(t)給定的條件下取條件期望，則有其中，p：440000( )|( ) ( )()()(1)()!()!()(1)! !()!()(1)()!().!km kmktkm kmktkmktkkmptP M tm N tmk P N tmkmktppemmkmktppem kmktppetmktpem()( ).!mpttpP M tmem從而從而所以所以454.3 Poisson4.3 Poisson過(guò)程的推廣過(guò)程的推廣4.3.1 非齊次非齊次Poisson過(guò)程過(guò)程4.3.2 復(fù)合復(fù)合Poisson過(guò)程過(guò)程464.3.1 4.3

32、.1 非齊次非齊次PoissonPoisson過(guò)程過(guò)程 齊次齊次Poisson過(guò)程，其強(qiáng)度過(guò)程，其強(qiáng)度是常數(shù)，意味著在不是常數(shù)，意味著在不同時(shí)刻，事件發(fā)生的速率都是個(gè)恒定值。同時(shí)刻，事件發(fā)生的速率都是個(gè)恒定值。當(dāng)當(dāng)Poisson過(guò)過(guò)程的強(qiáng)度程的強(qiáng)度隨時(shí)間隨時(shí)間t 變化時(shí)變化時(shí),Poisson過(guò)程被推廣成為非齊過(guò)程被推廣成為非齊次次Poisson過(guò)程過(guò)程. 在實(shí)際中在實(shí)際中,非齊次非齊次Poisson過(guò)程也是比較常用的過(guò)程也是比較常用的.例例如在考慮設(shè)備故障率時(shí)如在考慮設(shè)備故障率時(shí),由于設(shè)備使用年限的變化由于設(shè)備使用年限的變化,出故出故障的可能性會(huì)隨之變化障的可能性會(huì)隨之變化;放射性物質(zhì)的衰變速

33、度放射性物質(zhì)的衰變速度,會(huì)因會(huì)因各種外部條件的變化而隨之變化各種外部條件的變化而隨之變化;昆蟲產(chǎn)卵的平均數(shù)量昆蟲產(chǎn)卵的平均數(shù)量隨年齡和季節(jié)的變化而變化等隨年齡和季節(jié)的變化而變化等.47計(jì)數(shù)過(guò)程計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t),t0稱為強(qiáng)度函數(shù)為稱為強(qiáng)度函數(shù)為 的非平的非平穩(wěn)或非齊次泊松過(guò)程，如果穩(wěn)或非齊次泊松過(guò)程，如果 t (1)00;(2),02;(4)1.NN ttP N thN to hP N thN tt ho h有獨(dú)立增量;(3)定義定義48 !.!t stkm tsm tktsu dutm tsm tP N tsN tneku duek 令令 ，計(jì)數(shù)過(guò)程，計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t),t0稱為強(qiáng)度函數(shù)為稱為強(qiáng)

34、度函數(shù)為 的非齊次的非齊次Poisson過(guò)程，如果過(guò)程，如果 0tm ts ds t (1)00;(2),0NN tt 有獨(dú)立增量；有獨(dú)立增量；等價(jià)定義（定理等價(jià)定義（定理4-64-6）(3) 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)t0，s0，N(t+s)-N(t)為具有參數(shù)為具有參數(shù) 的的Poisson分布，即：分布，即： ( )dt stm tsm tuu 稱為非齊次稱為非齊次Poisson過(guò)程的過(guò)程的均值函數(shù)均值函數(shù)(或累積強(qiáng)度函數(shù)或累積強(qiáng)度函數(shù))49定理定理 設(shè)設(shè)N(t),t0是一個(gè)強(qiáng)度函數(shù)為是一個(gè)強(qiáng)度函數(shù)為 的非齊次泊松過(guò)的非齊次泊松過(guò)程，程， 的的反函數(shù)，對(duì)任意反函數(shù)，對(duì)任意t0，令，令 非齊次非齊

35、次Poisson過(guò)程的重要性在于不再要求平穩(wěn)增量，過(guò)程的重要性在于不再要求平穩(wěn)增量，從而允許事件在某些時(shí)刻發(fā)生的可能性較之另一些時(shí)刻從而允許事件在某些時(shí)刻發(fā)生的可能性較之另一些時(shí)刻來(lái)得大來(lái)得大; 非齊次非齊次Poisson過(guò)程與齊次過(guò)程與齊次Poisson過(guò)程可通過(guò)變換相過(guò)程可通過(guò)變換相互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化. t 1mtm t 是是 1,NtN mt 則則 是一個(gè)強(qiáng)度為是一個(gè)強(qiáng)度為1的的Poisson過(guò)程。過(guò)程。轉(zhuǎn)化定理轉(zhuǎn)化定理 Nt 50證明：證明： （1） 只需驗(yàn)證定義中的條件只需驗(yàn)證定義中的條件14，條件，條件12較顯較顯然，下面驗(yàn)證條件然，下面驗(yàn)證條件34. 記記 ，則，則1( )( )v t

36、mt1( )( )( ( )NtN mtN v t設(shè)設(shè)11( ), ()vmtvhmth則則( ), ()tm vthm vh()( ) ( ) ( )( )v hvhm vhm vs dsv ho h1()()()NthN mthN vh1( )( )( )NtN mtN vvtvv htth( )tm v1( )vmt51000()( )1lim()( )1lim( )( )( )( )= lim1( )( )hhhP NthNthP N vhN vv ho hv ho hv ho h 即即()( )1( )P NthNtho h同理可得同理可得()( )2( )P NthNto h所以所

37、以 是參數(shù)為是參數(shù)為 1 的的Poisson過(guò)程。過(guò)程。 ,0Ntt52 設(shè)設(shè)N(t), t0是齊次泊松過(guò)程，強(qiáng)度為是齊次泊松過(guò)程，強(qiáng)度為1若給定強(qiáng)度函數(shù)若給定強(qiáng)度函數(shù) ,0ss ，令，令 0,tm ts dsNtN m t 則則 是有強(qiáng)度函數(shù)為是有強(qiáng)度函數(shù)為 非齊次泊松過(guò)程非齊次泊松過(guò)程. t ,0Ntt 轉(zhuǎn)化定理轉(zhuǎn)化定理(2)(2)53設(shè)某設(shè)備的使用期限為設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前年，在前5年內(nèi)它平均年內(nèi)它平均2.5年需要維修年需要維修一次，后一次，后5年平均年平均2年需要維修一次，求它在使用期內(nèi)只維修過(guò)年需要維修一次，求它在使用期內(nèi)只維修過(guò)一次的概率。一次的概率。1,05,2.5(

38、 )1,510,2ttt 1051000511(10)( )2mt dtdtdt914.52(4.5)9(10)(0)1.1!2P NNee解解 ： 考慮非齊次泊松過(guò)程，強(qiáng)度函數(shù)考慮非齊次泊松過(guò)程，強(qiáng)度函數(shù)例題例題所以，所以，54設(shè)某路公共汽車從早上設(shè)某路公共汽車從早上5時(shí)到晚上時(shí)到晚上9時(shí)有車發(fā)出，時(shí)有車發(fā)出，乘客流量如下：乘客流量如下：5時(shí)按平均乘客為時(shí)按平均乘客為200人人/時(shí)計(jì)算；時(shí)計(jì)算；5時(shí)至?xí)r至8時(shí)乘客平均到達(dá)率按線性增加，時(shí)乘客平均到達(dá)率按線性增加，8時(shí)到達(dá)率時(shí)到達(dá)率為為1400人人/時(shí)；時(shí)；8時(shí)至?xí)r至18時(shí)保持平均到達(dá)率不變；時(shí)保持平均到達(dá)率不變；18時(shí)到時(shí)到21

39、時(shí)從到達(dá)率時(shí)從到達(dá)率1400人人/時(shí)按線性下降，到時(shí)按線性下降，到21時(shí)為時(shí)為200人人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的。求內(nèi)是相互獨(dú)立的。求12時(shí)至?xí)r至14時(shí)有時(shí)有2000人來(lái)站乘人來(lái)站乘車的概率，并求這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái)站乘車人數(shù)的數(shù)車的概率，并求這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái)站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。學(xué)期望。練習(xí)練習(xí)55解：將時(shí)間解：將時(shí)間5:0021:00平移為平移為016,依題意得依題意得乘客到達(dá)率為：乘客到達(dá)率為： 1613,134001400133,140030,400200tttttt 16t乘客到達(dá)率與時(shí)間關(guān)系56 !20002

40、8002000792000141228001400792000280097eXXP：dtXXE名乘客的概率為時(shí)有時(shí)在 人時(shí)乘客數(shù)的期望為時(shí)2800791412 XXE：57定義：定義：稱隨機(jī)過(guò)程稱隨機(jī)過(guò)程X(t),t0為復(fù)合為復(fù)合Poisson過(guò)程，如果過(guò)程，如果對(duì)于對(duì)于t0， X(t)可以表示為可以表示為其中其中N(t),t0是一個(gè)是一個(gè)Poisson過(guò)程，過(guò)程，Yi , i=1,2,是一族是一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并且與獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并且與N(t),t0也是獨(dú)立的也是獨(dú)立的. 1N tiiX tY 4.3.2 4.3.2 復(fù)合復(fù)合PoissonPoisson過(guò)程過(guò)程 復(fù)合復(fù)合Po

41、isson過(guò)程不一定是計(jì)數(shù)過(guò)程；過(guò)程不一定是計(jì)數(shù)過(guò)程；當(dāng)當(dāng)Yi 為常數(shù)時(shí)，可化為為常數(shù)時(shí)，可化為Poisson過(guò)程過(guò)程.58例子例子 到達(dá)體育場(chǎng)的公共汽車數(shù)是一泊松過(guò)程到達(dá)體育場(chǎng)的公共汽車數(shù)是一泊松過(guò)程,而每輛公共汽車而每輛公共汽車內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。若各輛車內(nèi)的乘客數(shù)內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。若各輛車內(nèi)的乘客數(shù)Yn服服從相同分布從相同分布, 且又彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且又彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立, 各輛車的乘客數(shù)和車輛數(shù)各輛車的乘客數(shù)和車輛數(shù)N(t)又是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的又是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的, 則到達(dá)體育館的總?cè)藬?shù)則到達(dá)體育館的總?cè)藬?shù)X(t)是一個(gè)復(fù)合泊松是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程過(guò)程, 其中：其中：( )1( ),0.N tnnX tYt 保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)服從一個(gè)保險(xiǎn)公