第4章Poisson過程

1、第第4 4章章 Poisson過程過程4.1 Poisson Poisson過程過程4.2 與與PoissonPoisson過程相聯(lián)系的若干分布過程相聯(lián)系的若干分布4.3 PoissonPoisson過程的推廣過程的推廣4.4 更新過程更新過程1 1798年入巴黎綜合工科學校深造年入巴黎綜合工科學校深造. 在畢業(yè)時，在畢業(yè)時，因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師因優(yōu)秀的研究論文而被指定為講師, 受到拉普拉受到拉普拉斯、拉格朗日的賞識斯、拉格朗日的賞識. 法國數(shù)學家法國數(shù)學家. 1781年年6月月21日生于法國盧瓦日生于法國盧瓦雷省的皮蒂維耶，雷省的皮蒂維耶，1840年年4月月25日卒于法國索鎮(zhèn)日卒于

2、法國索鎮(zhèn). 泊松的科學生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲泊松的科學生涯開始于研究微分方程及其在擺的運動和聲學理論中的應(yīng)用學理論中的應(yīng)用. 他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學方法研究各類力學他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學方法研究各類力學和物理問題，并由此得到數(shù)學上的發(fā)現(xiàn)和物理問題，并由此得到數(shù)學上的發(fā)現(xiàn). 他對積分理論、行星他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻都有重要貢獻. 1800年畢業(yè)后留校任教，年畢業(yè)后留校任教，1802年任副教授年任副教授, 1806年接替傅年接替傅里葉任該校教授里葉任該校教授. 18

3、08年任法國經(jīng)度局天文學家年任法國經(jīng)度局天文學家,1809年任巴黎年任巴黎理學院力學教授理學院力學教授. 1812年當選為巴黎科學院院士年當選為巴黎科學院院士.2(0-1)分布分布 隨機變量隨機變量 X 只可能有兩個值只可能有兩個值: 0 和和 1，其概率分布其概率分布為為：qpXPpXP1) 0( ,) 1(pqXDpXE)( ,)(二項分布二項分布 隨機變量隨機變量 X 為為n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X B (n, p)，概率分布為：，概率分布為：(),0,1,kn knP Xkp qknknpqXDnpXE)( ,)(復(fù)習復(fù)習3泊松分布泊松分布

4、 隨機變量隨機變量X 的所有可能取值為的所有可能取值為0, 1, 2, ，而取各個值的概率為而取各個值的概率為則隨機變量則隨機變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布，簡記，簡記為為P( )。)0( , 2 , 1 , 0 ,!e為常數(shù)kkkXPk)( ,)(XDXE泊松定理泊松定理 在二項分布中，設(shè)在二項分布中，設(shè) np= 是常數(shù)，則有是常數(shù)，則有!elimkkXPkn4復(fù)習復(fù)習5 隨機過程隨機過程N(t)，t0稱為計數(shù)過程，如果稱為計數(shù)過程，如果N(t)表示從表示從0到到 t 時刻某一特定事件時刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù)，它發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個特點：具備以下兩個特點： N(

5、t) 0且取值為整數(shù)；且取值為整數(shù)； 若若s t , 則則 N(s) N(t) 且且N(t) N(s)表示表示(s , t時時間內(nèi)事件間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。發(fā)生的次數(shù)。4.1 Poisson4.1 Poisson過程過程計數(shù)過程計數(shù)過程6 ,0,1,2,!nttP N tsN snenn注：注：由由( 3 )可知過程有平穩(wěn)增量可知過程有平穩(wěn)增量; 由于由于E(N(t)= t, 常將常將 稱為稱為Poisson過程的過程的速率速率或強度或強度，表示單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù)。，表示單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù)。PoissonPoisson過程定義過程定義 計數(shù)過程計數(shù)過程N(t)，t0稱為

6、參數(shù)為稱為參數(shù)為 00的的Poisson過程，如果：過程，如果： (1) N(0)=0; (2) 過程有獨立增量過程有獨立增量; (3) 對任意的對任意的 s，t 0，7解解(0.5)1,(2.5)5)P NN(0.5)1,(2.5)(0.5)4)P NNN5 . 041! 1)5 . 04(e244! 4)24(e0155.0設(shè)設(shè) 表示在時間表示在時間 t 時到達的顧客數(shù)時到達的顧客數(shù), 9:00為為0時刻時刻( )N t顧客到達某商店服從參數(shù)顧客到達某商店服從參數(shù) 人人/小時的泊松過程，小時的泊松過程，已知商店上午已知商店上午9:00開門，試求到開門，試求到9:30時僅到一位顧客，時僅到一

7、位顧客，而到而到11:30時總計已達時總計已達5位顧客的概率。位顧客的概率。4 PoissonPoisson過程在排隊論中的應(yīng)用過程在排隊論中的應(yīng)用(0.5)1) (2.5)(0.5)4)P NP NN8 若以若以N(t)表示表示0,t時間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù)時間內(nèi)發(fā)生事故的次數(shù). Poisson過過程程 是很好的一種近似是很好的一種近似. 考慮保險公司每次考慮保險公司每次賠付都是賠付都是1, 每月平均每月平均4次接到索賠要求，則一年中它次接到索賠要求，則一年中它要付出的平均金額為多少？要付出的平均金額為多少？( ),0N t t 4 12(4 12)(12)(0),!nP NNnen 事故的發(fā)生

8、次數(shù)和保險公司接到的索賠數(shù)事故的發(fā)生次數(shù)和保險公司接到的索賠數(shù)(12)(0)4 1248.E NN解解: 設(shè)一年開始為設(shè)一年開始為0時刻，時刻，1月末為時刻月末為時刻1，則年末，則年末為時刻為時刻12：均值均值9設(shè)設(shè) 是一個計數(shù)過程，它滿是一個計數(shù)過程，它滿（1）（2）過程有平穩(wěn)獨立增量，）過程有平穩(wěn)獨立增量，（3）存在）存在 當當 時，時，（4）當）當 時，時，( ),0N t t (0)0;N0,0h ()( )1( ),P N thN thh0h()( )2( ).P N thN thPoisson過程的等價定義過程的等價定義10Poisson過程的等價性過程的等價性(說明說明)11證明

9、：只需要驗證 服從參數(shù)為 的Poisson分布即可。記有因此令 得解此微分方程由 得 . 故( )N tt( )( ),0,1,2,.nP tP N tnn120( )( )1( )( ).1( ),P hP N hP hP hP h 0000()()0()( )0,( )0( )0 ()( )0( )( )( )(1( ).P thP N thP N thN tN tP N tP N thN tP t P hP tho h000()( )( )( ),P thP thP thh 0,h 00( )( ).PtP t 0( ).tP tKe0(0)(0)01PP N1K 0( ).tP teP

10、oisson過程的等價性過程的等價性(證明證明)12令令 ，得，得由歸納法得到由歸納法得到當當 時，時， 1n 0111() () ( ),()( )0 ( )1,()( ) 1 (),()( )2( ) ( )( ) ( )( )(1) ( )( )( ).nnnnnP thP N thnP N tn N thN tP N tnN thN tP N thn N thN tP t P hPt P ho hh P thPto h 1()( )( )( )( ),nnnnP thP tP tPthh 0h 1( )( )( ).nnnPtP tPt ()( )( ).!ntntP teP N tn

11、nPoisson過程的等價性過程的等價性(證明證明)于是于是13 反之，證明Poisson過程滿足條件(1)-(4)，只須驗證條件(3),(4)()( )1( )(0)11!hhP N thN tP N hNe0()1( )( ),!nnhhhhhhhn2()( )2( )(0)2()( ).!nhnP N thN tP N hNhehnPoisson過程的等價性過程的等價性(證明證明)14 事件 A 的發(fā)生形成強度為 的Poisson過程 如果每次事件發(fā)生時以概率 p 能夠被記錄下來，并以M(t)表示到 t 時刻被記錄的事件總數(shù)，則 為一個強度為 的Poisson過程。( ),0.N t t

12、 ( ),0M t t p()0,( ).!mptpttP M tmem0( )( )|( ) ( )nP M tmP M tm N tmn P N tmn00()() (1) (1)()! !m nmnmmnttm nnntptp tCppeemnm n(1)0() (1) ()().!mnmmttp tptnptp tptpteeeemnmm即驗證Poisson過程定義的應(yīng)用過程定義的應(yīng)用分析：分析： 由于每次事件獨立，記錄與不記錄都與其他事件是否被記錄獨立。事件發(fā)生服從Poisson分布，所以M(t)具有平穩(wěn)增量，只需驗證M(t)服從均值為 的Poisson分布。pt15 設(shè)設(shè)N( t

13、), t0)是參數(shù)為是參數(shù)為的泊松過程的泊松過程, 事件事件A在在0,時間時間區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)n次，試求次，試求:PN(s)=k|N()=n, 0kn,0st=0, t 內(nèi)事件A不出現(xiàn) PX1t=PN(t)=0=etXn的分布的分布 1111,0.tXFtP Xtet 即X1 服從均值為1/的指數(shù)分布. 21(2) 由泊松過程的平穩(wěn)獨立增量性,有 PX2t|X1=s=P在(s, s+t 內(nèi)事件A不發(fā)生|X1=s X1=sX2s+t=PN(s+t) N(s)=0 |X1=s= PN(t) N(0)=0= PN(t)=0= et由獨立增量性，與由獨立增量性，與s無關(guān)無關(guān) 故X2與X1相互獨立，

14、且X2也服從均值為1/的指數(shù)布.22由平穩(wěn)增量性由平穩(wěn)增量性(3) 對于一般 n1 和t0,以及 r1，r2，rn-10, 有PXnt |Xi=ri ,1in1=PN(t+r1+ +rn1) N(r1+r2+rn1)=0= PN(t) N(0)=0= et. 1,0.tnnFtP Xtet 即23 故Xn與X1 , Xn-1相互獨立，且Xn也服從均值為1/的指數(shù)布.注注 (1) 上述定理的結(jié)果應(yīng)該在預(yù)料之中上述定理的結(jié)果應(yīng)該在預(yù)料之中,因為泊因為泊松過程有平穩(wěn)增量松過程有平穩(wěn)增量,過程在任何時刻都過程在任何時刻都“重新開重新開始始”,這恰好就是這恰好就是“無記憶性無記憶性”的體現(xiàn)的體現(xiàn),正好與

15、指正好與指數(shù)分布的數(shù)分布的“無記憶性無記憶性”是對應(yīng)的是對應(yīng)的. (2) 泊松過程的另一個等價定義：泊松過程的另一個等價定義： 如果每次事件發(fā)生的時間間隔如果每次事件發(fā)生的時間間隔X1,X2,相互相互獨立，且服從同一參數(shù)獨立，且服從同一參數(shù) 的指數(shù)分布，則計數(shù)過的指數(shù)分布，則計數(shù)過程程N(t),t0是參數(shù)為是參數(shù)為 的泊松過程的泊松過程. (3)上述定義提供模擬泊松過程的途徑上述定義提供模擬泊松過程的途徑.24甲、乙兩路公共汽車都通過某一車站，兩路汽車的到達分別甲、乙兩路公共汽車都通過某一車站，兩路汽車的到達分別服從服從10分鐘分鐘1輛輛(甲甲)，15分鐘分鐘1輛輛(乙乙)的泊松分布的泊松分布

16、. 假定車總不假定車總不會滿員，試問可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所會滿員，試問可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時間的概率分布及其期望需等待時間的概率分布及其期望.例題例題解解:兩路車混合到達過程為兩路車混合到達過程為 ，)()()(21tXtXtX6/121甲、乙兩路公共汽車到達情況的泊松分布甲、乙兩路公共汽車到達情況的泊松分布 和和 的參數(shù)分別為的參數(shù)分別為 ，)(1tX)(2tX10/1115/12 公共汽車的到達時間間隔服從均值為公共汽車的到達時間間隔服從均值為6分鐘的指數(shù)分鐘的指數(shù)分布。分布。再由指數(shù)分布的無記憶性，再由指數(shù)分布的無記憶性，這位乘客的等待時這位乘

17、客的等待時間也服從均值為間也服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。分鐘的指數(shù)分布。25 離去的人數(shù)離去的人數(shù) 是強度為是強度為3的的Poisson過程過程(小時小時為單位為單位). 設(shè)設(shè)8：00為為0時刻時刻, 則則( )N t12()(12)(4)(0),0,1,2,!nnttP NNkeekkk912(12)(4)9.9!P Ne 例題例題 早上早上8：00開始有無窮多個人排隊等候服務(wù)，只有開始有無窮多個人排隊等候服務(wù)，只有一名服務(wù)員，每個接受服務(wù)的時間是獨立的服從均值為一名服務(wù)員，每個接受服務(wù)的時間是獨立的服從均值為20min的指數(shù)分布。那么，中午的指數(shù)分布。那么，中午12：00為止平均多少人為止

18、平均多少人已離去，已有已離去，已有9個人接受服務(wù)的概率是多少？個人接受服務(wù)的概率是多少？解：解：其均值為其均值為12，即到，即到12：00為止，離去的人數(shù)為止，離去的人數(shù)平均為平均為12人人, 有有9個人接受過服務(wù)的概率為個人接受過服務(wù)的概率為26 1(),0;(1)!0,0Snnttetftnt 注：在排隊論中稱注：在排隊論中稱Sn 服從服從愛爾朗分布愛爾朗分布. 參數(shù)為參數(shù)為的泊松過程的泊松過程N(t),t0,事件事件A第第n 次出現(xiàn)的等待時間次出現(xiàn)的等待時間Sn服從服從 分布分布,其概率密度為：其概率密度為： ( , )nSn的分布的分布定理定理4-24-227( )( ),0!nktS

19、nk ntFtP StP N tnetk 1,1 !nnkkttSSk nk nttftFteekk 1,0.(1)!nttetnSnt=N(t)n=0, t內(nèi)內(nèi)A至少出現(xiàn)至少出現(xiàn)n次次證證: 因因Sn是事件是事件A 第第 n次出現(xiàn)的次出現(xiàn)的等待時間等待時間,故故28注：注：1), 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 110,0,1,1!xxf xxexxe dxnn 22),XEXDX 若有 123),XYXY若且與獨立，則獨立，則12,.XYProof 2: 因為因為Sn=X1+X2+Xn， Xi均服從指數(shù)分布，而參數(shù)為均服從指數(shù)分布，而參數(shù)為指數(shù)分布即為指數(shù)分布即為1,所以所以Sn服從服從,.n2

20、9 已知儀器在已知儀器在 0 , t 內(nèi)發(fā)生振動的次數(shù)內(nèi)發(fā)生振動的次數(shù) N(t) 是具有參數(shù)是具有參數(shù) 的的泊松過程。若儀器振動泊松過程。若儀器振動k (k 1)次就會出現(xiàn)故障，求儀器次就會出現(xiàn)故障，求儀器在時刻在時刻 t0 正常工作的概率。正常工作的概率。解：解：1(), 0( )(1)!0 , 0kktStetftkt 故儀器故儀器在時刻在時刻 t0 正常工作的概率正常工作的概率為為:010()()d(1)!ktkttPP Stetk 故障時刻即儀器發(fā)生第故障時刻即儀器發(fā)生第k次振動的時刻，次振動的時刻，Sk 服從服從 分布分布:01000()()!nktntP Ntken 例題例題30設(shè)

21、有設(shè)有n位顧客在位顧客在0時刻排隊進入僅有一個服務(wù)員的系統(tǒng)時刻排隊進入僅有一個服務(wù)員的系統(tǒng).假定每位顧客的服務(wù)時間獨立假定每位顧客的服務(wù)時間獨立,均服從參數(shù)為均服從參數(shù)為的指數(shù)的指數(shù)分布分布.以以N(t)表示到表示到 t 時刻為止已被服務(wù)過的顧客人數(shù)時刻為止已被服務(wù)過的顧客人數(shù).求求:（1）EN(t) ; （2）第）第n位顧客等候服務(wù)時間的數(shù)學期望位顧客等候服務(wù)時間的數(shù)學期望; （3）第第n位顧客能在位顧客能在 t 時刻之前完成服務(wù)的概率時刻之前完成服務(wù)的概率. 100( )1!knxxkxF xek ,n 例題例題31解解:（1）由新定義）由新定義, N(t),t0為強度為強度的的Poiss

22、on 過程，過程，故故 EN(t)=t ；（2）記第）記第n位顧客完成服務(wù)的時刻為位顧客完成服務(wù)的時刻為 ，根據(jù)定理，根據(jù)定理4-2, 第第n位顧客等候服務(wù)時間為位顧客等候服務(wù)時間為,nn 101,0!nkntnktPtFtetk （3）根據(jù)定理）根據(jù)定理4-2,11,nn11nnE1111111,nnniniiinX EEX3200. (1) (2)tPoissonaaW一理發(fā)師在時開門營業(yè)，設(shè)顧客按強度為 的過程到達，每個顧客理發(fā)需 分鐘，求:第二個顧客到達后不需等待就直接理發(fā)的概率；第二個顧客到達后等待時間的平均值12221, SSXSS 設(shè)第一個顧客到達時間為第二個顧客到達時間為則二人

23、時間差，22(1), ()xaaXaP Xaedxe若則第二個顧客到達后不需等待就直接理發(fā)，例題例題33解解:22222(2),00, XaaXaXXaWXa若則第二個顧客到達后需要等待，等待時間分鐘，故等待時間 201( )()1 .ataXEWwft dtatedtae3420 ()1,axaP Xaedxe 22( )( ),0tXXftFtet22( ) ()1,tXFtP Xte 4.2.2 事件發(fā)生時刻的條件分布事件發(fā)生時刻的條件分布 假設(shè)在假設(shè)在0, t 內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生一次，我們已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一事件到達時間要確定這一事件到達時間X1的分布。的分布。泊松過程泊松

24、過程平穩(wěn)獨立增量過程平穩(wěn)獨立增量過程 可以認為可以認為0, t 內(nèi)長度相等的區(qū)間包含這個事內(nèi)長度相等的區(qū)間包含這個事件的概率應(yīng)該相等，或者說，這個事件的到達時件的概率應(yīng)該相等，或者說，這個事件的到達時間應(yīng)在間應(yīng)在0, t 上服從均勻分布。上服從均勻分布。11|( )?P Xs N t 對于對于0st有有35即即條件條件分布函數(shù)分布函數(shù)為：為：1|( ) 10,0( ),01,X N tssFssttst條件分布密度條件分布密度為：為：11100其它|( ),( ),XNtstfst 11,11,0|111101t sstP Xs N tP N sN tN sP Xs N tP N tP N t

25、P N sN tN sseestetP N t0stX136在已知在已知N(t)=n的條件下，事件發(fā)生的的條件下，事件發(fā)生的 n個時刻個時刻S1， S2， ,Sn的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為定理定理4-41212!( ,.,),0.nnnnf tttttttt 證明證明 設(shè)設(shè) ，取，取 充分小使得充分小使得1210nntttttih1, 1,2,iiithtin11,1,2,( ) ()( )1,()()0,0,( )0( ( )iiiiiiiiiiP tSth in N tnP N thN tN tN thin N tP N tn 3711()11()!nnhthhhntnnnh eh

26、eeetnnhht 所以，所以，1max012122,1( )( ,)lim!, 0.iiiiinhni nnnP tSthin N tnf tth hhntttt 38 當當 時，時， 的條件分布與的條件分布與0, t 區(qū)間上服從均勻分布的區(qū)間上服從均勻分布的n個相互獨立隨機變量個相互獨立隨機變量 的順序統(tǒng)計量的順序統(tǒng)計量 的聯(lián)合分的聯(lián)合分布相同。布相同。 在已知在已知0, t 發(fā)生了發(fā)生了n次事件的前提下，各次事次事件的前提下，各次事件發(fā)生的時刻件發(fā)生的時刻 （不排序）可看作相互（不排序）可看作相互獨立的隨機變量，且都服從獨立的隨機變量，且都服從0, t 上的均勻分布。上的均勻分布。( )

27、N tn12,.,nS SS12,.,nY YY(1)(2)( ),.,nYYY12,.,nS SS說明說明39假設(shè)乘客按參數(shù)為假設(shè)乘客按參數(shù)為 的泊松過程來到一個火車站，若火的泊松過程來到一個火車站，若火車在時刻車在時刻 t 起程，求在起程，求在0, t內(nèi)到達車站的乘客等待時間總內(nèi)到達車站的乘客等待時間總和的期望，即求和的期望，即求其中，其中， 是第是第 i 個乘客的來到時刻。個乘客的來到時刻。iS( )1()N tiiEtS 例題例題在在N(t)給定的條件下，取條件期望，給定的條件下，取條件期望，解：解：( )111()|( )()|( )|( ).N tniiiiniiEtSN tnEt

28、SN tnntESN tn 40記記 為為n個獨立的服從個獨立的服從(0, t 上均勻分上均勻分布的隨機變量，有布的隨機變量，有12,.,nU UU111|( ),2()|( ).22nniiiiniintESN tnEUntntEtSN tnnt ( )( )112() ()|( )( )( ).222N tN tiiiiEtSE EtSN tN t tttEE N t所以所以41( )( )P N sk N tn 1knkknssCtt 參數(shù)為參數(shù)為 n 和和 s/t 的的二項分布二項分布( ),( )( )P N sk N tnP N tn ( ),( )( )( )P N sk N t

29、N snkP N tn ()() ()!()!()!ksn kt sntsetseknkten !()!()!kn knnstsknkt 設(shè)在設(shè)在0, t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次次,且且0 s t,對對0 k n ,求在求在0, s內(nèi)事件內(nèi)事件A發(fā)生發(fā)生 k 次的概率次的概率.練習練習解：解：42( ) ()( )P N sk P N tsnkP N tn 設(shè)事件設(shè)事件A在在s時刻被記錄的概率是時刻被記錄的概率是 ，若以，若以 表示表示到到 t 時刻被記錄的事件數(shù)，還是一個時刻被記錄的事件數(shù)，還是一個Poisson過程么？過程么？解：解： 不是一個不是一個Poisson過程，雖然它具

30、有獨立過程，雖然它具有獨立增量性增量性. 但是，受但是，受 影響，不再有平穩(wěn)增量性影響，不再有平穩(wěn)增量性.可以證明，對可以證明，對 依然是依然是Poisson分布，參數(shù)與分布，參數(shù)與 有關(guān)有關(guān). 的均值為的均值為 其中其中( )P s( )M t( )M t( )P s,( )t M t,( )t P s( )M t,tp01( ).tpP s dst例題例題430000,t|N(t)=m+ks|N(t)=m+k11( )( ).tttpPPdsP s dsP s dstt事件在內(nèi)發(fā)生且被記錄事件在 發(fā)生且被記錄00( )( )|( ) ( )()(1)( ).kmkkP M tmP M tm

31、 N tmk P N tmkmkpp P N tmkm事實上，若對N(t)給定的條件下取條件期望，則有其中，p：440000( )|( ) ( )()()(1)()!()!()(1)! !()!()(1)()!().!km kmktkm kmktkmktkkmptP M tm N tmk P N tmkmktppemmkmktppem kmktppetmktpem()( ).!mpttpP M tmem從而從而所以所以454.3 Poisson4.3 Poisson過程的推廣過程的推廣4.3.1 非齊次非齊次Poisson過程過程4.3.2 復(fù)合復(fù)合Poisson過程過程464.3.1 4.3

32、.1 非齊次非齊次PoissonPoisson過程過程 齊次齊次Poisson過程，其強度過程，其強度是常數(shù)，意味著在不是常數(shù)，意味著在不同時刻，事件發(fā)生的速率都是個恒定值。同時刻，事件發(fā)生的速率都是個恒定值。當當Poisson過過程的強度程的強度隨時間隨時間t 變化時變化時,Poisson過程被推廣成為非齊過程被推廣成為非齊次次Poisson過程過程. 在實際中在實際中,非齊次非齊次Poisson過程也是比較常用的過程也是比較常用的.例例如在考慮設(shè)備故障率時如在考慮設(shè)備故障率時,由于設(shè)備使用年限的變化由于設(shè)備使用年限的變化,出故出故障的可能性會隨之變化障的可能性會隨之變化;放射性物質(zhì)的衰變速

33、度放射性物質(zhì)的衰變速度,會因會因各種外部條件的變化而隨之變化各種外部條件的變化而隨之變化;昆蟲產(chǎn)卵的平均數(shù)量昆蟲產(chǎn)卵的平均數(shù)量隨年齡和季節(jié)的變化而變化等隨年齡和季節(jié)的變化而變化等.47計數(shù)過程計數(shù)過程N(t),t0稱為強度函數(shù)為稱為強度函數(shù)為 的非平的非平穩(wěn)或非齊次泊松過程，如果穩(wěn)或非齊次泊松過程，如果 t (1)00;(2),02;(4)1.NN ttP N thN to hP N thN tt ho h有獨立增量;(3)定義定義48 !.!t stkm tsm tktsu dutm tsm tP N tsN tneku duek 令令 ，計數(shù)過程，計數(shù)過程N(t),t0稱為強度函數(shù)為稱為強

34、度函數(shù)為 的非齊次的非齊次Poisson過程，如果過程，如果 0tm ts ds t (1)00;(2),0NN tt 有獨立增量；有獨立增量；等價定義（定理等價定義（定理4-64-6）(3) 對任意實數(shù)對任意實數(shù)t0，s0，N(t+s)-N(t)為具有參數(shù)為具有參數(shù) 的的Poisson分布，即：分布，即： ( )dt stm tsm tuu 稱為非齊次稱為非齊次Poisson過程的過程的均值函數(shù)均值函數(shù)(或累積強度函數(shù)或累積強度函數(shù))49定理定理 設(shè)設(shè)N(t),t0是一個強度函數(shù)為是一個強度函數(shù)為 的非齊次泊松過的非齊次泊松過程，程， 的的反函數(shù)，對任意反函數(shù)，對任意t0，令，令 非齊次非齊

35、次Poisson過程的重要性在于不再要求平穩(wěn)增量，過程的重要性在于不再要求平穩(wěn)增量，從而允許事件在某些時刻發(fā)生的可能性較之另一些時刻從而允許事件在某些時刻發(fā)生的可能性較之另一些時刻來得大來得大; 非齊次非齊次Poisson過程與齊次過程與齊次Poisson過程可通過變換相過程可通過變換相互轉(zhuǎn)化互轉(zhuǎn)化. t 1mtm t 是是 1,NtN mt 則則 是一個強度為是一個強度為1的的Poisson過程。過程。轉(zhuǎn)化定理轉(zhuǎn)化定理 Nt 50證明：證明： （1） 只需驗證定義中的條件只需驗證定義中的條件14，條件，條件12較顯較顯然，下面驗證條件然，下面驗證條件34. 記記 ，則，則1( )( )v t

36、mt1( )( )( ( )NtN mtN v t設(shè)設(shè)11( ), ()vmtvhmth則則( ), ()tm vthm vh()( ) ( ) ( )( )v hvhm vhm vs dsv ho h1()()()NthN mthN vh1( )( )( )NtN mtN vvtvv htth( )tm v1( )vmt51000()( )1lim()( )1lim( )( )( )( )= lim1( )( )hhhP NthNthP N vhN vv ho hv ho hv ho h 即即()( )1( )P NthNtho h同理可得同理可得()( )2( )P NthNto h所以所

37、以 是參數(shù)為是參數(shù)為 1 的的Poisson過程。過程。 ,0Ntt52 設(shè)設(shè)N(t), t0是齊次泊松過程，強度為是齊次泊松過程，強度為1若給定強度函數(shù)若給定強度函數(shù) ,0ss ，令，令 0,tm ts dsNtN m t 則則 是有強度函數(shù)為是有強度函數(shù)為 非齊次泊松過程非齊次泊松過程. t ,0Ntt 轉(zhuǎn)化定理轉(zhuǎn)化定理(2)(2)53設(shè)某設(shè)備的使用期限為設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前年，在前5年內(nèi)它平均年內(nèi)它平均2.5年需要維修年需要維修一次，后一次，后5年平均年平均2年需要維修一次，求它在使用期內(nèi)只維修過年需要維修一次，求它在使用期內(nèi)只維修過一次的概率。一次的概率。1,05,2.5(

38、 )1,510,2ttt 1051000511(10)( )2mt dtdtdt914.52(4.5)9(10)(0)1.1!2P NNee解解 ： 考慮非齊次泊松過程，強度函數(shù)考慮非齊次泊松過程，強度函數(shù)例題例題所以，所以，54設(shè)某路公共汽車從早上設(shè)某路公共汽車從早上5時到晚上時到晚上9時有車發(fā)出，時有車發(fā)出，乘客流量如下：乘客流量如下：5時按平均乘客為時按平均乘客為200人人/時計算；時計算；5時至時至8時乘客平均到達率按線性增加，時乘客平均到達率按線性增加，8時到達率時到達率為為1400人人/時；時；8時至時至18時保持平均到達率不變；時保持平均到達率不變；18時到時到21

39、時從到達率時從到達率1400人人/時按線性下降，到時按線性下降，到21時為時為200人人/時。假定乘客數(shù)在不相重疊時間間隔時。假定乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內(nèi)是相互獨立的。求內(nèi)是相互獨立的。求12時至時至14時有時有2000人來站乘人來站乘車的概率，并求這兩個小時內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)車的概率，并求這兩個小時內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學期望。學期望。練習練習55解：將時間解：將時間5:0021:00平移為平移為016,依題意得依題意得乘客到達率為：乘客到達率為： 1613,134001400133,140030,400200tttttt 16t乘客到達率與時間關(guān)系56 !20002

40、8002000792000141228001400792000280097eXXP：dtXXE名乘客的概率為時有時在 人時乘客數(shù)的期望為時2800791412 XXE：57定義：定義：稱隨機過程稱隨機過程X(t),t0為復(fù)合為復(fù)合Poisson過程，如果過程，如果對于對于t0， X(t)可以表示為可以表示為其中其中N(t),t0是一個是一個Poisson過程，過程，Yi , i=1,2,是一族是一族獨立同分布的隨機變量，并且與獨立同分布的隨機變量，并且與N(t),t0也是獨立的也是獨立的. 1N tiiX tY 4.3.2 4.3.2 復(fù)合復(fù)合PoissonPoisson過程過程 復(fù)合復(fù)合Po

41、isson過程不一定是計數(shù)過程；過程不一定是計數(shù)過程；當當Yi 為常數(shù)時，可化為為常數(shù)時，可化為Poisson過程過程.58例子例子 到達體育場的公共汽車數(shù)是一泊松過程到達體育場的公共汽車數(shù)是一泊松過程,而每輛公共汽車而每輛公共汽車內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個隨機變量。若各輛車內(nèi)的乘客數(shù)內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個隨機變量。若各輛車內(nèi)的乘客數(shù)Yn服服從相同分布從相同分布, 且又彼此統(tǒng)計獨立且又彼此統(tǒng)計獨立, 各輛車的乘客數(shù)和車輛數(shù)各輛車的乘客數(shù)和車輛數(shù)N(t)又是統(tǒng)計獨立的又是統(tǒng)計獨立的, 則到達體育館的總?cè)藬?shù)則到達體育館的總?cè)藬?shù)X(t)是一個復(fù)合泊松是一個復(fù)合泊松過程過程, 其中：其中：( )1( ),0.N tnnX tYt 保險公司接到的索賠次數(shù)服從一個保險公