材料力學(xué)第六章

1、Mechanics of Materials材料力學(xué)編制：鄒思敏審定：袁海慶配套教材：武漢理工大學(xué)出版社材料力學(xué)第三版 （主編袁海慶）6 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力編制：鄒思敏審定：袁海慶配套教材：武漢理工大學(xué)出版社材料力學(xué)第三版 （主編袁海慶）6.1 梁橫截面上的正應(yīng)力6.2 梁橫截面上的切應(yīng)力6.3 梁的強度條件6.4 梁的合理截面6.5 非對稱截面梁的平面彎曲 彎曲中心6.6 考慮材料塑性時梁的極限彎矩6 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力6.1 梁橫截面上的正應(yīng)力 梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲（橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力）。 在橫向力的作用下，一般說來，梁的橫截面上既有彎矩在橫向力的作用下，一般說來，梁的

2、橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力），稱），稱為橫力彎曲。為橫力彎曲。6.1.1 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力.純彎曲的概念純彎曲的概念.純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式）對變形幾何關(guān)系的觀察實驗：）對變形幾何關(guān)系的觀察實驗：橫向線仍為直線，只是相對轉(zhuǎn)動了一個角度且仍與縱向線正交。 縱向線由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長。變形規(guī)律變形規(guī)律mmnnMMmmnn.純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式）對變形幾何關(guān)系的觀察實驗：）對變形幾何關(guān)系的觀察實驗：mmnnM

3、Mmmnn基本假設(shè)基本假設(shè)（1）梁橫截面變形后仍保持為一平面，且仍與彎曲后的梁軸線正交，只是象剛性平面一樣繞其上的某軸轉(zhuǎn)動了一個角度。 平面假設(shè)（2）梁是由一層層縱向纖維組成的。梁變形后，靠近凹邊纖維縮短，靠近凸邊纖維伸長，且各縱向纖維之間無擠壓。梁的中性層：長度無改變的纖維層。截面的中性軸：中性層與截面的交線。（）根據(jù)幾何關(guān)系建（）根據(jù)幾何關(guān)系建立縱向線應(yīng)變關(guān)系：立縱向線應(yīng)變關(guān)系：(a) . ydddy)(ymmnn1K2K1dmmnnK1mmnndxoo1yK2）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：yKzy1121OOOOKKxxKKdd21（）根據(jù)幾何關(guān)系建（）根據(jù)幾何關(guān)系建立縱向線應(yīng)變關(guān)

4、系：立縱向線應(yīng)變關(guān)系：(a) . ymmnn）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：yKzy+（）引入虎克定律建立（）引入虎克定律建立應(yīng)力關(guān)系：應(yīng)力關(guān)系：(b) . yEE（）運用靜力學(xué)關(guān)系建立應(yīng)力與（）運用靜力學(xué)關(guān)系建立應(yīng)力與內(nèi)力的關(guān)系：內(nèi)力的關(guān)系：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：yKzy+ANdAFAAAyEAyEdd面積矩為 0，表明中性軸 z 軸為形心軸。0zASydA即有中性軸位置確定中性軸位置確定（）運用靜力學(xué)關(guān)系建立應(yīng)力與（）運用靜力學(xué)關(guān)系建立應(yīng)力與內(nèi)力的關(guān)系：內(nèi)力的關(guān)系：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：yKzy+AdAyMydAyEMA梁變形曲率計算公式Z1EIMzIMy正

5、應(yīng)力公式正應(yīng)力公式 yEAdAyE2zIE截面上的最大正應(yīng)力與截面模量：截面上的最大正應(yīng)力與截面模量：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：）正應(yīng)力公式推導(dǎo)：zymaxy+zIMymaxmax抗彎截面模量抗彎截面模量令maxyIWzZzWMmaxzhb6212223zbhhbhhIWzd32264234zDDDDIWz6.1.2 橫力彎曲時梁橫截面上正應(yīng)力 的計算工程中常見的梁彎曲是橫力彎曲工程中常見的梁彎曲是橫力彎曲 實驗和彈性力學(xué)理論的研究都表明：當(dāng)跨度 l 與橫截面高度 h 之比 l / h 5 （細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。例例6.16.1 設(shè)例題設(shè)例題5.75.7中梁由中梁由101

6、0號工字鋼制成，求號工字鋼制成，求B B 截面上截面上的最大正應(yīng)力和該截面腹板的最大正應(yīng)力和該截面腹板部分的最大正應(yīng)力。部分的最大正應(yīng)力。MPa6 .81Pa106 .81104910663ZmaxWMMPa0 .69Pa100 .69108 .245104 .421046833ZcIyMCC 2kN/mABC4m4m 1kN44 kNm43cm8 .245,cm49zzIW解：解： 查表得：查表得：mm4 .426 . 721002thyCCycth6.2 梁橫截面上的切應(yīng)力cdnmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1FFQFQMM+dMmnmnmncddFdx*2F*

7、1Fmmnndxx6.2.1 矩形截面梁的切應(yīng)力矩形截面梁的切應(yīng)力假設(shè)：假設(shè)：（） 距中性軸距離相同的各點切應(yīng)力大小相等（即切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布）。FQFQMM+dMmnmnmmnndxx用相互平行的兩個橫截面m-m、n-n截下一段作為研究對象。dx（） 各點處切應(yīng)力的方向與截面?zhèn)冗吰叫?。xFQFQMM+dM問題：求到中性軸距離為y 的cd 線處切應(yīng)力。nmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1F*1d*AFA*1d*AIMyAz*1*1d*AyIMFAzy1mncddFdx*2F*1F2cdmnmn2*d*AFA*1dd*AyIMMAz*1*2dd*AyIMMFAzy

8、1yx1、切應(yīng)力公式以cd 以下部分為脫離體：FQFQMM+dMnmcdc1d1m1n1dFA*dxbm1n1mn *2F*1FmncddFdx*2F*1F2cdmnmn2xbFdd 0XFFFd*20dddd*1*1*xbAyIMAyIMMAzAz*1ddd1*AyxMbIAzbISFzzQy1y橫截面上cd線以下部分對中性軸的面積矩。z問題：求到中性軸距離為y 的cd 線處切應(yīng)力。1、切應(yīng)力公式以cd 以下部分為脫離體：AFQ23max)4(222yhIFzQ矩、矩形截面剪應(yīng)力的分布：*1*d*AySAz1*ddybA121*dybyShyz)4(222yhbzyhbQF1yQFmaxbI

9、SFzzQ拋物線分布6.2.26.2.2、工字形截面梁的切應(yīng)力、工字形截面梁的切應(yīng)力dISFyzzw*Q)(假設(shè)假設(shè) : : 平行于腹板側(cè)邊，平行于腹板側(cè)邊，并沿其厚度均勻分布并沿其厚度均勻分布、腹板切應(yīng)力按矩形截面計算距中性軸距離為距中性軸距離為y y的橫線以外部分的橫線以外部分的橫截面積對中性軸的靜矩的橫截面積對中性軸的靜矩*zSdISFzz*maxQmax半個橫截面面積對中性軸的靜矩半個橫截面面積對中性軸的靜矩*maxzSd2、橫截面上最大切應(yīng)力翼緣上平行于y 軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮。例例6.26.2 簡支梁由簡支梁由56a號工字鋼制成。試求最大切應(yīng)力和同一橫號工字鋼制成。試求

10、最大切應(yīng)力和同一橫截面上翼緣與腹板交界處截面上翼緣與腹板交界處c c點的切應(yīng)力。點的切應(yīng)力。B5 m10 mAF=150kN CFA FB 12.521166zc解：解： 作剪力圖，知最大剪力為：作剪力圖，知最大剪力為：+75kN75kNkN75maxQF查型鋼表得查型鋼表得m1073.472*zzSI4cm65600zI例例6.26.2 簡支梁由簡支梁由56a號工字鋼制成。試求最大切應(yīng)力和同一橫號工字鋼制成。試求最大切應(yīng)力和同一橫截面上翼緣與腹板交界處截面上翼緣與腹板交界處c c點的切應(yīng)力。點的切應(yīng)力。 12.521166zc解：解：（）最大切應(yīng)力：（）最大切應(yīng)力：kN75maxQFm107

11、3.472*zzSIdISFzzQmaxmaxdSIFzzQmaxMPa6 .12105 .121073.477500032例例6.26.2 簡支梁由簡支梁由56a號工字鋼制成。試求最大切應(yīng)力和同一橫號工字鋼制成。試求最大切應(yīng)力和同一橫截面上腹板部分與翼緣交界處截面上腹板部分與翼緣交界處c c點的切應(yīng)力。點的切應(yīng)力。 12.521166zc解：解：（）腹板上與翼緣交界處（）腹板上與翼緣交界處c點切應(yīng)力：點切應(yīng)力：kN75maxQFdISFzzQwcMPa6 . 8105 .12106560010.750003434maxm104.9221256021166zS4cm65600zI1 1、假定、

12、假定切應(yīng)力的分布特征：切應(yīng)力的分布特征：(1) (1) 沿壁厚切應(yīng)力的大小不變；沿壁厚切應(yīng)力的大小不變；(2) (2) 切應(yīng)力的方向與所在圓周相切。切應(yīng)力的方向與所在圓周相切。6.2.3 薄壁環(huán)形截面梁的切應(yīng)力薄壁環(huán)形截面梁的切應(yīng)力zyOmaxdr0maxddsin2dcos2*0rrrSzd3rIzddddrFrrF)2()2(Q320Qmax2 2、薄壁環(huán)形截面梁最大切應(yīng)力的計算、薄壁環(huán)形截面梁最大切應(yīng)力的計算AFQmax200yzydr計算到中性軸距離為 y 以外的部分對 z 軸面積矩：查表得：最大切應(yīng)力max 仍發(fā)生在中性軸z上。dd22*max22sin2rrSzbISFzzQmax

13、maxd2b02rAd薄壁環(huán)形截面梁最大切應(yīng)力6.2.4 圓截面梁的切應(yīng)力圓截面梁的切應(yīng)力切應(yīng)力的分布特征：切應(yīng)力的分布特征： 邊緣各點切應(yīng)力的方向與圓周相切；切應(yīng)力分布與 y 軸對稱。最大切應(yīng)力出現(xiàn)在中性軸位置。zyOmaxd6.2.4 圓截面梁的切應(yīng)力圓截面梁的切應(yīng)力最大切應(yīng)力計算：最大切應(yīng)力計算：zyOmaxdyzOC2d /3bISFzz*maxQmaxdddF641243QAF34Qmax半圓形心距中性軸半圓形心距中性軸3d123242132*maxdddSz42dA2S434dF6.3 梁的強度條件6.3.1 梁的正應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力強度條件正應(yīng)力強度條件正應(yīng)力強度條件 max

14、 zWMmaxzWMmaxmax等直梁：等直梁正應(yīng)力強度條件：（中性軸為橫截面對稱軸的等直梁）拉、壓強度不相等材料制成的梁：Ozyytmaxycmaxtmaxt最大拉應(yīng)力：最大拉應(yīng)力：cmaxc最大壓應(yīng)力：最大壓應(yīng)力：梁的正應(yīng)力強度條件應(yīng)用：梁的正應(yīng)力強度條件應(yīng)用： 1 1、強度校核 2、截面選擇 3、確定容許荷載 zWMmax maxMWz zWMmax6.3.2 梁的切應(yīng)力強度條件梁的切應(yīng)力強度條件 max bISFzz*maxmaxQ對等直梁，有 一般max發(fā)生在FQmax所在截面的中性軸處。不計擠壓，則max所在點處于純剪切應(yīng)力狀態(tài),可按純剪切應(yīng)力狀態(tài)建立梁的切應(yīng)力強度條件：梁的切應(yīng)力

15、強度條件應(yīng)用：梁的切應(yīng)力強度條件應(yīng)用： 1 1、強度校核、強度校核 2 2、截面選擇、截面選擇 3 3、確定容許荷載、確定容許荷載6.3.2 梁的切應(yīng)力強度條件梁的切應(yīng)力強度條件梁的截面設(shè)計必須同時滿足正應(yīng)力強度條件與切應(yīng)力強梁的截面設(shè)計必須同時滿足正應(yīng)力強度條件與切應(yīng)力強度條件。通常梁的強度是由正應(yīng)力強度條件所控制，正應(yīng)度條件。通常梁的強度是由正應(yīng)力強度條件所控制，正應(yīng)力強度條件滿足時，切應(yīng)力強度條件一般會自動滿足。力強度條件滿足時，切應(yīng)力強度條件一般會自動滿足。在以下特殊情況下，還必須校核梁的切應(yīng)力強度條件：在以下特殊情況下，還必須校核梁的切應(yīng)力強度條件：、梁的最大彎矩較小，而剪力很大時；

16、、焊接或鉚接組合截面梁，其腹板厚度與高度之比小于型鋼截面相應(yīng)比值時。6.4 梁的合理截面AzAyId2maxyIWzzzWMmax 1) 橫截面積分布應(yīng)盡量遠(yuǎn)離中性軸，越大越好。AWz選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀A(yù)zAyId2maxyIWzzzWMmax 1) 橫截面積分布應(yīng)盡量遠(yuǎn)離中性軸，越大越好。AWz選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀A(yù)zAyId2maxyIWzzzWMmax圖a34cm343 cm7452zzWI，圖b34cm215 cm7171zzWI，圖c34cm86 cm690zzWI，圖d34cm343 cm7452zzWI，選擇合

17、理的截面形狀選擇合理的截面形狀A(yù)zAyId2maxyIWzzzWMmax 工程中的吊車梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板。選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀A(yù)zAyId2maxyIWzzzWMmax風(fēng)電塔筒風(fēng)電塔筒 2) 對于拉、壓許用應(yīng)力不相等的材料（例如大多數(shù)脆性材料），采用T字形等中性軸距上下邊不相等的截面, 使中性軸靠近拉應(yīng)力的一側(cè)，以使危險截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力盡可能同時達到材料的許用應(yīng)力。Ozyytmaxycmax選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀A(yù)zAyId2maxyIWzzzWMmax 3) 采用變截面梁選擇合理的截面形狀選擇合理的

18、截面形狀A(yù)zAyId2maxyIWzzzWMmax等強度梁成昆線成昆線 舊莊河舊莊河 一號橋一號橋 中國鐵路上首次采用懸臂拼裝法施工的預(yù)應(yīng)力混凝土橋， 主跨為24+48+24(m) 鉸接懸臂梁鉸接懸臂梁。 （一個單元）（一個單元）例例6.36.3 圖示為由工字鋼梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力圖示為由工字鋼梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力=152 MPa，許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力=95 MPa 。試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。解：解：作計算簡圖和彎矩圖作計算簡圖和彎矩圖mkN375maxM、根據(jù)正應(yīng)力強度條件選擇截面、根據(jù)正應(yīng)力強度條件選擇截面與要求的與要求的Wz相差不到相差不到1%，可以選用。，可以選用。

19、 zWMmax 3maxm102461015210375MWz363m102450cm2450zW查型鋼表得查型鋼表得56b號工字鋼的號工字鋼的Wz比較接近要求值比較接近要求值30kNm10 m375kNmM例例6.36.3 圖示為由工字鋼梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力圖示為由工字鋼梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力=152 MPa，許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力=95 MPa 。試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。解：解：30kNm10 m、根據(jù)正應(yīng)力強度條件選擇截面、根據(jù)正應(yīng)力強度條件選擇截面、根據(jù)切應(yīng)力強度條件校核、根據(jù)切應(yīng)力強度條件校核375kNmM作剪力圖作剪力圖+FQ150kN150kNkN150maxQF

20、查表，查表，56b56b號工字鋼：號工字鋼：m1017.472*zzSIdISFzzQmaxmaxdSIFzzQmax21.9MPaPa109 .21105 .141017.47150000632安全安全例例6.46.4 T T字形鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力字形鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力 t =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 a =90 MPa。按合理截面要求確定尺寸。按合理截面要求確定尺寸 ，并按所確定的截面尺寸計算梁的容許荷載。并按所確定的截面尺寸計算梁的容許荷載。解：解：根據(jù)截面最為合理的要求根據(jù)截面最為合理的要求mm210y1m2mBAFCy2y1z60220

21、yO220d319030atmaxamaxty0由幾何關(guān)系可確定截由幾何關(guān)系可確定截面形心合理位置：面形心合理位置：例例6.46.4 T T字形鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力字形鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力 t =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 a =90 MPa。按合理截面要求確定尺寸。按合理截面要求確定尺寸 ，并按所確定的截面尺寸計算梁的容許荷載。并按所確定的截面尺寸計算梁的容許荷載。解：解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0mm210y將代入，可解得將代入，可解得根據(jù)組合截面形心計算公式，有根據(jù)組合截面形心計算公式，有22060220)260280(

22、2206022202200ddy24mm462323mm1018.99)30210280(220601260220)110210(220241222024zI截面對中性軸的慣性矩為截面對中性軸的慣性矩為解：解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0梁最大彎矩為跨中彎矩：梁最大彎矩為跨中彎矩：FFFLM5 . 0424max容許荷載容許荷載解：解：1m2mBAFCy2y1z60220yO220dy0按正應(yīng)力強度條件：按正應(yīng)力強度條件：FFIyMztt3521018.9910705 . 063maxmaxmaxttmax61030352F85kNN10853F切應(yīng)力強度不再校核切應(yīng)力

23、強度不再校核6.5 非對稱截面梁的平面彎曲 彎曲中心FOzyx撓曲線撓曲線形心主慣性平面形心主慣性平面荷載所在縱向平面荷載所在縱向平面6.5.1 非對稱截面梁的橫力彎曲非對稱截面梁的橫力彎曲在橫力彎曲的情況下，只有當(dāng)橫向力作用在與梁的形心主慣性平面平行的某一特定平面內(nèi)時，梁才會發(fā)生平面彎曲。6.5.1 非對稱截面梁的橫力彎曲非對稱截面梁的橫力彎曲外力作用在其它位置，梁在彎曲同時產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)O外力作用在某“特定縱向平面”上，發(fā)生平面彎曲OFmmnndxx槽形截面梁：“特定縱向平面”的位置分析FQFQMM+dMmnmn12dx取長度為dx的微段在微段上，沿下翼緣厚度方向用縱向平面切下寬度為u的脫離體：

24、21utdxuhb21mm脫離體兩端面面積：A*,dxuhb21mm21ut*A脫離體兩端面上正應(yīng)力的合力分別為：uIthMtuIhMAFNzz*1*221uIthMMtuIhMMAFNzz*2d2d）（）（0d*12xtFFNN0d22dzzxtuIthMuIthMM）（zQzIuhFIuhxM22dd0X由沿翼緣方向切應(yīng)力的合力為：dxuhb21mm21ut*A由切應(yīng)力互等定理，翼緣距邊緣u處切應(yīng)力zQIuhF2即maxwmmfeFfQwFF FwzQIthbFF42f上下翼板的一對力形成力偶Ffh沿翼緣方向切應(yīng)力的合力為：由切應(yīng)力互等定理，翼緣距邊緣u處切應(yīng)力zQIuhF2即maxwmm

25、feFfQwFF FwzQIthbFF42f上下翼板的一對力形成力偶Ffh腹板應(yīng)力的合力Fw與力偶Ffh合成為一個力，即截面剪力FQFQ截面剪力FQ 位于平行于梁的形心主慣性平面且距離腹板中心線為e 的縱向平面內(nèi)QwFhFFhFeffOFmmmeFFQmAzOFFaFF發(fā)生平面彎曲發(fā)生彎曲+扭轉(zhuǎn)meFQmAzameFFQmAzA 點“彎曲中心”FaFmeFQmAza平行于梁的形心主慣性平面且距離腹板中心線為e （距離形心主慣性平面a）的縱向平面從上述指導(dǎo)過程可知，彎曲中心就是梁橫截面上彎曲從上述指導(dǎo)過程可知，彎曲中心就是梁橫截面上彎曲切應(yīng)力合力即切應(yīng)力合力即FQ 的作用點的作用點6.5.2 開口薄壁截面桿的彎曲中心(3) 若截面的中線是由若干若截面的中線是由若干 相交于一點的直線段所相交于一點的直線段所 組成，則此交點就是截組成，則此交點就是截 面的彎曲中心。面的彎曲中心。AAA(2) 具有一個對稱軸的截面，具有一個對稱軸的截面， 其彎曲中心一定在這個其彎曲中心一定在這個 對稱軸上。對稱軸上。AAAA(1) 具有兩個對稱軸或反對具有兩個對稱軸或反對 稱軸的截面，其彎曲中稱軸的截面，其彎曲中 心與形心重合。心與形心重合。A62各種薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力分布及彎曲中心各種薄壁截面梁彎曲切應(yīng)力分