測(cè)量誤差理論

1、 8.1 觀測(cè)及分類8.2 測(cè)量誤差8.3 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)8.4 誤差傳播定律8.5 等精度直接平差8.6 不等精度直接平差第八章測(cè)量誤差理論基礎(chǔ)一、觀測(cè)的定義一、觀測(cè)的定義測(cè)定未知量的過程。即觀測(cè)者使用一定的儀器的工具，采用一定的方法和程序，在一定的環(huán)境條件下測(cè)定未知量與計(jì)量單位之比的過程。8.18.1觀測(cè)及分類觀測(cè)及分類二、分類二、分類1、按觀測(cè)方法分：2、按觀測(cè)量之間的關(guān)系分：3、按觀測(cè)時(shí)所處的條件分：4、按觀測(cè)量在觀測(cè) 過程中的狀態(tài)分：直接觀測(cè)間接觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè)條件觀測(cè)等精度觀測(cè)不等精度觀測(cè)靜態(tài)觀測(cè)動(dòng)態(tài)觀測(cè)8.28.2 測(cè)量誤差測(cè)量誤差一、定義一、定義： 真誤差： i= Li - X X

2、為真值，Li為觀測(cè)值 二、觀測(cè)誤差的來源二、觀測(cè)誤差的來源： 1、儀器誤差 2、人差 3、環(huán)境影響 觀測(cè)條件三、誤差的分類三、誤差的分類v1、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：在相同的條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，其誤差的數(shù)值或符號(hào)具有規(guī)律的誤差。 特點(diǎn)：積累性。 消除或減弱的方法：q 進(jìn)行計(jì)算改正； q 采用合適的觀測(cè)方法；q 在平差計(jì)算中，將其當(dāng)作未知參數(shù)納入平差函數(shù)模型中一并計(jì)算。 2、偶然誤差偶然誤差：在相同的條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，其誤差的數(shù)值和符號(hào)沒有規(guī)律的誤差。 偶然誤差實(shí)際上服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。說明：測(cè)量過程中的失誤造成的觀測(cè)結(jié)果與理想結(jié)果的差異，也稱為粗差粗差。在觀測(cè)成果中，不允許粗差

3、的存在。 發(fā)現(xiàn)粗差的方法：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測(cè)（多余觀測(cè)）；采用必要而又嚴(yán)格的檢核。四、四、 偶然誤差的特性偶然誤差的特性v絕對(duì)值不超過一定范圍（有界性）v小誤差的密集性（單峰性）v絕對(duì)值相同的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同（對(duì)稱性）v偶然誤差的算術(shù)平均值趨于零（抵償性）0lim0nn偶然誤差的分布曲線 是標(biāo)準(zhǔn)差ef22221)(+-f ()五、測(cè)量平差五、測(cè)量平差對(duì)含有誤差的觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行處理的過程測(cè)量平差的任務(wù)：測(cè)量平差的任務(wù)：1、確定未知量的最或然值。2、評(píng)定測(cè)量成果的精度。8.38.3 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn) 精度精度指在對(duì)某一個(gè)量的多次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。 根據(jù)誤差的性質(zhì)，精

4、度可分為：v精密度精密度：表明測(cè)量成果中偶然誤差的大小程度v正確度正確度：表明測(cè)量成果中系統(tǒng)誤差大小的程度v準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度：是測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與偶然誤差的綜合，表明測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度。 1、定義：n 當(dāng)n 有限時(shí)，采用m表示的估值，即： 2、 中誤差的 概率意義： 中誤差越小，精度越高 3、中誤差的幾何意義： m就是誤差分布曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)一、中誤差一、中誤差nm二、極限誤差二、極限誤差根據(jù)概率理論： P | m =68.3% P | 2m=95.4% P | 3m=99.7%因此，在一定的觀測(cè)條件下，取 限=2m 或 限=3m作為極限誤差，當(dāng)觀測(cè)值的誤差大于限差時(shí)應(yīng)剔除。三、相對(duì)誤差三、

5、相對(duì)誤差誤差與觀測(cè)值之比。v 相對(duì)真誤差 v相對(duì)中誤差v相對(duì)較差 其中：相對(duì)誤差不帶量綱，用分子為1的形式表示。LKLmK LLdKLd8.48.4 誤差傳播定律誤差傳播定律 用于闡述獨(dú)立觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差關(guān)系的定律一、一般公式一、一般公式 設(shè)未知量 z 與 t 個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值x1,x2,xt之間有如下的函數(shù)關(guān)系式：z= f (x1,x2, xt) xi的真誤差xi引起z產(chǎn)生真誤差z 則：z+ z=f (x1+ x1, x2+ x2, xt+ xt) xi均是小量，上式按泰勒級(jí)數(shù)展開，并舍去二次及以上諸項(xiàng)，得： xxxxxxxxxxxxxxxttztttzfffffffz221122112

6、1),.,(即：2222111313121212222112)()()(xxxxxxxxxxxxxxxfxxxfxxxfttttttzzfffffft兩邊平方后求和：結(jié)論： 各獨(dú)立觀測(cè)值任意函數(shù)的中誤差的平方，等于該任意函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)值與該觀測(cè)值中誤差乘積的平方和。mxfmxfmxfmxxxfxxxfxxxfxxxtxxntnnntznnzzii222222222221121)()()()()()(2121210求任意函數(shù)中誤差的四個(gè)步驟：1、列出函數(shù)關(guān)系式： z=f (x1,x2, xt)xfxfxft,214、轉(zhuǎn)換為中誤差表達(dá)式并求其值3、列出函數(shù)真誤差表達(dá)式：2、求函數(shù)對(duì)各觀測(cè)

7、值的偏導(dǎo)函數(shù)值：xxxxxxttzfff2211mxfmxfmxfmxtxxtz2222222)()()(2121例：某建筑場(chǎng)地已劃定為長(zhǎng)方形，獨(dú)立地測(cè)定其長(zhǎng)和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=0.005m、 mb=0.003m，求該場(chǎng)地面積A及其中誤差mA。解：顯然這是一個(gè)任意函數(shù)。mabAmbaA000.30,000.15baAab222222013725. 0mmambmbaAmmA117.01、列出函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)值A(chǔ)=ab=450.000m22、求函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)3、列出函數(shù)的真誤差表達(dá)式4、轉(zhuǎn)換為中誤差表達(dá)式并求其值 xkxkxknnz

8、22111.線性函數(shù))21(nikxzii、全微分：nndxkdxkdxkdz2211中誤差關(guān)系：22222221212nnzmkmkmkm二、特例二、特例2.和差函數(shù)xxxnz21mmmmxxxnz222221 則：函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)值為 )21(1nixzi、真誤差表達(dá)式為：中誤差表達(dá)式為nzxxx213. 倍數(shù)函數(shù) z = k x 中誤差表達(dá)式為真誤差表達(dá)式為xkzxzkmm 以上三種公式可以不經(jīng)過上述計(jì)算步驟直接應(yīng)用。讓我們來看幾個(gè)例題吧例1：用30米的鋼尺丈量某兩點(diǎn)間的水平距離L，恰好為12個(gè)整尺段，每尺段 li 的中誤差均相等，為ml=5mm,求該段水平距離及其中誤差 mL、

9、相對(duì)中誤差mL/L.解法一：依題意，有2100013 .1712000.3601221LmmmmmmlllLLlL解法二：600010 .6012000.36012LmmmmmmlLLlL哪一個(gè)解法是正確的呢？練習(xí)：P200 8-13，8-14例2. 設(shè)有函數(shù) z=3x-y+2l 10其中： x=2l+5, y=3l-6已知 l 的中誤差為 ml ,計(jì)算函數(shù)z的中誤差 mz 。解法1. mx=4ml , my=9ml mz2=9mx2+my2+4ml2 = 49ml2 mz=7ml解法2.z=3x-y+2l 10， x=2l+5, y=3l-6z=6l+15-3l+6+2l 10 =5l+11

10、 所以：mz =5ml兩種方法，兩樣結(jié)果，哪里錯(cuò)了？例3. 已知AB兩點(diǎn)間的水平距離D=206.2050.020 米，在A點(diǎn)安置經(jīng)緯儀測(cè)得AB直線的高度角 =12 20 30 30 ，計(jì)算AB間的高差h，及其中誤差 mh 。解：函數(shù)式 ： h=D tg = 45.130(m) 全微分： dh=tg dD+D sec2 d 中誤差關(guān)系： mh2=tg2 mD2+D2 sec4 m 2/2 =0.04787400+1.09804900 =1007.38 mh =31.7(mm)解法2.對(duì)函數(shù) h=Dtg 取自然對(duì)數(shù)： lnh=lnD+ln(tg )全微分： 注意到：所以：dtgDdDhdh2sec

11、dDdDtgdh2secDtgtghdh,三、應(yīng)用誤差傳播定律注意事項(xiàng)三、應(yīng)用誤差傳播定律注意事項(xiàng)1. 函數(shù)式中各觀測(cè)值應(yīng)相互獨(dú)立；2. 觀測(cè)值的量綱應(yīng)統(tǒng)一。8.5 等精度直接平差 根據(jù)對(duì)同一個(gè)量的多次觀測(cè)結(jié)果，確定最或然值并評(píng)定精度的過程，稱為直接平差。 一、最小二乘準(zhǔn)則一、最小二乘準(zhǔn)則 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常有這樣的問題：試驗(yàn)中獲得的自變量與因變量的若干組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（x1,y1), （x2,y2)，（xn,yn),怎樣找出一個(gè)已知類型的函數(shù) y = f (x)，使之與觀測(cè)數(shù)據(jù)最好的擬合？ 例如，已知自變量與因變量的關(guān)系為線性函數(shù) y = ax +b 如何根據(jù)觀測(cè)值xi ,yi確定常數(shù) a, b，

12、使該直線最好地與觀測(cè)結(jié)果擬合。最小二乘準(zhǔn)則：最小二乘準(zhǔn)則： 設(shè)對(duì)某一量進(jìn)行多次觀測(cè)，獲得一組觀測(cè)值l1， l2， ln ，該量的最或然值x按如下準(zhǔn)則確定:等精度觀測(cè)時(shí)，在 為最小即 vv=min的條件下確定；不等精度觀測(cè)時(shí)， 在pvv=min的條件下確定。其中： vi= li - x稱為觀測(cè)值 li 的改正數(shù)， pi 是觀測(cè)值li 的權(quán)。vivv21. 算術(shù)平均值 設(shè) L1, L2, Ln 為一組獨(dú)立觀測(cè)值，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，其最或然值 x 必須滿足： vv=(x - L1 )2+ (x - L2 )2+(x - Ln)2=min 求vv 對(duì) x 的一階和二階導(dǎo)數(shù)： 02)(2)(2)(222

13、21ndxvvdLnxLxLxdxvvd二、等精度直接平差二、等精度直接平差0)(2)(2)(2 21LxLxLxdxvvdn令nLx 則： 這說明，在等精度觀測(cè)條件下，未知量的最或然值就是算術(shù)平均值?；蛘哒f，算術(shù)平均值是滿足最小二乘準(zhǔn)則條件下，等精度觀測(cè)值的最或然值。(1)觀測(cè)值的中誤差 設(shè)有n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值 L1 , L2 , Ln， 其算術(shù)平均值為x, 改正數(shù)為 vi= x Li , 真誤差 i = Li X Xxvii 2 2vnvv兩式相加得：2.精度評(píng)定iiv即：從而：考慮到 vi= x Li ； v= nx L=0而 nnXLnXx)(1)(2)(112122212222nnnnn

14、n22n右邊第二項(xiàng)趨近于0，所以有： 這就是用改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差的公式，稱為白塞爾公式代入前式得：nvvvnvv2 2 1 vvnnn最后得：1 nvvm(2) 算術(shù)平均值 x 的中誤差 MnLnLnLnLxn21nmMnmnmnmnmM從而有：22222222由誤差傳播定律得：(3) 增加觀測(cè)次數(shù)與提高精度的關(guān)系 當(dāng)n增大時(shí)，能提高算術(shù)平均值的精度。但當(dāng)n大于20次后，精度提高很慢。 最根本、最經(jīng)濟(jì)的辦法是提高每次觀測(cè)的精度m.v 提高儀器精度v 選擇合理的觀測(cè)方法v 選擇有利的觀測(cè)時(shí)間v 提高觀測(cè)者的操作技能 8.6 不等精度直接平差不等精度直接平差一、加權(quán)平均值原理一、加權(quán)平均值原理

15、 一列觀測(cè)值L1，L2，Ln,，其精度值分別為h1,h2,hn，選定一個(gè)精度值h,并同時(shí)選定一組正數(shù)p1,p2,pn，使得下列諸式同時(shí)成立： )( ,.,2222222121ahphhphhphnn 根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，應(yīng)使pvv=min，即： pvv=p1(x-L1)2+ p2(x-L2)2 +pn(x-Ln)2=minL , 0L 2 2 0 22 2 2 22)(2221)()(ppxpxppdxpvvdpLxpLxpLxpLxpdxpvvdnn得令21這就是不等精度觀測(cè)時(shí)未知量的最或然值，也就是說，不等精度觀測(cè)值的最或然值是加權(quán)平均值。1、定義： 表示觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量相對(duì)可靠程序的一種權(quán)衡值

16、。2、權(quán)與中誤差的關(guān)系 由式(a)( 22bmpii二、權(quán)二、權(quán))( ,.,2222222121ahphhphhphnn得：上式表明： 在不等精度觀測(cè)中，某獨(dú)立觀測(cè)值的權(quán)與該觀測(cè)值的中誤差的平方成反比，即mmmpppn22221n211:1:1: 可見，用中誤差衡量精度是絕對(duì)的，而用權(quán)衡量精度是相對(duì)的，即權(quán)是衡量精度的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)。三、確定權(quán)的常用方法三、確定權(quán)的常用方法v 水準(zhǔn)測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)站高差中誤差相同時(shí)，則各條水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)與測(cè)站成反比 )2 , 1( Nniicpiv 水準(zhǔn)測(cè)量中，當(dāng)每公里高差中誤差相同時(shí)，則 各條水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比 )2 , 1( niLcp

17、iiv角度測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)回角度觀測(cè)中誤差相同時(shí)，各角度觀測(cè)值的權(quán)與其測(cè)回?cái)?shù)成正比 CNpii scpiiv 距離測(cè)量中，當(dāng)單位距離測(cè)量的中誤差相同時(shí)，各段距離觀測(cè)值的權(quán)與其長(zhǎng)度成反比。四、單位權(quán)中誤差四、單位權(quán)中誤差22n222211mpmpmpn設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次不等精度觀測(cè)，觀測(cè)值為：L1，L2，Ln，對(duì)應(yīng)的精度值為：h1，h2，hn (權(quán)為：p1，p2，pn)真誤差為：1 ，2， ，n改正數(shù)為：v1，v2，vn中誤差為：m1，m2，mn1.由真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差 值恰為1的權(quán)稱為單位權(quán)，與之對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值、精度值和中誤差分別稱為單位權(quán)觀測(cè)值，單位權(quán)精度和單位權(quán)中誤差。構(gòu)成一個(gè)新的觀測(cè)列(新

18、列中各個(gè)觀測(cè)值等于原列中對(duì)應(yīng)觀測(cè)值與其權(quán)的平方根之積)ppppppnnnnmm mmmmLL LLLL22112211hhhh1pppmmmn21n21n21則： 則新列是一個(gè)權(quán)為1，精度為h,中誤差為的等精度觀測(cè)列，各獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差為： 2211npnpnppnnpp2. 由改正數(shù)求中誤差 2220 222pvpvvpppvvpppvppXxpvpLxppvXppLpLixviXLiiiiiiiiiiii 11 ) 1( 11 2, 02n21n2122222222112102112222211npvvnpvvnppvvnpnpnpnppppppppppppppppppppppppppppppvnnnniiiiiiii無窮大時(shí)五、觀測(cè)值中誤差與最或然值的中誤差五、觀測(cè)值中誤差與最或然值的中誤差iipm1. 觀測(cè)值的中誤差 是不