狀態(tài)空間表達(dá)式

1、2.5 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2.5 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，被控制的對(duì)象越來(lái)越復(fù)雜，對(duì)自動(dòng)控制的要求也越來(lái)越高。面對(duì)時(shí)變系統(tǒng)，多輸入多輸出系統(tǒng)、非線(xiàn)性系統(tǒng)等被控量和對(duì)控制系統(tǒng)高精度、高性能的嚴(yán)格要求，傳統(tǒng)的控制理論已不能適用。同時(shí)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展也要求控制系統(tǒng)地分析，設(shè)計(jì)中采用計(jì)算機(jī)技術(shù)并在控制系統(tǒng)的組成中使用計(jì)算機(jī)。因此，適用這些要求的控制系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)描述方法-狀態(tài)空間就應(yīng)運(yùn)而生。 2.5.1  狀態(tài)變量在對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性描述中，足以表征系統(tǒng)全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最少一組變量，稱(chēng)之為狀態(tài)變量。只要確定了這組變量在t= 時(shí)刻的值以及時(shí)的輸入函數(shù)，則系統(tǒng)在

2、任何時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就會(huì)全部確定。狀態(tài)變量互相間是獨(dú)立的，但對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取并不是唯一的。一個(gè)用n 階微分方程描述的系統(tǒng)，有n個(gè)獨(dú)立變量，這n個(gè)獨(dú)立變量就是該系統(tǒng)的狀態(tài)變量。若用 表示這n個(gè)狀態(tài)變量，則可以把這n個(gè)狀態(tài)變量看作是向量x(t)的分量。我們稱(chēng)x(t)為狀態(tài)變量，它是一個(gè)n維向量，記為分別以狀態(tài)變量作為坐標(biāo)而構(gòu)成的n維空間，稱(chēng)為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)，就是狀態(tài)空間的一點(diǎn)。系統(tǒng)在時(shí)刻的狀態(tài)稱(chēng)為初始點(diǎn)，隨著時(shí)間的變化，x(t)從初始點(diǎn)出發(fā)在狀態(tài)空間描述出一條軌跡，稱(chēng)為狀態(tài)軌跡。狀態(tài)魁及表征了系統(tǒng)狀態(tài)的變化過(guò)程。2.5.2  狀態(tài)空間表達(dá)式1. 狀態(tài)方程

3、由系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入函數(shù)構(gòu)成的一階微分方程組，稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)，可以寫(xiě)成如下形式                       (2.59)        記為          &#

4、160;     (2.60)式中x(t)是n維列向量u(t)是r維輸入向量A是n*n維矩陣，稱(chēng)為系數(shù)矩陣B是n*r矩陣，稱(chēng)為輸入矩陣或控制矩陣若矩陣A和B的元素都是常數(shù)，則狀態(tài)方程是線(xiàn)性定常的。若A和B中有隨時(shí)間變化的元素，狀態(tài)方程就是線(xiàn)性時(shí)變的。狀態(tài)方程中不能含有x(t)的高于一階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)和輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)，狀態(tài)方程可以寫(xiě)成如下形式                (2

5、.61)記為             (2.62)式中f為向量函數(shù)。2. 輸出方程描述系統(tǒng)的輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量關(guān)系的方程，稱(chēng)為輸出方程。線(xiàn)性系統(tǒng)的輸出方程具有以下形式               (2.63)記為        &

6、#160;            (2.64)式中y(t)為m維列向量，稱(chēng)輸出向量   C為m*n維矩陣，稱(chēng)為輸出矩陣D為m*r維矩陣，稱(chēng)為直接傳輸矩陣線(xiàn)性定常系統(tǒng)的輸出矩陣和直接傳遞矩陣的所有元素均為常量。非線(xiàn)性系統(tǒng)的輸出方程可表示為           (2.65)式中g(shù)稱(chēng)為向量函數(shù)。輸出方程中不含有變量的任何導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。3. 狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)的

7、狀態(tài)方程和輸出方程總稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式     (2.66)或             (2.67)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)輸出與輸入之間關(guān)系的數(shù)學(xué)描述，它所描述的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性并不涉及系統(tǒng)內(nèi)部各種變量的問(wèn)題，是從外部看到的系統(tǒng)的一種整體特性，我們稱(chēng)其為外部特性。應(yīng)該說(shuō)，傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性的描述是不完全的。在狀態(tài)空間表達(dá)式中，狀態(tài)方程反映了輸入對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的影響，即輸入改變了系統(tǒng)的狀態(tài)，而輸出方程則反映了狀態(tài)變量對(duì)輸出變量的影響

8、，即狀態(tài)改變產(chǎn)生了輸出改變。狀態(tài)空間表達(dá)式包含了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)部信息（狀態(tài)）和外部信息（輸出），是對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的完整描述。圖2.35是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖。圖中用雙線(xiàn)箭頭表示向量信號(hào)。圖2.35 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的結(jié)構(gòu)圖2.5.3  狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，可以根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在機(jī)理直接建立狀態(tài)方程和輸出方程，也可以根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，傳遞函數(shù)或結(jié)構(gòu)圖來(lái)建立。后者稱(chēng)為模式轉(zhuǎn)換問(wèn)題。1. 由微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式（1）不含輸入函數(shù)倒數(shù)項(xiàng)的n階線(xiàn)性系統(tǒng)。設(shè)n階線(xiàn)性系統(tǒng)的微分方程具有如下形式    (2.68

9、)當(dāng)  等初始值及在時(shí)的輸入函數(shù)已知時(shí)，系統(tǒng)在t時(shí)刻的行為就可以完全確定。所以，可以選取共n個(gè)變量為系統(tǒng)的狀態(tài)變量方程（2.68）可以寫(xiě)成這就是n階線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)方程，記為          (2.69)式中         維矩陣    維矩陣       維矩陣輸出方程為記為

10、                   式中             維矩陣具有上面A矩陣形式的矩陣稱(chēng)為友矩陣。友矩陣的特點(diǎn)是主對(duì)角線(xiàn)右上方的元素為1，最后一行的元素可取任何值，其余元素為零。（2）含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的n階線(xiàn)性系統(tǒng)設(shè)n階線(xiàn)性系統(tǒng)的微分方程具有如下形式 

11、0;   (2.71)對(duì)于這種情況，若仍按不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程的處理辦法，狀態(tài)方程就會(huì)出現(xiàn)輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這是不允許的。我們可以這樣來(lái)選取狀態(tài)變量式中狀態(tài)方程可寫(xiě)為 (2.72)輸出方程為          (2.73)狀態(tài)空間表達(dá)式記為                  

12、        (2.74)式中系數(shù)矩陣仍為友矩陣        維矩陣控制矩陣為       維矩陣輸出矩陣為          維矩陣         而因?yàn)槊枋鼍€(xiàn)性定常系統(tǒng)的

13、高階微分方程是單輸入單輸出系統(tǒng)，所以狀態(tài)方程中輸入函數(shù)只有一個(gè)，輸出方程中輸出變量也只有一個(gè)，與其相關(guān)的矩陣形式也較為簡(jiǎn)單。例20  某線(xiàn)性定常系統(tǒng)的微分方程為寫(xiě)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。解  先把方程變?yōu)槭剑?.68）的形式設(shè)狀態(tài)變量為則狀態(tài)空間表達(dá)式為其中例21  控制系統(tǒng)的微分方程為寫(xiě)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。解  這是輸入函數(shù)具有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程。先計(jì)算：參照式（2.72），（2.73），可得到狀態(tài)方程輸出方程為狀態(tài)空間表達(dá)式為2.由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可以求取其拉普拉斯的反變換，得到系統(tǒng)的微分方程，再根據(jù)微分方程寫(xiě)出系統(tǒng)的狀態(tài)

14、空間表達(dá)式。例22  已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為寫(xiě)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。解  先寫(xiě)出對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯反變換，得到再計(jì)算狀態(tài)空間表達(dá)式為其中根據(jù)已知的傳遞函數(shù)，引入一個(gè)中間變量Z(s)，用下面的方法也可以建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)已知的傳遞函數(shù)具有下面的形式             (2.75)引入中間變量z(s)，即令          

15、60;  (2.76)其中  (2.77)                              (2.78)因而有          (2.79)

16、0;         (2.80)選取中間變量z(t)及其各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量：   由（2.79）式可得到狀態(tài)方程，由（2.80）式可得到輸出方程其中        維矩陣           維矩陣       

17、60;   維矩陣從式（2.80）可以看出，輸出變量只與m+1個(gè)狀態(tài)變量有關(guān)，通常情況下m<n，所以輸出矩陣C中有n-(m+1)個(gè)元素為零。例23  已知將其轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式。解 設(shè)中間變量為Z(s)，則有由此寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式引入中間變量，畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)結(jié)構(gòu)圖也可以寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式。例24  設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為        (2.83)引入中間變量，得到       (2.84)

18、            (2.85)根據(jù)（2.84）式可以畫(huà)出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖（2.36）所示。作圖的過(guò)程是：先畫(huà)出數(shù)目與傳遞函數(shù)階次相同的積分環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)按串聯(lián)連接。從最左端積分環(huán)節(jié)開(kāi)始，每個(gè)積分環(huán)節(jié)的輸出取作狀態(tài)變量，式（2.84）的系數(shù)作為反饋回路的系數(shù)。根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可以寫(xiě)出狀態(tài)空間表達(dá)式圖2.36 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖               &