結(jié)構(gòu)力學(xué)第四章(2)-彎曲應(yīng)力

1、1 引言引言 2 平面平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力3 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件 梁的合理截面梁的合理截面5、 梁的彎曲應(yīng)力梁的彎曲應(yīng)力 引言引言1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力F 剪應(yīng)力t t彎矩M 正應(yīng)力s s平面彎曲時橫截面s 純彎曲梁(橫截面上只有M而無F的情況)平面彎曲時橫截面t 剪切彎曲(橫截面上既有F又有M的情況)2、研究方法、研究方法縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面P1P2例如： 某段梁的內(nèi)力只有彎矩某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變沒有剪力時，該段梁

2、的變形稱為純彎曲。如形稱為純彎曲。如AB段。段。PPaaABQMxx純彎曲純彎曲(Pure Bending):2 2 平面平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實驗 橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：（一）變形幾何規(guī)律：一、一、 純彎曲時梁橫截面純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸bdacabcdMM橫截面上只有正應(yīng)力。橫截面上只有正應(yīng)力。平面假設(shè)：平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)

3、生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。3. .推論推論2. .兩個概念兩個概念中性層：中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。4. 4. 幾何方程：幾何方程：OO1abOO1A1B1dq qr rxyabAB ryxABABBAx11 1111 OOOOBAqrqrqrdddy)( ry （二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單向應(yīng) 力狀態(tài)。(2) .

4、 rsEyExxs sxs sx（三）靜力學(xué)關(guān)系：（三）靜力學(xué)關(guān)系：0dddrrrszAAAxESAyEAEyAF軸過形心中性)( 0zSz0dd)d(rrrsyzAAAyEIAyzEAEyzzAM（對稱面永遠(yuǎn)滿足）（對稱面永遠(yuǎn)滿足）MEIAyEAEyyAMzAAAzrrrsdd)d(22zzEIMr1 (3)EIz 桿的桿的抗彎剛度抗彎剛度 （彎曲剛度彎曲剛度）(4) . zxIM y s s（四）最大正應(yīng)力：（四）最大正應(yīng)力：zWMmaxs (5)DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圓環(huán)bBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz回字框maxyI Wzz 抗彎截面模量

5、?？箯澖孛婺Ａ?。( 彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù) )例例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM30q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM331254120 180101212 5.832 10 mzbhIMPa7 .6110832. 56060

6、 5121zIyMss求應(yīng)力18030( (壓應(yīng)力壓應(yīng)力) )MPa6 .92 10832. 510901060533max1max1zIyMsm 4 .194106010832. 51020035911MEIzrMPa2 .104maxmaxmaxzIyMs求曲率半徑求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax1212018030y1y2GA1A2A3A4解：解：畫彎矩圖畫彎矩圖例例2 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣

7、放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核強度校核強度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLss2 .28maxyyss2 .46maxT T字頭在上面合理，反之失效。字頭在上面合理，反之失效。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4MPa

8、0 .1710763525 . 2811zCyAIyMs3 3 梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行；距中性軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段；dxxbdxyxzOBA1B1AmmmnnmnttdAsyxzO1NF2NFsFd zzAzAzANSIMAyIMAIMyAFddd1111szzAzANSIdMMAyIdMMAFd)(d122s012SNNFdFFbdxFdStbISdxdMZZtbISFZZStt1ytt5 . 123maxAFFt t 方向：與橫截面上剪力

9、方向相同；t t 大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計算公式亦為：其中F為截面剪力；Sz 為y點以下的面積對中性軸之靜矩；zZbISF 1tIz為整個截面對z軸之慣性矩；b 為y點處截面寬度。2、幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力 工字鋼截面：工字鋼截面：maxtmint; maxA Qt tf結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大剪應(yīng)力Af 腹板的面積

10、。; maxA Ft tf 圓截面：tt3434maxAF 薄壁圓環(huán)：tt22maxAFzDzDd 4 梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件 梁的合理截面梁的合理截面1 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸。緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸。Qt ts ss ss sMt t一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件2 2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件：、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件： t

11、 tt t zzIbSQmaxmaxmax s ss s zWMmaxmax3 3、強度條件應(yīng)用：、強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強度計算：依此強度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強度計算：校核強度校核強度： ;maxmaxttss設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸：maxsMWz設(shè)計載荷：設(shè)計載荷：)( ;maxmaxMfPWMzs4 4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力。梁的跨度較短，M 較小，而 F 較大時，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。解：解： 畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力畫

12、內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力,并校核梁的強度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x 求最大應(yīng)力并校核強度求最大應(yīng)力并校核強度q=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+xmaxmaxmax34050 0.0912 6.25MPa7MPa zMybhIss0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQ二、梁的合理設(shè)計二、梁的合理設(shè)計

13、（一）矩形木梁的合理高寬比（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為剛度最大。時強度最大時, 3 ;, 2bhbhbhAQ3433. 1mmaxtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 DRaaD時當(dāng)強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1 1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 sszIyM ttzzbIQS* 其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaamtt2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD時當(dāng)1121212,24 DaaD時當(dāng)1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面與框形截面類似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD時當(dāng)0.8a2a21.6a22a2z 對于鑄鐵類抗拉、壓能