高數(shù)(二)第一章 矩陣11

1、線線 性性 代代 數(shù)數(shù)二二.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣一一. 矩陣的矩陣的線性運(yùn)算線性運(yùn)算三三. 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置二二. 乘法乘法單價(jià)單價(jià) (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)數(shù)量數(shù)量(箱箱)南京南京 蘇州蘇州 常州常州啤酒啤酒( (瓶裝瓶裝) )2016200180190啤酒啤酒( (易拉罐易拉罐) )5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150 mn)mn)Amn= ( )mnA 111nE 4. 三角矩陣三角矩陣 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1

2、 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann上三角矩陣：方陣的主對(duì)角線下的元素全為上三角矩陣：方陣的主對(duì)角線下的元素全為0下三角矩陣：方陣的主對(duì)角線上的元素全為下三角矩陣：方陣的主對(duì)角線上的元素全為01 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 01 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 01 0 1 0 10 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 000 一一. 矩陣的矩陣的線性運(yùn)算線性運(yùn)

3、算m nr sCABnrm sC 200611,2 ,.1 若求， 11,21 121 11,21 1212 2006 200512112 123aaa 1 12233a ba ba b ABBA 不一定都有意義不一定都有意義 同型但不相等同型但不相等 AB: A左乘以左乘以B; B右乘以右乘以A 有意義但不同型有意義但不同型 123bbb 1 33 13 1123bbb 123aaa1 31 1a b2 1a b3 1a b3 312a b22a b32a b13a b23a b33a b3 44 24 23 4ABBA 101212003400 121010340030 只有只有AB=BA

4、時(shí)等式成立時(shí)等式成立. . ABOAO or BO 100000001100AB ABAC AO or BC A BCO =1212A 23fxxx 23fAAAE1212123121212E3E TTijAa jin ma 11121naaa21222naaa12mmmnaaa 1sTTTTijikkjkB ABA TjiijABAB 1sjkkika b 1skijkkb a =123240305A 0110B 證明：設(shè)證明：設(shè)A,B,C為為n階方陣，并且階方陣，并且,TTCABAA BB TTTCABAB TTCCCCAB,22CAB例例6. 證明任意一個(gè)證明任意一個(gè)n階方陣都可以表示成

5、一個(gè)階方陣都可以表示成一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣之和.22TTCCCC三三. 矩陣的線性運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算四四. 矩陣的矩陣的乘法乘法五五. 矩陣的矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置 1sikkjka b ABBA ABOAO or BO TTijAa jin ma 二二. 幾種特殊幾種特殊矩陣矩陣三角矩陣三角矩陣 GH1 2m設(shè)設(shè)A為為m l 矩陣矩陣, B為為l n 矩陣矩陣, 將它們分塊如下將它們分塊如下A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,Ai1, Ai2, ,

6、Ait的列數(shù)分別與的列數(shù)分別與B1j, B2j, , Btj的行數(shù)相等的行數(shù)相等. (i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中其中Cij = AikBkj ,則則AB =k=1t 1 0 1 2 =.A1B11 +B21 = 3 4 1 2 1 0 2 1+ 2 4 1 3=, 1 0 0 1 2 4 1 3 1 1 1 1 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT Asr

7、T.則則 AT =TT1 2mT1T 2TnTT二二. 分塊矩陣的運(yùn)算分塊矩陣的運(yùn)算線性運(yùn)算線性運(yùn)算轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置乘法乘法三三.的應(yīng)用的應(yīng)用線性方程組的表示形式線性方程組的表示形式線性變換線性變換11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbxaaabxAxb三三. 矩陣與矩陣與分塊矩陣的應(yīng)用分塊矩陣的應(yīng)用線性方程組的表示形式線性方程組的表示形式11111221221122221122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 三

8、三. 分塊矩陣的應(yīng)用分塊矩陣的應(yīng)用線性變換線性變換y=Ax從從x1, x2, xn到到y(tǒng)1, y2, ym的線性變換的線性變換恒等變換恒等變換y=Ex旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換y=AxcossinsincosA 幾何含義：將平面上任一點(diǎn)幾何含義：將平面上任一點(diǎn)P(x1,x2) 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 角得到點(diǎn)角得到點(diǎn)P(y1,y2)1ABBAABBA 記為記為A B.初等變換初等變換AB 11312253413191122A 1131 例例1.1.用初等行變換將用初等行變換將A化為化為行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣 0 4 1 10 5 15 150 2 1 11131 0 4 1 10 1 3 30 2 1 11131

9、0 0 11 110 1 3 30 0 5 5 1131 0 0 1 10 1 3 30 0 0 0+ 0 0 1 10 1 0 00 0 0 01 0 0 4( )rm nE ( )rm nE ( )rm nE (3)4 5E rref是初等是初等行變換下行變換下的最簡(jiǎn)形的最簡(jiǎn)形初等變換下初等變換下的最簡(jiǎn)形的最簡(jiǎn)形nnEE iiAAe 11jinjinBAAAAAeAeAeAe 11TTjjTiiTmme Ae Ae Ae A ,AE i j Tiie A 1TTjTiTmeeAee ABBPA ABBAP 1jinA eeee ,E i j A ( )rm nE nnEE 初等變換初等變換

10、AB ABBPA ABBAP . 1. 定義定義: 設(shè)設(shè)A為方陣為方陣, 若存在方陣若存在方陣B, 使得使得 AB=BA=E. 則稱(chēng)則稱(chēng)A, 并稱(chēng)并稱(chēng)B為為A的的. 事實(shí)上事實(shí)上, 若若AB=BA=E, AC=CA=E,則則B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.今后我們把可逆矩陣今后我們把可逆矩陣A的逆矩陣記為的逆矩陣記為A 1. . .可逆方陣的逆矩陣是唯一的可逆方陣的逆矩陣是唯一的. . 注注1. 逆矩陣只是定義在逆矩陣只是定義在n階方陣階方陣上的上的. 1 1 = . T 1 = 1 T. 1 = k 1 1. 1 = B 1 1. 1 E 1 1 1(E A)

11、 = 1( ) = 1 1 = 1 1 1 = G 1 B 1 1. 則則AA1, A2, , As都都可逆可逆. 且當(dāng)且當(dāng)A1, , As都可逆時(shí)都可逆時(shí),有有A 1 =A1 1 0 0 0 A2 1 0 0 0 As 1.則則AA1, A2, , As都都可逆可逆. 且當(dāng)且當(dāng)A1, , As都可逆時(shí)都可逆時(shí),有有A 1 = 0 0 As 1 0 As-1 1 0 A1 1 0 0.nnEE 1 = E(i(k)(E(i(k) 1 = E(i(1/k)E(i(k) 1 = . 初等矩陣都可逆初等矩陣都可逆, 且且 1 = , () 1 = 1/, () 1= ). 的行最簡(jiǎn)形矩陣的行最簡(jiǎn)形矩

12、陣U=？ E 1 1 1( )rm nE ( )rm nE ( )rm nE 設(shè)設(shè)A可逆可逆, 則則A可以經(jīng)過(guò)有限次初等可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為變換化為 單位矩陣單位矩陣E.100210301235010226 r2 r1r3 r1123015/210011/20110011 r3 r2 1/2r2; r31323/235/1000121101001 r1 2 r2r2/2r3r1r32519211230250262 r2 r1r3 r1251/29/21123015/13200 r3 r2 1/2r2; r3322100010001313 r1 2 r2r2/2r3r1r3. 定義定義:

13、方陣方陣A, 若若 方陣方陣B, 使使AB=BA=E.注注. 只定義在只定義在方陣方陣上，且唯一上，且唯一. 1 = B 1 1. 二階行列式的對(duì)二階行列式的對(duì)角線法則角線法則 每項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積每項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積. 每項(xiàng)的三個(gè)元素位于不同的行列每項(xiàng)的三個(gè)元素位于不同的行列. 每項(xiàng)的每項(xiàng)的四四個(gè)元素位于不同的行列個(gè)元素位于不同的行列 可得可得 4！= 24 aaaaaaaaa111213212223313233aaaaa 21231 2123133( 1)aaaaa 21221 3133132( 1)aaaaa 22231 1113233( 1)aij 的的余子式余子式 Mij ： a

14、11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann|A|=劃去劃去aij 所在的行列得到的所在的行列得到的n-1階行列式階行列式比如比如M22 ： aij 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 Aij ： ijijijAM 1a Aa Aa A111112121313 按第一行展開(kāi)按第一行展開(kāi)nna Aa Aa A1111121211= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 1. n階行列式的定義階行列式的定義 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2

15、ann: 一階行列式一階行列式|a11| = a11, 有正負(fù)號(hào)有正負(fù)號(hào),與絕對(duì)值不同與絕對(duì)值不同 行列式行列式只定義在只定義在n階方陣階方陣A上上,記為記為|A|或或detA. n階行列式是定義在階行列式是定義在n階方陣集合上的一階方陣集合上的一個(gè)個(gè)函數(shù)函數(shù)，即，即 f(A)=detA: Rnn R. = a11A11+a12A12+a1nA1n關(guān)于第一行的展開(kāi)式關(guān)于第一行的展開(kāi)式2. 幾個(gè)特殊的行列式幾個(gè)特殊的行列式 1 0 0 0 2 0 0 0 n 0 0 1 0 2 0 n 0 0= 1 2 n , 1 2 n .(1)2( 1)n n (1) 對(duì)角行列式對(duì)角行列式 (2) 上上(下

16、下)三角形行列式三角形行列式 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann= a11 a22ann =a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0=a1na2n-1an1(1)2( 1)n n 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann 11110nniiinnaaaa111(1)2(1)1110nnn ni niinaaaa |A|= a11A11+a12A12+a1nA1n f(A)=detA: Rnn R. ijijijAM 1 |AT| = |A|. AAA 0ssnA

17、AAA 10 :BA11jnjnAAAAAA B |A|= a11M11+( 1)1+i a1iM1i +( 1)1+n a1nM1n|B|= b11N11+( 1)1+i b1iN1i +( 1)1+n b1nN1nb1i=a1i , N1i= M1i ( 1)1+i b1iN1i = ( 1)1+ia1i( M1i)= ( 1)1+i a1iM1i b1i= a1i , N1i=M1i ( 1)1+i b1iN1i = ( 1)1+i( a1i)M1i = ( 1)1+i a1iM1i snsnAAAAAA 11 snAAAA 1 ssnAAAA 1 ssnsnsnAAAAAAAAAA 1

18、212111 stnsttnAAAAAAAAA 11 ABA B ABGA BGstcc nsnAAA 1？0|A|= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin |A|= a1jA1j+a2jA2j+anjAnj 0|A|ijjnAAAAAA 111111ijjniAAAAAA jA= 0m n矩陣矩陣n階行列式階行列式定義定義加法加法數(shù)乘數(shù)乘乘法乘法m nAR ijijABab 12122iinAAAA 1211ininAAAAAA 1200iiAA 1211ininAAAAAA ijAa nAA 1nikkjkABa b ABBA 000ABAor B ABA BBA 000ABAor B

19、 1211ininAAAAAA n nARR :ABAB 121iinAAAA |AT| = |A|. stccsnAAAA 1nAA ssnAAAA 10stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi) 671014rr 2167220行列式按行行列式按行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi) 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 00 0 0 2 = 6= 48. njjccj 121nrrrr 211 njjcc 12 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1ssnAAAA 10stnsttnAAAA

20、AAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi) = ( a+ b) Dn 1 Dn 2 = = bn 2 (D2D1) aDn 1 = b (Dn 1Dn 2) = = an 2 (D2D1) Dn 1 = a (Dn 1Dn 2) D1=a + b, D2 = a2 + 2 + ab aDn 1 = bn 2 (D2D1) (3)Dn 1 = an 2 (D2D1) (4)由由 (3) (4) a 可得，可得， nnnba DbDaDaDbD 112121nnnaabb 1 D1=a + b, D2 = a2 + 2 + a

21、b nnnbaif ab Dba 11, nnnnnba Dbbaaba 121211 nnnnif ab DaDaDaDa 2121, nnnnnnnnDaDaa aDaaa Da 121222 nnnnnaDnaaanana1111211 nnnaabb 1nncbccbc 211 |AT| = |A|. stccsnAAAA 1nAA stnsttnAAAAAAAAA 11stntsnAAAAAAAA 11stcc 3 3. 行列式按行行列式按行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi) 設(shè)設(shè)A = (aij)n n為方陣為方陣, 元素元素aij的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為Aij, 則稱(chēng)如下矩陣則稱(chēng)如下矩

22、陣(1) 方陣方陣A的的 *TijjiijAAa*11nnikkjikjkkkAAa aaA ijijAAA E *A AA E 同理，同理，A* =A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n Ann由由A 1 使得使得AA 1 = A 1A= E,|A A 1| = |A|A 1| = |E| = 1 . 所以所以A 1 =|A|1A*.證明：證明： 必要性：必要性：充分性：充分性： *111AAAAA EEAAA *111AAA AA EEAAA(2) |B| = 2 0, B 1 =|B|1B*B11 = ( 1)1+12 14 3= 2,B21 =6, B22 = 6

23、, B23 = 2, B31 = 4, B32 = 5, B33 = 2. 2 3 2 =21. B12 = 3,B13 = 2, 主換位主換位, 副變號(hào)副變號(hào) 4 5 26 6 2. 設(shè)設(shè)A, B為方陣為方陣, 若若AB=E(或或BA=E), 則則B= A 1.事實(shí)上事實(shí)上, AB = E |A| 0 A可逆可逆 B = EB = (A 1A)B = A 1(AB) = A 1E = A 1. 2A2+3A 2E = 0. 證明證明: A及及A2 +3E可逆可逆, 并求它們的并求它們的. 若若A, B為方陣為方陣, 只需檢查只需檢查AB = E 或或BA = E, 即可判別即可判別 A的可逆

24、性的可逆性. 2A2+3A = 2E 2A+3E) = 2E 1 = ( 2A+3E)(A2 +3E)(A 2E)+6E 2E=0 ( A2 +3E) 1 = 1/4 (A 2E) mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 0, x1 =D1D,x2 =D2D, , xn =DnD. 1 0,*A bA 1*11nikkka bA 11111nkkknkikknknkkAbAbAAb 11nkikkA bA 11inDDDD 該法

25、則的適用范圍：該法則的適用范圍：解解n元線性方程組元線性方程組 01. 方陣的正整數(shù)冪方陣的正整數(shù)冪 只定義在只定義在n階方陣上的運(yùn)算階方陣上的運(yùn)算 *TijjiAAA*AAA AA E*AAA 114. 伴隨矩陣伴隨矩陣 5. 可逆矩陣可逆矩陣 3. 行列式行列式 |A|: Rnn R1. 方陣的正整數(shù)冪方陣的正整數(shù)冪 乘積可交換的運(yùn)算乘積可交換的運(yùn)算*AAA AA E4. 伴隨矩陣伴隨矩陣 5. 可逆矩陣可逆矩陣 3. 行列式行列式 ABA BBA 11AAA AEknkmCC注注1. 0 r(Am n) minm, n注注1. 0 r(Am n) minm, n注注1. 0 r(Am n

26、) minm, n01ijrr 020ikrk 一次初等一次初等行變換行變換,AB 03ijrkr 一次初等一次初等行變換行變換,AB ABBA初等初等列列變換變換,AB 一次初等一次初等行變換行變換,AB 初等行變換初等行變換,AB 初等初等列列變換變換,AB 初等初等行行變換變換,TTAB 初等變換初等變換,AB 初等行變換初等行變換 ,AA r Ar A (階梯數(shù)階梯數(shù))證明：證明：初等變換初等變換,AB ( )rm nE ( )( ),rrm nm nAEBE.AB2 1 1 1 21 1 2 1 44 6 2 2 4 3 6 9 7 9A 131121401120001300000

27、初等行變換初等行變換 ,AA r Ar A (階梯數(shù)階梯數(shù))( )rm nE (3)4 5E ,Tr A Br A BA,B的最高階非零子式也是的最高階非零子式也是(A,B)的非零子式的非零子式.設(shè)設(shè)U1,U2為為AT, BT的行最簡(jiǎn)形的行最簡(jiǎn)形.TTArB 12TTPOArOPB 12UrU r Ar B max,r Ar Br A B則存在可逆陣則存在可逆陣P1,P2, 使得使得P1AT = U1, P2BT = U2.12TTP ArP B max,r Ar Br A B r Ar B max,r Ar Br A B r Ar B ,r ABr AB B r Ar B ,r A B 則則(A,B)與與(A+B,B) 相抵相抵. ,A BAB B 1,in iincc max,r Ar Br A B r Ar B min,r Ar Bmr ABr Ar B 0,.If ABthen r Ar Bm 1212,TnnaaAa aaa 12,Tna aa 2112121222212,nnnnnaa aa aa aaa aa aa aa 0 0,ia20,iaTA 12,Tna aa