D77常系數(shù)齊次線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一階微分方程一階微分方程1.1.可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程xxfyygd)(d)(2、齊次方程、齊次方程形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齊次方程齊次方程 .令令,xyu ,xuy 則,ddddxuxuxy解法解法:代入原方程得代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分兩邊積分, 得得xxuuud)(d積分后再用積分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3、一階線性微分方程、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式（一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式（1）:)()(ddxQyxPxy0

2、)(ddyxPxy解齊次方程解齊次方程 通解為：通解為：xxPCyd)(e用用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,e)()()(xxPxuxyd則則作變換作變換CxxQuxxPde)(d)(故原方程的通解故原方程的通解CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式（一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式（2）：）：)()(ddyQxyPyx通解：通解：CyyQxyyPyyPde)(ed)(d)(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、可降階高階微分方程二、可降階高階微分方程 1、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè)設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為

3、一階方程原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cxp則得則得),(1Cxy再一次積分再一次積分, 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy2、不含有不含有y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令,py xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cyp即得即得),(1Cyy分離變量后積分分離變量后積分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy不含有不含有x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常系數(shù)常系數(shù) 第七節(jié)第七節(jié)齊次線性微分方程齊次線性微分方程

4、 基本思路基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程求特征方程(代數(shù)方程代數(shù)方程)之根之根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 第七章第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入代入得得0e)(2xr qprr02qrpr稱稱為微分方程為微分方程的的特征方程特征方程,1. 當(dāng)當(dāng)042qp時時, 有兩個相異實根有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解方程有兩個線性無關(guān)的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解為因此方程的通解為xrx

5、rCCy21ee21( r 為待定常數(shù)為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時因為所以令所以令的解為的解為 則微分則微分其根稱為其根稱為特征根特征根.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程特征方程02qrpr2. 當(dāng)當(dāng)042qp時時, 特征方程有兩個相等實根特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解設(shè)另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 則得則得,e12xrxy 因此原方程

6、的通解為因此原方程的通解為xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru0 yqypy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr3. 當(dāng)042qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根i,i21rr這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解為)sincos(e21xCxCyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)小結(jié):),(0

7、為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若特征方程含若特征方程含 k 重復(fù)根重復(fù)根,ir若特征方程含若特征方程含 k 重實根重實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含則其通解中必含對應(yīng)項對應(yīng)項)(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnaya

8、yayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 032 yyy求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征根特征根:,3,121rr因此原方程的通解為因此原方程的通解為xxCCy321ee例例2. 求解初值問題求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根有重根,121 rr因此原方程的通解為因此原方程的通解為ttCCse)(21利用初始條件得利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為于是所求初值問題的解為ttse)24(2

9、2C目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.052)4( yyy求方程的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程, 052234rrr特征根特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解為因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程特征方程:, 045rr特征根特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程特征方程:44r即即0)2)(2(2222rrrr其根為其

10、根為),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 當(dāng)當(dāng)時時, 通解為通解為xrxrCCy21ee2121rr (2) 當(dāng)當(dāng)時時, 通解為通解為xrxCCy1e)(2121rr (3) 當(dāng)當(dāng)時時, 通解為通解為)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.02)4( yyy解方程思考與練習(xí)思

11、考與練習(xí) 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy23.02)4( yyy解方程 4 求方程求方程0 yay的通解的通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解為所求通解為xxeCeCy1.解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos( 21。所求通解為所求通解為xCxCeyx2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為i,2,1ri4,3r則方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaCCyee21目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回