第二章魯棒控制理論

1、第二章 魯棒控制理論概述21魯棒控制理論概述211 系統(tǒng)不確定性和魯棒性控制科學(xué)所要解決的主要問題之一是針對被控對象，設(shè)計(jì)合適的控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定或達(dá)到一定的性能指標(biāo)要求。它經(jīng)歷了經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論兩個(gè)發(fā)展階段。無論是經(jīng)典控制理論還是現(xiàn)代控制理論，它們的一個(gè)明顯的特點(diǎn)是建立在精確的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)之上。但是，在實(shí)際應(yīng)用中存在著許多不確定性，具體體現(xiàn)在：(1)參數(shù)的測量誤差。由于測量技術(shù)的限制，許多參數(shù)的測量值可能有相當(dāng)大的誤差。尤其是某些涉及熱力學(xué)、流體力學(xué)和空氣動力學(xué)，以及化學(xué)反應(yīng)過程的參數(shù)，往往很不容易測準(zhǔn)，或者需要付出昂貴的代價(jià)才能測準(zhǔn)；(2)環(huán)境和運(yùn)行條件的變化。這往往是不確定

2、性產(chǎn)生的最重要的原因。例如，內(nèi)部元器件的老化；電氣設(shè)備的電阻因溫升而改變；煉鋼爐因爐壁漸漸被鋼水腐蝕變薄而導(dǎo)致導(dǎo)熱系統(tǒng)的變化；飛機(jī)和導(dǎo)彈在高空或低空以高速或低速飛行時(shí)其空氣動力學(xué)參數(shù)的變化非常劇烈，甚至由于燃料消耗造成導(dǎo)彈質(zhì)量的變化和質(zhì)心的位移，這些都會造成其參數(shù)較大的變化；(3)人為的簡化。為了便于研究和設(shè)計(jì)，人們往往有意略去系統(tǒng)中一些次要因素，用低階的線性定常集中參數(shù)模型來代替實(shí)際的高階、非線性甚至是時(shí)變和分布參數(shù)的系統(tǒng)，這樣勢必要引入系統(tǒng)模型的不確定性。因此，在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中不可避免的問題是：如何設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)一定范圍的參數(shù)不確定性及一定限度的未建模動態(tài)存在時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)仍能保持

3、穩(wěn)定并保證一定的動態(tài)性能，這樣的系統(tǒng)被稱為具有魯棒性。212魯棒控制理論的發(fā)展概況魯棒控制理論正是研究系統(tǒng)存在不確定性時(shí)如何設(shè)計(jì)控制器使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足一定的動態(tài)性能。自從1972年魯棒控制(Robust Contr01)這一術(shù)語首次在期刊論文中出現(xiàn)以來，已有大量的書籍詳細(xì)的闡述了魯棒控制理論的產(chǎn)生、發(fā)展及研究現(xiàn)狀。魯棒控制的早期研究常只限于微攝動的不確定性，都是一種無窮小分析的思想。1972年魯棒控制(Robust Control)這一術(shù)語首次在期刊論文中出現(xiàn)。經(jīng)過三十多年的研究，魯棒控制理論已比較成熟，在時(shí)域和頻域都取得了令人矚目的成就，其代表性的研究方法有多項(xiàng)式代數(shù)方法以Kharito

4、nov定理為代表的多項(xiàng)式代數(shù)方法，為參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒控制研究提供了強(qiáng)有力的理論方法，但由于本身理論的局限性，此方法基本上只能局限于多項(xiàng)式空間和對系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的分析，對參數(shù)不確定系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題，一直沒有什么滿意的結(jié)果。如何將現(xiàn)有方法應(yīng)用到控制工程實(shí)踐，仍有許多問題需要解決?？刂评碚摰奶岢鼍哂泻軓?qiáng)的工程應(yīng)用背景?？刂评碚摰幕蓴_信號屬于某一有限能量信號集情況下，用其相應(yīng)的靈敏度函數(shù)標(biāo)，從而將干擾問題化為求解使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并使相應(yīng)的如范數(shù)饋控制問題。比設(shè)計(jì)方法雖然將魯棒性直接反映在系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)映在相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)上，但它“最壞情況”下的控制卻導(dǎo)致了不必要的保守性。另外，由于鞏設(shè)計(jì)方法是以

5、非結(jié)構(gòu)化不確定性和小增益定理為設(shè)計(jì)框架的由于鞏設(shè)計(jì)方法是以非結(jié)構(gòu)化不確定性和小增益定理為設(shè)計(jì)框架的，穩(wěn)定性，對魯棒性能的分析就顯得無能為力。因此，魯棒多變量反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法一直存在的困難，是不能夠在統(tǒng)一的框架下同時(shí)處理性能指標(biāo)與魯棒穩(wěn)定性的折中問題。方法很好地補(bǔ)充了比控制的不足，可以把結(jié)構(gòu)不確定系統(tǒng)的魯棒性能結(jié)合起來考慮，并且克服了設(shè)計(jì)上的保守性，從而設(shè)計(jì)出性能更優(yōu)，魯棒性更好的控制系統(tǒng)。值得注意的是，理論中的分析已基本完善，但綜創(chuàng)還沒有很好地解決。目前常用的是Doyle提出的D一迭代算法，由于和D的優(yōu)化并不具有組合凸性，所以不能保證迭代算法收斂到全局最優(yōu)，因而求得的弘值具有一定的保守性，在一

6、定程度上限制了“理論的具體應(yīng)用。魯棒控制理論的時(shí)域法是魯棒控制理論中最活躍的分支，它考慮實(shí)際系統(tǒng)與數(shù)學(xué)模型之間存在偏差時(shí)，如何保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其他性能。自從Monopolill首次采用Lyapunov穩(wěn)定性理論研究不確定系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題以來，對于時(shí)變和非線性攝動不確定系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的魯棒鎮(zhèn)定綜合方法引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。在這一框架內(nèi)主要有兩種研究方法，即Riccati方程處理方法和線性矩陣不等式方法。Riccati方法是早期的一種研究方法，其基本思想是將不確定系統(tǒng)的分析和綜合問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)Riccati方程(或不等式)的可解性問題，進(jìn)而通過求解Riccati方程來對系

7、統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能進(jìn)行分析，或給出魯棒控制器。Riccati方程處理方法在80年代和90年代初期被廣大學(xué)者采用，但隨著研究問題的日益復(fù)雜，越來越多的學(xué)者認(rèn)識到Riccati方法的局限性：(1)Riccati方程的求解存在一定的問題。雖然目前有很多求解Riccati方程的方法，但大多為迭代方法，其收斂性不能得到保證；(2)眾所周知，應(yīng)用Riccati方法進(jìn)行不確定系統(tǒng)的分析和綜合時(shí)，往往需要設(shè)計(jì)者預(yù)先確定一些待定參數(shù)，這些參數(shù)的選擇不僅直接影響到結(jié)論的好壞，而且還會影響到問題的可解性。在現(xiàn)有的Riccati方程處理方法中，還缺乏尋找這些參數(shù)最佳值的方法，多數(shù)情況下尚需要人為的確定這些參數(shù)，

8、無疑給分析和綜合結(jié)果引入很大的保守性。隨著求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)法的提出，到20世紀(jì)90年代初，線性矩陣不等式方法逐漸受到控制界的普遍關(guān)注。通過線性矩陣不等式技術(shù)，系統(tǒng)和控制中的很多問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性矩陣不等式(組)的可行性問題，或者轉(zhuǎn)化為一個(gè)受線性矩陣不等式(組)約束的凸優(yōu)化問題。內(nèi)點(diǎn)法的提出使魯棒分析和綜合中的一些原來無法解決的復(fù)雜問題在轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題后得以有效的解決。尤其是MathWork公司在其商業(yè)軟件Matlab中推出了求解線性矩陣不等式問題的LMI工具箱后，使得人們在求解線性矩陣不等式問題時(shí)更方便、更有效，這進(jìn)一步推動了線性矩陣不等式方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應(yīng)用。線性矩

9、陣不等式處理方法克服了Riccati方程方法中的許多不足。采用線性矩陣不等式方法處理不確定系統(tǒng)的魯棒分析和綜合問題時(shí)，所需要預(yù)先選擇的參數(shù)要明顯少于Riccati方法。線性矩陣不等式方法給出了問題解的一個(gè)凸約束條件，可以采用求解凸優(yōu)化問題的有效方法，得到一組滿足要求的可行解，而不是唯一解，因而可以對這一組解做進(jìn)一步優(yōu)化，這也使得線性矩陣不等式方法不僅為廣大科研工作者所采用，而且正逐漸為工程應(yīng)用人員所接納。22 時(shí)滯系統(tǒng)魯棒控制概述動力系統(tǒng)總是存在滯后現(xiàn)象。從工程技術(shù)、物理、力學(xué)、控制論、化學(xué)反應(yīng)、生物醫(yī)學(xué)等中提出的數(shù)學(xué)模型帶有明顯的滯后量，特別是在自動控制的裝置中，任何一個(gè)含有反饋的系統(tǒng)，從輸

10、入信號到收到反饋信號，其間必然有一個(gè)時(shí)間差。因此時(shí)滯是普遍存在的。例如在化工、液壓、軋鋼、核反應(yīng)堆、輪船定向儀、無損傳輸系統(tǒng)等系統(tǒng)中都具有時(shí)滯，而且時(shí)滯是引起系統(tǒng)不穩(wěn)定以及導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化的一個(gè)重要因素。因此，對時(shí)滯系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值?？紤]線性時(shí)滯系統(tǒng) （2.2.1）其中為狀態(tài)變量，d0為時(shí)滯，為初始條件，矩陣為知的定常矩陣。早期對時(shí)滯系統(tǒng)的研究通常采用頻域的方法。一般時(shí)滯系統(tǒng)有無窮多個(gè)極點(diǎn)，很難用傳統(tǒng)的方法將這些極點(diǎn)配置到左半復(fù)平面的指定位置。Smith預(yù)估是克服難的一種方法。狀態(tài)預(yù)估器和過程模型控制采用了Smith預(yù)估器的思想，解決了指定干擾抑制問題。但是，以上方法僅限

11、于標(biāo)稱對象的控制問題。當(dāng)系統(tǒng)存在不確定性時(shí)，這些方法就無能為力。近年來，許多學(xué)者做了改善研究。然而，對于時(shí)變時(shí)滯還是未能得到有效地解決。從時(shí)域的角度，Lyapunov泛函方法是處理時(shí)滯系統(tǒng)的一般方法，其主要思想是通過構(gòu)造一個(gè)合適的Lyapunov-Krasovskii泛函或Lyapunov函數(shù)，獲得系統(tǒng)（2.2.1）穩(wěn)定的充分條件。它克服了頻域不能處理時(shí)變和參數(shù)攝動的不足，而且隨著線性矩陣不等式技術(shù)的成熟，使其計(jì)算簡單，因而在時(shí)滯系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中得到了廣泛地應(yīng)用。在20世紀(jì)90年代前，提出的關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的結(jié)論基本上都是時(shí)滯無關(guān)的，也就是說在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，不考慮系統(tǒng)實(shí)際時(shí)滯的大小，因而所得

12、結(jié)論對任意大小的時(shí)滯都成立，這對于無法精確得到系統(tǒng)滯后信息的一類時(shí)滯系統(tǒng)無疑是有效的，但當(dāng)時(shí)滯很小時(shí)，這種時(shí)滯無關(guān)(delay-independent)條件是相當(dāng)保守的。相對應(yīng)地，當(dāng)考慮時(shí)滯對系統(tǒng)性能的影響時(shí)得出的條件就稱為時(shí)滯相關(guān)(delay-dependent)條件。這類條件須首先假設(shè)當(dāng)d=0時(shí)系統(tǒng)(11)是穩(wěn)定的，這樣由于系統(tǒng)的解對d的連續(xù)依賴，則一定存在一個(gè)時(shí)滯上界dm，使得系統(tǒng)（2.1）對都是穩(wěn)定的。因此，最大容許的時(shí)滯上界就成為衡量時(shí)滯相關(guān)條件保守性的主要指標(biāo)。近年來，時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性分析與控制綜合，以及如何降低所得條件的保守性，已經(jīng)成為控制理論界研究的熱點(diǎn)問題。目前，國際上主要針對

13、兩類時(shí)滯研究其時(shí)滯相關(guān)問題，第一類是定常時(shí)滯、第二類是時(shí)變時(shí)滯。而時(shí)滯時(shí)變情形又分為兩種情形(Case I)和(Case)，其中Case I是指時(shí)變時(shí)滯連續(xù)但不可微，Case U是指時(shí)變時(shí)滯連續(xù)且可微。在研究方法上，不管是定常時(shí)滯還是時(shí)變時(shí)滯，主要采用的是時(shí)域研究方法，可分為四類：離散Lyapunov泛函方法、模型變換方法、自由權(quán)矩陣方法、積分不等式(有限和不等式)方法。離散Lyapunov泛函方法的基本思想是對Lyapunov泛函進(jìn)行離散化，獲得LMI表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)果。該方法的優(yōu)點(diǎn)是：只要步長足夠小，對于保證系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯界限的估計(jì)就非常接近于實(shí)際值，但其算法復(fù)雜，而且該方法只適用于具有

14、定常時(shí)滯的系統(tǒng)，對于具有時(shí)變時(shí)滯的系統(tǒng)就無能為力；另外，該方法只適用于穩(wěn)定性分析，很難推廣到綜合問題。因此，這類方法自從1997年Gu提出后，只有少數(shù)學(xué)者進(jìn)行研究，沒有得到廣泛的推廣和應(yīng)用。模型變換方法主要是將一個(gè)具有離散時(shí)滯的系統(tǒng)通過LeibnizNewton公式, 將線性時(shí)滯系統(tǒng)（2.1）轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有分布時(shí)滯的新系統(tǒng)，再選取適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，從而得到時(shí)滯相關(guān)條件。模型變換的目的是讓系統(tǒng)方程中出現(xiàn)積分項(xiàng)，這樣對y函數(shù)沿系統(tǒng)求導(dǎo)就導(dǎo)致交叉項(xiàng)與二次型積分項(xiàng)的同時(shí)出現(xiàn)，然而對交差項(xiàng)的界定可以抵消y泛函導(dǎo)數(shù)中的二次型積分項(xiàng)，從而可獲得時(shí)滯相關(guān)條件。這3種模型變換方法簡單，對于穩(wěn)定性和性能

15、分析，基本上都能用LMI求解。而且能夠推廣考慮各種綜合問題來求解控制器。特別是基于Park不等式和Moon不等式來界定交叉項(xiàng)的模型變換，已經(jīng)有一系列的結(jié)果，如：有界實(shí)引理，控制，、魯棒穩(wěn)定性等。但是這些守性，一方面是模型變換帶來了保守性；另一方面對交叉項(xiàng)的界定也不可避免地產(chǎn)生保守性。2.3 LMI設(shè)計(jì)實(shí)例：風(fēng)力發(fā)電機(jī)整流器設(shè)計(jì)在風(fēng)力發(fā)電控制系統(tǒng)中，變流器是接在發(fā)電機(jī)和電網(wǎng)之間的。而網(wǎng)側(cè)變流器（三相PWM整流器）在工作時(shí)，能夠在穩(wěn)定直流側(cè)電壓的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)其交流側(cè)在受控功率因數(shù)（如單位功率因數(shù)）條件下的正弦波電流控制。另外一方面，常規(guī)的三相電壓型PWM整流器（VSR）控制系統(tǒng)通常應(yīng)用雙閉環(huán)的控制策

16、略，即電壓外環(huán)控制和電流內(nèi)環(huán)控制。2.3.1、電流環(huán)的名義系統(tǒng)模型固定開關(guān)頻率PWM電流控制算法簡單、濾波電感的設(shè)計(jì)比較容易，且實(shí)現(xiàn)起來比較為方便。所以本設(shè)計(jì)中采用直接電流控制下的固定開關(guān)頻率PWM電流控制。一般我們把固定開關(guān)頻率PWM電流控制方案又分為靜止abc坐標(biāo)系下的電流控制方案和旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系下的電流控制方案。三相電壓型PWM整流器在d,q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的dq模型也可以描述為 (2.3.1) (2.3.2)式（1）中、為電網(wǎng)電動勢矢量在d、q軸的分量；、是三相VSR交流側(cè)電壓矢量的在d、q軸的分量；、是三相VSR交流側(cè)電流矢量在d、q軸的分量；p為微分算子。假設(shè)d,q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下

17、的q軸與電網(wǎng)電動勢矢量是重合的，那么電網(wǎng)電動是矢量在d軸的分量為0。從式（1）中可以看出，由于三相電壓型PWM整流器在d,q軸的變量是相互耦合的，所以在控制器設(shè)計(jì)時(shí)就形成了困難。那么，我們選用前饋解耦的控制方案，電流內(nèi)環(huán)采用PI調(diào)節(jié)器，因此和的控制方程為 (2.3.3) (2.3.4)上式中，和是電流環(huán)的積分調(diào)節(jié)增益和比例調(diào)節(jié)增益；而、為、的電流指令。我們把式（3）和式（4）代入式（1）后，可得（2.3.5)從式（5）我們可以很明顯的看出，式（3）和式（4）使三相電壓型PWM整流器的電流環(huán)實(shí)現(xiàn)了解耦。因?yàn)閮呻娏鳝h(huán)的對稱性，我們僅以的控制為例來設(shè)計(jì)電流調(diào)節(jié)器。這里考慮PWM控制的小慣性特性和電流

18、環(huán)的信號采樣的延遲。T是電流環(huán)的電流采樣周期（即PWM開關(guān)周期），橋路PWM的等效增益是K。為了方便計(jì)算，的擾動這里暫不考慮，忽略負(fù)載電流的擾動，那么，三相電壓型PWM整流器的電流環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖見圖1 圖1電流環(huán)控制結(jié)構(gòu)框圖Iq_outIq_in從結(jié)構(gòu)圖1可以得到電流環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù) （2.3.6）采用狀態(tài)空間模型的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，傳遞函數(shù)（1）的狀態(tài)空間表達(dá)式 （2.3.7）其中2.3.2 系統(tǒng)的多胞型模型考慮到在實(shí)際系統(tǒng)中的各種不確定因素，模型中的參數(shù)R, L在一定的范圍內(nèi)變化，引起系統(tǒng)矩陣A中第一行中的三個(gè)元素發(fā)生變化，因此系統(tǒng)（2）可以用一個(gè)多胞型模型表示如下 （2.3.8）該系統(tǒng)的系統(tǒng)

19、矩陣 在以下給定的多胞型模型中取值 其中 是多胞型模型的8個(gè)頂點(diǎn) （2.3.9）形成的8個(gè)系統(tǒng)矩陣。2.3.3基于狀態(tài)反饋的控制器設(shè)計(jì)穩(wěn)定三相電流型PWM整流器的直流側(cè)電流是電流環(huán)的主要作用，所以我們考慮系統(tǒng)的兩個(gè)性能，一是系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)應(yīng)該有較小的震蕩，二是系統(tǒng)的抗干擾能力。因此，這里考慮的指標(biāo)一是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，二是系統(tǒng)的H指標(biāo)。定理16矩陣A的所有特征值均在半徑為r，中心為(-q,0)的圓盤中的充分必要條件是存在對稱正定矩陣X，使得線性矩陣不等式對于系統(tǒng)（1）的傳遞函數(shù)的H指標(biāo)定義為，既系統(tǒng)頻率響應(yīng)最大奇異值的峰值。定理26 對于系統(tǒng)（1），系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，且的充分必要條件是存在對稱正定矩

20、陣P，使得線性矩陣不等式，結(jié)合以上分析，我們的目標(biāo)是對于系統(tǒng)（7）找到一個(gè)狀態(tài)反饋控制律K，使相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)滿足1、 閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均在半徑為r，中心為(-q,0)的圓盤中。2、 閉環(huán)系統(tǒng) 盡可能小。根據(jù)定理1,2，上述要求轉(zhuǎn)化為帶約束的凸優(yōu)化問題 （2.3.10）對于系統(tǒng)多胞型模型，問題描述為（2.3.11）2.3.4計(jì)算實(shí)例為了驗(yàn)證以上方法的可行性，給出一個(gè)計(jì)算的例子。在模型（7）中，設(shè)各參數(shù)的變化范圍是 1<R<5, 20<L<90，取各參數(shù)的中間值，得到名義系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在單位負(fù)反饋下的閉環(huán)傳遞函數(shù)此閉環(huán)傳遞函數(shù)的單位階躍響應(yīng)見圖202468101214161

21、82000.20.40.60.811.21.4 System: sysC Settling Time (sec): 12.2 System: sysC Peak amplitude: 1.18 Overshoot (%): 32.9 At time (sec): 3.92 圖2 校正前名義系統(tǒng)的閉環(huán)單位階躍響應(yīng)可見，此時(shí)系統(tǒng)有較大的超調(diào)量，且調(diào)整時(shí)間很長。為了改善系統(tǒng)的性能，現(xiàn)在要求設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋律使得閉合極點(diǎn)在以（-3,0）為圓心，2為半徑的圓盤內(nèi)，且閉環(huán)系統(tǒng)的盡可能小。根據(jù)參數(shù)R ，L的變化范圍及（9）可以得到q1，,r1， q2，r2，, q3，,r3。再根據(jù)（10）得到一個(gè)有8個(gè)頂點(diǎn)

22、的多胞型模型，對這個(gè)模型求解凸優(yōu)化問題（11）得到狀態(tài)反饋律K = -5.4128 -3.6026 -0.5413，保證在給定的參數(shù)變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在在以（-3,0）為圓心，2為半徑的圓盤內(nèi)，且在參數(shù)的變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)的< 6.8415。為了驗(yàn)證解的正確性，下面給出多胞型模型在8個(gè)頂點(diǎn)處的實(shí)際指標(biāo)：頂點(diǎn)1，閉環(huán)極點(diǎn)為 -1.8931 - 0.8439i ，-1.8931 + 0.8439i -4.6377 , = 3.6945頂點(diǎn)2，閉環(huán)極點(diǎn)為 -2.9407 - 1.2503i, -2.9407 +1.2503i, -4.4304 , = 3.6945頂點(diǎn)3，閉環(huán)極點(diǎn)為 -

23、1.8539 - 0.9523i, -1.8539 + 0.9523i, -4.9550 , = 3.6945頂點(diǎn)4，閉環(huán)極點(diǎn)為 -2.3182 - 1.1206i, -2.3182 + 1.1206i -4.0265 , = 3.6945 頂點(diǎn)5，閉環(huán)極點(diǎn)為-2.2555 - 0.9155i, -2.2555 + 0.9155i, -3.9129 , = 3.6945頂點(diǎn)6，閉環(huán)極點(diǎn)為-2.1384 - 1.0519i, -2.1384 + 1.0519i, -4.3861 , = 3.6945頂點(diǎn)7，閉環(huán)極點(diǎn)為 -2.9309 - 1.5968i, -2.9309 + 1.5968i, -

24、2.5622 , = 3.6945頂點(diǎn)8，閉環(huán)極點(diǎn)為 -2.7471 - 1.4365i -2.7471 + 1.4365i -3.1686 ，= 3.6945根據(jù)多胞型模型的凸依賴性質(zhì)，可知在所有的參數(shù)取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)均滿足要求。例如頂點(diǎn)8處的歸一化后的閉環(huán)傳遞函數(shù)，單位階躍響應(yīng)見圖3圖3 校正后頂點(diǎn)8處的系統(tǒng)閉環(huán)單位階躍響應(yīng)00.511.522.5300.20.40.60.811.21.4 System: sys Settling Time (sec): 2.05 校正后，系統(tǒng)無超調(diào)，且調(diào)整時(shí)間由校正前的12.2秒減少為2.05秒，可見系統(tǒng)性能得到明顯的改善。2.3.5 一些說明穩(wěn)定三相電

25、流型PWM整流器的直流側(cè)電流是電流環(huán)控制的的主要目的，所以我們考慮系統(tǒng)的兩個(gè)性能，一是系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)應(yīng)該有較小的震蕩，二是系統(tǒng)的抗干擾能力。因此，這里考慮的指標(biāo)一是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，二是系統(tǒng)的H指標(biāo)。對于這個(gè)系統(tǒng)來說，考慮到在實(shí)際系統(tǒng)中，參數(shù)L和R。由于對不同的頂點(diǎn)采用是相同的矩陣P，得到的多胞型系統(tǒng)的H指標(biāo)的上限為6.8415，所以設(shè)計(jì)出的控制律有一定的保守性。正是這種保守性，提高了實(shí)際使用時(shí)的可靠性，因此對工程實(shí)際使用來說是有益的。實(shí)際計(jì)算得到，此多胞型系統(tǒng)在8個(gè)頂點(diǎn)處的指標(biāo)均為3.6945，實(shí)際上，對這個(gè)系統(tǒng)來說，參數(shù)L和R的變化不影響它的H指標(biāo)。進(jìn)一步分析，可知系統(tǒng)H 指標(biāo)對應(yīng)的頻率是=

26、0。所以，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，只要考慮輸入的直流分量即可。在本文中采用的設(shè)計(jì)方法的另外一個(gè)好處是，將一個(gè)系統(tǒng)的指標(biāo)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)以線性矩陣不等式為約束條件的凸優(yōu)化問題，所有可以很容易加入對系統(tǒng)其它指標(biāo)的要求。第二章 附錄 線性矩陣不等式及求解方法線性矩陣不等式是魯棒控制理論中使用的主要數(shù)學(xué)工具之一，為了課程的完整性，這里專門作一介紹，本內(nèi)容是作者根據(jù)有關(guān)參考資料整理而成。A.1 線性矩陣不等式(LMI)的基本概念線性矩陣不等式是指以下形式的矩陣不等式 (A.1.1)這里xÎRm是變量，x=(x1,¼,xm )，F(xiàn)0 =F0TÎRn´n，F(xiàn)i=FiT

27、6;Rn´n(i=1,¼,m)是已知對稱矩陣。這時(shí)，稱矩陣F(x)仿射(affinely)依賴于變量x。多個(gè)線性矩陣不等式F(1)(x)>0,¼,F(p)(x)>0等價(jià)于一個(gè)單一的線性矩陣不等式diag(F(1)(x)>0,¼ , F(p)(x)>0 (A.1.2)因此從理論上來說，一個(gè)線性矩陣不等式與多個(gè)線性矩陣不等式無本質(zhì)的區(qū)別。線性矩陣不等式的這一特性對本課題的研究有重要的意義，這也是我們選擇它作為基本工具的主要原因之一。從下面的討論中可以看到，只要將濾波器的單一指標(biāo)的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)線性矩陣不等式的求解問題，濾波器的多指

28、標(biāo)設(shè)計(jì)問題就可以歸結(jié)為一個(gè)形如diag(F(1)(x)>0,¼, F(p)(x)>0的線性矩陣不等式的求解問題。LMI (A.1.1)相當(dāng)于關(guān)于x的m個(gè)多項(xiàng)式不等式。(A.1.1)是關(guān)于x的凸約束。也就是說，集合 x | F(x)>0是凸的。雖然從形式上看線性矩陣不等式(A.1.1)具有比較特殊的形式，實(shí)際上它可以表示一類很廣泛的對變量x的凸約束。例如，凸線性不等式，二次不等式，矩陣模不等式以及在控制論中經(jīng)常遇到的Lyapunov 和Riccati 不等式等等。以下幾類線性矩陣不等式在本文中經(jīng)常用到，這里特別列出。由于本文不是專門研究線性矩陣不等式，這里僅不加證明地

29、給出結(jié)論。定理A.1.1（Schur補(bǔ)）線性矩陣不等式 (A.1.3)其中Q(x)= Q(x)T R(x)=R(x)T，S(x)是形如(A.1.1)的矩陣，等價(jià)于非線性矩陣不等式R(x)>0, Q(x)-S(x)R(x)-1S(x)T>0 (A.1.4)換句化說，非線性矩陣不等式(A.1.4)可以用線性矩陣不等式(A.1.3)表示。根據(jù)以上定理A.1.1立即可以得到線性矩陣不等式等價(jià)于對矩陣模的約束Z(x)<1，其中Z(x)ÎRp´q。實(shí)際上，Z(x)<1等價(jià)于 I- Z(x) Z(x)T>0。這里，X=lmax(XTX)1/2,即矩陣的最大奇

30、異值。下面討論以矩陣為變量的矩陣不等式，魯棒控制理論中經(jīng)常用到的兩類矩陣不等式：1、Lyapunov不等式ATP+PA+Q<0 (A.1.5)其中A,QÎRn´n是已知常數(shù)矩陣，P=PT是變量。3、 Riccati不等式ATP+PA+PBR-1BTP+Q<0 (A.1.6)其中A,B,Q=QT,R=RT>0是適維已知常數(shù)矩陣，P=PT是變量。這是一個(gè)關(guān)于變量P的二次不等式，根據(jù)定理A.1.1它可以表示為線性矩陣不等式 (A.1.7)為了使上式符合一般的習(xí)慣和更有效地計(jì)算，不把矩陣不等式寫作標(biāo)準(zhǔn)的(A.1.1)的形式，而只是指出不等式中那一個(gè)是變量。例如，在

31、不等式ATP+PA+Q<0中，如果變量是P，稱為關(guān)于P的不等式。當(dāng)然，矩陣不等式(A.1.5)可以歸結(jié)為(A.1.1)所示的標(biāo)準(zhǔn)形式。下面看一個(gè)例子，考慮離散形式的Lyapunov不等式ATXA-X+ Q<0，X=XTÎR2這個(gè)矩陣變量的不等式可以寫成(A.1.1) 的標(biāo)準(zhǔn)形式ATXA-X+ Q=M0+x1M1+ x2M2+ x3M3其中M0=Q，Mi=ATEiA-Ei (i=1,2,3)然而，(A.1.1)的標(biāo)準(zhǔn)形式從實(shí)用與計(jì)算的角度來看有不足之處。首先，按照(A.1.1)定義矩陣序列M0,¼,Mn從計(jì)算的存儲量來說是不經(jīng)濟(jì)的。當(dāng)XÎRn´

32、n，每個(gè)Mi是n´n矩陣，考慮到對稱性，有n(n+1)/2個(gè)決定變量(decision variables)，因此需要n(n+1)/2個(gè)存儲單元，總的存儲單元與n4/4成正比，而存儲相應(yīng)的A，Q僅需要2n2個(gè)存儲單元。其次，由于LMI具有不同的形式，變量X也有不同的結(jié)構(gòu)，從標(biāo)準(zhǔn)形式 (A.1.1)轉(zhuǎn)換為自然的形式 (A.1.3)的過程不能自動地完成，不利于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。因此，在實(shí)際計(jì)算中一般采用LMI的矩陣表達(dá)方式。A.2 線性矩陣不等式標(biāo)準(zhǔn)問題1、線性矩陣不等式問題（LMIP）給出一個(gè)線性矩陣不等式F(x)>0，LMIP問題是找到一個(gè)可行解xf使得線性矩陣不等式F(xf)&

33、gt;0成立，或確定這樣的xf不存在。2、特征值問題（EVP）極小化一個(gè)矩陣的最大特征值，滿足線性矩陣不等式的約束，或確定在此約束下的解不存在，即min l , s.t lI-A(x)>0, B(x)>0 (A.2.1)當(dāng)A,B是變量x的對稱矩陣時(shí)，約束是凸的，很明顯，EVP問題等價(jià)于一個(gè)帶有不等式約束的凸優(yōu)化問題min cTx , s.t lI-A(x)>0, B(x)>0 (A.2.2)作為一個(gè)EVP問題的例子，考慮min l ,s.t P>0, (A.2.3)其中AÎRn´n, BÎRn´P, CÎRm

34、80;n, 是已知矩陣，g是已知標(biāo)量因子，l ,P是待優(yōu)化的變量。從上面討論可知，它等價(jià)于min l，s.t ATP+PA+Q+g-1PBBTP<0 (A.2.4)3、廣義特征值問題（GEVP）廣義特征值問題是極小化一對矩陣的廣義最大特征值，滿足線性矩陣不等式的約束，或確定在此約束下的解不存在，一般形式為min l , s.t l B(x)-A(x)>0, B(x)>0，C(x)>0 (A.2.5)這里A,B,C是仿射依賴于變量x的對稱矩陣，上式也可以表示為min lmax(A(x),B(x) , s.t B(x)>0,C(x)>0 (A.2.6)其中，lm

35、ax(X,Y)表示矩陣Y-1/2XY-1/2的最大特征值。GVEP問題是半凸(quasiconvex)優(yōu)化問題，因?yàn)榧s束條件是凸的，而目標(biāo)函數(shù)lmax(A(x),B(x)是半凸的。也就是說對兩個(gè)可行解x1，x2以及標(biāo)量0 £ q £1lmax(A(qx1+(1-q) x2),B(qx1+(1-q) x2)£ maxlmax(A(x1),B(x1), lmax(A(x2),B(x2) (A.2.7)4、 凸問題(CP)min logdetA(x)-1 ，s.t A(x)>0,B(x)>0 (A.2.8)這里A,B是仿射依賴于變量x的對稱矩陣，注意當(dāng)A&g

36、t;0時(shí)，logdetA(x)-1是A的凸函數(shù)。作為一個(gè)CP問題的例子，考慮min logdet P-1 ，s.t P>0, viTPvi £1 (i=1, ¼, L) (A.2.9)其中viÎRn為已知，P=PTÎRn´n 是變量。下面我們給出這個(gè)問題的一個(gè)幾何解釋，用e表示以原點(diǎn)為中心，由P確定的橢球 e=zT|zPz £ 1，約束條件是viÎe。由于橢球的體積正比于det(P)-1/2,所以，極小化logdet P-1相當(dāng)于極小化橢球e的體積。求解(2.2.9)就可以得到以原點(diǎn)為中心，包含向量vi (i=1, &

37、#188;, L)的最小橢球。即向量組vi (i=1, ¼,L) 的凸包(convex hull)。無論理論上還是實(shí)際上，線性矩陣不等式的標(biāo)準(zhǔn)問題(LMIP, EVP, GEVP, CP)都可以有效地求解。也就是說，從理論上可以方便地證明這些問題解的存在性和求解算法的收斂性；在實(shí)際計(jì)算中有非常有效的算法進(jìn)行求解。這里“求解”是指：確定這些問題的解是否存在，如果存在，找到一個(gè)可行解，它與全局最優(yōu)解的誤差小于預(yù)先給定的精度要求。A.3 橢球算法(ellipsoid algorithm)為了說明求解上述線性矩陣不等式的標(biāo)準(zhǔn)問題的思路，這里簡單介紹一下橢球算法。這個(gè)算法給出了求解上述問題的一

38、個(gè)簡單而明確的思路。當(dāng)然，從實(shí)際計(jì)算的角度來看，近幾年發(fā)展起來的內(nèi)點(diǎn)算法(interior-point algorithm)更加有效，該算法我們將在后面介紹。橢球算法基本思想如下，假設(shè)要求解的問題至少有一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)，在求可行解時(shí)，認(rèn)為可行點(diǎn)是一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)。從一個(gè)橢球e0開始，假設(shè)e0中至少有一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)。計(jì)算一個(gè)切平面(cutting plane)，這個(gè)平面經(jīng)過橢球e0的中心x0，也就是說，找一個(gè)非零向量g0使最優(yōu)點(diǎn)落在半空間z| g0T(z- x0) £ 0中（后面我們解釋對每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)問題，如何找向量g0）。從而，被分割的半橢球 e0 Çz| g0T(z- x0) £

39、 0至少包含一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)。接下來，計(jì)算包含這個(gè)半橢球的最小的橢球e1，顯然，e1中至少包含一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)。繼續(xù)這一過程，可得到一系列的體積越來越小的橢球，當(dāng)橢球的體積小于預(yù)先給定的精度要求時(shí)，從最后得到的橢球中任取一點(diǎn)就是要求的最優(yōu)解。下面給出具體的計(jì)算公式。一個(gè)橢球可以表示為e=z| (z-a)TA-1 (z-a)£1 (A.3.1)其中A=AT>0。包含半橢球e=z| (z-a)TA-1 (z-a)£1, g0T(z- x0)£0(A.3.2)的體積最小的橢球是e1=z| (z-a1)TA1-1 (z-a1)£1(A.3.3)這里此公式當(dāng)m³

40、;2時(shí)成立。當(dāng)只有一個(gè)變量時(shí)，包含半?yún)^(qū)間的最小區(qū)間就是它本身。這時(shí)橢球算法退化為我們熟悉的對分法。橢球算法以初值x(0),A(0)開始，按下述過程進(jìn)行計(jì)算過x(k)的切平面g(k)； (A.3.4)這個(gè)過程產(chǎn)生一系列的橢球，并保證每個(gè)橢球中都包含一個(gè)最優(yōu)點(diǎn)。它們的體積按幾何級數(shù)遞減 vol(e (k) ) e-k/2m vol(e (0) )，這里vol(e )表示橢球e的體積。下面討論標(biāo)準(zhǔn)問題中切平面的計(jì)算方法。1、LMIP問題考慮LMI如果x不滿足這個(gè)不等式，存在一個(gè)非零的u使(A.3.5)令gi=-uTFiu，對任意z滿足gT(z-x)0有因此，每一個(gè)可行解均在半空間 z | gT(z-

41、x)< 0內(nèi)，所以，g確定了一個(gè)LMIP在點(diǎn)x的切平面。2、EVP問題考慮EVPmin cTx s.t F(x)>0(2.3.6)假設(shè)點(diǎn)x使 F(x)<0,我們可以用以上在LMIP中的方法構(gòu)造一個(gè)切平面。這時(shí)，我們?nèi)サ舭肟臻gz|gT(z-x)0，因?yàn)檫@里面的點(diǎn)都不滿足不等式 F(x)>0。如果給出的點(diǎn)x滿足 F(x)>0，這時(shí)，g=c確定了一個(gè)LMIP在點(diǎn)x的切平面。去掉半空間z|gT(z-x)>0，因?yàn)檫@里面的點(diǎn)(無論是不是可行解)的目標(biāo)函數(shù)的值均大于x，因此不可能是最優(yōu)解。3、GEVP問題考慮以下公式min lmax(A(x),B(x) ,s.t B(x

42、)>0, C(x)>0(A.3.7)任給一個(gè)點(diǎn)x，如果不是可行解，可以用以上在LMIP中的方法構(gòu)造一個(gè)切平面?，F(xiàn)在，假設(shè)所給出的x是可行解，取任意向量u0滿足(lmax(A(x),B(x) B(x)- A(x)u=0由下式定義的gg=uT(lmax(A(x),B(x) B(x)- A(x)u即為一個(gè)GEVP在點(diǎn)x的切平面。因?yàn)?，對任意zuT(lmax(A(x),B(x) B(x)- A(x)u=gT(z-x)因此，如果gT(z-x)0，則有l(wèi)max(A(z),B(z) ³lmax(A(x),B(x)。4、CP問題最后考慮CP問題，任給一個(gè)點(diǎn)x，如果不是可行解，可以用以上在

43、LMIP中的方法構(gòu)造一個(gè)切平面?，F(xiàn)在，假設(shè)所給出的x是可行解，切平面由目標(biāo)函數(shù)的梯度給出(A.3.8)即 gi=Tr(PiP(x)-1)。由于目標(biāo)函數(shù)是凸的，對所有的z特別地，gT(z-x)>0 意味著(A.3.9)所以z不可能是最優(yōu)解。A.4 解正定規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)方法(interior-point method)從1988年以來，內(nèi)點(diǎn)方法被用來求解線性矩陣不等式的標(biāo)準(zhǔn)問題。目前，該方法已經(jīng)非常成熟，經(jīng)驗(yàn)證是一種高效率的求解線性矩陣不等式的標(biāo)準(zhǔn)問題的方法。本節(jié)中我們簡要介紹基本概念。A.4.1 線性矩陣不等式的的解析中心(analytic center)線性矩陣不等式解析中心的概念在內(nèi)點(diǎn)方法

44、中起著重要的作用，這里簡述一下它的概念，考慮線性矩陣不等式這里xRm是變量, F0=F0T, Fi=FiTÎ Rn´n (i=1,¼,m) 是已知的對稱矩陣。以X表示該不等式的可行解集合X= xÎRm | F(x)>0 顯然，函數(shù)(A.4.1)僅當(dāng)xX時(shí)有確定的值。當(dāng)x靠近X的邊界時(shí)，該函數(shù)趨于無窮大，也就是說，它是X的障礙函數(shù)(barrier function)。假設(shè)X是非空的有界集合，這意味著矩陣 Fi=FiTRn´n, (i=1, ,m)線性無關(guān)(否則，X將包含一條直線)?？梢宰C明，F(xiàn)(x)是X的嚴(yán)格凸函數(shù)，所以它有一個(gè)唯一的最小點(diǎn)

45、x*=argminF(x)(A.4.2)稱x*為線性矩陣不等式F(x)>0的解析中心。等價(jià)地有x*=argmax detF(x)也就是說，在所有的形如F(x)的正定矩陣中，F(xiàn)(x*)具有最大的行列式。下面討論線性矩陣不等式的解析中心計(jì)算方法，實(shí)際上，這是一個(gè)特殊的CP問題。只要選擇合適的步長，牛頓迭代法可以有效地計(jì)算線性矩陣不等式的解析中心x*。在X中任取一點(diǎn)，采用迭代公式x(k+1)=x(k)-a(k)H(x(k)-1g(x(k)(A.4.3)這里，a(k)為第k次迭代的阻尼因子，H(x(k)和g(x(k)分別代表F(x)在x(k)處的海塞(Hessian)陣和梯度。阻尼因子的取法如下

46、(A.4.4)可以證明，這樣選擇的阻尼因子總會使x(k+1) X，并且保證x(k)收斂于x*。A.4.2 正定規(guī)劃(PDP)問題與LMI考慮min cTx , s.t F(x) 0(A.4.5)這里F(x)是x的仿射函數(shù)，(2.4.5)稱為一個(gè)正定規(guī)劃(PDP)問題，當(dāng)約束是凸的時(shí)，稱(A.4.5)是一個(gè)凸規(guī)劃。對xRm如果F(x) 0，稱x為可行解，如果F(x) >0，稱x為嚴(yán)格可行解。記PDP(A.4.5)的最優(yōu)值為roptropt=inf cTx | s.t F(x) 0(A.4.6)當(dāng)PDP(A.4.5)無下界時(shí)，ropt = -¥。習(xí)慣上，當(dāng)PDP(A.4.5)無解時(shí)

47、，我們認(rèn)為ropt =+¥。求解PDP(A.4.5)的含意是(1) 如果該問題無解(ropt =+¥)，給出無解的證明。(2) 如果ropt 為有限值，給出一個(gè)可行解x滿足ropt cTx-，稱x為-次優(yōu)解，這里>0。(3) 如果目標(biāo)函數(shù)無下界，即ropt =-¥，給出一個(gè)可行解x和一個(gè)可行方向v，沿著方向v目標(biāo)函數(shù)趨于-¥。下面討論LMI與PDP的關(guān)系，首先多個(gè)LMI可由塊對角矩陣合成一個(gè)大的LMI。G1(x) ³ 0,¼,GL(x) ³ 0等價(jià)于F(x)=diag(G1(x) ³ 0, ¼,GL

48、(x) ) ³ 0,所以，PDP問題min cTx , s.t Gi(x) ³ 0 ( i=1, ¼,L)(A.4.7)等價(jià)于PDP(2.4.1)?？紤]凸優(yōu)化問題min f(x) , xÎC (A.4.8)其中f：Rk®R是凸函數(shù)，C是凸集。 如果可以找到一個(gè)仿射函數(shù)Fo：Rk+1®Rp´p使f(x) £ t Û Fo(x,t) ³ 0(A.4.9)和仿射函數(shù)Fc：Rk®Rq´q使x ÎC Û Fc(x) ³ 0(A.4.10)則凸優(yōu)化問題 (2

49、.4.8)可以表示為一個(gè)PDPmin t , s.t Fo(x,t) ³ 0, Fc(x) ³ 0在這個(gè)PDP中，m=k+1,xÎRk ,tÎR，向量c1=,¼ ,=ck=0,ck+1=1, F(x) ÎR n´n，F(xiàn)(x) ³ 0，n=p+q，F(xiàn)(x)=diag(Fo(x,t), Fc(x)。LMI(A.4.9),(A.4.10)稱為函數(shù)f及約束C的正定表示(PDR)。為了將一個(gè)凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)PDP必須找到它的目標(biāo)函數(shù)與約束的PDR。下面看幾個(gè)例子。(1) 線性約束A ³ xb，AÎR

50、n´n，bÎR n，(向量不等式)。相應(yīng)的PDR是F(x) ³ 0，F(xiàn)(x)=diag(Ax-b)T因此，它可以表示為PDPmin cTx , s.t Ax ³ b(2) 凸二次函數(shù)任意凸二次函數(shù)可以表示為f(x)=(Ax-b)T(Ax-b)-cTx-d,它的PDR是 (3) 歐氏 (Euclidean) 模函數(shù)Ax-b的PDR是(4) 矩陣的模矩陣A(x) Î R p´q，A(x)是x的仿射函數(shù)。A(x)F的PDR是(5) 矩陣的最大特征值矩陣A(x) =A(x)T是x的仿射函數(shù)。最大特征值 lmaxA(x)的PDR是F(x,t)=

51、tI-A(x) ³0(6) 最大值與交集設(shè)F1(x,t) ³ 0, F2(x,t) ³ 0是凸函數(shù)，分別是f1 , f2的 PDR，則f=max(f1,f2)的PDR是diag(F1(x,t), F2(x,t) ³ 0類似地，設(shè)凸集C1,C2的PDR是F1(x) ³ 0, F2(x) ³ 0，交集C1ÇC2的PDR是diag(F1(x), F2(x) ³ 0(7) 函數(shù)和集合的和(sum)設(shè)F1(x,t) ³ 0, F2(x,t) ³ 0分別是f1 , f2的PDR，則f= f1+f2的PDR是

52、F1(x,v) ³ 0, F2(x,t-v) ³ 0其中，v是一個(gè)新變量。類似地，設(shè)凸集C1,C2的PDR是F1(x) ³ 0, F2(x) ³ 0，和集C1+C2的PDR可以表示為F1(w) ³ 0, F2(x-w) ³ 0其中，w是一個(gè)新變量。A.4.3 對偶問題定義A.4.1 PDP min cTx , s.t F(x) ³ 0的對偶問題為max -TrF0Z s.t TrFiZ=ci, Z ³ 0(A.4.11)對偶問題也是一個(gè)PDP問題，可以表示為原始問題的方式。事實(shí)上，如果F1,¼ ,Fm線性

53、獨(dú)立Z | Z=ZTÎ Rn´n，TrFiZ=ci可以表示為G(y)=G0+ y1G1+,¼ ,+ ypGp |y Rp p=n(n+1)/2，G i為適維矩陣，設(shè)d Rp，d= TrF0Gi 則有cTy= TrF0(G(y)- G0)對偶問題變?yōu)閙in dTy , s.t G(y) ³ 0(A.4.12)它具有與原始問題相同的形式。對偶PDP的一個(gè)關(guān)鍵特性是它給出了原始PDP問題的最優(yōu)解的一個(gè)下界，對所有的可行解x和Z有- TrF0Z £ cTx，這是我們下面用到的對偶內(nèi)點(diǎn)方法的關(guān)鍵。由于x和Z是任意的，所以對原始問題的最優(yōu)解ropt也有-T

54、rF0Z £ ropt。在解決實(shí)際問題時(shí)，大多數(shù)算法是產(chǎn)生一個(gè)最優(yōu)解的近似值xS，保證cT xS- ropt £ e，e為預(yù)先給定的精度要求。定義A.4.2如果x是一個(gè)原始問題的可行解，Z是對偶問題的可行解，稱h= cTx+ TrF0Z(A.4.13)為關(guān)于可行解x和Z的對偶區(qū)間，顯然有-TrF0Z £ ropt £ cTxh是包含最優(yōu)解ropt的區(qū)間。下面我們以定理的形式給出對偶問題的解的一些性質(zhì)。定理 A.4.1 設(shè)p*=infimum cTx s.t x Î Rm ,F(x) ³ 0d*=supremum -TrF0Z s.t

55、TrF0Z ,Z ³ 0則p*=d* ，只要下列四個(gè)條件之一成立(1) 原始問題有嚴(yán)格可行解(2) 對偶問題有嚴(yán)格可行解(3) 原始問題的可行域X=x|F(x) ³ 0, cTx =p*非空且有界(4) 對偶問題的可行域Z=Z | TrFiZ=ci, (i=1,¼,m), Z ³ 0, -TrF0Z =p*非空且有界。定理 A.4.2 設(shè)向量xÎRm ,F(x) ³ 0是原始問題的最優(yōu)解，如果存在一個(gè)矩陣Z ³ 0，且TrFiZ=ci (i=1, ,m),cTx=-TrF0Z，則有以下結(jié)論：如果cTx+TrF0Z £

56、; e，則xRm ,F(x) ³ 0是原始問題的e次優(yōu)解。反之，設(shè)矩陣Z³ 0，且TrFiZ=ci , (i=1,¼,m)是對偶問題的最優(yōu)解，如果存在一個(gè)向量xÎRm 滿足F(x) ³ 0，cTx=-TrF0Z，有以下結(jié)論：如果cTx+TrF0Z £ e，則Z是對偶問題的e次優(yōu)解。定理 A.4.3 集合 xÎRm ,F(x)>0是空集，當(dāng)且僅當(dāng)存在Z ¹ 0，Z ³ 0，TrFiZ=0, (i=1, ¼,m)，TrF0Z £ 0集合 xÎRm ,F(x) ³

57、0是空集，當(dāng)且僅當(dāng)存在Z ¹ 0，Z ³ 0，TrFiZ=0, (i=1, ¼,m)，TrF0Z < 0。定理A.4.4 存在向量v滿足當(dāng)且僅當(dāng)集合 Z | Z>0, TrFiZ=ci (i=1, ¼,m) 是空集。類似地，存在向量v滿足當(dāng)且僅當(dāng)集合 Z | Z³0, TrFiZ=ci , (i=1, ¼,m) 是空集。A.4.4 原始對偶方法這個(gè)方法的基本思路是求解 PDPmin cTx+TrF0Zs.t F(x) ³ 0 ,Z ³ 0, TrFiZ=ci , (i=1,¼ ,m) (A.4.14)顯然，這個(gè)問題的最優(yōu)值為零。下面我們給出求解這個(gè)PDP的公式。定義位能函數(shù)(potential function)f(x,Z)=qlog(cTx+TrF0Z)-logdetF(x)-logZ-nlogn(A.4.15)其中，q=n+vn1/2，參數(shù)v是式中第一項(xiàng)的權(quán)重，將f (x,Z)分解為兩項(xiàng)f(x,Z)= (vn1/2)log(cTx+TrF0Z)+ y(x,Z)(A.4.16)(A.4.16)中的第一項(xiàng)是目標(biāo)函數(shù)值減少的度量，第二項(xiàng)表示變量的當(dāng)前值與中心的偏差。也就是說，(A.4.16)中的第一項(xiàng)只依賴于對偶區(qū)間。