模糊聚類分析的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)建模論文題目：模糊聚類分析在數(shù)學(xué)考研真題中的應(yīng)用 摘 要本文采用模糊聚類分析方法和GM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型，利用軟件matlab求解，預(yù)測(cè)出出卷者在未來(lái)怎樣出題以及對(duì)考研者的復(fù)習(xí)指導(dǎo)。 關(guān)鍵詞 ：模糊聚類分析 相關(guān)系數(shù)法 平方法 matlab 時(shí)間序列 一、問(wèn)題的重述在數(shù)學(xué)建模中，如何用模糊數(shù)學(xué)中的“模糊聚類分析的方法解決近10年數(shù)學(xué)考研試題”這一個(gè)很模糊的問(wèn)題？二、模型假設(shè)假設(shè)本小組從網(wǎng)上下載的考研真題具有真實(shí)性。假設(shè)從題目中提取的數(shù)據(jù)是合理的。假設(shè)本小組所用的算法在電腦中執(zhí)行的結(jié)果是正確的。三、變量說(shuō)明函數(shù) - x1極限 - x2連續(xù) - x3一元函數(shù)微積分學(xué) - x4向量代數(shù)與空間

2、解析幾何 - x5多元函數(shù)的微積分學(xué) - x6無(wú)窮級(jí)數(shù) - x7常微分方程 - x8行列式 - x9矩陣 - x10向量 - x11線性方程組 - x12矩陣的特征值和特征向量 - x13二次型 - x14隨機(jī)事件和概率 - x15隨機(jī)變量及其概率分布 - x16二維隨機(jī)變量及其概率分布 - x17隨機(jī)變量的數(shù)字特征 - x18大數(shù)定律和中心極限定理 - x19數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 - x20參數(shù)估計(jì) - x214、 模型的準(zhǔn)備 首先，本小組對(duì)2004-2013年的數(shù)學(xué)考研試題中的每一道題目進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的標(biāo)記，然后對(duì)所有標(biāo)記的題目通過(guò)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如下表：表1年份2004200520062007

3、20082009201020112012201324323123424x34211321001x42123258342x51012010101x61432432343x72120101010x81111201111x91010101021x102222342323x111012101210x122111001210x130101210210x141000010111x150101020101x162011303212x172222022232x180110110100x190100000100x200000010000x211012101021其中，表中的數(shù)據(jù)又分為三

4、類： 高等數(shù)學(xué)（x1至x8） 線性代數(shù)(x9至x14)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(x15至x21)五、模型的建立與求解 模型一 通過(guò)上面模型的準(zhǔn)備，下面開始對(duì)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理。對(duì)上面每一類的數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的處理得到模糊相似矩陣,下面以高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)為例。步驟如下: (1)提取表1中的x1到x8中的數(shù)據(jù)，利用相關(guān)系數(shù)法，構(gòu)造模糊相似關(guān)系矩陣,即。其中利用軟件matlab編寫程序得到高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的模糊相似矩陣：（2） 利用平方法，得到模糊相似矩陣的模糊等價(jià)矩陣。利用matlab計(jì)算(代碼見附錄)得到，且。取(見附錄)，得到：通過(guò)上面的矩陣對(duì)上面的x1至x8進(jìn)行分類得到如下的結(jié)果:(x1),（x2,x4,

5、x6）,(x3,),(x5,x7),(x8)下面對(duì)所分類的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn):利用軟件matlab的命令把（x2,x4,x6），(x5,x7)的圖形分別畫出如下： 圖1通過(guò)圖1確定：x5和x7的走向趨勢(shì)具有相反性，x2與x4具有一致性，均與x6具有相反性。同上面的過(guò)程，我們?cè)賹?duì)線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就簡(jiǎn)單了。線性代數(shù)的步驟如下:數(shù)據(jù)來(lái)源于(x9至x14) 模糊相似矩陣模糊等價(jià)矩陣取(見附錄)，得到:通過(guò)上面的矩陣對(duì)上面的x9至x14進(jìn)行分類得到如下的結(jié)果:(x9,x14),（x11,x13）,(x10),(x12)下面對(duì)所分類的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn):利用軟件matlab的命令把（x9,x14），(x11

6、,x13)的圖形分別畫出如下： 圖2從上面的圖2中得出結(jié)論: x9與x14具有相反性，x11與x13具有相反性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的步驟如下：數(shù)據(jù)來(lái)源于（x15至x21）模糊相似矩陣:模糊等價(jià)矩陣：取(見附錄)，得到:通過(guò)上面的矩陣對(duì)上面的x15至x21進(jìn)行分類得到如下的結(jié)果:(x15,x21),（x16),(x17）,(x18),(x19),(x20)下面對(duì)所分類的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn): 圖3通過(guò)圖3得出:x15與x21具有相反性。模型二下面開始通過(guò)灰色預(yù)測(cè)模型（GM(1,1)）來(lái)對(duì)2014年各知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的頻率做預(yù)測(cè)。記x(0)為原始數(shù)列x(0)=(x(0)(k)xk=1,2,，n)=(x(0），x(

7、0），x(0)(n)記x為生成數(shù)列x=(x（k)xk=1,2，n)=(x，x，x（n)如果x(0) 與x之間滿足下列關(guān)系，即稱為一次累加生成。5建模步驟a、建模機(jī)理b、 把原始數(shù)據(jù)加工成生成數(shù)；c、 對(duì)殘差（模型計(jì)算值與實(shí)際值之差）修訂后，建立差分微分方程模型；d、 基于關(guān)聯(lián)度收斂的分析；e、 gm模型所得數(shù)據(jù)須經(jīng)過(guò)逆生成還原后才能用。f、采用“五步建模（系統(tǒng)定性分析、因素分析、初步量化、動(dòng)態(tài)量化、優(yōu)化）”法，建立一種差分微分方程模型gm(1,1）預(yù)測(cè)模型。GM（1，1）模型令 x(0)=(x，x，x(n)作一次累加生成， kx(k)= x(m) 消除數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和波動(dòng)性m=1有 x=(x，x

8、，x(n)=(x，x+x，x(n-1)+x(n)x可建立白化方程：dx/dt+ax=u 即gm(1,1).該方程的解為： x(k+1)=(x-u/a)e+u/a其中：稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)利用matlab軟件預(yù)測(cè)2014年21個(gè)變量的值，得到的結(jié)果如下表（代碼見附錄）:各知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)預(yù)測(cè)x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15x16x17x18x19x20x212014331413011301130220001 六、模型結(jié)果的分析通過(guò)上面模型一和模型二的建立與求解過(guò)程，可以得出: x5和x7的走向趨勢(shì)具有相反性，x2與x4具有一致性，均與x6具有相反

9、性。 x9與x14具有相反性，x11與x13具有相反性。 x15與x21具有相反性。從而可以對(duì)考研者在未來(lái)一年的考研輔導(dǎo)過(guò)程中，進(jìn)行以下指導(dǎo): 對(duì)x1、x2、x4、x6、x10、x14、x16、x17重點(diǎn)復(fù)習(xí)，但是在復(fù)習(xí)x2、x4、x6時(shí)，先復(fù)習(xí)x2和x4,因?yàn)閤6呈下降趨勢(shì)，x2、x4與x6具有相反性。在復(fù)習(xí)x5和x7時(shí)重點(diǎn)復(fù)習(xí)x5,x7可以不復(fù)習(xí)，因?yàn)樵陬A(yù)測(cè)中x7=0,x5=1;表示復(fù)習(xí)x5,符合x5和x7具有相反性。在復(fù)習(xí)x9和x14時(shí)重點(diǎn)復(fù)習(xí)x14，雖然可能會(huì)考x9,但可正常復(fù)習(xí)一下x9即可。在復(fù)習(xí)x11和x13以及x15和x21的時(shí)候，只需復(fù)習(xí)x13,x11可以簡(jiǎn)單蓋過(guò)，符合x11與

10、x13具有相反性;只需復(fù)習(xí)x21,x15可以簡(jiǎn)單蓋過(guò)，符合x15與x21具有相反性。其他的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)預(yù)測(cè)的結(jié)果得出以下結(jié)論：x3 x8 x10均需復(fù)習(xí)，x18 x19 x20可以簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)一下。對(duì)于出卷者而言： 在高數(shù)方面，重點(diǎn)出x1 x2 x4 x6四個(gè)知識(shí)點(diǎn)，x7不出，其他的知識(shí)點(diǎn)正常出題；在線性代數(shù)方面，重點(diǎn)出x10 x14,x11不出，其他的知識(shí)點(diǎn)正常出題；在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，重點(diǎn)出x16 x17,再出x21,其他的知識(shí)點(diǎn)可以不出。 七、模型的優(yōu)缺點(diǎn) 1、模糊聚類分析優(yōu)點(diǎn)：聚類分析模型的優(yōu)點(diǎn)就是直觀，結(jié)論形式簡(jiǎn)明。 缺點(diǎn)：在樣本量較大時(shí)，要獲得聚類結(jié)論有一定困難。由于相似系數(shù)是根

11、據(jù)被試的反映來(lái)建立反映被試間內(nèi)在聯(lián)系的指標(biāo)，而實(shí)踐中有時(shí)盡管從被試反映所得出的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)他們之間有緊密的關(guān)系，但事物之間卻無(wú)任何內(nèi)在聯(lián)系，此時(shí)，如果根據(jù)距離或相似系數(shù)得出聚類分析的結(jié)果，顯然是不適當(dāng)?shù)?，但是，聚類分析模型本身卻無(wú)法識(shí)別這類錯(cuò)誤。 2、灰色預(yù)測(cè)模型優(yōu)點(diǎn)：要求負(fù)荷數(shù)據(jù)少、不考慮分布規(guī)律、不考慮變化趨勢(shì)、運(yùn)算方便、短期預(yù)測(cè)精度高、易于檢驗(yàn)。缺點(diǎn)：當(dāng)數(shù)據(jù)離散程度大，即數(shù)據(jù)灰度大，預(yù)測(cè)精度越差。為了解決這一問(wèn)題，一般提出對(duì)歷史數(shù)據(jù)的平滑處理、模型參數(shù)修正等方法。 八、參考文獻(xiàn)美 MATLAB實(shí)用教程(第二版) Holly Moore 著 高會(huì)生 劉童娜 議十、附錄 高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)的代碼

12、：1.求模糊相似矩陣的MATLAB程序a=5 5421121; 53210411; 33121321; 43142301; 43340412; 32231300; 33180201; 43031401; 42040411; 34121311;mu=mean(a);sigma=std(a);for i=1:8 for j=1:8r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i)2/(sigma(i)+sigma(j)2);end endrsave data1 r a2.矩陣合成的MATLAB函數(shù)function rtha=hecheng(r);n=length(r);for i=1:n for j

13、=1:nrtha(i,j)=max(min(r(i,:);r(:,j);end end3.求模糊等價(jià)矩陣和聚類的程序load data1;r1=hecheng(r)r2=hecheng(r1)r3=hecheng(r2)bh=zeros(8);bh(find(r20.995)=1 線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)代碼：1.求模糊相似矩陣的MATLAB程序b=1 21211; 021110; 021110; 021110; 030020; 040001; 121100; 032211; 221111; 130001;mu=mean(b);sigma=std(b);for i=1:6 for j=1:6r(i,j

14、)=exp(-(mu(j)-mu(i)2/(sigma(i)+sigma(j)2);end endrsave data2 r b2.矩陣合成的MATLAB函數(shù)function rtha=hecheng(r);n=length(r);for i=1:n for j=1:nrtha(i,j)=max(min(r(i,:);r(:,j);end end3.求模糊等價(jià)矩陣和聚類的程序load data1;r1=hecheng(r)r2=hecheng(r1)r3=hecheng(r2)bh=zeros(n);bh(find(r20.996)=1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)代碼1.求模糊相似矩陣的MATLA

15、B程序c= 0220001; 1021101; 0121001; 1120001; 0301001; 2021010; 0320000; 1221100; 1130000; 0220001;mu=mean(c);sigma=std(c);for i=1:7 for j=1:7r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i)2/(sigma(i)+sigma(j)2);end endrsave data3 r c2.矩陣合成的MATLAB函數(shù)function rtha=hecheng(r);n=length(r);for i=1:n for j=1:nrtha(i,j)=max(min(r(i,

16、:);r(:,j);end end3.求模糊等價(jià)矩陣和聚類的程序load data1;r1=hecheng(r)r2=hecheng(r1)r3=hecheng(r2)bh=zeros(n);bh(find(r20.999)=1高等數(shù)學(xué)的代碼和圖形：x=2004:1:2013;x2=4323123424;x4=2123258342;x6=1432432343;x5=1012010101;x7=2120101010;subplot(1,2,1)plot(x,x2,r,x,x4,b,x,x6,k)hold onsubplot(1,2,2)plot(x,x5,b,x,x7,k)線性代數(shù)的代碼和圖形：

17、x=2004:1:2013;x9=1010101021;x14=0101210210;x11=1012101210;x13=1210201210;subplot(1,2,1)plot(x,x9,k,x,x14,b)hold onsubplot(1,2,2)plot(x,x11,b,x,x13,k)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的代碼和圖形：x=2004:1:2013;x15=0101020101;x21=1012101021;plot(x,x15,b-v,x,x21,o-k)調(diào)用函數(shù)代碼：function y=gm11(x,n)%x為行向量數(shù)據(jù)%做一次累加x1=zeros(size(x);for i=1:s

18、ize(x1,2) x1(i)=sum(x(1:i);end%x1的均值數(shù)列z1=zeros(size(x);for i=1:size(x1,2)-1 z1(i+1)=0.5*x1(i+1)+0.5*x1(i);endYn=x(2:size(x,2);B=-z1(2:size(z1,2);B(:,2)=1;u=inv(B*B)*B*Yn;a=u(1);b=u(2);%預(yù)測(cè)x2=zeros(1,n);x2(1)=x(1);for i=1:n-1 x2(1+i)=(x(1)-b/a)*exp(-a*i)+b/a;endx2=0 x2;y=diff(x2);預(yù)測(cè)結(jié)果代碼：x1=5 534433443;gm11(x1,11)x2=4 323123424;gm11(x2,11)x3=4 211321001;gm11(x3,11)x4=2 123258342;gm11(x4,11)x5=1 012010101;gm11(x5,11)x6=1 432432343;gm11(x6,11)x7=2 120101010;gm11(x7,11)x8=1 111201111;gm11(x8,11)x9=1 010101021;gm11(x9,11)x10=2 222342323;gm11(x10,11)x11=1 012101