張立鈞-DC-DC變換器Jacobian矩陣的改進(jìn)求解方法

1、學(xué)校代碼： 10184學(xué) 號： 2084020394 延 邊 大 學(xué)本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目：DC-DC 變換器 Jacobian 矩陣的改進(jìn)求解方法學(xué)生姓名：張立鈞學(xué) 院：工學(xué)院專 業(yè)：電子信息工程年 級：2008級指導(dǎo)教師：徐紅梅 講師二一二年六月延邊大學(xué)本科畢業(yè)論文摘 要開關(guān)功率變換器是現(xiàn)代電力電子系統(tǒng)的核心環(huán)節(jié)，其運行狀態(tài)直接關(guān)乎整個電力電子系統(tǒng)的工作性能。由于器件的非線性和開關(guān)的切換作用，反饋控制的開關(guān)變換器表現(xiàn)為一類強(qiáng)非線性、時變系統(tǒng)，運行中會產(chǎn)生各種非線性現(xiàn)象，如倍周期分岔、邊界碰撞分岔、混沌等，使得系統(tǒng)難以按期望的要求工作。本文從分段線性角度提出了 PWM 控制 DC-D

2、C 變換器雅克比( Jacobian )矩陣的改進(jìn)求解方法，推導(dǎo)出了具有更好通用性的 Jacobian 矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)式?，F(xiàn)有DC-DC 變換器系統(tǒng) Jacobian 矩陣的求解主要是基于數(shù)據(jù)采樣法實現(xiàn)，求解過程復(fù)雜，其結(jié)果通用性不強(qiáng)，不利于解析分析。為此利用微擾思想推導(dǎo)出了單開關(guān) PWM 控制 DC-DC 變換器系統(tǒng) Jacobian 矩陣的較為通用的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并推導(dǎo)出了三個相關(guān)的快標(biāo)行為穩(wěn)定性結(jié)論，結(jié)合典型的 PWM 控制 DC-DC 變換器的快標(biāo)行為穩(wěn)定性分析，驗證了所提方法的有效性。關(guān)鍵詞：開關(guān)功率變換器； Jacobian 矩陣；微擾；穩(wěn)定性AbstractSwitching Pow

3、er Converters are the core parts of the modern power electronic systems, its operating status directly relates to the performance of the entire power electronic system. Because of the nonlinear of the converters and the switching effect, feedback-control converters manifest a class of strongly non-l

4、inear time-varying system, during its operating, it will produce a variety of nonlinear phenomena, like period-doubling bifurcation, border collision bifurcation, Chaos, etc. Make the system difficult to work according to our expectation.According to the common piecewise-linear characteristic of PWM

5、 control DC-DC converter system, an improved solution to its Jacobian matrix is put forward to obtain its general expression. In the existing literatures, the Jacobian-matrix expression usually derived with the data-sampled method is not adaptable to analytical analysis and not applicable in most of

6、 DC-DC converters. Based on linear perturbation method, the general expression of the Jacobian matrix of a single-switch PWM control DC-DC converter system is derived and based on the derived expression three concerning stability conclusions about fast-scale behavior are given. The validity of the p

7、roposed method is confirmed by applying the conclusions to two typical PWM control DC-DC converters.Key words: Switching Power Converters; Jacobian -matrix; Perturbation; StabilityIII延邊大學(xué)本科畢業(yè)論文目 錄摘 要IAbstractII引 言1第一章 緒論21.1課題的研究背景與意義21.2國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀21.3主要研究內(nèi)容3第二章 DC-DC 變換器 Jacobian 矩陣的改進(jìn)求解方法52.1 基于數(shù)據(jù)采樣

8、法的 Jacobian 矩陣求解52.2 Jacobian 矩陣的改進(jìn)求解方法8第三章 基于 Jacobian 矩陣通用表達(dá)式的穩(wěn)定性結(jié)論123.1 倍周期分岔點方程組123.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性的必要條件133.3 基于 Jacobian 矩陣的 Lyapunov 指數(shù)譜13第四章 DC-DC變換器仿真結(jié)果分析154.1 比例控制電壓模式 Buck 變換器仿真結(jié)果分析154.1.1 計算結(jié)果分析154.1.2 仿真結(jié)果分析214.2 峰值電流模式 Boost 變換器仿真結(jié)果分析224.2.1 計算結(jié)果分析224.2.2 仿真結(jié)果分析28結(jié) 論30參考文獻(xiàn)31謝 辭32 引 言 Jacobian 矩

9、陣分析法是分析系統(tǒng)非線性動態(tài)比較有效的方式，目前 DC-DC 變換器 Jacobian 矩陣求解主要是基于數(shù)據(jù)采樣建模法得到，求解中對每個變換器系統(tǒng)都要進(jìn)行單獨計算，數(shù)學(xué)處理麻煩，其結(jié)論通用性不強(qiáng)，不利于解析分析。為此，本文將選擇典型 PWM 控制 DC-DC 變換器為研究對象，提出其 Jacobian 矩陣的改進(jìn)求解方法，推導(dǎo)出具有更好通用性的 Jacobian 矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)式。由此進(jìn)一步給出相關(guān)的快標(biāo)行為穩(wěn)定性結(jié)論，結(jié)合電壓模式 Buck 變換器為例進(jìn)行驗證分析。便于說明改進(jìn)求解法的優(yōu)點。本文將先給出 DC-DC 變換器快標(biāo)行為的數(shù)學(xué)模型描述及傳統(tǒng)的基于數(shù)據(jù)采樣法的 Jacobian 矩陣

10、求解思路，之后利用微擾思想推導(dǎo)出單開關(guān) PWM 控制 DC-DC 變換器系統(tǒng) Jacobian 矩陣的較為通用的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并推導(dǎo)出了三個相關(guān)的快標(biāo)行為穩(wěn)定性結(jié)論。最后通過實例來驗證所提方法的有效性。33- 第一章 緒論1.1課題的研究背景與意義開關(guān)功率變換器是現(xiàn)代電力電子系統(tǒng)的核心環(huán)節(jié)，是電子電路中不可或缺的重要模塊，小到數(shù)碼產(chǎn)品，大到通信電源系統(tǒng)中，都可以發(fā)現(xiàn)它的身影。由于器件的非線性和開關(guān)的切換作用，反饋控制的開關(guān)變換器表現(xiàn)為一類強(qiáng)非線性、時變系統(tǒng)，運行中會產(chǎn)生各種非線性現(xiàn)象，如倍周期分岔、邊界碰撞分岔、混沌等。為此，上世紀(jì)90 年代開始，國、內(nèi)外學(xué)者就開始廣泛開展了開關(guān)功率變換器非線性

11、行為分析與控制的研究?，F(xiàn)有研究表明，工作在混沌態(tài)下的變換器是有意義的，可以利用混沌廣譜性來降低開關(guān)功率變換器的EMI1,10-11, 也可以采取混沌調(diào)制方式來改善變換器的 EMC2-5,12, 此外利用混沌吸引子中不穩(wěn)定周期軌道(UPO)之間快速切換可能會提高變換器的動態(tài)響應(yīng)13等。因此，從變換器工作性能優(yōu)化角度而言，期望開關(guān)變換器系統(tǒng)狀態(tài)能達(dá)到兩種可能性控制。即當(dāng)開關(guān)變換器的混沌行為惡化了系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)時，期望能穩(wěn)定系統(tǒng)到穩(wěn)定態(tài)運行，DC-DC 變換器期望的穩(wěn)定態(tài)就是單周期態(tài)。反之，當(dāng)需要利用變換器的混沌特性或非線性特性來改善系統(tǒng)某些工作性能時，則期望變換器能有意的工作在混沌態(tài)或多周期態(tài)

12、。變換器的混沌控制是實現(xiàn)上述可能性的前提，而非線性認(rèn)識則是實現(xiàn)混沌控制的基礎(chǔ)。由此也認(rèn)識到進(jìn)一步深入研究開關(guān)變換器非線性分析與控制所具備的必要性和深遠(yuǎn)意義。1.2國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀開關(guān)變換器非線性特性的認(rèn)識是實現(xiàn)其有效控制的基礎(chǔ)。目前，DC-DC 變換器非線性行為研究已形成了比較統(tǒng)一的建模和分析體系。PWM 控制 DC-DC 變換器屬于一類典型右側(cè)不連續(xù)分段線性系統(tǒng)，此類系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題廣受關(guān)注，其運行中普遍存在復(fù)雜非線性行為，如倍周期分岔、混沌等。系統(tǒng)表現(xiàn)出的非線性行為有兩個方面，一就是高頻非線性行為，也稱之快標(biāo)非線性行為，二是低頻(慢標(biāo))非線性行為14。典型紋波級非線性行為，如倍周期分岔、混

13、沌等其工作狀態(tài)的周期為開關(guān)周期的整數(shù)倍，屬于高頻行為。慢標(biāo)非線性行為主要表現(xiàn)為低頻振蕩，也稱霍夫分岔(Hopf bifurcation)。低頻行為可以通過平均模型來描述，穩(wěn)定時表現(xiàn)為平衡點，不穩(wěn)定時多為低頻振蕩情形，但平均模型丟失了開關(guān)頻率級的快標(biāo)行為信息，因此不能利用其來進(jìn)行系統(tǒng)快標(biāo)行為的穩(wěn)定性分析。本文關(guān)注的是快標(biāo)非線性行為的分析與控制，其中紋波級倍周期分岔和混沌行為是常見的非線性行為類型，也是研究者關(guān)注的重點。目前，有關(guān) DC-DC 變換器快標(biāo)行為的建模方法主要是數(shù)據(jù)采樣法(頻閃映射法)15，相應(yīng)比較有效的穩(wěn)定性分析方法主要有雅可比( Jacobian )矩陣特征值法和李雅譜諾夫( Ly

14、apunov )指數(shù)法。數(shù)據(jù)采樣建模法是一類時域建模方式，思路清晰且易于操作，盡管等效小參量法6也能描述 DC-DC 變換器的快標(biāo)行為，但它是時頻混合方式，計算相對要復(fù)雜。另外，受學(xué)者關(guān)注的 DC-DC 變換器快標(biāo)非線性行為還有邊界碰撞分岔，它是開關(guān)變換器系統(tǒng)特有的分岔行為，符號序列法是分析此類行為比較有效的方式16。采用數(shù)據(jù)采樣建模法可以求得 DC-DC 變換器系統(tǒng)的 Jacobian 矩陣，觀察 Jacobian 矩陣特征值可確定出系統(tǒng)分岔類型和分岔邊界，而能描述系統(tǒng)混沌邊界的 Lyapunov 指數(shù)譜同樣可以由 Jacobian 矩陣特征值計算得到。因此 DC-DC 變換器系統(tǒng)快標(biāo)行為穩(wěn)

15、定性分析可以統(tǒng)一到系統(tǒng) Jacobian 矩陣的求解問題上?，F(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于 DC-DC 變換器 Jacobian 矩陣求解的主要思路17是：基于數(shù)據(jù)采樣建模法，構(gòu)建出 DC-DC 變換器的非線性離散映射模型，線性化處理后得到系統(tǒng)的 Jacobian 矩陣。采用這種方式得到的 Jacobian 矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)值計算偏多，不利于解析分析，而且變換器的拓?fù)浠蚩刂品绞讲煌瑫r需重新進(jìn)行大量數(shù)學(xué)計算，其結(jié)果通用性不強(qiáng)。為此，本文將開展 DC-DC 變換器 Jacobian 矩陣的改進(jìn)求解方法研究，推導(dǎo)出具有較好通用性的 Jacobian 矩陣表達(dá)式，為不同 DC-DC 變換器系統(tǒng)提供比較統(tǒng)一的快標(biāo)行為穩(wěn)定

16、性分析思路。1.3主要研究內(nèi)容目前 DC-DC變換器 Jacobian 矩陣的求解存在數(shù)學(xué)處理麻煩，結(jié)論通用性不強(qiáng)且不利于解析分析的問題。為此，本文將從分段線性系統(tǒng)角度開展 DC-DC 變換器 Jacobian 矩陣改進(jìn)求解方法的研究，推導(dǎo)出具有更好通用性的 Jacobian 矩陣表達(dá)式，以簡化求解計算，為不同 DC-DC 變換器提供比較統(tǒng)一的快標(biāo)行為穩(wěn)定性分析思路。具體的研究內(nèi)容包括：首先對當(dāng)先Jacobian矩陣的求解方法進(jìn)行了推算，推導(dǎo)出了比較常用的Jacobian矩陣，之后利用微擾思想，提出了DC-DC變換器Jacobian的改進(jìn)求解方法，經(jīng)過進(jìn)一步演算，推導(dǎo)出了改進(jìn)后的Jacobia

17、n矩陣，同時根據(jù)所得結(jié)論，總結(jié)出三個快標(biāo)穩(wěn)定性結(jié)論，最后對Buck變換器和Boost變換器進(jìn)行了仿真分析，驗證了所提方法的有效性。第二章 DC-DC 變換器 Jacobian 矩陣的改進(jìn)求解方法2.1 基于數(shù)據(jù)采樣法的 Jacobian 矩陣求解任一 PWM 控制 DC-DC 變換器，開關(guān)的切換作用會使系統(tǒng)在一個開關(guān)周期內(nèi)表現(xiàn)為多個不同線性電路結(jié)構(gòu)。圖 2.1 為典型的二階 Buck 變換器系統(tǒng)，考慮該變換器工作在連續(xù)導(dǎo)電模式(CCM)下)可以表示為， (2-1)其中，x 為系統(tǒng)狀態(tài)向量(電感電流和電容電壓)，x=x1,x2T=iL,uCT；u 是取值為0或1的開關(guān)控制量；vr 為外加時鐘周期

18、信號，這里是鋸齒波vramp ；s(x,vr)=k1(Vref-x2)-vramp ，表示由反饋狀態(tài)變量和時鐘周期信號構(gòu)成的控制切換函數(shù)。圖 2.1 電壓模式 Buck 變換器原理圖考慮到 vr 為關(guān)于時間的函數(shù)，可以定義超平面：h(x,t)=s(x,vr(t)=0，該切換面將狀態(tài)相空間，系統(tǒng)在每個子空間內(nèi)可用一個線性狀態(tài)方程表示，即可表示為， (2-2)其中，Vs 為輸入電壓；A1、A2、B1和B2 分別對應(yīng)于開關(guān)通斷狀態(tài)下兩個線性系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入矩陣，由系統(tǒng)中電路參數(shù)決定。同樣，記第n 個開關(guān)周期對應(yīng)的開關(guān)占空比為 dn ，則系統(tǒng)在該第n 個開關(guān)周期內(nèi)兩個子狀態(tài)(開通狀態(tài)S1和關(guān)斷狀態(tài)S2

19、狀態(tài))可以描述為， (2-3)對于Buck變換器，有A1=A2=0,-1/L;1/C,-1/(RC)，B1=1/L;0，B2=0。 PWM 控制 DC-DC 變換器的系統(tǒng)行為表現(xiàn)為與開關(guān)周T 有關(guān)的周期特性，可以利用龐加萊( Poincare )截面來處理此類周期性系統(tǒng)。在相空間合理選取一適當(dāng)截面(即Poincare截面)，利用相空間連續(xù)軌線穿越截面的交點(截點)之間形成的離散映射，把 n 階連續(xù)系統(tǒng)的流降為 n-1 階的離散系統(tǒng)。若 Poincare 截面上的截點為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解在開關(guān)周期T 整數(shù)倍時刻采樣，此時就是頻閃映射( stroboscopic map)18。圖 2.2 為頻閃映射

20、示意圖，其中xn=x(nT),xn+1=x(n+1)T),.,h(x,t)=0為開關(guān)切換超平面，當(dāng)狀態(tài)軌跡達(dá)到切面上時，開關(guān)狀態(tài)出現(xiàn)切換。圖 2.2 頻閃映射示意圖建立頻閃映射中的某個開關(guān)周期相鄰狀態(tài)的數(shù)學(xué)關(guān)系，如xn+1 和xn ，就得到了系統(tǒng)迭代映射模型。圖 2.3 為 DC-DC 變換器在第 n 個開關(guān)周期內(nèi)的狀態(tài)運行軌跡。狀態(tài)從xn 出發(fā)，tdn 時刻達(dá)到切換面h(x,t)=0。若記開關(guān)的占空比為dn ，則不妨定義xdn=x(tdn)=x(dnT+nT)。由式(2.3)可知，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡(方程的解)可表示為， (2-4)其中，。圖 2.3 DC-DC 變換器第 n 個開關(guān)周期狀態(tài)軌跡

21、結(jié)合圖 2.3，有 (2-5) (2-6)將(2-5)代入(2-6)，得到離散映射方程如下， (2-7)上式就是 DC-DC 變換器的功率級(主電路)離散映射模型。同時控制切換面方程滿足， (2-8)上式為由控制環(huán)節(jié)決定的控制映射方程，其中s1和s2為相應(yīng)控制切換函數(shù)。聯(lián)立功率級和控制級映射方程(2-7)和(2-8)，反饋控制DC-DC變換器系統(tǒng)(2-1)可以等價于如下離散系統(tǒng)， (2-9)非線性離散模型(2-9)保留了快標(biāo)行為信息，可以利用其來分析系統(tǒng)快標(biāo)行為特性。若映射模型(2-9)系統(tǒng)穩(wěn)定，其平衡點記為xn=xn+1=XQ，D=dn，則有， (2-10)上述方程中含有指數(shù)形式項，屬于超越

22、方程，可以用數(shù)值方法來求取相應(yīng)的平衡點(對應(yīng)系統(tǒng)的單周期解)。若穩(wěn)定態(tài)(單周期態(tài))占空比 D 近似取為穩(wěn)態(tài)(平均值)的占空比，則可以得到其占空比的解析形式解。在平衡點附近做小信號擾動，記利用泰勒公式的一階近似可得到線性化模型， (2-11)其中，J為離散非線性系統(tǒng)(2-9)的雅克比( Jacobian )矩陣，其表達(dá)式為， (2-12)式(2-12)即為變換器系統(tǒng)對應(yīng)的 Jacobian 矩陣表達(dá)式，上述求解過程是目前 DC-DC變換器快標(biāo)行為穩(wěn)定性分析的主要思路。表達(dá)式(2-12)求解有賴于系統(tǒng)的離散映射模型 g(xn,dn) 和切換控制函數(shù) S2(xn,dn)，不同的變換器系統(tǒng)前述二者均不

23、同，都需進(jìn)行大量計算，因此(2-12)的 Jacobian 矩陣表達(dá)式通用性不強(qiáng)。為此，從 PWM 控制 DC-DC 變換器的分段線性角度出發(fā)，下面將利用微擾思想推導(dǎo)出具有更好通用性的 Jacobian 矩陣表達(dá)式。2.2 Jacobian 矩陣的改進(jìn)求解方法依前面所述，工作在 CCM 下單開關(guān) PWM 控制 DC-DC 變換器系統(tǒng)可以用式(2-2) 來描述。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡通過開關(guān)切換面h(x,t)=0時，系統(tǒng)將由一個線性結(jié)構(gòu)過渡到另一個線性結(jié)構(gòu)中，表現(xiàn)為一類典型分段線性系統(tǒng)。開關(guān)變換器第n開關(guān)周期T 內(nèi)狀態(tài)運行軌跡如圖2.4所示。下面利用微擾思路來求取具有更好通用性的系統(tǒng) Jacobian

24、矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)式。假設(shè)圖 2.3中穩(wěn)定狀態(tài)軌跡的初始狀態(tài)xn出現(xiàn)微小的擾動偏離xn，那么系統(tǒng)擾動狀態(tài)軌跡如圖 2.4中虛線所示。圖中實線為系統(tǒng)穩(wěn)定時的運行軌跡，若此時穩(wěn)定占空比為D，則有tdn=nT+DT。記擾動軌跡在tdn時刻(不妨認(rèn)為比tdn小)達(dá)到切換面h(x,t)=0，各時刻擾動狀態(tài)量與穩(wěn)定量之間的偏差定義如下， (2-13)如此，系統(tǒng)的 Jacobian 矩陣可通過下式求得， (2-14)利用泰勒公式一階近似公式，有如下結(jié)果， (2-15) (2-16)其中，XD為穩(wěn)定態(tài)切換時刻值。圖 2.4 第 n 個開關(guān)周期內(nèi) PWM 控制 DC-DC 變換器系統(tǒng)狀態(tài)運行軌跡各個向量的關(guān)系也可以從

25、圖3.1觀測得到，結(jié)合圖有， (2-17)同時在切換面上滿足關(guān)系， (2-18)同樣利用泰勒公式一階近似有， (2-19)其中，由式(2-19)得， (2-20)將上式代入(2-16)得， (2-21)當(dāng)t<tdn,即h(x,t)>0區(qū)間，系統(tǒng)表現(xiàn)為線性子系統(tǒng)x=f_(x)=A1x+B1VS，由式(2-4)有， (2-22)同理，也有 (2-23)由式(2-14)的 Jacobian 矩陣定義，可得 (2-24)其中，I為單位矩陣。結(jié)果(2-24)與(2-12)是數(shù)學(xué)意義一致的，均表示了線性化模型的 Jacobian 矩陣，而式(2-24)是關(guān)于PWM控制DC-DC變換器更為一般性

26、的結(jié)果，所得 Jacobian 矩陣表達(dá)式直接與系統(tǒng)的系數(shù)矩陣、切換面方程和穩(wěn)定態(tài)平衡點有關(guān)系，不僅計算要方便，而且也有利于解析分析工作開展。結(jié)論(2-24)基本適用于線性控制單開關(guān)DC-DC變換器系統(tǒng)，而求解思路對大部分DC-DC變換器系統(tǒng)通用。因此，利用改進(jìn)求解法得到的 Jacobian 矩陣表達(dá)式具有比較好的通用性。另外，若要進(jìn)行 Jacobian 矩陣計算，還需要確定出穩(wěn)定態(tài)值XD=x(DT)，即需要求解系統(tǒng)的穩(wěn)定單周期解D和xn=xn+1=XQ。系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，依據(jù)式(2-10)，平衡點(系統(tǒng)單周期解)可聯(lián)立下面的方程組得到。 (2-25)第三章 基于 Jacobian 矩陣通用表達(dá)

27、式的穩(wěn)定性結(jié)論前面得到的 Jacobian 矩陣是包含快標(biāo)行為信息映射模型的線性化結(jié)果，可以用來識別系統(tǒng)快標(biāo)分岔行為。通過表達(dá)式(2-24)，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出三個穩(wěn)定性結(jié)論：3.1部分的結(jié)論1是利用倍周期分岔的邊界特性(特征值為-1)得到的倍周期分岔點方程組；3.2中的結(jié)論2給出了系統(tǒng)快標(biāo)行為穩(wěn)定性的必要條件；3.3中的結(jié)論3是基于 Jacobian 矩陣特征值的系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜求解表達(dá)式。3.1 倍周期分岔點方程組開關(guān)切換面存在使 Jacobian 矩陣式表達(dá)式(2-24)中間增加了S部分，S不妨稱之為切換面矩陣。由分岔理論和線性系統(tǒng)理論可知9,20-21，特征值與系統(tǒng)分岔類型的關(guān)

28、系結(jié)論可描述為：當(dāng)所有i全部位于單位圓內(nèi)時候，系統(tǒng)穩(wěn)定(單周期態(tài))；當(dāng)存在i=-1時，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔；當(dāng)存在i=1時，系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔；當(dāng)i中存在一對共扼復(fù)根穿越單位圓時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔(低頻振蕩)。倍周期分岔是快標(biāo)行為的主要表現(xiàn)形式，下面就基于 Jacobian 矩陣式(2-24)給出有關(guān)倍周期分岔點求解方程組。不妨記為J特征值，即 (3-1)對(2-24)結(jié)果代入上式，處理后有， (3-2)其中一般而言，不會是J2J1的特征值，即滿足detI-J2J10,則由式(3-2)可得， (3-3)若系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔，此時=-1，不妨假設(shè)-1不是J2J1的特征值，則有， (3-4)公式

29、(3-4)包含系統(tǒng)一周期到二周期的臨界值，即該式同時滿足系統(tǒng)一周期解和二周期解特性。聯(lián)立(3-4)和一周期方程(2-13)，則系統(tǒng)的分叉點(發(fā)生倍周期的分岔參數(shù)值)可以通過數(shù)值方式求得。方程(3-4)和(2-13)可以看做倍周期分岔點方程組。3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性的必要條件變換器系統(tǒng)是穩(wěn)定的(單周期態(tài))，那么 Jacobian 矩陣的特征值必須全部位于單位圓內(nèi)，特征的模均小于1，而det(J)是所有特征值的乘積，因此有， (3-5)整理后有， (3-6)一般而言，開關(guān)周期T比較小，因此上式等價位， (3-7)式(3-7)為DC-DC變換器系統(tǒng)處于單周期穩(wěn)定的必要而非充分條件，因此即使 Jacobi

30、an 矩陣中某個特征值落在單位圓外，而另一個很小，那么二者乘積同樣可能小于1。3.3 基于 Jacobian 矩陣的 Lyapunov 指數(shù)譜依據(jù)前面的 Jacobian 矩陣(2-24)，n維變換器系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)可以表示為， (3-8)式中，i，i=1,2,.,n,為對應(yīng)的n個Lyapunov指數(shù)；j為迭代的周期數(shù)，理論要求迭代足夠長時間；xi，i=1,2,.,j-1，為每個周期的初始值。通過觀察最大Lyapunov指數(shù)就可以界定出系統(tǒng)的穩(wěn)定性，包括分叉和混沌，當(dāng)Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)處于混沌態(tài)。第四章 DC-DC變換器仿真結(jié)果分析4.1 比例控制電壓模式 Buck

31、變換器仿真結(jié)果分析4.1.1 計算結(jié)果分析 Jacobian 矩陣表達(dá)式對于如圖2.1所示的P控制電壓模式Buck變換器，定義狀態(tài)空間向量x=x1,x2T=iL,uCT，則，A1=A2=A=0,1/L；1/C,1/(RC )；B1=1/L；0，B2=0。切換面方程為，因此，有此外有，所以，同時，有，因此，P控制電壓模式Buck變換器 Jacobian 矩陣為， (4-1)計算系統(tǒng) Jacobian 矩陣之前，首先要確定出系統(tǒng)穩(wěn)定后的單周期解D、XQ和XD，求解可以采用下述兩種思路。思路一：利用式(2-25)進(jìn)行數(shù)值計算，代入P控制電壓模式Buck變換器的有關(guān)參量，有， (4-2)整理得方程組如

32、下， (4-3)其中，D是變換器穩(wěn)定單周期態(tài)的占空比。式(4-3)中的方程組為超越方程，需要通過數(shù)值計算方法來求解。思路二：利用變換器穩(wěn)態(tài)時的參量關(guān)系先求解占空比D，再求狀態(tài)變量解。穩(wěn)態(tài)時，Buck變換器輸入和輸出之間的關(guān)系滿足， (4-4)同時，可以認(rèn)為開關(guān)切換時刻滿足， (4-5)聯(lián)立(4-4)和(4-5)，得到近似的穩(wěn)定態(tài)占空比D為， (4-6)將(4-6)代入(4-3)前兩個式子，則可以簡便地求出穩(wěn)定態(tài)單周期解。上面結(jié)果是將開關(guān)切換時刻的輸出電壓值用其輸出平均值來代替，不妨假定系統(tǒng)穩(wěn)定時，輸出電壓的最小值為Vmin，那么輸出電壓的平均值為， (4-7)由于電壓紋波本身很小，如果占空比接

33、近0.5，那么系統(tǒng)穩(wěn)定時，上述近似是成立。對比兩種思路，顯然后者近似計算要簡單些。 Jacobian 矩陣的特征值軌跡P控制電壓模式Buck變換器系統(tǒng)參數(shù)選擇如表4.1所示。 表4.1系統(tǒng)參數(shù)參考電壓變量名參數(shù)取值輸入電壓20V35V參考電壓 11.3V電感 20mF電容 電阻 開關(guān)周期 鋸齒波信號 3.8+(8.2-3.8)mod(t/T,1)V反饋增益 8.4不妨選擇輸入電壓Vs為分岔參數(shù)。利用式(4-1)和(4-3)來計算系統(tǒng) Jacobian 矩陣 J。圖4.1為輸入電壓Vs從22V變化到28V時，J的特征值變化軌跡。由圖可看出，當(dāng)Vs大約為24.5V時，J的一個特征值為1，系統(tǒng)發(fā)生倍

34、周期分岔而出現(xiàn)不穩(wěn)定，該結(jié)果與已有文獻(xiàn)22結(jié)論一致。此時系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)果是：Vs小于24.5V時，系統(tǒng)為單周期態(tài)穩(wěn)定；Vs約等于24.5V時，系統(tǒng)為發(fā)生倍周期分岔；Vs大于24.5V后，系統(tǒng)為逐漸由多周期態(tài)進(jìn)入混沌態(tài)。 圖 4.1 Jacobian 矩陣 J 的特征值軌跡分岔點方程組前面研究結(jié)果表明，以輸入電壓Vs作為分岔點時，電壓模式Buck變換器經(jīng)倍周期分岔而進(jìn)入混沌態(tài)。因此，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，式(4-4)成立，代入具體物理參量后有， (4-8)其中，db為發(fā)生倍周期分岔時刻的占空比，Xdb為倍周期分岔時刻的狀態(tài)變量值。因此有，整理后得臨界二周期解(倍周期分岔解)為， (4-9)上式是臨

35、界二周期態(tài)時輸入電壓(分岔參數(shù))與占空比之間的關(guān)系式，此時輸入電壓與占空比也滿足單周期特性(4-1)，且切換時刻滿足， (4-10)整理后有， (4-11)在倍周期分岔點時，顯然有Vs1=Vs2，聯(lián)立(4-9)和(4-11)可以求出輸入電壓分岔點 Vsb，式(4-9)和(4-11)也可以看成是系統(tǒng)的分岔點方程組。求解上，也可以近似處理， (4-12)即，有 (4-13)一般而言，系統(tǒng)采用P控制時，放大系數(shù)k1取得較大時，上式也可以等價為， (4-14)觀察分岔點方程組(4-9)和(4-13)可得定性的結(jié)論如下：1) m=(Vh-Vl)/T，調(diào)節(jié) Vh和Vl差值，Vs2變化不大，而 Vs1增加了

36、，系統(tǒng)分岔點增大，輸入電壓的穩(wěn)定范圍變寬。2) 增大k1，Vs2變化不大，而Vs1變小，分岔點變小，系統(tǒng)輸入電壓穩(wěn)定范圍變窄。3) 調(diào)節(jié)電路參數(shù)R、L 和C，Vs2變化不大，對Vs1影響結(jié)論不容易直接看出，可基于數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行判斷。圖4.2為方程(4-9)和(4-11)對應(yīng)的兩條曲線，其交點就是對應(yīng)分岔點Vs=24.5與前面利用 Jacobian 矩陣計算結(jié)論(見圖4.2 )一致。圖4.2 分岔點曲線若僅需確定出系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定邊界，應(yīng)用倍周期分岔點方程比直接求 Jacobian 矩陣特征值要方便，因為不需要求解穩(wěn)態(tài)單周期解。 Lyapunov 指數(shù)譜依據(jù)式(3-8)，P控制電壓模式Buck變

37、換器的最大Lyapunov指數(shù)譜(LLE)如圖4.3 所示。大概在Vs=24.5V時，出現(xiàn)第一次分岔；當(dāng)Vs=30.5V時，系統(tǒng)發(fā)生第二次分岔；而當(dāng)Vs>31.5V后，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài)。上述結(jié)論與前面其它方式得到的結(jié)果一致。Lyapunov指數(shù)譜的優(yōu)點也在于能全局性描述系統(tǒng)的分岔和混沌演化過程。 圖4.3 電壓模式Buck變換器的最大Lyapunov指數(shù)譜雙分岔參數(shù)時的特征值軌跡和分岔邊界在輸入電壓Vs這個分岔參數(shù)的基礎(chǔ)上，考慮增加控制參數(shù)k1為另一個分岔參數(shù)。圖4.3為輸入電壓Vs=22V35V，而控制參數(shù)k1=210時，對應(yīng) Jacobian 矩陣

38、特征值最大模 max 的曲面軌跡，其中 max=max(i)，i=1,2。當(dāng) max小于1(圖示穩(wěn)定邊界面以下)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定態(tài)，而且特征值模越小，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)越好。圖中，最大模max曲面與單位 1 穩(wěn)定邊界面的交線即為系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界線，也就是倍周期分岔邊界。當(dāng) k1=8.4，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定時對應(yīng)的輸入電壓約為24.5V，即對應(yīng)于圖中A點；當(dāng)輸入電壓為34V時，處于臨界穩(wěn)定的k1約為4.5，即對應(yīng)圖中B點。圖 4.4 max軌跡圖 4.5 雙分岔參數(shù)的分岔邊界系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界線也可以聯(lián)立(4-9)和(4-11)得到，圖4.5為相應(yīng)的計算結(jié)果曲線，圖中A、B點與圖4.4中一一對應(yīng)。綜合來看，可以

39、通過評估系統(tǒng)特征值來優(yōu)化選擇參數(shù)，確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性和較好的動態(tài)性能。4.1.2 仿真結(jié)果分析本小節(jié)將通過電路仿真對前面理論及計算結(jié)果加以驗證分析。圖4.6為以輸入電壓 Vs為分岔參數(shù)時，Vs=20V35V 對應(yīng)的全局分岔圖，由圖可以看出，系統(tǒng)在輸入電壓為2425V之間出現(xiàn)倍周期分岔，在31V32V之間進(jìn)入混沌態(tài)，其結(jié)果與前面分析是一致的。系統(tǒng)參數(shù)選擇以典型值k1=8.4進(jìn)行觀察。由圖4.6可知：Vs=24V時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定單周期態(tài)；Vs=25V 時，系統(tǒng)處于二周期態(tài)；Vs=34V時，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。圖4.7分別給出了上述三種情形下的時域仿真波形，其結(jié)果與計算結(jié)果一致。 圖4.6 以輸入電壓為分

40、岔參數(shù)的輸出電壓分岔圖 (a) Vs=24V，穩(wěn)定單周期態(tài) (b) Vs=25V，二周期態(tài)(c) Vs=34V，混沌態(tài) 圖4.7 不同輸入電壓時的電容電壓和電感電流波形4.2 峰值電流模式 Boost 變換器仿真結(jié)果分析峰值電流控制Boost變換器是一類被廣泛開展非線性行為研究的功率變換電路，本章將應(yīng)用第四章的穩(wěn)定性結(jié)論來分析其的快標(biāo)行為穩(wěn)定性。4.2.1 計算結(jié)果分析 Jacobian 矩陣表達(dá)式圖4.8為典型峰值電流控制Boost變換器系統(tǒng)原理圖，這里只考慮電流單環(huán)結(jié)構(gòu)，定義狀態(tài)空間向量，則有，圖4.8峰值電流控制Boost變換器系統(tǒng)原理圖。這里切換面方程為，因此，有，此外，有同時，有因此

41、，電流模式 Boost 變換器 Jacobian 矩陣為， (4-15) 特征值軌跡峰值電流控制Boost變換器系統(tǒng)參數(shù)選擇如表4.2所示。表4.2系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)名稱變量名參數(shù)取值參考電流14A輸入電壓10V電感10Mh電容電阻開關(guān)周期1ms選擇電感電流作為分岔參數(shù)，利用式4-15可計算出系統(tǒng) Jacobian 矩陣J的特征值。圖4.9為參考電流從1A變化到4A 時J的特征值變化軌跡。由圖可以看出，當(dāng)大約為1.7A時，J的一個特征值2為1，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔而出現(xiàn)不穩(wěn)定，該結(jié)果與已有研究結(jié)論7-8,19是一致的，也證實了前面得到的 Jacobian 矩陣表達(dá)式的正確。圖4.9 Jacobian

42、矩陣J的特征值軌跡 分岔點方程前面研究結(jié)果說明，以參考電流作為分岔點時，峰值電流控制Boost變換器是經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài)。因此，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，式(3-4)成立，代入具體物理參量后有， (4-16)其中和分別為倍周期分岔時對應(yīng)占空比和切換時刻狀態(tài)值，因此有，上式是臨界二周期解，可以看出參考電流分岔點與占空比無關(guān)，利用數(shù)值計算可以得到發(fā)生倍周期分岔時的占空比。同時切換時刻滿足, (4-17)整理后有， (4-18)將前面求出的分岔時刻占空比代入(4-17)，即可得到此時分岔點。觀察分岔點方程組(4-17)和(4-18)，大致的結(jié)論有：由(4-16)可以看出，式中輸入電壓在分子和分母可以

43、對消，故發(fā)生倍周期分岔時系統(tǒng)的占空比與輸入電壓無關(guān)。在同樣的占空比下，增大輸入電壓時，電感電流的峰值變大，則參考電流的分岔點也隨之增大。圖4.10為輸入電壓=1015V變化時，利用方程(4-16)和(4-18)得到的倍周期器分岔時占空比和參考電流分岔值兩條曲線。由圖可以看出，占空比與輸入電壓無關(guān)，而隨輸入電壓增加而變大。圖4.10 占空比和參考電流分岔值曲線 電流模式 Boost 變換器穩(wěn)定的充要條件對于電流控制的Boost變換器而言，若系統(tǒng)時間常數(shù)遠(yuǎn)大于開關(guān)周期T時，此時不難發(fā)現(xiàn)有， (4-19)因此，系統(tǒng)的 Jacobian 矩陣可整理為， (4-20)若記 Jacobian 矩陣的特征值

44、為，i=1,2，則滿足 (4-21)從上式不難發(fā)現(xiàn)，其中某個特征值約等于小于1，這是因為， (4-22)同時，依照變換器穩(wěn)定性必要條件，即第四章結(jié)論2，有 (4-23)上式為系統(tǒng)兩個特征值的乘積，由于系統(tǒng)存在，另外一個特征值決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，依前面論述，系統(tǒng)是經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入混沌，因此另一個特征值一般小于0，且等于， (4-24)由于電流模式 Boost 變換器的特征值特殊性，容易知道，只要滿足 (4-25)就可以確保系統(tǒng)的單周期態(tài)穩(wěn)定，因此(4-25)就是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。而對于峰值電流控制Boost變換器而言，m=0，因此有， (4-26)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是， (4-27)上式就是峰

45、值電流控制的穩(wěn)定性經(jīng)典結(jié)論。顯然采用峰值電流方式控制應(yīng)用中存在占空比D受限的問題。如果(4-24)中的m不為零，那么條件(4-25)就可能成立，系統(tǒng)就能穩(wěn)定在單周期態(tài)，避免了次諧波發(fā)生。比較直接的想法是，m取為小于零的數(shù)，由于m是切換面函數(shù)對時間的一階導(dǎo)數(shù)，此時切換面函數(shù)就是包含了一項斜坡函數(shù)項，這也就是工程上用來抑制系統(tǒng)次諧波的經(jīng)典斜坡補償控制。如下是加了斜坡補償后系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件。 (4-28)其中，和分別是電感電流的上升和下降斜率，為斜坡補償函數(shù)的斜率。由此也不難得到一些啟示：可以選擇不同形式m，即在切換面函數(shù)增加不同函數(shù)項來穩(wěn)定系統(tǒng)行為，比如拋物線項和正弦函數(shù)項等，這是開環(huán)的控制思

46、路；也可以考慮閉環(huán)反饋思路，如狀態(tài)變量反饋引入來改變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。系統(tǒng)參數(shù)按表4.2取值時，此時有，相應(yīng)系統(tǒng) Jacobian 矩陣的特征值軌跡如圖4.11所示，可以看出存在一個略小于1 的特征值，與前面理論分析一致。圖4.11 T為時，Jacobian 矩陣特征值軌跡此時另外一個特征值就是式(4-28)對應(yīng)的。相應(yīng)參考電流的分岔點近似可以認(rèn)為是，由于是落在單位圓內(nèi)，因此只要保證也位于單位圓內(nèi)即可保證系統(tǒng)的單周期態(tài)穩(wěn)定。事實上，工程中開關(guān)周期一般都比較小，因此其穩(wěn)定的充要條件(4-27)一般都是成立的。另外由前面的分析不難發(fā)現(xiàn)，若遠(yuǎn)大于開關(guān)周期T，只要是峰值電流控制模式，其特征值就具有前

47、面所提的特殊性，此時系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件(4-28)就成立，該結(jié)論與具體電路拓?fù)湫问綗o關(guān)。4.2.2 仿真結(jié)果分析開關(guān)周期取，其它參數(shù)選擇與表4.2相同，圖4.12給出了參考電流時對應(yīng)的電感電流分岔圖?？梢钥闯觯?dāng) 左右，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔，當(dāng)系統(tǒng)大于后進(jìn)入混沌態(tài)，該結(jié)論與4.2.1部分Lyapunov指數(shù)譜計算結(jié)果是一致的。圖4.13給出了不同參考電流對應(yīng)的時域仿真波形，其結(jié)果與前面計算結(jié)果吻合，由此也證實了本章提出的 Jacobian 矩陣改進(jìn)求解法有效和穩(wěn)定性結(jié)論的正確。圖4.12 以參考電流為分岔參數(shù)的電感電流分岔圖 (a) =1.5A (b) =1.8A(c) =4A圖 4.13不同輸入電壓

48、時的電感電流和電容電壓波形結(jié) 論本文對DC-DC變換器 Jacobian 矩陣的常規(guī)求解方法進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)了該種方法存在的不足之處，即計算量較大，計算過程復(fù)雜，不能廣泛應(yīng)用在DC-DC變換器快標(biāo)行為穩(wěn)定性分析之中。因此，在第三章通過微擾思想，改進(jìn)了當(dāng)前DC-DC變換器 Jacobian 矩陣的求解方法，推導(dǎo)出了單開關(guān)PWM控制DC-DC變換器系統(tǒng)較為通用的 Jacobian 矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)式，其結(jié)果便于數(shù)學(xué)解析分析。同時，利用改進(jìn)的 Jacobian 矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)式，給出了三個相關(guān)的快標(biāo)行為穩(wěn)定性結(jié)論。最后通過兩個實例，對比例控制電壓模式Buck變換器與峰值電流模式Boost變換器的快標(biāo)行為穩(wěn)

49、定性進(jìn)行了分析與仿真，驗證了所提方法的有效。本文的研究成果是：從分段線性系統(tǒng)角度提出了DC-DC變換器的雅可比( Jacobian )矩陣的改進(jìn)求解方法，簡化了計算過程，有利于解析分析。此外，本章提出的改進(jìn)求解思路是基于單切換面分段線性系統(tǒng)導(dǎo)出，所得結(jié)論具有一般性，稍加改進(jìn)就可以應(yīng)用到其它DC-DC變換器系統(tǒng)中。參考文獻(xiàn)1 楊汝,張波.DC/DC buck 變換器時間延遲反饋混沌化控制J.物報,2007,56(7):37893795.2 高金峰,吳振軍,趙坤.混沌調(diào)制技術(shù)降低 Buck 型變換器電磁技術(shù)水平的研究J.電工技術(shù)學(xué)報,2003,18(6):2327.3 李志忠,丘水生,張黎.混沌頻率調(diào)制增強(qiáng)開關(guān)變換器 EMC 的研究J.電子學(xué)報,2005,33(11):19831987.4 李志忠,丘水生,陳艷峰.混沌映射抑制 DC-DC 變換器 EMI 水平的實驗研究J.中國電機(jī)工程學(xué)報,2006,26(5):7681.5 李志忠,丘水生,陳艷峰.混沌調(diào)制對開關(guān)變換器