第十章1結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算

1、1第十章 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算10-1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力計(jì)算自由度10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)10-3 單自由度體系的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響10-5 多自由度體系的自由振動(dòng)2我們已經(jīng)研究了結(jié)構(gòu)在靜荷載作用下內(nèi)力和位移的計(jì)算問題，已經(jīng)掌握了結(jié)構(gòu)在靜荷載作用下其內(nèi)力和位移的計(jì)算方法和一般原理，也可以說已完成了結(jié)構(gòu)的靜力分析。本章將進(jìn)一步分析和研究承受動(dòng)力荷載的結(jié)構(gòu)，稱為“結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算”，一般稱為“結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)”。就結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容來說，非常廣泛。在此學(xué)習(xí)的的內(nèi)容將為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。31、掌握單自由度體系的自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)、阻尼對(duì)振動(dòng)的影響等；2、掌握求解多自由度體

2、系的自由振動(dòng)的剛度法；3、掌握多自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)；4、了解多自由度體系主振型的正交性和主振型；5、了解無(wú)限自由度體系的自由振動(dòng)；6、熟悉近似法求自振頻率；7、了解矩陣位移法求剛架的自振頻率?；疽螅?10-1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和 動(dòng)力計(jì)算自由度一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)1、幾個(gè)概念 要研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的結(jié)構(gòu)計(jì)算問題，首先要了解什么是動(dòng)力荷載(動(dòng)荷載)以及與此有關(guān)的概念。如：靜荷載、動(dòng)荷載、自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)、動(dòng)力反應(yīng)。5（1）靜荷載：荷載的大小、方向及作用位置都不隨時(shí)間變化（如自重），或者雖有變化，但變化相當(dāng)緩慢，它所引起的結(jié)構(gòu)上各質(zhì)點(diǎn)的加速度可以忽略不計(jì)。例如：雪荷載

3、、人群、設(shè)備重量、吊車荷載。即是說我們討論的“移動(dòng)荷載”一般看作靜力荷載。（2）動(dòng)荷載：荷載的大小、方向和作用位置隨時(shí)間迅速變化，由此引起的結(jié)構(gòu)質(zhì)量加速度及慣性力不能忽略不計(jì)。6 即：動(dòng)荷載引起的結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)上各質(zhì)點(diǎn))的加速度較大，對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移的影響不能忽略。 加載后雖然荷載不再變化，但是加載速度卻很大，致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生明顯的振動(dòng)，則屬于動(dòng)荷載。 （3）荷載周期與結(jié)構(gòu)自振周期 一種荷載是否作為動(dòng)荷載來處理，我們通常用荷載周期TH與結(jié)構(gòu)自振周期TJ的比值來衡量。 如荷載的周期TH =1s，而TJ =0.1s，TH / TJ =10，則荷載對(duì)結(jié)構(gòu)而言可當(dāng)作靜荷載處理。 若結(jié)構(gòu)自振7周期TJ =10

4、s，有TH / TJ =0.1，則該荷載就應(yīng)作為動(dòng)荷載來處理。 一般而言， TH / TJ 5，該荷載就可作為靜荷載處理。 自振周期：(廣義的解釋)是結(jié)構(gòu)經(jīng)歷一個(gè)循環(huán)的自由振動(dòng)所需的時(shí)間。 (4) 動(dòng)力反應(yīng)：動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量和集中質(zhì)量的位移、速度、加速度以及作用在質(zhì)量上的慣性力都是時(shí)間 t 的函數(shù)，上8述內(nèi)力、位移、速度、加速度以及慣性力等統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。 習(xí)慣上稱動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。 學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)就是要掌握動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算原理和方法，并確定其隨時(shí)間的變化規(guī)律。 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)和結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性有關(guān)。 （5）動(dòng)力特性：結(jié)構(gòu)的自振頻率、自振周期、阻尼特性

5、以及多自由度體系的主振型等則是結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性。9 反映結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的這些參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析有著重要的影響，需通過分析結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)而得到。 （6）自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載下將發(fā)生振動(dòng)，若起振后就再無(wú)外力的激振作用，則這種振動(dòng)稱之為自由振動(dòng)。 或者說：動(dòng)荷載引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)，若在整個(gè)振動(dòng)過程中再無(wú)外力作用，則稱這種振動(dòng)為自由振動(dòng)。10 （7）強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中受到動(dòng)荷載(干擾力)的作用，稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。 （8）動(dòng)靜法：根據(jù)達(dá)朗伯原理，若假想把慣性力作用在振動(dòng)著的質(zhì)量上，則在任一時(shí)刻，結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載以及慣性力作用下處于平衡狀態(tài)。這樣就把動(dòng)力計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。 但是，這是形式上的平衡

6、，是一種動(dòng)平衡，是一種引進(jìn)慣性力條件下的平衡，是瞬間平衡。 11 關(guān)于風(fēng)荷載：對(duì)一般房屋結(jié)構(gòu)來說，風(fēng)荷載可看作靜力荷載，而對(duì)于高聳柔軟結(jié)構(gòu)來說則應(yīng)作為動(dòng)力荷載處理。英國(guó)多倫多電視塔，世界第一高塔，1973年開工、1976年建成。鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，用鋼量5600噸，混凝土4萬(wàn)余立方米。高553米，主體451米，天線桅桿102米，電視塔桅桿部分用巨型直升機(jī)吊裝。12多倫多電視塔夜景13多倫多電視塔時(shí)間間隔特寫鏡頭142000年8月27日莫斯科電視塔發(fā)生火災(zāi)，煙霧從340米高塔段冒出。15上?！皷|方明珠”，亞洲第一、世界第三高塔。1994年建成，塔高468米，主體結(jié)構(gòu)350米，天線桅桿118米。16建

7、筑資料建筑資料【建設(shè)地點(diǎn)】：廣州市海珠區(qū)赤崗塔,珠江新城對(duì)岸【開工時(shí)間】：2005年11月25日【竣工時(shí)間】：預(yù)計(jì)2009年9月,2008年8月27日，主塔體完成封頂17【占地面積】：17.546萬(wàn)平方米【建筑面積】：11.4054萬(wàn)平方米【建筑高度】：塔身主體454米，天線桅桿156米?？偢叨?10米【建筑層數(shù)】：37層【結(jié)構(gòu)形式】：鋼筋混凝土結(jié)構(gòu) 【建筑造價(jià)】：人民幣22億元【投資單位】：廣州電視臺(tái),廣州建設(shè)投資公司【設(shè)計(jì)單位】：英國(guó)ARUPQualifi-cation【建設(shè)用途】：電視廣播,游樂園,觀光 【施工單位】：寶鋼公司18【英文名稱】：Canton Tower【別稱】：廣州電視觀

8、光塔,廣州塔正在全球征集塔名，獎(jiǎng)金10萬(wàn)。 另外：日本將建634米高塔，超過廣州新電視塔24米。19二、動(dòng)荷載分類1、周期荷載特點(diǎn)：隨時(shí)間呈周期性變化。(1) 簡(jiǎn)諧性周期荷載（典型） 按簡(jiǎn)諧規(guī)律隨時(shí)間改變其量值的荷載。 如馬達(dá)質(zhì)量偏心產(chǎn)生的荷載。tPF-PF( )PF t圖(a)簡(jiǎn)諧荷載工程上常用的有下面幾種動(dòng)力荷載。20FP(t)t的變化規(guī)律可用正弦或余弦函數(shù)表示。(2) 非簡(jiǎn)諧性周期荷載不是按簡(jiǎn)諧規(guī)律周期性變化的荷載(圖b、c)，其中圖c表示鍛錘產(chǎn)生的周期沖量。圖( b)FP(t)t t t tFP(t)t圖( c)21（a)tPF( )PF trttPF( )PF tdt（b)核爆炸沖擊

9、波荷載曲線急劇增加化爆沖擊波荷載曲線急劇減小 特點(diǎn)：這類荷載在很短的時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或急劇減小。2、 沖擊荷載22FP(t)t爆炸沖擊荷載荷載急劇增減（c）沖擊壓力作用時(shí)間小于或略大于結(jié)構(gòu)的自振周期233、隨機(jī)荷載 荷載在將來某一時(shí)刻的大小和方向無(wú)法事先確定，稱為非確定性荷載，或稱為隨機(jī)荷載，例如地震荷載及風(fēng)荷載就是隨機(jī)荷載。244、脈動(dòng)風(fēng)壓特點(diǎn)：荷載在任一時(shí)刻的數(shù)值是無(wú)法事先確定的。圖示是不規(guī)則變化的風(fēng)壓。實(shí)測(cè)表明不規(guī)則風(fēng)壓可以分解為穩(wěn)定風(fēng)壓(平均風(fēng)壓)和脈動(dòng)風(fēng)壓。在一次大風(fēng)過程中，當(dāng)風(fēng)力最強(qiáng)時(shí)，結(jié)構(gòu)某一高度處的風(fēng)壓圍繞其平均值變化，這是符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。QQ1t脈動(dòng)風(fēng)壓脈動(dòng)風(fēng)壓穩(wěn)定風(fēng)壓

10、穩(wěn)定風(fēng)壓25 下面是1940年美國(guó)塔克瑪大橋由風(fēng)震而破壞的錄相。穩(wěn)定風(fēng)壓Q1：對(duì)結(jié)構(gòu)的作用可視為靜力荷載。脈動(dòng)風(fēng)壓：對(duì)高聳柔性結(jié)構(gòu)則視為動(dòng)力荷載。26從以上分析知：(1) 周期荷載和沖擊荷載是確定性動(dòng)力荷載。變化規(guī)律可知，即可用確定性函數(shù)來描述。(2) 地震荷載和脈動(dòng)風(fēng)壓是非確定性動(dòng)力荷載。又稱隨機(jī)荷載。不能表示為時(shí)間的確定性函數(shù)，但受統(tǒng)計(jì)規(guī)律的制約，需用概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)分析，得出某些共同的規(guī)律，作為設(shè)計(jì)依據(jù)。特別指出：當(dāng)荷載的周期為結(jié)構(gòu)的自振周期五倍以上時(shí)，動(dòng)力作用較小，此時(shí)的動(dòng)力荷載可視為靜力荷載以簡(jiǎn)化計(jì)算。27三、慣性力 當(dāng)物體受外界因素的作用發(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變，即獲得加速度時(shí)，物體由

11、于慣性產(chǎn)生對(duì)外界抵抗的作用力稱為慣性力。正是由于慣性力的作用使結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算具有不同于靜力計(jì)算的特點(diǎn)。四、彈性體系的動(dòng)力計(jì)算自由度 定義：為確定彈性體系在振動(dòng)過程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量的位置所需要的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目稱為彈性體系的動(dòng)力計(jì)算自由度。28 對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，通常忽略梁式桿的軸向變形，且體系為線性彈性體。 對(duì)于集中質(zhì)量體系，為了約束全部質(zhì)量的線位移所需要的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目很容易確定。下圖中，n為動(dòng)力計(jì)算自由度數(shù)。 n=1n=2n=0n=1n=2n=229 因?yàn)?，?shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，因此可以說任何一個(gè)實(shí)際結(jié)構(gòu)都具有無(wú)限個(gè)自由度。但是如果所有結(jié)構(gòu)都按無(wú)限自由度計(jì)算，是十分困難的，也是

12、不必要的。這就需要簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)成有限個(gè)自由度的問題。 簡(jiǎn)化方法：集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法。 1、集中質(zhì)量法 集中質(zhì)量法：把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將無(wú)限自由度問題簡(jiǎn)化為有限自由度問題。30 幾個(gè)實(shí)例 (1) 圖（a）示簡(jiǎn)支梁，跨中有一重物W。當(dāng)梁本身的質(zhì)量遠(yuǎn)小于重物的質(zhì)量時(shí)，可取圖b所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。此時(shí)，體系可看作是具有一個(gè)自由度的體系。W(a)質(zhì)點(diǎn)m(b)31(2) 圖a所示的三層平面剛架，在水平力的作用下計(jì)算剛架的側(cè)向振動(dòng)時(shí)，只有三個(gè)自由度。(a)(b)32 (3) 圖a所示為一單層廠房排架，考慮水平振動(dòng)時(shí)可簡(jiǎn)化 圖b。屋蓋與屋架質(zhì)量較大，可將其集中于直立柱的頂端，柱的部分質(zhì)量也集中到頂

13、端。當(dāng)考慮水平振動(dòng)時(shí)，只有一個(gè)自由度，即水平位移y(t)。(a)y(b)33(4) 圖a所示兩層單跨平面剛架，考慮水平振動(dòng)時(shí)通常也將梁、柱和樓板的質(zhì)量都集中在結(jié)點(diǎn)上，使體系成為具有四個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系。體系有兩個(gè)自由度，y1= y2；y3= y4 。(a)(b)y1y2y4y3y1y2(c)34(5) 圖a所示為一塊形基礎(chǔ)，可簡(jiǎn)化為一剛性質(zhì)塊。 當(dāng)考慮平面內(nèi)的振動(dòng)時(shí)，共有三個(gè)自由度，即水平位移x，豎向位移y，和角位移 (圖b)。當(dāng)僅考慮豎直方向的振動(dòng)時(shí)，則只有一個(gè)自由度(圖c)。所以，體系的自由度與計(jì)算的精度有關(guān)。（a）(b)xy(c)y352、廣義坐標(biāo)法(1) 具有分布質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁是一個(gè)具有無(wú)限自

14、由度的體系。簡(jiǎn)支梁的撓度曲線可用三角級(jí)數(shù)來表示：)(sin)(1alxkaxykkak稱為廣義坐標(biāo)，是一組待定參數(shù)。其中： 為形狀函數(shù)，是一組給定的函數(shù)；lxksin36 當(dāng)形狀函數(shù)選定后，梁的撓度曲線y(x)即由無(wú)限多個(gè)廣義坐標(biāo)a1、 a2、 an、所確定，因此簡(jiǎn)支梁具有無(wú)限自由度。在簡(jiǎn)化計(jì)算中，通常只取級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)： )(sin)(1blxkaxynkk這時(shí)簡(jiǎn)支梁被簡(jiǎn)化為具有n個(gè)自由度的體系。書中其他實(shí)例自學(xué)。 37 3、附加支桿法確定體系的自由度 當(dāng)體系比較復(fù)雜時(shí)，可以用附加支桿的方法確定其自由度。 附加支桿法： 在各個(gè)質(zhì)點(diǎn)可發(fā)生獨(dú)立位移的方向上附加剛性支桿，直到全部質(zhì)點(diǎn)不能再運(yùn)動(dòng)，此時(shí)

15、所需支桿的最小數(shù)目就是體系的自由度數(shù)。n=238n=44、關(guān)于自由度的概念動(dòng)力計(jì)算自由度與幾何構(gòu)造分析中自由度的概念既有共同點(diǎn)又有不同點(diǎn)。共同點(diǎn)：它們都表明體系運(yùn)動(dòng)形式的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。不同點(diǎn)：幾何構(gòu)造分析中討論的是剛體體系的運(yùn)動(dòng)自由度，動(dòng)力計(jì)算中討論的是變形體系中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)自由度。39練習(xí)題：指出下列體系的自由度y4y3y1y2y1 = y2n=3(a)y1y2(b)n=2y1y2(c)n=3y3y1(d)y2n=240EA1EA2(e)n=2n=2(f)(g)n=1EI= 由上面的例子可以看出，結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算自由度的數(shù)目與集中質(zhì)量的數(shù)目、結(jié)構(gòu)型式以及質(zhì)量在結(jié)構(gòu)上的分布有關(guān)，應(yīng)具體問題具體分析。4

16、110-2 單自由度體系的自由振動(dòng) 進(jìn)行結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析，往往是先建立體系的運(yùn)動(dòng)微分方程，而微分方程的建立要依據(jù)動(dòng)力學(xué)模型。本節(jié)討論單自由度體系的動(dòng)力學(xué)模型。單自由度體系的動(dòng)力分析簡(jiǎn)單而重要。其原因：一是很多實(shí)際的動(dòng)力學(xué)模型?？梢园磫巫杂啥润w系進(jìn)行計(jì)算（或進(jìn)行初步的估算）；二是單自由度體系的動(dòng)力分析是多自由度體系動(dòng)力分析的基礎(chǔ)。42 自由振動(dòng)：?jiǎn)巫杂啥润w系初始時(shí)（t=0）受外界干擾而起振，以后再無(wú)外界干擾而進(jìn)行的振動(dòng)。外界干擾可以是初位移y0，或初速度v0。一、運(yùn)動(dòng)方程（振動(dòng)微分方程）1、 實(shí)例(簡(jiǎn)化)建筑結(jié)構(gòu)作為單自由度體系進(jìn)行研究的實(shí)例。m(W)p(t)y帶質(zhì)塊的簡(jiǎn)支梁帶質(zhì)塊的簡(jiǎn)支梁p(t)

17、y塊式基礎(chǔ)塊式基礎(chǔ)支承在彈性地基支承在彈性地基上的塊式基礎(chǔ)上的塊式基礎(chǔ)43p(t)y水塔p(t)門式剛架或排架 鉸結(jié)或剛結(jié) 2、建立運(yùn)動(dòng)方程的剛度法（動(dòng)靜法） 根據(jù)力系平衡建立運(yùn)動(dòng)方程的方法稱為剛度法。 依據(jù)：達(dá)朗倍爾原理。 下面討論單自由度體系的自由振動(dòng)。 44 考慮集中質(zhì)量上力系的平衡，得到：( )( )0my tky t即( )( )0my tky t1kmky(t)( )my t ( )ky tyyy 若把集中質(zhì)量取作隔離體，其上作用有慣性力 （與 方向相反）及彈性力 （與 方向相反）。( )ky t( )my t ()m yt ()kyt45 根據(jù)位移協(xié)調(diào)建立運(yùn)動(dòng)方程的方法稱為柔度法

18、。 集中質(zhì)量在任一時(shí)刻的位移 y(t) 可看作是慣性力 作用下產(chǎn)生的靜位移 。 ( )my t( )( )0my tky t1k運(yùn)動(dòng)方程為：( )( )y tmy t3、建立運(yùn)動(dòng)方程的柔度法 y y y my(t)1-( )my t46二、方程解答( )( )0my tky t0kyym令2kmkm所以2( )( )0y ty t特征方程為022i和tietie是方程的兩個(gè)特解。 常系數(shù)線性齊次方程47由歐拉公式得：可以證明 和 也是方程的兩個(gè)特解。 costsintcossincossinititetitetit所以tCtCtycossin)(21若初位移和初速度分別為 ， ：00(0)(0

19、)yyvv則022001yCCy由10( )cossiny tCtyt48得到001110CC 動(dòng)位移為00( )sincosy ttyt令00sincosvyaa則220000( )sin()()y tatvyaytgv分析(10-3)式可知：振動(dòng)是由兩部分組成的。(10- -3)(10- -4)振幅 初始相位角49(1) 單獨(dú)由初始位移y0 (初始速度v0=0)引起的振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)按y0cos t的規(guī)律振動(dòng)(圖a)。2/t=0 2yTy0-y0tOtytycos)(0t= /2 3/2yTtOtvtysin)(00v0v(2) 單獨(dú)由初始速度v0(初始位移y0=0)引起的振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)按(v0 /

20、 )sint 的規(guī)律振動(dòng)(圖b)。50若按（10-4）式，其振動(dòng)圖形如右圖。 推導(dǎo)參數(shù)a、 與參數(shù)y0、v0之間的關(guān)系：tatatysincoscossin)(與式(10-3)比較，即得：cossin)0(0avay或(10-5a、b)00122020,vytgvyat+= /2 3/2yTta-aO( )() tatysin/展開式(10-4)的右邊，有：51三、自振頻率和自振周期1、自振頻率km1stkggmmW單位（1/s）stWWst2T 通常，為表明單位時(shí)間內(nèi)體系的振動(dòng)次數(shù)，引入“頻率”的概念。習(xí)慣上稱為“工程頻率”，記為f：1/k=m=W/gstW52自振頻率(圓頻率)的重要性質(zhì)：

21、(1) 只與體系的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界激發(fā)振動(dòng)的因素?zé)o關(guān)；(10-7)21Tf ：表示在2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，稱為圓頻率(角頻率、固有頻率、自振頻率)。f：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)(1/s)，稱為赫茲(Hz)。(10-8)fT2253上面給出了自振周期T計(jì)算公式的幾種形式。 (2) 是結(jié)構(gòu)體系所固有的屬性-稱為固有頻率； (3) 剛度k越大(質(zhì)量m越小)，越高，反之越低。 (4) 是設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要參數(shù)(根據(jù)的特性，可期望其達(dá)到某一數(shù)值，從而達(dá)到減振的目的)。2、自振周期22222stmWTmkgg自振周期：振動(dòng)一次所需的時(shí)間(單位：秒)。54解釋：沿質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，表示在質(zhì)點(diǎn)

22、上沿振動(dòng)方向施加單位荷載時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的靜位移。st：st=W表示在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加數(shù)值為W的荷載時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的靜位移。自振周期T的重要性質(zhì)：(1) 自振周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，而且只與這兩者有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力的大小只能影響振幅 a 的大小，而不能影響結(jié)構(gòu)自振55周期T的大小。 (2) 自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)量越大，則周期越大(頻率f越小)；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，則周期越小(頻率f越大)。要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度著手。 (3) 自振周期T是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)很重要的數(shù)量標(biāo)志。兩個(gè)外表相似的結(jié)構(gòu)

23、，如果周期相差很大， 則動(dòng)力性能相差很大； 反之，兩個(gè)外表看來并56不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用下其動(dòng)力性能基本一致。地震中常發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象。所以自振周期的計(jì)算十分重要。自振頻率和自振周期是結(jié)構(gòu)的固有特性。 通過以上分析，由自振頻率和自振周期的計(jì)算公式可得如下變化規(guī)律（前面性質(zhì)的圖示）：kTkTmTmT57四、單位制質(zhì)量kg（千克）重力N （牛頓）長(zhǎng)度m （米）時(shí)間s （秒） 在公式 和 中，若質(zhì)量m的單位為kg，則剛度k的單位應(yīng)取N/m，不能取N/cm。km2mTk221?N cmkg m smkgcm kgcm s58五、重力對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的影響運(yùn)動(dòng)方程為：0mYkYW因?yàn)?/p>

24、( )( )stY ty t 所以 ( )stmyk y tW又stkkWW( )myky tWW( )0m yk y t( )( )Y ty t( )y t()Y tmw-mY-kY1kst59maxmax()styaW my maxmax()MW myl 可見，重力對(duì)動(dòng)位移y (t ) 的運(yùn)動(dòng)方程無(wú)影響。質(zhì)量圍繞靜力平衡位置進(jìn)行振動(dòng)。aaa alamaxymaxWmymst質(zhì)量的最大位移為： 結(jié)構(gòu)的最大彎矩為： 60六、結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)或柔度系數(shù)的求解1)3122kEIh324EIkh2)231 12 315177()2 2 2 3 163 32896768lllllllEIEIEI 1kEI

25、hk/2k/226EIh26EIh11hkmEI EIEI1mEI2l2l5 32l3 16l1EI2l2l2l613)231 12 51 3177()2383822448llllll lEIEIEI 31487EIklll1lllEIEI13/ 8l5/ 8lm624)3331 12121()2 2 2 3 22 23 2 3 415()24 1648lllllllEIlllEIEI 31485EIkll2l/2l1/4ll2l/2l1EIm63強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載FP(t)作用下的振動(dòng)。10-3 單自由度體系的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的振動(dòng)模型(圖a)受力分析：取質(zhì)量m為隔離體分析(圖

26、b)，彈性力-ky，慣性力-m，動(dòng)荷載FP(t)。ky(t)m( )PF tm( )PF t-( )my t-( )ky tyyy(a)(b)64運(yùn)動(dòng)方程為：( )( )Pmyky tF t( )( )PkF tyy tmm令2km得到2( )( )PF tyy tm下面討論幾種常見的動(dòng)荷載作用時(shí)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況。65一、簡(jiǎn)諧荷載2( )sinFyy ttm( )sinPFtFt1、方程解答運(yùn)動(dòng)方程為：齊次方程 的通解為： 2( )0yy t12( )sincosy tCtCt 是簡(jiǎn)諧荷載的圓頻率，F(xiàn)是荷載幅值。66*2sincossinyAtyAtyAt 設(shè)方程的特解為：22()FAm2222

27、21()1FFAmm22sinsinsinFAtAttm代入原方程得：得：67所以特解為：2221sin1Fytm令:2stFFyFmk yst 為動(dòng)荷載幅值F產(chǎn)生的靜位移。原方程一般解為：（齊次解+特解）12221( )sincossin1sty tCtCtyt*221sin1styyt特解為:Fsty682、待定常數(shù)設(shè)初始條件為： 。(0 )0 ,(0 )0y由 ，可得 C2= 0。(0)0y于是得到：1221( )sinsin1sty tCtyt1221( )coscos1sty tCtyt由 得：(0 )011222222222210111()s i ns i n111( s i ns

28、 i n)1s ts ts ts ts tCyCyytytytytt6911222222222210111()s i ns i n111( s i ns i n)1s ts ts ts ts tCyCyytytytytt 由上式可以知，振動(dòng)分兩部分：一部分按荷載頻率振動(dòng)，另一部分按自振頻率振動(dòng)。因?qū)嶋H過程中存在阻尼力，故按自振頻率振動(dòng)的部分會(huì)逐漸消失，最后余下按荷載頻率振動(dòng)的部分。所以方程的解為：70 在平穩(wěn)階段，任意時(shí)刻的動(dòng)位移為：221( )sinsin1ststy tytyt3、平穩(wěn)階段 過渡階段：振動(dòng)開始時(shí)，體系以兩種頻率、進(jìn)行振動(dòng)的階段。 平穩(wěn)階段：只按照荷載頻率進(jìn)行振動(dòng)的階段。 一

29、般過渡階段延續(xù)的時(shí)間較短，因此在實(shí)際問題中平穩(wěn)階段的振動(dòng)較為重要。71 上式中， 為動(dòng)力系數(shù)，等于動(dòng)位移振幅 y(t)max與動(dòng)荷載幅值引起的靜位移yst的比值。max22 ( )11sty tymax ( )sty ty若求得的0，則取絕對(duì)值即可：2211位移振幅721) ，即/ 1時(shí)221112432135 的絕對(duì)值隨/的增大而變小，即y(t)max逐步變小。當(dāng)遠(yuǎn)大于時(shí)， y(t)maxu0001( )sincos( )sin()tPy ttytFtdm若體系初位移和初速度分別為y0及v0，則：杜哈梅(J.M.C.Duhamel)積分的意義：計(jì)算初始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意動(dòng)荷載F

30、P(t)作用下的動(dòng)位移(位移公式)。78三、 一般動(dòng)荷載t( )PF t0PF000( )0PPtF tFt運(yùn)用杜哈梅積分(y0=0,v0=0)：1、突加荷載設(shè)體系原處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0時(shí)刻，突然加上荷載FP0，且FP0 一直作用在結(jié)構(gòu)上。突加荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：FP (t)t曲線為階梯形曲線，在t=0處，曲線有間斷點(diǎn)。790000000221( )sin()1sin() () cos()(1cos)(1cos)tPtPtPPsty tFtdmFtdtmFFttmmyt 上式中表示在靜荷載FP0作用下產(chǎn)生的靜位移。 002PPstFFymk0PF80最大位移即振幅為：max ( )2sty

31、ty2最大位移產(chǎn)生的時(shí)刻：cos12/2mTtttT 所以stysty( )y tt032結(jié)論：突加荷載引起的最大位移是靜位移2倍。812、短時(shí)突加荷載000( )00PPtF tFtutu ut( )PF t0PF荷載FP0在時(shí)刻t=0突然加上，在0tu時(shí)段內(nèi)，荷載數(shù)值保持不變，在時(shí)刻t=u荷載又突然消失。短時(shí)荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：此時(shí)的動(dòng)位移計(jì)算分為兩個(gè)階段。階段(0tu)：此階段荷載為突加荷載82000002011( )sin ()sin ()()cos ()cos () cos2sinsin ()22uuPPuPststFy tFtdtdtmmFtyt utmuuyt( )(1cos)s

32、ty tyt階段II ：無(wú)荷載作用，體系為自由振動(dòng)。()tu其動(dòng)位移公式為：其動(dòng)位移公式為：83以上公式也可以如此獲得:由于此階段以階段終了時(shí)刻(t=u)的位移y(u)和速度v(u)作為起始位移和起始速度并作自由振動(dòng)，因此也可利用書中式(10-3)求得2sin2)cos1 ()(2uyuyuystst2cos2sin2sin)(uuyuyuvstst將y(u)和v(u)代入式(17-3)，可得:84)2(sin2sin2 )(2sin2sin2 )(sin2cos)(cos2sin2sin2 )(sin2cos2sin2)(cos2sin2 )(sin)()(cos)()(2utuyutuuy

33、utuutuuyutuuyutuyutuvutuytyststststst下面討論最大動(dòng)位移y(t)max ，有兩種情況。 1) 當(dāng)uT/2，即荷載持續(xù)時(shí)間大于半個(gè)結(jié)構(gòu)周期。最大位移產(chǎn)生在第一階段：2 85max ( )222mstTty ty max ( )2sin(2sin)22sin2()2ststuuy tyyTuuTT 2) 當(dāng)u0.50.0628 0.6181.01.6181.9022.02.0873、線性漸增荷載在一定時(shí)間內(nèi)(0ttr)，荷載由0增至FP0，然后荷載值保持不變。)(tFP0PFOrtt線性漸增荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)rPrrPPttFttttFtF ,0,)(

34、0088其動(dòng)力反應(yīng)可利用“杜哈梅”公式求，結(jié)果如下：時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)rrrstrrstttttttytttttyty ),(sinsin11),sin(1)(對(duì)于這種線性漸增荷載，其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間tr的長(zhǎng)短有很大關(guān)系。動(dòng)力系數(shù)隨升載時(shí)間比值tr/T而變化的情形，即動(dòng)力系數(shù)的反應(yīng)譜曲線(如下圖)。890 . 12 . 14 . 16 . 18 . 10 . 2 00 . 10 . 20 . 30 . 4Ttrrt0PF可看出：動(dòng)力系數(shù)介乎于1和2之間。若升載時(shí)間很短，如 tr4T則接近于1.0，相當(dāng)于靜荷載。設(shè)計(jì)時(shí)，一般以上圖所示外包虛線作為設(shè)計(jì)依據(jù)。9073461122222312142(21)2

35、331820(4)3320134.51010101.4810/EIEIEImN 例10-3-1 圖示體系，已知FP0=5kN， m=800kg，EI=4.5107kN.cm2，=35（1/s），g=9.8m/s2。在平穩(wěn)階段，求C截面的最大位移和B截面的最大彎矩。解：1) 求柔度系數(shù)CEIABEI4m2m0sinPFtC1C1AB12AB2m912) 求自振頻率61129.06(1/ )800 1.48 10sm3) 求動(dòng)力系數(shù)2222112.22351129.064) 求(MB)max及ymax3max0()() 2(2.22 5 800 9.8 10 ) 2(11.1 7.84) 237.

36、88.BPMFWkN m （上拉）max00363()()()18.94 101.48 1028.03 1028.03( )ststPPyyFWFWmmm 9210-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響前面討論忽略了阻尼的影響，其結(jié)果大體上反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，如：自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有值；簡(jiǎn)諧荷載下可能出現(xiàn)共振等。但是，自由振動(dòng)時(shí)振幅永不衰減，共振時(shí)振幅趨于無(wú)窮等結(jié)論，與實(shí)際振動(dòng)情況不盡相符。為進(jìn)一步了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)規(guī)律，本節(jié)研究阻尼力對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。本節(jié)討論兩個(gè)問題：(1) 有阻尼的自由振動(dòng)；(2) 有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)。931、產(chǎn)生阻尼的原因 （1）材料的內(nèi)摩擦； （2）周圍介質(zhì)的阻尼力，如水和其他液體產(chǎn)生

37、的阻尼力； （3）結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)及支座處的摩擦力等，因?yàn)樵诮Y(jié)點(diǎn)及支座處并非理想聯(lián)結(jié)及理想約束； （4）地基土的內(nèi)摩擦及塑性變形。一、 概述942、阻尼力的特點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起阻礙作用，阻尼力總是與質(zhì)點(diǎn)的速度方向相反。 數(shù)值上阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度有如下關(guān)系： (1) 阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度成正比，這種阻尼力比較常用，稱作“粘滯阻尼力”。 (2) 阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比，固體在流體中運(yùn)動(dòng)受到的阻力屬于這一類。 (3) 阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)速度無(wú)關(guān)，摩擦力屬于此類。95 工程中常采用所謂粘滯阻尼，即阻尼力的大小與速度成正比，但方向相反。(其它類型的阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力)RFcy 式中c 為阻尼系數(shù)二、有

38、阻尼自由振動(dòng)0my cy ky0ckyyymm運(yùn)動(dòng)方程：令222kccmmmky(t)mm-()myt-( )ky t-( )cy ty y y 96方程為220yyy阻尼比特征方程為222022221 224412 ，兩個(gè)特解為22(1)(1)ttee 1、當(dāng) (低阻尼情況)時(shí)1（1）微分方程的解97221 211rrii ，1 i特解為()()rrititee()(cossin)rittrreetit()(cossin)rittrreetit 所以 也是方程的兩個(gè)特解。cossinttrretet和12( )(cossin)trry teCtCt初始條件為：00(0)(0)yyvv動(dòng)位移為

39、：98由0(0)yy10Cy因?yàn)椋?202( )(sincos)()(cossin)trrrrtrry teytCteytCt 由0(0)vv020rvCy002ryvC所以：000( )(cossin)sin()trrrtryvy teytteat式中22000r0r00()tgyvyayyv振幅 自振圓頻率相位角99 （2） yt曲線 曲線特點(diǎn)：是一條振幅逐漸衰減的波動(dòng)曲線。可以看出，在低阻尼體系中阻尼對(duì)自振頻率和振幅的影響。 （3）阻尼的影響tT0ktky1kytaey 對(duì)自振頻率的影響： r 稱為有阻尼體系的自振頻率。 r恒小于無(wú)阻尼的自振圓頻率，在 1 (過阻尼)時(shí)（1）微分方程的解

40、當(dāng)1時(shí)，特征根是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，此時(shí)微分方程的解為： )1ch1sh(2221tCtCeyt（2）對(duì)振動(dòng)的影響分析 因式中不含有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的因子，所以由于很大阻尼的作用，受干擾后偏離平衡位置的體系不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)。 其原因是所積蓄的初始能量在恢復(fù)平衡位108位置的過程中全部消耗于克服阻尼，不足以引起體系的振動(dòng)。 4、綜合分析 綜合以上分析可知：當(dāng)1時(shí)，體系處于過阻尼的無(wú)振動(dòng)狀態(tài)(非周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，實(shí)際情況中很少遇到)；當(dāng)=1時(shí)，體系處于臨界阻尼狀態(tài)。109 例10-4-1 圖示門架為一單層建筑的計(jì)算簡(jiǎn)圖。設(shè)橫梁EI=，屋蓋系統(tǒng)和橫梁重量以及柱子的部分重量可認(rèn)為集中在橫梁處，設(shè)總重為W。為了確定水平振動(dòng)時(shí)門

41、架的動(dòng)力特性，進(jìn)行以下振動(dòng)試驗(yàn)：在橫梁處加一水平力FP=98kN，門架發(fā)生側(cè)移y0=0.5cm；然后突然釋放，使結(jié)構(gòu)作自由振動(dòng)。此時(shí)測(cè)得周期T測(cè)=1.50s，并測(cè)得一個(gè)周期后橫梁擺回的側(cè)移為y1=0.4cm。計(jì)算門架的阻尼系數(shù)及振動(dòng)5周后的振幅。110yFPm=W/g222)5 . 12()2(TmkmMNyFkP/6 .19005. 0980而解：因阻尼對(duì)周期影響很小，可取T=T測(cè)=1.50s，故有因此有tMkgkm112012. 16 .19057. 0)25 . 1(20355.04 .05 .0ln21ln2110yy阻尼比：111阻尼常數(shù)：sMkgmccr/33. 05 . 1212

42、. 120355. 0 2cmyyyyeyyeyyTT164.05.0)5.04.0()(50501501505測(cè)測(cè)，引深：對(duì)此題求振幅衰減到y(tǒng)0的5%(即0.025cm)以下所需的時(shí)間(以整周期計(jì))。計(jì)算振動(dòng)5周后的振幅y5：因?yàn)椋核杂校篶myyyyeyyeyyTT164.05.0)5.04.0()(50501501505測(cè)測(cè)，112對(duì)于相隔n個(gè)周期的振幅，阻尼比可寫為：nyyn0ln211443.13996. 20355. 021 025. 05 . 0ln21ln210nyyn所以有： 即經(jīng)過14個(gè)周期后，振幅可衰減到初始位移的5%以下。113三、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 由前述有阻尼自由振動(dòng)的

43、解答可知，若y(0)=0,v(0)=v0，則：0( )sintrrvy tet若體系在t=0時(shí)受沖量S作用，則動(dòng)位移為：1、有阻尼體系的杜哈梅積分( )PF ttutdPSF d0( )sin()trrSSy tetvmm114 若體系在 時(shí)刻受微沖量dS=Fp()d 作用，則動(dòng)位移增量為： 所以對(duì)于受任意動(dòng)荷載的有阻尼單自由度體系有：()0( )( )sin()()ttPrrFdy tetdtum()( )( )sin()tPrrFddy tetm杜哈梅積分的意義：在有阻尼情況下，計(jì)算初始處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意動(dòng)荷載FP(t)作用下的動(dòng)位移。115若體系有初位移y0及初速度v0，則

44、000()0( )(cossin)( )sin()trrrttPrryvy teyttFdetdm1、突加荷載FP0突加荷載：設(shè)體系原處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0時(shí)，突然加上荷載，且FP0一直作用在結(jié)構(gòu)上。0PFOt)(tFP下面利用上式討論幾種動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)。1160t0, 0)(0當(dāng)當(dāng)tFtFPP)sin(cos1 )sin(cos1 )(20tteyttemFtyrrrtstrrrtP 動(dòng)力位移圖：利用上式可得突加荷載的動(dòng)位移圖，可與無(wú)阻尼體系的動(dòng)位移圖相對(duì)應(yīng)。突加荷載的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：即可得出當(dāng)t 0時(shí)，突加荷載下的動(dòng)位移：117sty)(ty0234t 56由圖看出，具有阻尼的體系在突加荷

45、載作用下，最初引起的最大位移可能接近靜力位移yst的兩倍，然后經(jīng)過衰減振動(dòng)，最后停留在靜力平衡位置。)(tysty0234t 有阻尼時(shí)動(dòng)位移圖無(wú)阻尼時(shí)動(dòng)位移圖118sinmy cy kyFtsinckFtyyymmm222kccmmm方程為：22sinFyyytm（1）運(yùn)動(dòng)方程及解答( )sinPFtFt2、簡(jiǎn)諧荷載令m-()myt-( )ky t-( )cy t( )PF tky(t)m( )PF ty y y 119齊次方程220yyy_12( )(cossin)trry teCtCt解答為：非齊次方程的特解設(shè)為：*22( )sincos( )cossin( )sincosytAtBtyt

46、AtBtytAtBt 代入原方程得：222sincos2(cossin)(sincos)sinAtBtAtBtFAtBttm1202222sin(2)sin(2)cosFtABAtBABtm 比較等式兩邊可得：2222202BABFABAm22222()0()2ABFABm解關(guān)于A、B的線性方程組，得到：222222()4()FAm22222()4()FBm方程通解為：_*12( )( )( )(cossin)sincostrry ty tyteCtCtAtBt121其中兩個(gè)常數(shù)C1和C2由初始條件確定。 分析：上式右邊分為兩部分，表明體系的振動(dòng)由兩個(gè)具有不同頻率(r和)的振動(dòng)所組成。 第一部

47、分：由于阻尼作用，含有振動(dòng)衰減因子e-t，此項(xiàng)振動(dòng)逐漸衰減而最后消失。 第二部分：頻率為，由于受到周期荷載的影響而不衰減，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。 平穩(wěn)振動(dòng)是討論的重點(diǎn)。下面對(duì)其進(jìn)行討論：122( )sincosy tAtBt令cossinPPAyBy 則( )sin ()Py tyt（2）討論平穩(wěn)階段的振動(dòng)2222221/22222222222(1)41(1)4PstPststFyABmyyFyFym式中2222221BtgA 任一時(shí)刻的動(dòng)位移關(guān)于這見書P457123 式表明：動(dòng)力系數(shù)不僅與頻率比值/有關(guān)，而且與阻尼比有關(guān)。對(duì)于不同的值，可畫出相應(yīng)的與/之間的曲線。1.02.04.03.02.01.0

48、3.05.01.00.50.30.20.10曲線（3）討論 當(dāng) ,隨著 的增大， 越來越小。相應(yīng)的曲線漸趨平緩。 01124 當(dāng)/ =1,稱為共振，可得動(dòng)力放大系數(shù) 若忽略阻尼的影響，令0，則得出無(wú)阻尼體系共振時(shí)動(dòng)力系數(shù)趨于無(wú)窮大的結(jié)論。 211 若考慮阻尼的影響，則不為0，因而得出共振時(shí)動(dòng)力系數(shù)總是一個(gè)有限值的結(jié)論。所以研究結(jié)構(gòu)共振時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)，阻尼的影響是不容忽略的。125代入 表達(dá)式，有max2121令/ ( /)0dd 2/12 在阻尼體系中，共振時(shí)的動(dòng)力系數(shù)并不等于最大的動(dòng)力系數(shù)max，但二者的數(shù)值比較接近。求對(duì)參數(shù)(/)的導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可求出max為峰值時(shí)相應(yīng)的頻率比(/)。即

49、：對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu) ，有 可得：2/102121max126max12通常 遠(yuǎn)小于1，則有1max 由表達(dá)式y(tǒng)(t)=yPsin(t-)，可見有阻尼體系的位移比荷載滯后一個(gè)相位角。 根據(jù)tg 的表達(dá)式可進(jìn)一步討論如下：當(dāng)/0， tg 0,則 0。 此時(shí)，體系振動(dòng)很慢，慣性力和阻尼力很小，動(dòng)荷載主要與彈性力平衡。位移y(t)與荷載FP(t)同步。127 位移y(t)比荷載FP(t)滯后相位角/2。在荷載達(dá)到最大值，即t= /2時(shí)，y(t)和 接近于0，所以慣性力與彈性力近似等于零，動(dòng)荷載主要與阻尼力平衡。( )y t 位移y(t)與荷載FP(t)反向。此時(shí)，體系振動(dòng)很快，慣性力很大，而彈性力和阻尼力

50、較小，動(dòng)荷載主要與慣性力平衡。當(dāng)/1， tg ， 則 /2。當(dāng)/，則 。12810-5 多自由度體系的自由振動(dòng) 結(jié)構(gòu)中很多問題不能簡(jiǎn)化成單自由度體系計(jì)算，必須按多自由度體系處理。如“多層房屋的側(cè)向振動(dòng)”和“不等高排架的振動(dòng)”等問題。求解方法：剛度法和柔度法。剛度法：通過建立力的平衡方程求解；柔度法：通過建立位移協(xié)調(diào)方程求解。阻尼對(duì)自振頻率的影響很小，此時(shí)有類似情況。129一、剛度法1、運(yùn)動(dòng)方程 根據(jù)力系平衡建立運(yùn)動(dòng)方程的方法稱為剛度法。 兩個(gè)自由度體系：根據(jù)質(zhì)量m1、m2隔離體的平衡可得：111222( )0( )0m y trm ytry2(t)m2m2m1m11( )y t1-r2-r1

51、1( )my t 2 2()my t y y y 達(dá)朗貝爾原理13011111222211222( )( )( )( )rk y tk y trk y tk y t恢復(fù)力按下式計(jì)算：11k21k11k22k121k21k111k22k12 下面討論如何確定彈性力（恢復(fù)力）r1及 。2r1r2r及 與位移y1(t)及y2(t)均有關(guān)，如下圖所示。1r2rr1、r2是質(zhì)量m1、m2與結(jié)構(gòu)之間的相互作用力。131運(yùn)動(dòng)方程為：1111112222211222( )( )( )0( )( )( )0m y tk y tk ytm ytk y tkyt寫成矩陣形式：111111222122220000yy

52、mkkmkkyy 0MyKy 式中的kij是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)。 kij的物理意義：kij是使j點(diǎn)產(chǎn)生單位位移(點(diǎn)i位移保持為零)時(shí)在點(diǎn)i需要施加的力。132解：令結(jié)構(gòu)質(zhì)量m1產(chǎn)生單位水平位移，而質(zhì)量m2不動(dòng)。為此，需要在質(zhì)量m1和m2上分別加水平力k11和k21。例10-5-1 求結(jié)構(gòu)的動(dòng)力剛度矩陣K。 同理，當(dāng)m1不動(dòng)而m2產(chǎn)生單位水平位移時(shí)，需要在質(zhì)量m1和m2上分別加水平力k12和k22。見下頁(yè)圖示。如此，上述四個(gè)水平力就組成了剛度矩陣K。m1m2i1i1i2i2h2h1EI EI 133用剪力分配法求上述四個(gè)剛度系數(shù)。m2k21222-12ih222-12ihm2k2222212ih22

53、212ih2212224ikh 2222224ikhm1m211k22k12m1m2i1i211k21k11i1i2i1i2i1i2134m1k1122212ih22212ih12112ih12112ihk12m122212ih22212ih001221112222122242424iiikkhhh 剛度矩陣K 為：1222221222222222424242424iiihhhKiihh1351122( )sin()( )sin()y tYtytYt2、求頻率1和2通解為任意兩組特解的線性組合，在滿足微分方程的前提下，可任意設(shè)特解(非零解)。與單自由度體系分析時(shí)相同，設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，微分

54、方程的解可設(shè)為如下形式： 式中，Y1和Y2 是位移幅值，只與1、2點(diǎn)位置有關(guān)，Y1、Y2、為待定。136 由上式可以看出，在振動(dòng)過程中，兩個(gè)質(zhì)量具有相同的頻率及初相角。在任意時(shí)刻兩個(gè)質(zhì)量位移的比值保持不變，即1122( )( )y tYy tY 這種結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式稱為主振型或振型。質(zhì)量加速度為：211222( )sin()( )sin()y tYty tYt 13721 111 112222221 1222sin()sin()sin()0sin()sin()sin()0mYtk Ytk Ytm Ytk Ytk Yt于是就得到關(guān)于Y1、Y2的線性齊次方程組。將y(t)及 的

55、表達(dá)式代入運(yùn)動(dòng)方程，得到：( )y t21 111 112222221 122200mYk Yk Ym Yk Yk Y21111122221 12222()0()0kmYk Yk YkmY為使Y1、Y2取得非零解,必有系數(shù)行列式的值等于零。211112221222()0()kmkkkm頻率方程特征方程Y1=Y2=0，雖為方程的解，但是相應(yīng)于靜止?fàn)顟B(tài)。138展開：221112221221()()0kmkmk k22411221122211212210k kkmkmm mk k2 22112211 2212211212()()0kkk kk kmmmm上式兩邊同乘 得：121m m22112211

56、22112212211121212221122112211221221212121211()()2211()()22kkkkk kk kmmmmm mkkkkk kk kmmmmm m解上列關(guān)于的一元二次方程得:13922221111111211112222111211122()221()kkkkkkmmmmkkm 若m1=m2=m，k11=k22，則得到：可證明1和2都是正的?？芍?，具有兩個(gè)自由度的體系有兩個(gè)自振頻率。 1稱為第一圓頻率或基本圓頻率， 2稱為第二圓頻率， 且，12。14011122211111YkYkm 在Y11和Y21中，第一下標(biāo)與質(zhì)量m的下標(biāo)相同，第二下標(biāo)為振型數(shù)。第一主

57、振型（基本振型）3、主振型 (兩個(gè)方程是線性相關(guān)) 在方程 中，令 =1，同時(shí)把Y1和Y2分別記作Y11和Y21，則得到：21111122()0kmYk Y21111111221()0kmYk YY21m2m1Y11于是14112122221112YkYkm 同樣令=2，同時(shí)把Y1和Y2分別記作Y12和Y22，方程變?yōu)?，得到：21112121222()0kmYk Y第二主振型 下面是三個(gè)自由度體系(彎曲型和剪切型結(jié)構(gòu))的主振型動(dòng)畫。Y22m2m1Y12 Y11、Y21分別表示第一振型中質(zhì)點(diǎn)1、2的振幅。 Y12、Y22分別表示第二振型中質(zhì)點(diǎn)1、2的振幅。142第一主振型 （彎曲型）143第二

58、主振型 （彎曲型）144第三主振型 （彎曲型）145第一主振型 （剪切型）146第二主振型 （剪切型）147第三主振型 （剪切型）148 多自由度體系按某個(gè)主振型作自由振動(dòng)時(shí)，任一時(shí)刻質(zhì)量m1和m2的位移y1(t)和y2(t)的比值不變。此時(shí)，體系如同單自由度體系那樣振動(dòng)，因?yàn)橹恍枰粋€(gè)獨(dú)立的幾何參數(shù)就可以確定全部質(zhì)量在平面中的位置。 一般情況下，兩自由度體系的振動(dòng)是包含兩種頻率和兩種主振型的組合振動(dòng)。即方程的全解為：11 11112 122221 211122222( )sin()sin()( )sin()sin()y tAYtAYty tAYtAYt149小 結(jié) （1）對(duì)于多自由度體系，主要

59、是確定體系的全部自振頻率及相應(yīng)的主振型。多自由度體系的自振頻率和主振型的數(shù)目等于體系的動(dòng)力自由度數(shù)。 （2）主振型就是多自由度體系如同單自由度體系那樣振動(dòng)時(shí)所具有的特定的振動(dòng)型式。 （3）自振頻率和主振型是多自由度體系的固有特性，只與結(jié)構(gòu)型式、各桿剛度及質(zhì)量分布有關(guān)。 （4）多自由度體系能按某主振型自由振動(dòng)的條件是：初始位移和初始速度應(yīng)當(dāng)與此主振型相對(duì)應(yīng)。150例10-5-2 圖所示兩層剛架，其橫梁為無(wú)限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，第一、二層的質(zhì)量分別為m1、m2。層間側(cè)移剛度分別為k1、k2。試求剛架水平振動(dòng)時(shí)的自振頻率和主振型。 k1k2m1m2(a)k11=k1+k2k21=-k21(b)

60、k22=k21k12=-k2解：由圖a、b求結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)222212212111kkkkkkkk151將剛度系數(shù)代入特征方程得：0)(222221221kmkmkk(a)分兩種情況討論：(1) 當(dāng)m1=m2=m，k1=k2=k時(shí)，式(a) 變?yōu)椋?0)(2(222kmkmk由此,可求得兩個(gè)自振頻率1和2mk61803. 01mkmk38197. 025321mk61803. 12mkmk61803. 225322152618. 1138197. 022111kkkYY第一主振型：618. 0161803. 222212kkkYY第二主振型：(a)Y11=1Y21=1.618第一主振型(b)Y