第二十四講第六節(jié)線性分組碼

1、14.6 4.6 線性分組碼線性分組碼由信道編碼定理可知，由信道編碼定理可知，(2, )nRRCn 當當時時存存在在一一列列碼碼使使最最大大誤誤差差概概率率滿滿足足( )lim0nn 該定理解決了好碼的存在性問題，本節(jié)介紹滿足該定理解決了好碼的存在性問題，本節(jié)介紹滿足RC的好碼的好碼的構(gòu)造性問題，主要介紹線性分組碼的構(gòu)造性問題，主要介紹線性分組碼.分組碼是前向糾錯碼，它可以在無需重新發(fā)送的情況下檢測分組碼是前向糾錯碼，它可以在無需重新發(fā)送的情況下檢測出有限個錯碼，并加以糾正出有限個錯碼，并加以糾正. 本節(jié)用最簡單的二元域為例來說明線性分組碼的思想。本節(jié)用最簡單的二元域為例來說明線性分組碼的思想

2、。2設(shè)傳輸一比特字符x=0或1 若傳輸過程中出現(xiàn)差錯,不能被發(fā)現(xiàn)引例引例01013引例引例 0后附加字符0，1后附加1；即只有00和11被接受，且00視為0，11視為1； 故： 如果有一位錯誤發(fā)生，可以被檢出！4 如果通信過程中發(fā)現(xiàn)差錯，如果通信過程中發(fā)現(xiàn)差錯，可以通過要求對方重新發(fā)送來獲得正確的信息，即所謂的“數(shù)量換質(zhì)量”. 但是這在實時信息采集系統(tǒng)中可能是有困難的，因為信息源已經(jīng)發(fā)生變化；即使是在發(fā)方保留原信息樣本的情況下，也只有在差錯率很低的條件下是比較可行的. 因為如果通信條件比較惡劣，差錯出現(xiàn)頻繁，以至多次重發(fā)仍然得不到一份正確的信息. 這時，僅有“檢錯”手段，已無能為力！引例引例5

3、引例引例0后附加字符00，1后附加11；即傳輸000相當于傳送單字符0，111相當于傳送單字符1；這時：發(fā)生不超過兩位的錯誤均可被檢出；發(fā)生一位錯誤可以被糾正.6引例引例0后附加字符00，1后附加11；即傳輸000相當于傳送單字符0，111相當于傳送單字符1；這時：發(fā)生不超過兩位的錯誤均可被檢出；發(fā)生一位錯誤可以被糾正.糾錯碼糾錯碼信息位信息位校驗位校驗位7線性分組碼的基本概念線性分組碼的基本概念 分組碼分組碼分組碼分組碼是把信源輸出的信息序列，以k個信息位分為一段，通過編碼器把這段信息位按一定規(guī)則f 產(chǎn)生r個校驗位，輸出長為n=k+r的一個碼字，所得碼字的全體.稱之為（n， k ）分組）分組

4、碼碼 ！ n表示碼長， k表示表示信息位個數(shù). 8引例引例0后附加字符00，1后附加11；即傳輸000相當于傳送單字符0，111相當于傳送單字符1；這時：發(fā)生不超過兩位的錯誤均可被檢出；發(fā)生一位錯誤可以被糾正.(3,1)分組碼分組碼信息位信息位校驗位校驗位9（n， k ）分組碼分組碼若校驗位與信息位之間的關(guān)系是線性的，即上述編碼規(guī)則是線性的，稱之為（n， k ）線性分組碼?。┚€性分組碼！ 10一、二元域一、二元域GF(2)設(shè)設(shè)0,1為一個二元集，在其上定義模為一個二元集，在其上定義模2的加法和乘法運算的加法和乘法運算加法：加法：00110 mod2 01101 mod2乘法：乘法：0 00 1

5、1 00 1 11 可見二元集可見二元集0,1對上述定義的加法及乘法運算封閉，并滿對上述定義的加法及乘法運算封閉，并滿足一個足一個“域域”所要求的交換律、結(jié)合律、分配律等運算規(guī)則，所要求的交換律、結(jié)合律、分配律等運算規(guī)則，因此因此0,1對所規(guī)定的加法和乘法運算構(gòu)成一個域，稱為二元域，對所規(guī)定的加法和乘法運算構(gòu)成一個域，稱為二元域，記作記作GF(2).11注注 (2)(2)nGFGFn用用表表示示中中元元素素組組成成的的 長長序序列列集集，其其加加法法和和乘乘法法運運算算如如下下：1122(,)nnnnxyxyxyxy 12(,)nna xa x a xa x 1212(,),(,),(2)nn

6、nniixx xxyyyyxy aGF 其其中中(2)(2)(2)nnGFGFnGF易易見見對對所所規(guī)規(guī)定定的的加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘運運算算構(gòu)構(gòu)成成了了上上的的一一個個 維維向向量量空空間間，通通常常仍仍記記為為. .12定定義義4.6.14.6.1:knffUXUX映映射射稱稱為為一一個個線線性性編編碼碼，如如果果 是是一一個個, ,(2),kkkuva bGFf U U線線性性映映射射，即即對對任任意意滿滿足足()()()kkkkf a ub va f ub f vff如如果果 是是一一一一映映射射，則則稱稱 為為唯唯一一可可譯譯線線性性編編碼碼，其其碼碼字字集集全全體體記記為為12,2n

7、nnkMCxxxM 其其中中，1logRMn 碼碼率率1log2kknn稱碼為稱碼為(n, k)碼碼.二、線性分組碼的定義及表示二、線性分組碼的定義及表示(2)GF U UX X133:(2)(2)f GFGF01011010信息位碼字若設(shè)碼字若設(shè)碼字 ，則3012()xx x x1020 xxxx即校驗位是由信息位線性組合得到即校驗位是由信息位線性組合得到.0000000010 1011101 10 110111110信息位碼字251:(2)(2)fGFGF14可見，碼字的三個校驗元都由其前兩位線性組合得到，即可由線性方程組求得； 201304010001011110100000010110

8、101111xxxxxxxx信息位碼字信息位k=2碼字數(shù)M=4151 (01101)1 (10111)11010 (1 (01)1 (10)1 (01101)1 (10111)f 線性編碼線性編碼(11)11010f1 (01)1 (10)11 16例題例題1：下面是某個下面是某個（n，k）線性二元碼的全部碼字線性二元碼的全部碼字x16=000000 x26=100011 x36=010101 x46=001111x56=110110 x66=101100 x76=011010 x86=111001求求n、k的值；的值；n=6;M=2k k=3.解：:knf映映射射稱稱為為一一個個線線性性編編

9、碼碼U UX X17 例2、（5，2）線性二元碼的全部碼字 設(shè)碼字 ， 可得 5555123400000011011011111010 xxxx 0000000010110110101111111010信息位碼字501234(,)xx x xx x20130401xxxxxxxx18 改寫為 用矩陣可表示成： 校驗校驗矩陣矩陣 與任一碼字與任一碼字的乘積為的乘積為0 012340123401234111000100100110010 xxxxxxxxxxxxxxx 0123401 1 10001001001 100100 xxxxx 194線性分組碼的特性線性分組碼的特性 2k個碼字完全可由其

10、中一組k 個獨立的碼字組合而成； 4生成矩陣生成矩陣從線性分組碼（n，k）中任取 k 個線性無關(guān)的碼字，以行的形式寫成矩陣G，則稱為該線性分組碼的線性分組碼的生成生成矩陣矩陣. . 20例題例題3：下面是一個（下面是一個（6，3）線性二元碼的全部碼字）線性二元碼的全部碼字構(gòu)造它的一個生成矩陣構(gòu)造它的一個生成矩陣.10001 1010101001 1 1 1G解解：由：由k=3 個線性獨立的碼字組成：個線性獨立的碼字組成：21例題例題3：下面是一個（下面是一個（6，3）線性二元碼的全部碼字）線性二元碼的全部碼字驗證：驗證：63310001 1010101001 1 1 1xuGu22說明說明11

11、1212122212nnkkknggggggGggg 使使得得編編碼碼運運算算可可表表為為矩矩陣陣運運算算()nkkxf uu G 1212(,),(,),nknkxxxxuu uu 其其中中1, 1,2,kjiijixu gjn jx每每個個可可寫寫作作.G稱稱 為為線線性性碼碼的的生生成成矩矩陣陣23( )fr GkGk 為為唯唯一一可可譯譯線線性性編編碼碼的的充充要要條條件件是是，即即 的的 個個行行向向量量線線性性無無關(guān)關(guān). .(2)nfGFkGkC CC C這這時時 編編出出的的線線性性碼碼 為為中中這這 個個行行向向量量所所張張成成的的線線性性子子空空間間，因因而而稱稱 為為 的的

12、生生成成矩矩陣陣， 個個行行向向量量構(gòu)構(gòu)成成該該子子空空間間的的一一組組基基. . 一個線性子空間可以有不同的但相互等價的基，亦即不同的一個線性子空間可以有不同的但相互等價的基，亦即不同的G可以產(chǎn)生相同的線性碼，所以一個線性碼的生成矩陣不唯一。可以產(chǎn)生相同的線性碼，所以一個線性碼的生成矩陣不唯一。24011110000001000101001G例例4 4 矩陣矩陣37fU UX X表表示示從從的的一一個個線線性性編編碼碼 . .()3r Gf ，故故 為為唯唯一一可可譯譯線線性性編編碼碼. .3fGC C編編出出的的碼碼 即即為為 的的行行向向量量張張成成的的 維維線線性性子子空空間間. .C

13、 C若若將將 中中每每個個碼碼字字寫寫成成一一個個二二元元數(shù)數(shù)字字串串，則則0000000, 0101001, 0000100, 0101101, 0111100, 0010101, 0010001 C C為一個為一個(7, 3) 碼碼. .25 系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼 若若（n , k）線性分組碼的生成矩陣形如線性分組碼的生成矩陣形如 G=(Ik A)其中其中Ik是是k階單位陣，階單位陣，A為為 階子陣，階子陣，則稱這類碼為系統(tǒng)碼則稱這類碼為系統(tǒng)碼. .()knk特點：校驗矩陣為特點：校驗矩陣為H=( AT I(n-k) ) . .三、系統(tǒng)編碼與校驗矩陣三、系統(tǒng)編碼與校驗矩陣26例題例題3：下面是一個

14、（下面是一個（6，3）線性二元碼的全部碼字）線性二元碼的全部碼字它的一個生成矩陣它的一個生成矩陣請寫出它的校驗矩陣請寫出它的校驗矩陣H.1000100001 11011 1 11G27011101111000100011H1000100001 11011 1 11G28定定義義4.6.24.6.2,()kkGGIAI 如如果果 可可表表為為分分塊塊矩矩陣陣形形式式，其其中中為為()kAknk階階單單位位陣陣， 為為階階子子矩矩陣陣，即即,1,2,kkkiiuxu Gkxu ik 則則的的碼碼字字中中前前 個個分分量量，1,11,2,12,1,100010()001knknkk kk ngggg

15、GIAgg 稱稱這這類類碼碼為為系系統(tǒng)統(tǒng)碼碼. .注：系統(tǒng)碼的碼字的前注：系統(tǒng)碼的碼字的前k個碼元就是它所載荷的數(shù)字消息，個碼元就是它所載荷的數(shù)字消息，故系統(tǒng)碼的前故系統(tǒng)碼的前k為稱為信息位，后為稱為信息位，后n-k位稱為校驗位位稱為校驗位.29校驗矩陣校驗矩陣()Tn kHAI Tn kInkAGA 其其中中為為階階單單位位陣陣，為為生生成成矩矩陣陣 中中的的子子矩矩陣陣 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置. .1,12,1,11,22,2,21,2,100010()001kkk kkkk kTn knnk nggggggHAIggg 即即結(jié)論：結(jié)論：CG是是由由生生成成矩矩陣陣 產(chǎn)產(chǎn)生生的的線線性性碼碼的的碼碼

16、字字的的充充要要條條件件是是0TCH 30 漢明距離漢明距離： 指（指（n,k）分組碼中兩個碼字）分組碼中兩個碼字xn 、 yn對應位取對應位取值不同的個數(shù)；記為值不同的個數(shù)；記為d（xn ，yn）. 例：例： 55(10101),(01111)xy31 漢明距離漢明距離： 指（指（n,k）分組碼中兩個碼字）分組碼中兩個碼字xn 、 yn對應位取對應位取值不同的個數(shù)；記為值不同的個數(shù)；記為d（xn ， yn）. 例：例： 55(1 1),(010011 1)1xy55()3d xy,32 線性分組碼的最小距離線性分組碼的最小距離： 稱（稱（n,k）分組碼中任兩個碼字漢明距離的最）分組碼中任兩個

17、碼字漢明距離的最小值，為該分組碼的最小距離小值，為該分組碼的最小距離d. （5,2）線性分組碼全部碼字：）線性分組碼全部碼字： 最小距離最小距離d=3. 5555123400000011011011111010 xxxx漢明重量漢明重量33漢明(Hamming)碼漢明碼是一類能糾正一位差錯漢明碼是一類能糾正一位差錯的線性分組碼，其參數(shù)為：的線性分組碼，其參數(shù)為：碼長：碼長： 21,3mnm 信息位長：信息位長： 21mkm 校驗位長：校驗位長： rnkm 最小碼距：最小碼距： 3d 漢明碼漢明碼 H 矩陣的構(gòu)造方式：矩陣的構(gòu)造方式：按按 m 位的位的 2 進制數(shù)的自然順序從左到進制數(shù)的自然順序

18、從左到右排列右排列( (不包括全不包括全 0 列列) )，當發(fā)生可糾，當發(fā)生可糾的單個差錯時，伴隨式為的單個差錯時，伴隨式為 H 矩陣中對矩陣中對應的列，譯碼比較方便應的列，譯碼比較方便將上述非標準形式的將上述非標準形式的 H 矩陣通過列初矩陣通過列初等置換變成標準形式的校驗矩陣，糾等置換變成標準形式的校驗矩陣，糾錯能力保持不變錯能力保持不變例：構(gòu)造一個：構(gòu)造一個 的的 2 元漢明碼元漢明碼3m 由于由于 故構(gòu)造的漢明碼為故構(gòu)造的漢明碼為 線性分組碼線性分組碼33217,2314nk (7,4)1 1 0 1 1 0 01 1 1 0 0 1 01 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1

19、1 10 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 1 H172645cccccc1 0 0 0 1 1 10 1 0 0 1 1 00 0 1 0 0 1 10 0 0 1 1 0 1 G漢明碼的編碼效率是很高的，漢明碼的編碼效率是很高的， 1m 34設(shè)一分組碼具有一致校驗矩陣：求這個分組碼n=？k=？，共有多少個碼字？此分組碼的生成矩陣；向量101010是否是碼字？10010101001 1001 1 1 1H習題課（補充）35解：設(shè)碼字C=(c5c4c3c2c1c0)，有習題課0TTH C5204103210000cccccccccc故得所以n=6，k=3，為(6,3)分組碼共有碼字

20、2k=8個36設(shè)一分組碼具有一致校驗矩陣：求這個分組碼n=？k=？，共有多少個碼字？此分組碼的生成矩陣；向量101010是否是碼字？10010101001 1001 1 1 1H習題課（補充）37習題課由上式可得5204103210cccccccccc取一組線性無關(guān)的基礎(chǔ)解系，得到生成矩陣101100011010111001G38設(shè)一分組碼具有一致校驗矩陣：求這個分組碼n=？k=？，共有多少個碼字？此分組碼的生成矩陣；向量101010是否是碼字？10010101001 1001 1 1 1H習題課（補充）39習題課由1100100101101101001 11000001 1 1 100110

21、0 H可知，向量101010不是碼字40:knfU UX X線線性性編編碼碼實實際際上上是是從從說明說明(2)(2)knGFGF線線性性空空間間的的線線性性變變換換，(2)GFkn因因而而它它可可唯唯一一地地表表示示成成上上的的一一個個 行行、 列列的的矩矩陣陣111212122212nnkkknggggggGggg 使使得得編編碼碼運運算算可可表表為為矩矩陣陣運運算算()nkkxf uu G 1212(,),(,),nknkxxxxuu uu 其其中中1, 1,2,kjiijixu gjn jx每每個個可可寫寫作作.G稱稱 為為線線性性碼碼的的生生成成矩矩陣陣41( )fr GkGk 為為唯

22、唯一一可可譯譯線線性性編編碼碼的的充充要要條條件件是是，即即 的的 個個行行向向量量線線性性無無關(guān)關(guān). .(2)nfGFkGkC CC C這這時時 編編出出的的線線性性碼碼 為為中中這這 個個行行向向量量所所張張成成的的線線性性子子空空間間，因因而而稱稱 為為 的的生生成成矩矩陣陣， 個個行行向向量量構(gòu)構(gòu)成成該該子子空空間間的的一一組組基基. . 一個線性子空間可以有不同的但相互等價的基，亦即不同的一個線性子空間可以有不同的但相互等價的基，亦即不同的G可以產(chǎn)生相同的線性碼，所以一個線性碼的生成矩陣不唯一?？梢援a(chǎn)生相同的線性碼，所以一個線性碼的生成矩陣不唯一。42例例2 2 設(shè)碼設(shè)碼的生成矩陣的

23、生成矩陣為為(1,1,0,1,1)G00000, 11011 C C則則共有兩個碼字，為一個共有兩個碼字，為一個(5, 1) 碼碼.43系統(tǒng)碼121 0 1 0 1 11 0 0 1 1 01 1 0 1 0 10 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 00 0 1 1 0 1 GG消息 G1 碼字G2 碼字000000 000000 000001111 000001 101010110 101010 011011001 101011 110100101 011100 110101010 011101 011110011 110110 101 111100 110111 000生成矩陣生成矩

24、陣 G 的選擇不是惟一的；如下面的的選擇不是惟一的；如下面的G1 和和 G2 都可作為同一個都可作為同一個 (6, 3) 碼的生成矩碼的生成矩陣，所對應的碼字如右表所示：陣，所對應的碼字如右表所示：系統(tǒng)碼的編碼器僅需存儲系統(tǒng)碼的編碼器僅需存儲 k (n k) 個數(shù)字個數(shù)字( (非系統(tǒng)碼要存儲非系統(tǒng)碼要存儲 k n 個個數(shù)字數(shù)字) )，譯碼時僅需對前，譯碼時僅需對前 k 個信息位糾錯即可恢復信息；可見系統(tǒng)個信息位糾錯即可恢復信息；可見系統(tǒng)碼的編碼和譯碼比較簡單，而性能與非系統(tǒng)碼一樣，所以系統(tǒng)碼得碼的編碼和譯碼比較簡單，而性能與非系統(tǒng)碼一樣，所以系統(tǒng)碼得到了十分廣泛的應用到了十分廣泛的應用雖然二者

25、用了不同形式的生成矩陣，卻都是雖然二者用了不同形式的生成矩陣，卻都是 (6, 3) 線性分組碼，因此它們的檢錯和糾錯線性分組碼，因此它們的檢錯和糾錯能力是一樣的，但是能力是一樣的，但是 G2 生成的碼，其前生成的碼，其前 k 位與消息碼完全相同，這種碼稱為位與消息碼完全相同，這種碼稱為系統(tǒng)碼，其生成矩陣和一致校驗矩陣分別記為其生成矩陣和一致校驗矩陣分別記為 Gs , Hs44線性分組碼的生成矩陣和校驗矩陣的關(guān)系1,2,Tir nik c H0由于由于 G 的每一行都是一個碼字，所以的每一行都是一個碼字，所以 G 的每一行的每一行 c i 都滿足：都滿足：從而有：從而有： Tk nr nk r

26、GH0在碼字集合不變的前提下，給定任何一個線性分組碼，通過在碼字集合不變的前提下，給定任何一個線性分組碼，通過其生成矩陣其生成矩陣 G 實施實施行初等變換，均可以轉(zhuǎn)換為某個系統(tǒng)碼，均可以轉(zhuǎn)換為某個系統(tǒng)碼1 0 1 1 00 1 0 1 11 1 0 1 0 G3231 0 1 1 00 1 0 1 11 0 0 0 1rrr 1310 0 1 1 10 1 0 1 11 0 0 0 1rrr 0 1 1 1 01 1 1 0 1s H131 0 0 0 10 1 0 1 10 0 1 1 1srrG當且僅當線性分組碼一致校驗矩陣當且僅當線性分組碼一致校驗矩陣 H 中任意中任意 d 1 個列線性

27、無個列線性無關(guān)而某關(guān)而某 d 列線性相關(guān)時，線性分組碼的最小碼距為列線性相關(guān)時，線性分組碼的最小碼距為 dmin d45漢明(Hamming)碼漢明碼是一類能糾正一位差錯漢明碼是一類能糾正一位差錯的線性分組碼，其參數(shù)為：的線性分組碼，其參數(shù)為：碼長：碼長： 21,3mnm 信息位長：信息位長： 21mkm 校驗位長：校驗位長： rnkm 最小碼距：最小碼距： 3d 漢明碼漢明碼 H 矩陣的構(gòu)造方式：矩陣的構(gòu)造方式：按按 m 位的位的 2 進制數(shù)的自然順序從左到進制數(shù)的自然順序從左到右排列右排列( (不包括全不包括全 0 列列) )，當發(fā)生可糾，當發(fā)生可糾的單個差錯時，伴隨式為的單個差錯時，伴隨

28、式為 H 矩陣中對矩陣中對應的列，譯碼比較方便應的列，譯碼比較方便將上述非標準形式的將上述非標準形式的 H 矩陣通過列初矩陣通過列初等置換變成標準形式的校驗矩陣，糾等置換變成標準形式的校驗矩陣，糾錯能力保持不變錯能力保持不變例：構(gòu)造一個：構(gòu)造一個 的的 2 元漢明碼元漢明碼3m 由于由于 故構(gòu)造的漢明碼為故構(gòu)造的漢明碼為 線性分組碼線性分組碼33217,2314nk (7,4)1 1 0 1 1 0 01 1 1 0 0 1 01 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 1 H172645cccccc1 0 0 0 1 1 10 1

29、0 0 1 1 00 0 1 0 0 1 10 0 0 1 1 0 1 G漢明碼的編碼效率是很高的，漢明碼的編碼效率是很高的， 1m 46線性分組碼的描述設(shè)信息分組長度為設(shè)信息分組長度為 ，在每一信息組后加上，在每一信息組后加上 4 個校驗碼元，個校驗碼元，構(gòu)成構(gòu)成 線性分組碼線性分組碼123,kkm m m m(7,3)設(shè)該碼的碼字為設(shè)該碼的碼字為 ，其，其中中 為信息碼元，為信息碼元， 為校驗為校驗碼元，碼元， ；信息碼元和校驗碼元可按；信息碼元和校驗碼元可按下面方程組計算：下面方程組計算：1234567c c c c c c c c123,ccc4567,cccc0,1ic 112233

30、4135123612723cmcmcmcmmcmmmcmmcmm 消息碼字消息碼字000000 0000100100 1110001001 1101101101 0011010101 0111110110 1001011011 1010111111 0100利用上式每給出一個利用上式每給出一個 4 位的信息組，就可編出位的信息組，就可編出一個碼字，結(jié)果如表所示一個碼字，結(jié)果如表所示 模模 2 加加476.2.1線性分組碼的描述 分組碼的編碼包括兩個基本步驟分組碼的編碼包括兩個基本步驟首先將信源的輸出序列分為首先將信源的輸出序列分為 k 位一組的信息組位一組的信息組然后信道編碼器根據(jù)一定的編碼規(guī)

31、則將然后信道編碼器根據(jù)一定的編碼規(guī)則將 k 位信息組變換成位信息組變換成n 個碼元的碼字個碼元的碼字信息組和碼字用矩陣表示如下：信息組和碼字用矩陣表示如下：信息組：信息組： k 位信息位信息 12kmmm m碼字：碼字： n 個碼元個碼元 1212kkkncccccc ck 位信息位位信息位r n k 位校驗位位校驗位通常對編碼器附加一個線性約束條件，使得碼字的校驗位與信通常對編碼器附加一個線性約束條件，使得碼字的校驗位與信息位之間呈線性關(guān)系，這種碼稱為息位之間呈線性關(guān)系，這種碼稱為 (n, k ) 線性分組碼采用線性分組碼進行信道編碼，就是給已知信息組按預定規(guī)則采用線性分組碼進行信道編碼，就是給已知信息組按預定規(guī)則添加校驗碼元以構(gòu)成碼字。在添加校驗碼元以構(gòu)成碼字。在 k 個信息元之后附加個信息元之后附加 r n k 個個校驗碼元，使每個校驗碼元是其中某些信息碼元的和校驗碼元，使每個