概率與數(shù)理統(tǒng)計第一章習(xí)題課

1、1 1 掌握隨機(jī)事件及樣本空間，事件之間的掌握隨機(jī)事件及樣本空間，事件之間的關(guān)系及其運(yùn)算關(guān)系及其運(yùn)算. .2 2 理解頻率與概率的概念，掌握概率的基理解頻率與概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)及其計算本性質(zhì)及其計算. .3 3 掌握古典概型，幾何概率定義掌握古典概型，幾何概率定義. .4 4 會用條件概率，乘法公式，全概率公式會用條件概率，乘法公式，全概率公式和貝葉斯公式和貝葉斯公式. .5 5 事件獨立性事件獨立性, ,貝努里概型貝努里概型. .教教 學(xué)學(xué) 要要 求求主要計算公式主要計算公式古典概率古典概率中中基基本本事事件件的的總總數(shù)數(shù)包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)SAAP )(求逆公式求逆

2、公式)(1)(APAP )()()()(ABPBPAPBAP 加法公式加法公式( ( 可以推廣可以推廣 ) )求差公式求差公式）（）（ABPAPBAP )( 條件概率條件概率0)( , )()()( APAPABPABP全概率公式全概率公式)()()(1iniiBPBAPAP 乘法公式乘法公式0)( , )()()( APAPABPABP0)( )()( BPBAPBP )()A()( )()( 112221112121APAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn 條件概率條件概率0)( , )()()( APAPABPABP)()()(BAPABPAP 若事件若事件 A1 , A2 , .

3、 , An 是相互獨立的，則是相互獨立的，則)(1)(2121nnAAAPAAAP )()()(121nAPAPAP 貝葉斯公式貝葉斯公式)()()()()(1jnjjiiiBPBAPBPBAPABP 全概率公式全概率公式)()()(1iniiBPBAPAP 例例1 1、某地發(fā)行某地發(fā)行A，B，C三種報紙，已知在市民中訂閱三種報紙，已知在市民中訂閱A報的有報的有45%45%，訂閱，訂閱B報的有報的有35%35%，訂閱，訂閱C報的有報的有30%30%，同時訂閱，同時訂閱A及及B報的有報的有10%10%，同時訂閱，同時訂閱A A及及C C報的有報的有8%8%，同時訂閱，同時訂閱B及及C報的有報的有

4、5%5%，同時訂閱，同時訂閱A，B，C報的有報的有3%3%。試求下列事件的概率：試求下列事件的概率：1 1 只訂只訂A報；報；2 2 只訂只訂A及及B報；報；3 3 至少訂一種報紙；至少訂一種報紙；4 4 不訂任何報紙；不訂任何報紙；5 5 恰好訂兩種報紙；恰好訂兩種報紙；7 7 至多訂一種報紙。至多訂一種報紙。6 6 恰好訂一種報紙；恰好訂一種報紙；解：解：設(shè)訂閱設(shè)訂閱 A 報的為報的為“A”事件，事件， 訂閱訂閱B B報的為報的為“ “ B ”B ”事件，訂閱事件，訂閱 C 報的為報的為“ “ C ” ”事件事件)()()()(ABCPACPABPAP 1 1、只訂、只訂A報；報； =0.

5、45-0.1-0.08+0.03=0.3)()( )()(ABCPABPABCABPCABP 2 2、只訂、只訂A及及B報；報；=0.1-0.03=0.07由已知由已知 P( (A)=0.45)=0.45， P( (B)=0.35, )=0.35, P( (C)=0.3)=0.3, , P( (AB)=0.1, )=0.1, P( (AC)=0.08, )=0.08, P( (BC)=0.05, )=0.05, P( (ABC)=0.03,)=0.03,) (CBAP)(CABP )()()()(CPBPAPCBAP=0.45+0.35+0.3-0.1-0.08-0.05+0.03=0.9)(

6、)()()(ABCPBCPACPABP )(1)() (CBAPCBAPCBAP =1- 0.9=0.13 3、至少訂一種報紙；、至少訂一種報紙；)(CBAP4 4、不訂任何報紙；、不訂任何報紙；) (CBAP5 5、恰好訂兩種報紙；、恰好訂兩種報紙；)(BCACBACABP )()()()()()()()()(ABCPBCPABCPACPABCPABPBCAPCBAPCABP =0.1+0.08+0.05-0.03-0.03-0.03=0.14)()( ) (1ABCPBCACBACABPCBAP =1- 0.1- 0.14- 0.03=0.7383.073.01 .0 6 6、恰好訂一種報

7、紙；、恰好訂一種報紙；) (CBACBACBAP 7 7、至多訂一種報紙。、至多訂一種報紙。) (CBACBACBACBAP ) (CBACBACBACBAP 從從5 5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4 4只，問這只，問這4 4只鞋子中至只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？少有兩只配成一雙的概率是多少？例例2 2、法法1 1：)(1) (APAP 78910468101 2113 法法2 2：)(1) (APAP 41012121212451CCCCCC 2113 法法3 3：) (AP410252815CCCC 2113 ， 求求) ()(BAPABP pAP )().(BP例例3

8、 3、已知、已知A，B兩個事件滿足兩個事件滿足，且，且)()()(-1 ) (-1) () (ABPBPAPBAPBAPBAP )() (ABPBAP 又又由由解：解：)()()(-1)(ABPBPAPABP 得得pAPBP-1)(-1)( 例例4 4：對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為時，產(chǎn)品的合格率為0.9，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時，其合格率為其合格率為0.3，每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好，每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為的概率為0.75，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求已知某日早

9、上第一件產(chǎn)品是合格品時，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？時，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？設(shè)設(shè) A ： “ “ 產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格 ” ” ，解解B ： “ 機(jī)器調(diào)整良好機(jī)器調(diào)整良好 ” P (A B) =0.9,P (A B)=0.3,P (B) =0.75,P (B) =0.25由貝葉斯公式由貝葉斯公式)(ABP25.03.075.09.075.09.0 9.0 后驗概率后驗概率)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 先驗概率先驗概率B ，B 是是樣本空間樣本空間 S 的一個的一個劃分劃分例例5 5、根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具

10、有如下的效果：如下的效果： 事件事件A: “: “試驗反應(yīng)為陽性試驗反應(yīng)為陽性”事件事件B: “: “被診斷者患有癌癥被診斷者患有癌癥”先驗概率先驗概率)(ABPP (B) =0.005求：求：后驗概率后驗概率解解)(ABP995.005.0005.095.0005.095.0 087.0 )()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 由由P (A B) = 0. 9505. 095. 01)(1)( BAPBAPP (A B) = 0. 95B ，B 是樣本空間是樣本空間 S 的一個劃分的一個劃分說明：一定注意區(qū)分說明：一定注意區(qū)分P (A B) 和和)(ABP例例6 6、 524

11、950492020)(250149 AAAPA: :解：解：法法1 1：法法2 2：)()()(ABPBAPAP 524920503049195020 假如一個比賽中贏假如一個比賽中贏 6 6 次才算贏，兩人在甲贏次才算贏，兩人在甲贏 5 5 次，次，乙贏乙贏 2 2 次的情況下中斷比賽，獎金應(yīng)按什么比例次的情況下中斷比賽，獎金應(yīng)按什么比例分配（設(shè)每次比賽相互獨立）？分配（設(shè)每次比賽相互獨立）？（1 1）假設(shè)兩個人的技術(shù)水平相同；）假設(shè)兩個人的技術(shù)水平相同；（2 2）假設(shè)兩個人的技術(shù)水平不同。）假設(shè)兩個人的技術(shù)水平不同。例例7 7、解：解：設(shè)甲贏為設(shè)甲贏為“Ai (i=1,2,3,4)”事件，

12、事件，乙贏為乙贏為“Bi (i=1,2,3,4)”事件事件)()1(4321BBBBP161)21(4 獎金應(yīng)按獎金應(yīng)按 15:1 15:1 分配分配; ;)()2(4321BBBBP4)72( 24018 獎金應(yīng)按獎金應(yīng)按 2393:82393:8分配分配. . 課課 堂堂 練練 習(xí)習(xí)4 4、設(shè)事件、設(shè)事件 是是 的子事件的子事件, , P(B)0， 則下列選項必然成立的是則下列選項必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B)25 5、一批零件共、一批零件共100100個，次品率為個，次品率為1010%，每次從中取，每次從中取一個零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取一個

13、零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率到合格品的概率. . 5 5、一批零件共、一批零件共100100個，次品率為個，次品率為1010%，每次從中取，每次從中取一個零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取一個零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率到合格品的概率. . )(321AAAP解：解：設(shè)設(shè) Ai 表示表示“第第 i 次取到的是合格品次取到的是合格品”(i=1,2，3)， 所求概率為所求概率為)|()|()(213121AAAPAAPAP 0083. 0 如果取到一個合格品后就不再繼續(xù)取零件，求在三如果取到一個合格品后就不再繼續(xù)取零件，求在三次內(nèi)取得合格品

14、的概率次內(nèi)取得合格品的概率. .989099910010 6 6、市場上某種商品由三個廠家同時供應(yīng)、市場上某種商品由三個廠家同時供應(yīng), ,其供其供 應(yīng)量為應(yīng)量為: :甲廠家是乙廠家的甲廠家是乙廠家的2倍倍, , 乙和丙兩個廠家乙和丙兩個廠家 相等相等, , 且各廠產(chǎn)品的次品率為且各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%,(1) (1) 求市場上該種商品的次品率求市場上該種商品的次品率. .(2) (2) 若從市場上的商品中隨機(jī)抽取一若從市場上的商品中隨機(jī)抽取一 件件, ,發(fā)現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)是 次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率? ?（1 1）設(shè)設(shè)Ai i 表示取到第表示取到第 i 個工廠產(chǎn)

15、品，個工廠產(chǎn)品，i=1,2,3, =1,2,3, B表示取到次品表示取到次品, ,由題意由題意 得得: :P( (A1 1)=0.5,)=0.5,P( (A2 2)=)=P( (A3 3)=0.25, )=0.25, P( (B| |A1 1)=0.02,)=0.02,P( (B| |A2 2)=0.02,)=0.02,P( (B| |A3 3)=0.04)=0.04由全概率公式得由全概率公式得: :)|()()(31iiiABPAPBP =0.025： 4 . 0025. 001. 0)(1 BAP(2)由由貝葉斯公式貝葉斯公式得得: :7 7、某工人同時看管三臺機(jī)床，每單位時間、某工人同時

16、看管三臺機(jī)床，每單位時間( (如如30分鐘分鐘) )內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率：內(nèi)機(jī)床不需要看管的概率： 甲機(jī)床為甲機(jī)床為0.9，乙機(jī)床為，乙機(jī)床為0.8，丙機(jī)床為，丙機(jī)床為0.85。 若機(jī)床是自動且獨立地工作，求若機(jī)床是自動且獨立地工作，求（1 1）在）在30分鐘內(nèi)三臺機(jī)床都不需要看管的概率分鐘內(nèi)三臺機(jī)床都不需要看管的概率（2 2）在）在30分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī)分鐘內(nèi)甲、乙機(jī)床不需要看管，且丙機(jī) 床需要看管的概率床需要看管的概率 解：解：設(shè)設(shè)A1，A2，A3為甲、乙、丙三臺機(jī)床不需要為甲、乙、丙三臺機(jī)床不需要（1 1）P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) =0.9 0

17、.8 0.85 =0.612(2) (2) P(A1A2 A3)= P(A1) P(A2) P( A3) = 0.9 0.8 (1-0.85)=0.108依題意有依題意有 3A看管的事件，看管的事件，為丙機(jī)床需要看管的事件，為丙機(jī)床需要看管的事件，8 8、三個元件串聯(lián)的電路中、三個元件串聯(lián)的電路中, , 每個元件發(fā)生斷電的每個元件發(fā)生斷電的概率依次為概率依次為0.3, 0.4, 0.6, 0.3, 0.4, 0.6, 各元件是否斷電相互各元件是否斷電相互獨立獨立, , 求電路斷電的概率求電路斷電的概率. . 解解 設(shè)設(shè)A1, ,A2, ,A3分別表示第分別表示第1, ,2, ,3個元件斷電個元

18、件斷電, , A表示電路斷電表示電路斷電, ,則則A1, ,A2, ,A3相互獨立相互獨立, , A= = A1U UA2U UA3, ,P( (A)=)=P( (A1U UA2U UA3)=)=)(1321AAAPUU )()()(1321APAPAP =1-0.168=0.832=1-0.168=0.8329 9、 加工某一零件共需經(jīng)過三道工序加工某一零件共需經(jīng)過三道工序. .設(shè)第一、設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是二、三道工序的次品率分別是2%，3%，5%. .假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率是多少？件的次品率是多少？ ( (可用兩種方法解決可用兩種方法解決) )0.096931010、甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)射擊一次，命、甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別為中率分別為0.6和和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是甲擊中的概率為是甲擊中的概率為( )( )= =0.6/0.8=3/4或或)(1/)()(/ )()|(CPAPCPACPCAP 解解設(shè)設(shè)A=甲中甲中,B=乙中乙中,C=目標(biāo)被擊中目標(biāo)被擊中,所求所求 P( (A| |C) )= =P( (AC)/)/P( (C) )= =P( (A)/)/P( (A)+)+P( (B)-)-P( (A) )P( (B)討論討論: 甲、