結(jié)構(gòu)可靠性分析綜述

1、結(jié)構(gòu)可靠性理論與設(shè)計(jì)方法 學(xué)號： 姓名： 可靠性分析與設(shè)計(jì)方法1 方法概述自20 世紀(jì)20 年代起,國際上開始了結(jié)構(gòu)可靠性基本理論的研究，并逐步擴(kuò)展到建筑結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)領(lǐng)域。我國對結(jié)構(gòu)可靠度理論的研究始于20世紀(jì)50年代,在諸多專家、學(xué)者的努力下，自80 年代以來，在結(jié)構(gòu)可靠度方面的理論和應(yīng)用有了很大的進(jìn)展。常見分析方法如下。1.1 一次二階矩法一次二階矩法是近似計(jì)算可靠度指標(biāo)最簡單的方法，只需考慮隨機(jī)變量的前1階矩(均值)和二階矩(標(biāo)準(zhǔn)差)和功能函數(shù)泰勒級數(shù)展開式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，并以隨機(jī)變量相對獨(dú)立為前提，在笛卡爾空間內(nèi)建立求解可靠指標(biāo)的公式。因其計(jì)算簡便,大多情況下計(jì)算精度又能滿足工程要

2、求，已被工程界廣泛接受?；谝淮味A矩的分析方法主要有以下4 種：a. 中心點(diǎn)法：中心點(diǎn)法是結(jié)構(gòu)可靠度研究初期提出的1 種方法，其基本思想是首先將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量的平均值(中心點(diǎn))處進(jìn)行泰勒展開并保留至一次項(xiàng)，然后近似計(jì)算功能函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而求得可靠指標(biāo)。該法的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡便，不需進(jìn)行過多的數(shù)值計(jì)算，但也存在明顯的缺陷：1)不能考慮隨機(jī)變量的分布概型，只是直接取用隨機(jī)變量的前1階矩和二階矩；2)將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量均值處展開不合理，展開后的線性極限狀態(tài)平面可能較大程度地偏離原來的極限狀態(tài)曲面；3)可靠度指標(biāo)會因選擇不同的安全裕量方程而發(fā)生變化；4)當(dāng)基本變量不服從正

3、態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)分布時(shí)，計(jì)算結(jié)果常與實(shí)際偏差較大。故該法適用于基本變量服從正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)分布，且結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)= 12 的情況。b. 驗(yàn)算點(diǎn)法(JC)：很多學(xué)者針對中心點(diǎn)法的弱點(diǎn)，提出了相應(yīng)的改進(jìn)措施。驗(yàn)算點(diǎn)法，即Rackwitz 和Fiessler 提出的后經(jīng)Hasofer 和Lind 改進(jìn)被國際結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合委員會(JCSS)所推薦的JC法就是其中的1 種。作為中心點(diǎn)法的改進(jìn),主要有2 個(gè)特點(diǎn)：1)當(dāng)功能函數(shù)Z為非線性時(shí)，不以通過中心點(diǎn)的超切平面作為線性近似，而以通過Z = 0 上的某1點(diǎn)X* ( x*1 , x*2 ,. . . , x*n )的超切平面作為線性近似，以避免中心點(diǎn)法的誤差；2

4、)當(dāng)基本變量xi具有分布類型的信息時(shí)，將xi 的分布在( x*1 , x*2 ,. . . , x*n ) 處以與正態(tài)分布等價(jià)的條件變換為當(dāng)量正態(tài)分布，這樣可使所得的可靠指標(biāo)與失效概率Pf之間有1 個(gè)明確的對應(yīng)關(guān)系，從而在中合理地反映分布類型的影響。該法能夠考慮非正態(tài)的隨機(jī)變量，在計(jì)算工作量增加不多的條件下，可對可靠度指標(biāo)進(jìn)行精度較高的近似計(jì)算，求得滿足極限狀態(tài)方程的“驗(yàn)算點(diǎn)”設(shè)計(jì)值，便于根據(jù)規(guī)范給出的標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算分項(xiàng)系數(shù)，以利于設(shè)計(jì)人員采用慣用的多系數(shù)設(shè)計(jì)表達(dá)式。c. 映射變換法:對于結(jié)構(gòu)可靠度分析中的非正態(tài)隨機(jī)變量，JC法用當(dāng)量正態(tài)化的方法將非正態(tài)隨機(jī)變量“當(dāng)量”為正態(tài)隨機(jī)變量，從而應(yīng)用正態(tài)

5、隨機(jī)變量可靠度的計(jì)算方法來計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)。如采用數(shù)學(xué)變換的方法將非正態(tài)隨機(jī)變量變換為正態(tài)隨機(jī)變量，問題也同樣可以解決。從計(jì)算過程上與JC法比較,映射變換法少了JC法的當(dāng)量正態(tài)化過程，但多了映射變換的過程,因而二者計(jì)算量基本相當(dāng)；JC法采用當(dāng)量正態(tài)化的方法，概念上比較直觀，而映射變換法在數(shù)學(xué)上更嚴(yán)密一些，因而結(jié)構(gòu)可靠度分析方法的進(jìn)一步發(fā)展就轉(zhuǎn)化為采用映射變換法將非正態(tài)隨機(jī)變量正態(tài)化(如后面的二次二階矩法)。d. 實(shí)用分析法：該法是由趙國藩院士在取用Paloheimo和Hannus所提出的加權(quán)分位值方法中的某些概念后提出的。在該法中，當(dāng)量正態(tài)化的方法是把原來的非正態(tài)變量Xi按對應(yīng)與pi或1-p

6、i有相同分位值(xfi) 的條件下，用當(dāng)量正態(tài)變量Xi代替，并要求當(dāng)量正態(tài)變量的平均值xi與原來的非正態(tài)變量xi的平均值xi相等。與JC 法相比，該法計(jì)算簡單而精度相差不多。JC法、映射變換法、實(shí)用分析法等將非正態(tài)變量的正態(tài)化處理方法均來自于Rosenblatt變換，即Rosenblatt變換才是它們的一般形式。與早期傳統(tǒng)的矩陣分析法相比，雖有比較明顯的優(yōu)點(diǎn)，但在實(shí)用上還有諸多不便，如計(jì)算機(jī)計(jì)算需要較多的原始數(shù)據(jù)，需求解關(guān)于可靠指標(biāo)的方程以及迭代過程繁瑣等。該方法計(jì)算精度高、速度快。在實(shí)際工程中，隨機(jī)變量可能存在一定的相關(guān)性。對于含有相關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)構(gòu)可靠度問題，早期研究采用正交變換法。近年來

7、，一些研究將現(xiàn)有的可靠度計(jì)算方法推廣，直接在廣義空間內(nèi)建立求解可靠指標(biāo)的迭代公式，不需過多的準(zhǔn)備工作，應(yīng)用簡單。若將笛卡爾空間視為1種特例，則廣義隨機(jī)空間便不難理解了。由此，便出現(xiàn)了廣義隨機(jī)空間內(nèi)的可靠度分析方法，其分類與笛卡爾空間中的可靠度分析方法類似。1.2 二次二階矩法當(dāng)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)附近的非線性化程度較高時(shí)，一次二階矩法的計(jì)算精度就不能滿足一些特別重要結(jié)構(gòu)的要求了。國外早期的做法是將非線性功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處做二次展開，此法雖能解決問題，但因計(jì)算復(fù)雜而不便應(yīng)用。近年來,一些學(xué)者把數(shù)學(xué)逼近中的拉普拉斯?jié)u進(jìn)法用于可靠度研究中，取得了較好的效果。因該法用到了非線性功能函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)

8、，故應(yīng)歸屬于二次二階矩法。從公式的表達(dá)上可以看出，二次二階矩法的結(jié)果是在一次二階矩法結(jié)果的基礎(chǔ)上乘1個(gè)考慮功能函數(shù)二次非線性影響的系數(shù)，所以可以看作是對一次二階矩法結(jié)果的修正。需要強(qiáng)調(diào)的是，在廣義隨機(jī)空間中，對于隨機(jī)變量變換前后相關(guān)系數(shù)的取值依據(jù)的是變換前后的相關(guān)系數(shù)近似相等，這相當(dāng)于一次二階矩法隨機(jī)變量間的一次變換，對于二次二階矩法是否考慮隨機(jī)變量間的二次變換項(xiàng)，以及二次變換項(xiàng)如何考慮是需要進(jìn)一步研究的問題。1.3 二次四階矩法上述2種方法的精度能得以保證的1個(gè)基本前提是采用的隨機(jī)變量分布概型是正確的，且隨機(jī)變量的有關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)是準(zhǔn)確的，而隨機(jī)變量分布概型是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法經(jīng)過概率分布的擬合

9、優(yōu)度檢驗(yàn)后推斷確定的，統(tǒng)計(jì)參數(shù)是通過統(tǒng)計(jì)估計(jì)獲得的。分布概型及統(tǒng)計(jì)參數(shù)的準(zhǔn)確與否依賴于樣本的容量、統(tǒng)計(jì)推斷及參數(shù)估計(jì)的方法。二次四階矩法利用信息論中的最大熵原理構(gòu)造已知信息下的最佳概率分布，基本上避免了前2種方法因采用經(jīng)過人為加工處理過的基本資料而可能改變其對現(xiàn)實(shí)真實(shí)反映的問題，從這一點(diǎn)看二次四階矩法是優(yōu)秀的，但關(guān)于該法的研究還較少，仍處于發(fā)展階段。1.4 蒙特卡羅(Monte Carlo)法蒙特卡羅法是結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本方法之一，具有模擬的收斂速度與基本隨機(jī)向量的維數(shù)無關(guān)、極限狀態(tài)函數(shù)的復(fù)雜程度與模擬過程無關(guān)、無需將狀態(tài)函數(shù)線性化和隨機(jī)變量當(dāng)量正態(tài)化、能直接解決問題、數(shù)值模擬的誤差可由模擬

10、次數(shù)和精度較容易地加以確定的特點(diǎn)。但是，當(dāng)實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)破壞概率在10 - 3以下時(shí)，該法的模擬數(shù)目就會相當(dāng)大，進(jìn)而占用大量時(shí)間。該法既可用來分析確定性問題，也可用來分析不確定問題。由于具有相對精確的特點(diǎn)，除用于一些復(fù)雜情況的可靠度分析外，也常用于各種近似分析方法的計(jì)算結(jié)果校核。近年來，經(jīng)過科技人員的努力，各種結(jié)合蒙特卡羅法降低方差的技巧應(yīng)運(yùn)而生，如對偶變量法、分層采樣法、重要抽樣法等均盡可能地減少了模擬抽樣數(shù)，提高了計(jì)算效率，如圖解漸進(jìn)法和Monte Carlo 遞進(jìn)法。1.5 響應(yīng)面法大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移一般要用有限元法進(jìn)行分析，這時(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與結(jié)構(gòu)上作用荷載之間的關(guān)系不能再用1個(gè)顯式

11、表示。當(dāng)對結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行可靠度分析時(shí)，所建立的極限狀態(tài)方程也不再是1個(gè)顯式，從而造成了迭代求解可靠度的困難。響應(yīng)面法是近10年發(fā)展起來的處理此類問題的1 種有效方法，其基本思想是先假設(shè)1個(gè)包括一些未知參量的極限狀態(tài)變量與基本變量之間的解析表達(dá)式，然后用插值的方法來確定表達(dá)式中的未知參量。 由于響應(yīng)面法的精度是由表達(dá)式和插值點(diǎn)的位置確定的，所以這兩方面便成為響應(yīng)面法所要研究的主題。1.6 隨機(jī)有限元法(SFEM)有限元法(FEM)作為1種非常有效的數(shù)值方法，已廣泛用于工程領(lǐng)域，在結(jié)構(gòu)工程中也發(fā)揮著尤為重要的作用。從理論上講，確定性物理模型的有限元分析可達(dá)到任意要求的精度。但在實(shí)際工程中，由于

12、各類結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的物理特性、幾何參數(shù)等具有一定程度的不確定性。這種不確定性將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的不確定，對結(jié)構(gòu)的臨界性能和可靠性有較大影響，尤其是在隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，結(jié)構(gòu)參數(shù)的變異可能引起結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的大幅變化，甚至超過外激勵(lì)隨機(jī)性對動(dòng)響應(yīng)的影響。因此，20 多年來，人們廣泛關(guān)注確定性FEM推廣用于隨機(jī)力學(xué)問題的分析及FEM和結(jié)構(gòu)可靠性分析的結(jié)合。SFEM是20世紀(jì)80年代初發(fā)展起來的處理隨機(jī)現(xiàn)象的分析工具，它采用確定性分析與概率統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的方法，綜合考慮了各物理量的隨機(jī)性。該法先求出結(jié)構(gòu)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征量，從而進(jìn)行結(jié)構(gòu)的可靠性分析。與FEM比較，SFEM在物理建模上更符合客觀實(shí)際，也更合理，尤其

13、是當(dāng)有關(guān)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性可知時(shí)，SFEM可提供較精確的分析結(jié)果。但由于有限元法本身全離散的特性，使問題求解的未知數(shù)大大增加，因而無論是基于攝動(dòng)解或一次二階矩的隨機(jī)有限元，還是基于統(tǒng)計(jì)方法的隨機(jī)有限元，都不可避免地存在著計(jì)算量過大和精度不易控制的問題。鑒于此，SFEM和模糊FEM與反優(yōu)化模型的結(jié)合必將是今后的研究方向。1.7 發(fā)展趨勢對結(jié)構(gòu)可靠度分析方法的研究目前已呈現(xiàn)出從隨機(jī)模型向模糊模型、非隨機(jī)模型發(fā)展的趨勢，相對于比較成熟的隨機(jī)模型,后兩者的研究還很少。傳統(tǒng)的可靠度分析僅局限于正常使用階段且已達(dá)到了相對成熟的程度，近年來，許多研究人員已經(jīng)開始了針對結(jié)構(gòu)生命全過程的其他2個(gè)階段的可靠度分析方法

14、的研究，取得了一定的進(jìn)展。2 一次二階矩理論分析可靠性分析實(shí)際上就是利用基本變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律以及功能函數(shù)與基本變量的關(guān)系，來求解功能函數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。簡單地說，就是將基本變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律傳遞到功能函數(shù)，求得功能函數(shù)的概率密度函數(shù)，進(jìn)而由功能函數(shù)的概率密度函數(shù)解析地求得失效概率。功能函數(shù)是基本變量的函數(shù)，由概率論基本原理可知，當(dāng)功能函數(shù)為基本變量的線性函數(shù)且基本變量服從正態(tài)分布時(shí)，功能函數(shù)也服從正態(tài)分布，并且功能函數(shù)的分布參數(shù)可以由基本變量的一階矩和二階矩簡單推導(dǎo)求得?；谶@一原理，均值一次二階矩方法在基本變量的均值點(diǎn)處將非線性的功能函數(shù)用泰勒級數(shù)展開成線性表達(dá)式，以線性功能函數(shù)代替原非線性功能函數(shù)，

15、求解線性方程的可靠度指標(biāo)，從而得到原功能函數(shù)的近似失效概率。設(shè)功能函數(shù)為：并設(shè)上述功能函數(shù)中的基本隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即2.1 線性功能函數(shù)情況下可靠性分析當(dāng)功能函數(shù)是隨機(jī)變量 的線性函數(shù)，即其中為常數(shù)。則功能函數(shù)的均值和方差 可表示為下列兩式 其中是和的協(xié)方差，為和的相關(guān)系數(shù)。當(dāng)基本變量相互獨(dú)立時(shí)，方差簡化為下式依據(jù)正態(tài)變量線性組合后仍然服從正態(tài)分布，且正態(tài)分布的密度函數(shù)由均值和方差唯一確定的原理，可得到功能函數(shù)服從如下式所示正態(tài)分布的結(jié)論。將功能函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比值記為可靠度指標(biāo)，則有由此便可得到一次二階矩方法的可靠度和失效概率分別如下列兩式所示式中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù)。2.

16、2 非線性功能函數(shù)情況下可靠性分析當(dāng)功能函數(shù)為基本變量的非線性函數(shù)時(shí)，均值一次二階矩方法是將功能函數(shù)在基本變量的均值點(diǎn)處線性展開成泰勒級數(shù)，即其中表示功能函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在均值點(diǎn)處的函數(shù)值。然后由線性化功能函數(shù)，近似得到功能函數(shù)的均值和方差如下所示若各基本變量相互獨(dú)立，上式簡化為非線性功能函數(shù)情況下，可靠度指標(biāo)和失效概率如下所示2.3 改進(jìn)一次二階矩可靠性分析改進(jìn)一次二階矩法（Advanced First Order and Second Moment）是由Hasofer-Lind 提出的，又稱為AFOSM 法。從原理上來說，改進(jìn)一次二階矩法與均值一次二階矩法是類似的，它也是通過將非線性功能函數(shù)線

17、性展開，然后用線性功能函數(shù)的失效概率來近似原非線性功能函數(shù)的失效概率。與均值一次二階矩法的不同之處在于，改進(jìn)一次二階矩方法將功能函數(shù)線性化的點(diǎn)是失效域中的最可能失效點(diǎn)MPP（又稱設(shè)計(jì)點(diǎn)），而均值一次二階矩法線性化的點(diǎn)是基本變量的均值點(diǎn)。對于一個(gè)給定的非線性功能函數(shù)，其失效域中的最可能點(diǎn)是不能預(yù)先得知的，它需要通過迭代或者直接尋優(yōu)的過程來求得。設(shè)包含相互獨(dú)立正態(tài)基本隨機(jī)變量的功能函數(shù)為，該功能函數(shù)定義的失效域?yàn)?。?dāng)功能函數(shù)為線性時(shí)，改進(jìn)一次二階矩方法與均值一次二階矩法的分析結(jié)果是完全一致的，因此只討論功能函數(shù)為非線性的情況。設(shè)在失效域中的最可能失效點(diǎn)設(shè)計(jì)點(diǎn)為，則設(shè)計(jì)點(diǎn)一定在失效邊界上，將非線性的

18、功能函數(shù)在設(shè)計(jì)點(diǎn)處展開，取線性部分有：由于設(shè)計(jì)點(diǎn)在極限狀態(tài)方程定義的失效邊界上，所有，將帶入上式，便可得到原功能函數(shù)對應(yīng)的線性極限狀態(tài)方程如下整理上述方程后可得上述線性極限狀態(tài)方程的可靠度指標(biāo)和失效概率可以由下列兩式精確求解。3 算例機(jī)翼的九盒段結(jié)構(gòu)由64個(gè)桿元件和42個(gè)板元件構(gòu)成，材料為鋁合金。已知外載荷與各個(gè)單元的強(qiáng)度均為正態(tài)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。外載荷P 的均值和變異系數(shù)分別為和，第個(gè)單元強(qiáng)度的均值和變異系數(shù)分別為和。由失效模式的枚舉方法可求得結(jié)構(gòu)主要失效模式的極限狀態(tài)函數(shù)為：3.1 均值一次二階矩法由于各變量相互獨(dú)立，可以求得次線性功能函數(shù)的均值和方差分別為： 可靠性指標(biāo)為則有失效概率3.2 改進(jìn)一次二階矩法改進(jìn)一次二階矩法的具體迭代過程如表所示 4 總結(jié)一次二階矩方法由于其概念較