博弈論復習題與答案

1、WORD囚徒困境說明個人的理性選擇不一定是集體的理性選擇。（ ）子博弈精煉納什均衡不是一個納什均衡。（× ）若一個博弈出現了皆大歡喜的結局，說明該博弈是一個合作的正和博弈。（ ）博弈中知道越多的一方越有利。（ ×） 納什均衡一定是上策均衡。 （× ）上策均衡一定是納什均衡。 （）在一個博弈中只可能存在一個納什均衡。 （×）在一個博弈中博弈方可以有很多個。 （）在一個博弈中如果存在多個納什均衡則不存在上策均衡。 （ ）在博弈中納什均衡是博弈雙方能獲得的最好結果。 （× ）在博弈中如果某博弈方改變策略后得益增加則另一博弈方得益減少。 （×

2、 ）上策均衡是帕累托最優(yōu)的均衡。 （×）因為零和博弈中博弈方之間關系都是競爭性的、對立的，因此零和博弈就是非合作博弈。（×）在動態(tài)博弈中，因為后行動的博弈方可以先觀察對方行為后再選擇行為，因此總是有利的。（×）在博弈中存在著先動優(yōu)勢和后動優(yōu)勢，所以后行動的人不一定總有利，例如：在斯塔克伯格模型中，企業(yè)就可能具有先動優(yōu)勢。囚徒的困境博弈中兩個囚徒之所以會處于困境，無法得到較理想的結果，是因為兩囚徒都不在乎坐牢時間長短本身，只在乎不能比對方坐牢的時間更長。（×）納什均衡即任一博弈方單獨改變策略都只能得到更小利益的策略組合。（ ）不存在純戰(zhàn)略納什均衡和存在惟一

3、的純戰(zhàn)略納什均衡，作為原博弈構成的有限次重復博弈，共同特點是重復博弈本質上不過是原博弈的簡單重復，重復博弈的子博弈完美納什均衡就是每次重復采用原博弈的納什均衡。（ ）多個純戰(zhàn)略納什均衡博弈的有限次重復博弈子博弈完美納什均衡路徑：兩階段都采用原博弈同一個純戰(zhàn)略納什均衡，或者輪流采用不同純戰(zhàn)略納什均衡，或者兩次都采用混合戰(zhàn)略納什均衡，或者混合戰(zhàn)略和純戰(zhàn)略輪流采用。（ ）如果階段博弈G=A1, A2,An; u1, u2,un)具有多重Nash均衡，那么可能（但不必）存在重復博弈G(T)的子博弈完美均衡結局，其中對于任意的t<T，在t階段的結局并不是G的Nash均衡。（ ）（或：如果階段博弈G

4、=A1, A2,An; u1, u2,un)具有多重Nash均衡，那么該重復博弈G(T)的子博弈完美均衡結局，對于任意的t<T，在t階段的結局一定是G的Nash均衡。）零和博弈的無限次重復博弈中，所有階段都不可能發(fā)生合作，局中人會一直重復原博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡。（ ）（或：零和博弈的無限次重復博弈中，可能發(fā)生合作，局中人不一定會一直重復原博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡。（×）原博弈惟一的納什均衡本身是帕雷托效率意義上最佳戰(zhàn)略組合，符合各局中人最大利益：采用原博弈的純戰(zhàn)略納什均衡本身是各局中人能實現的最好結果，符合所有局中人的利益，因此，不管是重復有限次還是無限次，不會和一次性博弈有區(qū)

5、別。（ ）原博弈惟一的納什均衡本身是帕雷托效率意義上最佳戰(zhàn)略組合，符合各局中人最大利益，但惟一的納什均衡不是效率最高的戰(zhàn)略組合，存在潛在合作利益的囚徒困境博弈。（ ）（或：原博弈惟一的納什均衡本身是帕雷托效率意義上最佳戰(zhàn)略組合，符合各局中人最大利益，不存在潛在合作利益的囚徒困境博弈。（×）根據參與人行動的先后順序，博弈可以劃分為靜態(tài)博弈(static game)和動態(tài)博弈(dynamic game)。如果階段博弈G有唯一的Nash均衡，那么對任意有限次T，重復博弈G(T)有唯一的子博弈完美結局：在每一階段取G的Nash均衡策略。（ ）1、無限次重復博弈與有限重復博弈的區(qū)別：a. 無限

6、次重復博弈沒有結束重復的確定時間。在有限次重復博弈中，存在最后一次重復正是破壞重復博弈中局中人利益和行為的相互制約關系，使重復博弈無法實現更高效率均衡的關鍵問題。b. 無限次重復博弈不能忽視不同時間得益的價值差異和貼現問題，必須考慮后一期得益的貼現系數，對局中人和博弈均衡的分析必須以平均得益或總得益的現值為根據。c. 無限次重復博弈與有限次重復博弈的共同點：試圖“合作”和懲罰“不合作”是實現理想均衡的關鍵，是構造高效率均衡戰(zhàn)略的核心構件。4、根據兩人博弈的支付矩陣回答問題： abA2,30,0B0,04,2(1) 寫出兩人各自的全部策略，并用等價的博弈樹來重新表示這個博弈（6分）(2) 找出該

7、博弈的全部純策略納什均衡，并判斷均衡的結果是否是Pareto有效。(3) 求出該博弈的混合策略納什均衡。（7分）(1)策略甲：乙：博弈樹（草圖如下：(2)Pure NE (A, a); (B, b)都是Pareto有效，僅(B, b)是有效。(3)Mixed NE (2/5, 3/5); (2/3, 1/3)5、用反應函數法求出下列博弈的所有純戰(zhàn)略納什均衡。參與人2abcdA2,33,23,40,3參與人1B4,45,20,11,2C3,14,11,410,2D3,14,1-1,210,1解答：純策略納什均衡為（B，a）與（A，c）分析過程：設兩個參與人的行動分別為，player1的反應函數p

8、layer2的反應函數交點為（B，a）與（A，c），因此純策略納什均衡為（B，a）與（A，c）。6、（entry deterrence市場威懾）考慮下面一個動態(tài)博弈：首先，在一個市場上潛在的進入者選擇是否進入，然后市場上的已有企業(yè)（在位者）選擇是否與新企業(yè)展開競爭。在位者可能有兩種類型，溫柔型（左圖）和殘酷型（右圖），回答下面問題。.進入者在位者進入不進入默許斗爭（20，30）（-10，0）（0，100）進入者在位者進入不進入默許斗爭（-10，25）（0，100）（10，20）左圖：溫柔型 右圖：殘酷型(1) 找出給定在位者的兩種類型所分別對應的納什均衡，以與子博弈精煉納什均衡（12分）(2)

9、 已有企業(yè)為溫柔型的概率至少多少時，新企業(yè)才愿意進入（8分）(1) 溫柔NE (in, accommodate) 和(out, fight)。 SPNE為(in, accommodate)殘酷NE (out, fight). SPNE同理(2)8、博弈方1 和博弈方 2就如何分 10，000 元錢進行討價還價。假設確定了以下規(guī)則：雙方同時提出自己要求的數額 A 和 B，0A，B10，000。如果 A+B10，000，則兩博弈方的要求得到滿足，即分別得 A 和 B，但如果 A+B>10，000，則該筆錢就沒收。問該博弈的納什均衡是什么？如果你是其中一個博弈方，你會選擇什么數額？為什么？答十

10、、納什均衡有無數個。最可能的結果是（5000，5000）這個聚點均衡。9、北方航空公司和新華航空公司分享了從到南方冬天度假勝地的市場。如果它們合作，各獲得500000元的壟斷利潤，但不受限制的競爭會使每一方的利潤降至60000元。如果一方在價格決策方面選擇合作而另一方卻選擇降低價格，則合作的廠商獲利將為零，競爭廠商將獲利900000元。 （1）將這一市場用囚徒困境的博弈加以表示。（2）解釋為什么均衡結果可能是兩家公司都選擇競爭性策略。答：（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：北方航空公司合作競爭新華航空公司合作500000，5000000，900000競爭900000，060000，60000（2

11、）如果新華航空公司選擇競爭，則北方航空公司也會選擇競爭（60000>0）；若新華航空公司選擇合作，北方航空公司仍會選擇競爭（900000>500000）。若北方航空公司選擇競爭，新華航空公司也將選擇競爭（60000>0）；若北方航空公司選擇合作，新華航空公司仍會選擇競爭（900000>0）。由于雙方總偏好競爭，故均衡結果為兩家公司都選擇競爭性策略，每一家公司所獲利潤均為600000元。12、設啤酒市場上有兩家廠商，各自選擇是生產高價啤酒還是低價啤酒，相應的利潤（單位：萬元）由下圖的得益矩陣給出：（1）有哪些結果是納什均衡？（2）兩廠商合作的結果是什么？答（1）（低價，高

12、價），（高價，低價）（2）（低價，高價）13、A、B兩企業(yè)利用廣告進行競爭。若A、B兩企業(yè)都做廣告，在未來銷售中，A企業(yè)可以獲得20萬元利潤，B企業(yè)可獲得8萬元利潤；若A企業(yè)做廣告，B企業(yè)不做廣告，A企業(yè)可獲得25萬元利潤，B企業(yè)可獲得2萬元利潤；若A企業(yè)不做廣告，B企業(yè)做廣告，A企業(yè)可獲得10萬元利潤，B企業(yè)可獲得12萬元利潤；若A、B兩企業(yè)都不做廣告，A企業(yè)可獲得30萬元利潤，B企業(yè)可獲得6萬元利潤。 （1）畫出A、B兩企業(yè)的支付矩陣。（2）求納什均衡。3. 答：（1）由題目中所提供的信息，可畫出A、B兩企業(yè)的支付矩陣（如下表）。B企業(yè)做廣告不做廣告A企業(yè)做廣告20，825，2不做廣告10

13、，1230，6（2）因為這是一個簡單的完全信息靜態(tài)博弈，對于純策納什均衡解可運用劃橫線法求解。如果A廠商做廣告，則B廠商的最優(yōu)選擇是做廣告，因為做廣告所獲得的利潤8大于不做廣告獲得的利潤2，故在8下面劃一橫線。如果A廠商不做廣告，則B廠商的最優(yōu)選擇也是做廣告，因為做廣告獲得的利潤為12，而不做廣告的利潤為6，故在12下面劃一橫線。如果B廠商做廣告，則A廠商的最優(yōu)選擇是做廣告，因為做廣告獲得的利潤20大于不做廣告所獲得的利潤10，故在20下面劃一橫線。如果B廠商不做廣告，A廠商的最優(yōu)選擇是不做廣告，因為不做廣告獲得的利潤30大于做廣告所獲得的利潤25，故在30下面劃一橫線。在本題中不存在混合策略

14、的納什均衡解，因此，最終的純策略納什均衡就是A、B兩廠商都做廣告。15、求出下面博弈的納什均衡(含純策略和混合策略)。乙LR甲U5,00,8D2,64,5由劃線法易知，該矩陣博弈沒有純策略Nash均衡?？傻萌缦虏坏仁浇MQ=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1可得混合策略Nash均衡(),()16、 某產品市場上有兩個廠商，各自都可以選擇高質量，還是低質量。相應的利潤由如下得益矩陣給出：(1) 該博弈是否存在納什均衡？如果存在的話，哪些結果是納什均衡?參考答案：由劃線法可知，該矩陣博弈有兩個純策略Nash均衡，即(低質量, 高質量)， (高質量,低質量)。乙企業(yè)

15、高質量低質量甲企業(yè)高質量50,50100,800低質量900,600-20,-30該矩陣博弈還有一個混合的納什均衡Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得因此該問題的混合納什均衡為。17、甲、乙兩企業(yè)分屬兩個國家，在開發(fā)某種新產品方面有如下收益矩陣表示的博弈關系。試求出該博弈的納什均衡。如果乙企業(yè)所在國政府想保護本國企業(yè)利益，可以采取什么措施？乙企業(yè)開發(fā)不開發(fā)甲企業(yè)開發(fā)-10,-10100,0不開發(fā)0,1000,0解：用劃線法找出問題的純策略納什均衡點。所以可知該問題有兩個純策略納什均衡點(開發(fā),不開發(fā))和(不開發(fā),開發(fā))。該博弈還有一個混

16、合的納什均衡(),()。如果乙企業(yè)所在國政府對企業(yè)開發(fā)新產品補貼a個單位,則收益矩陣變?yōu)椋?要使(不開發(fā),開發(fā))成為該博弈的唯一納什均衡點,只需a>10。此時乙企業(yè)的收益為100+a。18、博弈的收益矩陣如下表：乙左右甲上a，bc，d下e，fg，h （1）如果（上，左）是占優(yōu)策略均衡，則a、b、c、d、e、f、g、h之間必然滿足哪些關系？（盡量把所有必要的關系式都寫出來） （2）如果（上，左）是納什均衡，則（1）中的關系式哪些必須滿足？ （3）如果（上，左）是占優(yōu)策略均衡，那么它是否必定是納什均衡？為什么？（4）在什么情況下，純戰(zhàn)略納什均衡不存在？答：（1），。本題另外一個思考角度是從占

17、優(yōu)策略均衡的定義出發(fā)。對乙而言，占優(yōu)策略為；而對甲而言，占優(yōu)策略為。綜合起來可得到所需結論。（2）納什均衡只需滿足：甲選上的策略時，同時乙選左的策略時，。故本題中納什均衡的條件為：，。（3）占優(yōu)策略均衡一定是納什均衡，因為占優(yōu)策略均衡的條件包含了納什均衡的條件。（4）當對每一方來說，任意一種策略組合都不滿足納什均衡時，純戰(zhàn)略納什均衡就不存在。19、Smith和John玩數字匹配游戲，每個人選擇1、2、3，如果數字一樣， John給Smith 3美元，如果不同，Smith給John 1美元。 （1）列出收益矩陣。（2）如果參與者以1/3的概率選擇每一個數字，證明該混合策略存在一個納什均衡，它為多

18、少？答：（1）此博弈的收益矩陣如下表。該博弈是零和博弈，無納什均衡。John123Smith13，-3-1，1-1，12-1，13，-3-1，13-1，1-1，13，-3（2）Smith選（1/3，1/3，1/3）的混合概率時，John選1的效用為：John選2的效用為：John選3的效用為：類似地，John選（1/3，1/3，1/3）的混合概率時，Smith選1的效用為：Smith選2的效用為：Smith選3的效用為：因為，所以：是納什均衡，策略值分別為John：；Smith：。20、假設雙頭壟斷企業(yè)的成本函數分別為：，市場需求曲線為，其中，。 （1）求出古諾（Cournot）均衡情況下的產

19、量、價格和利潤，求出各自的反應和等利潤曲線，并圖示均衡點。 （2）求出斯塔克博格（Stackelberg）均衡情況下的產量、價格和利潤，并以圖形表示。（3）說明導致上述兩種均衡結果差異的原因。 答：（1）對于壟斷企業(yè)1來說： 這是壟斷企業(yè)1的反應函數。 其等利潤曲線為： 對壟斷企業(yè)2來說： 這是壟斷企業(yè)2的反應函數。 其等利潤曲線為： 在達到均衡時，有： 均衡時的價格為： 兩壟斷企業(yè)的利潤分別為： 均衡點可圖示為：0企業(yè)195200190企業(yè)2企業(yè)1的反應線均衡點 （2）當壟斷企業(yè)1為領導者時，企業(yè)2視企業(yè)1的產量為既定，其反應函數為：則企業(yè)1的問題可簡化為： 均衡時價格為： 利潤為：， 該均

20、衡可用下圖表示：Stackelberg均衡點企業(yè)2的反應線500企業(yè)195200190企業(yè)2企業(yè)1的反應線 企業(yè)2領先時可依此類推。（3）當企業(yè)1為領先者時，其獲得的利潤要比古諾競爭下多。而企業(yè)2獲得的利潤較少。這是因為，企業(yè)1先行動時，其能考慮企業(yè)2的反應，并以此來制定自己的生產計劃，而企業(yè)2只能被動地接受企業(yè)1的既定產量，計劃自己的產出，這是一種“先動優(yōu)勢”21、在一個由三寡頭操縱的壟斷市場中，逆需求函數為p=a-q1-q2-q3，這里qi是企業(yè)i的產量。每一企業(yè)生產的單位成本為常數c。三企業(yè)決定各自產量的順序如下：(1)企業(yè)1首先選擇q10；(2)企業(yè)2和企業(yè)3觀察到q1，然后同時分別選

21、擇q2和q3。試解出該博弈的子博弈完美納什均衡。答：該博弈分為兩個階段，第一階段企業(yè)1選擇產量q1，第二階段企業(yè)2和3觀測到q1后，他們之間作一完全信息的靜態(tài)博弈。我們按照逆向遞歸法對博弈進行求解。（1）假設企業(yè)1已選定產量q1，先進行第二階段的計算。設企業(yè)2，3的利潤函數分別為：由于兩企業(yè)均要追求利潤最大，故對以上兩式分別求一階條件： （1） （2）求解（1）、（2）組成的方程組有： （3）（2）現進行第一階段的博弈分析：對與企業(yè)1，其利潤函數為；將（3）代入可得： （4）式（4）對q1求導：解得： （5）此時，（3）將式（5）代回（3）和（4）有該博弈的子博弈完美納什均衡：,25、某寡頭壟

22、斷市場上有兩個廠商，總成本均為自身產量的20倍， 市場需求函數為Q=200-P。求（1）若兩個廠商同時決定產量，產量分別是多少？（2）若兩個廠商達成協(xié)議壟斷市場，共同安排產量，則各自的利潤情況如何？答：（1）分別求反應函數，180-2Q1-Q2=0，180-Q1-2Q2=0，Q1=Q2=60（2）200-2Q=20，Q=90，Q1=Q2=4526、一個工人給一個老板干活，工資標準是100元。工人可以選擇是否偷懶，老板則選擇是否克扣工資。假設工人不偷懶有相當于 50 元的負效用，老板想克扣工資則總有借口扣掉60 元工資，工人不偷懶老板有 150 元產出，而工人偷懶時老板只有 80元產出，但老板在

23、支付工資之前無法知道實際產出，這些情況雙方都知道。請問：（1）如果老板完全能夠看出工人是否偷懶，博弈屬于哪種類型？用得益矩陣或擴展形表示該博弈并作簡單分析。（2）如果老板無法看出工人是否偷懶，博弈屬于哪種類型？用得益矩陣或擴展形表示該博弈并作簡單分析。（1）完全信息動態(tài)博弈。博弈結果應該是工人偷懶，老板克扣。（2）完全信息靜態(tài)博弈，結果仍然是工人偷懶，老板克扣。28、給定兩家釀酒企業(yè)A、B的收益矩陣如下表：A企業(yè)白酒啤酒B企業(yè)白酒700，600900，1000啤酒800，900600，800表中每組數字前面一個表示B企業(yè)的收益，后一個數字表示B企業(yè)的收益。（1）求出該博弈問題的均衡解，是占優(yōu)策

24、略均衡還是納什均衡？（2）存在帕累托改進嗎？如果存在，在什么條件下可以實現？福利增量是多少？（3）如何改變上述A、B企業(yè)的收益才能使均衡成為納什均衡或占優(yōu)策略均衡？如何改變上述A、B企業(yè)的收益才能使該博弈不存在均衡？ 答：（1）有兩個納什均衡，即（啤酒，白酒）、（白酒，啤酒），都是納什均衡而不是占優(yōu)策略均衡。（2）顯然，（白酒，啤酒）是最佳均衡，此時雙方均獲得其最大收益。若均衡解為（啤酒，白酒），則存在帕累托改善的可能。方法是雙方溝通，共同做出理性選擇，也可由一方向另一方支付報酬。福利由800+900變?yōu)?00+1000，增量為200。（3）如將（啤酒，白酒）支付改為（1000，1100），則

25、（啤酒，白酒）就成為占優(yōu)策略均衡。比如將（啤酒，白酒）支付改為（800，500），將（白酒，啤酒）支付改為（900，500），則該博弈就不存在任何占優(yōu)策略均衡或納什均衡。30、在納稅檢查的博弈中，假設A為應納稅款，C為檢查成本，F是偷稅罰款，且C<A+F；S為稅務機關檢查的概率，E為納稅人逃稅的概率；不存在純戰(zhàn)略納什均衡。（1）寫出支付矩陣。（2）分析混合策略納什均衡。答：（1）該博弈的支付矩陣如下表：納稅人逃稅不逃稅稅收機關檢查A-C+F， -A-FA-C，-A不檢查0，0A，-A（2）先分析稅收檢查邊際：因為S為稅務機關檢查的概率，E為納稅人逃稅的概率。給定E，稅收機關選擇檢查與否的

26、期望收益為：解，得：。 如果納稅人逃稅概率小于E，稅收機關的最優(yōu)決策是不檢查，否則是檢查。 再分析逃稅邊際：給定S，納稅人選擇逃稅與否的期望收益是：解，得：。即如果稅收機關檢查的概率小于S，納稅人的最優(yōu)選擇是逃稅，否則是交稅。 因此，混合納什均衡是（S，E），即稅收機關以S的概率查稅，而納稅人以E的概率逃稅。34、假設古諾的雙寡頭模型中雙寡頭面臨如下一條線性需求曲線：P=30-Q其中Q為兩廠商的總產量，即Q=Q1+Q2。再假設邊際成本為零，即MC1=MC2=0解釋并討論此例的納斯均衡，為什么其均衡是一種囚徒困境。廠商1的總收益TR1由下式給出：廠商1的邊際收益MR1為：MR1=30-2Q1-Q

27、2利用利潤最大化條件MR1=MC1=0，得廠商1的反應函數(reaction function)或反應曲線為：Q1=15-0.5Q2(6-1)同理可得廠商2的反應曲線為：Q2=15-0.5Q1(6-2)均衡產量水平就是兩反應曲線交點Q1和Q2的值，即方程組6-1和6-2的解。可以求得古諾均衡時的均衡產量水平為：Q1=Q2=10。因此，在本例中，兩個寡頭的總產量Q為Q1+Q2=20，均衡價格為P=30-Q=10。剛才我們討論了兩寡頭廠商相互競爭時的均衡產量?，F在我們放松第(6)條不能串謀的假設，假定兩寡頭可以串謀。它們能共同確定產量以使總利潤最大化。這時，兩廠商的總收益TR為：TR=PQ=(30

28、-Q)Q=30Q-Q2其邊際收益MR為：MR=30-2Q根據利潤最大化條件MR=MC=0，可以求得當Q=15時總利潤最大。如果兩廠商同意平分利潤，每個寡頭廠商將各生產總產量的一半，即Q1=Q2=7.5。其實，任何相加為15的產量Q1和Q2的組合都使總利潤最大化，因此，把Q1+Q2=15稱為契約曲線，而Q1=Q2=7.5是契約曲線上的一個點。我們還可以求得當價格等于邊際成本時，Q1=Q2=15，各廠商的利潤為零。35、兩家電視臺競爭周末黃金時段晚8點到10點的收視率，可選擇把較好的節(jié)目放在前面還是后面。他們決策的不同組合導致收視率如下：(1)如果兩家是同時決策，有納什均衡嗎? 有（前面，后面）

29、(2)如果雙方采用規(guī)避風險的策略，均衡的結果是什么? 此題應用的思想是最大最小收益法：也就是說，在對手采取策略時，所獲得的最小收益中的最大值。電視臺1：對方采取前面戰(zhàn)略的最小收益為18 對方采取后面戰(zhàn)略的最小收益為16 固電視臺1 會選擇收益為18的戰(zhàn)略前面電視臺2：前面的策略是一個優(yōu)超策略前面策略均衡為（前面，前面）(3)如果電視臺1先選擇，結果有什么?若電視臺2先選擇呢? (4)如果兩家談判合作，電視臺1許諾將好節(jié)目放在前面，這許諾可信嗎？結果能是什么？電視臺1 許諾將好節(jié)目放在前面的許諾不可信。因為電視臺2，前面為占優(yōu)策略，而在電視臺2 ，選擇前面的時候，電視臺1 選擇后面的收益要大于前

30、面的收益。所以，最終結果為（前面，后面）36、如果將如下的囚徒困境博弈重復進行無窮次，懲罰機制為觸發(fā)策略，貼現因子為。試問應滿足什么條件，才存在子博弈完美納什均衡？乙甲坦白不坦白坦白4,40,5不坦白5,01,1參考答案：由劃線法求得該博弈的純策略納什均衡點為(不坦白,不坦白)，均衡結果為(1,1)，采用觸發(fā)策略，局中人i的策略組合s的最好反應支付=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。若存在子博弈完美納什均衡，必須滿足：，即只有當貼現因子>1/4時，才存在子博弈完美納什均衡。37、在Bertrand價格博弈中，假定有n個生產企業(yè)，需求函數為P=a-Q，其中P是市場價格，Q是n個生產企

31、業(yè)的總供給量。假定博弈重復無窮多次，每次的價格都立即被觀測到，企業(yè)使用“觸發(fā)策略”(一旦某個企業(yè)選擇壟斷價格，則執(zhí)行“冷酷策略”)。求使壟斷價格可以作為完美均衡結果出現的最低貼現因子是多少。并請解釋與n的關系。分析：此題可分解為3個步驟（1）n個企業(yè)合作，產量總和為壟斷產量，價格為壟斷價格，然后平分利潤。（2）其中一個企業(yè)采取欺騙手段降價，那個這家企業(yè)就占有的全部市場，獲得壟斷利潤（3）其他企業(yè)觸發(fā)戰(zhàn)略，將價格降到等于邊際成本，所有的企業(yè)利潤為零。參考答案：（1）設每個企業(yè)的邊際成本為c，固定成本為0 P=a-Q TR=P*Q=(a-Q)*Q MR=a-2Q 因為：MR=MC a-2Q=c 則

32、:Q=(a-c)/2 P=(a+c)/2 =(P-c)*Q=(a-c)2/4 每家企業(yè)的利潤為(a-c)2/4n （2）假設A企業(yè)自主降價，雖然只是微小的價格調整，但足以占領整個市場，獲得所有的壟斷利潤(a-c)2/4 （3）其他企業(yè)在下一期采取冷酷策略，使得所有企業(yè)的利潤為0 考慮：A企業(yè)不降價：(a-c)2/4n，(a-c)2/4n， A企業(yè)降價：(a-c)2/4，0， 使壟斷價格可以作為完美均衡結果，就要使得不降價的貼現值大于等于降價的貼現值。設貼現因子為A不降價的貼現值：(a-c)2/4n1/(1- ) A降價的現值：(a-c)2/4 于是：(a-c)2/4n1/(1- )(a-c)2

33、/4 解得：1-1/n 38、假設某勞動市場為完全競爭市場,其供求函數如下: SL:W=120+2L DL:W=360-L 已知某廠商(在完全競爭市場下)的生產函數為f(L,K)=10L0.5K0.5 (K=100) 且其產品的需求與供給函數分別為D:P=60-2q S: P=20+2q 試求 (a)該廠商的ACL,MCL與VMPL各為多少? (b)勞動工資為多少?廠商會雇用多少勞動? 由：SL=DL解得：W=280 由于產品市場為完全競爭市場，且要素市場也為完全競爭市場所以，滿足：產品市場均衡：P=MR=MC=W/MPL要素市場均衡：W= ACL=MCL=VMPL 得到：ACL=MCL=VM

34、PL=280 由：D=S解得：P= 40，q=10 廠商追求利潤最大化的情況下：W*=VMPL=P*MPL=P*50/L0.5L*=100/2*PW*2=51 (取整數)1.試計算表1中的戰(zhàn)略式博弈的重復剔除劣戰(zhàn)略均衡。表1 一個戰(zhàn)略式表述博弈BLMRAU1,23,12,4M5,67,12,6D3,12,07,8對B而言，戰(zhàn)略M嚴格劣于R；（因為1<4, 1<6,0<8），因此剔除B的戰(zhàn)略M；構成新的博弈如下BLRAU1,22,4M5,62,6D3,17,8在新的博弈中，對于A而言，戰(zhàn)略U嚴格劣于D(因為1<3,2<7)，因此剔除A的戰(zhàn)略U，構成新的博弈如下：BL

35、RAM5,62,6D3,17,8對于新的博弈中，已經沒有嚴格的劣戰(zhàn)略，因此沒有嚴格的劣戰(zhàn)略可以剔除。所以該博弈不是重復剔除嚴格劣戰(zhàn)略可解的。但是存在弱劣戰(zhàn)略。對于B而言，戰(zhàn)略L弱劣于R（因為6=6，1<8）,因此剔除B的弱劣戰(zhàn)略L，構成新的博弈如下：BRAM2,6D7,8在新的博弈中，對于A而言，戰(zhàn)略M嚴格劣于D（因為2<7）,因此剔除A的戰(zhàn)略M，構成新的博弈如下：BRAD7,8因此，重復剔除（弱）劣戰(zhàn)略均衡為（D，R）（ps: 如果同學們用劃線的方法求納什均衡，就可以發(fā)現純戰(zhàn)略nash均衡有兩個：（M,L）和（D,R）但采用剔除弱劣戰(zhàn)略的方法，把其中一個納什均衡剔除掉了）2. 試

36、給出下述戰(zhàn)略式表述博弈的所有納什均衡。2LR 1U2,23,3D4,41,2給定1選擇U，2的最佳選擇是R(因為2<3)，在相應位置劃線給定1選擇D，2的最佳選擇是L（因為4>2），在相應位置劃線給定2選擇L，1的最佳選擇是D（理由自己寫），在相應位置劃線給定2選擇R，1的最佳選擇是U（理由自己寫），在相應位置劃線找兩個數字下都劃線的，顯然有兩個純戰(zhàn)略納什均衡：和據Wilson的奇數定理，可能有一個混合戰(zhàn)略均衡。設1選的概率為，那么選D的概率為設2選的概率為，那么選R的概率為，如果存在混合戰(zhàn)略，那么2選戰(zhàn)略L和R的期望收益應該應該相等，因此應有 自己求解 （2分）同樣，1選戰(zhàn)略U和D的期望收益應該應該相等得混合均衡：?3.市場里有兩個企業(yè)1和2。每個企業(yè)的成本都為0。市場的逆需求函數為P=16-Q。其中P是市場價格，Q為