層次分析法(AHP)

1、劉智勇劉智勇1劉智勇劉智勇2 一、一、 概念與基本原理概念與基本原理 二、二、 層次分析問(wèn)題的思路遞階層次結(jié)構(gòu)層次分析問(wèn)題的思路遞階層次結(jié)構(gòu) 三、三、 判斷矩陣構(gòu)成判斷矩陣構(gòu)成 四、一致性檢驗(yàn)四、一致性檢驗(yàn) 五、層次分析法的計(jì)算五、層次分析法的計(jì)算 六、應(yīng)用實(shí)例分析六、應(yīng)用實(shí)例分析劉智勇劉智勇3劉智勇劉智勇4A大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問(wèn)題大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問(wèn)題假期旅游地點(diǎn)選擇假期旅游地點(diǎn)選擇 資源開發(fā)的綜合判斷資源開發(fā)的綜合判斷醫(yī)院綜合效益分析醫(yī)院綜合效益分析劉智勇劉智勇5工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)工作環(huán)境生活環(huán)境可供選擇的單位P1 P2 - Pn 目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層劉智勇劉智勇6選擇旅游地景色費(fèi)用居

2、住飲食旅途P1P2P3目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層劉智勇劉智勇7劉智勇劉智勇8美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家A.L.SaatyA.L.Saaty于上個(gè)世紀(jì)于上個(gè)世紀(jì)7070年代提出的年代提出的層次分析法層次分析法(Analytical (Analytical HierarachyHierarachy Process, Process,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱AHPAHP方法方法),),是一種定性與定量相結(jié)合的決策是一種定性與定量相結(jié)合的決策分析方法分析方法. .它是一種將決策者對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的決策它是一種將決策者對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的決策思維過(guò)程模型化思維過(guò)程模型化, ,數(shù)量化的過(guò)程。應(yīng)用這種方法數(shù)量化的過(guò)程。應(yīng)用這種方法, ,決策者通過(guò)

3、將復(fù)雜問(wèn)題分解為若干層次和若干因決策者通過(guò)將復(fù)雜問(wèn)題分解為若干層次和若干因素素, ,在各因素之間進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較和計(jì)算在各因素之間進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較和計(jì)算, ,就可以就可以得出不同方案的權(quán)重得出不同方案的權(quán)重, ,為最佳方案的選擇提供依為最佳方案的選擇提供依據(jù)據(jù). .。是一種系統(tǒng)科學(xué)中，常用的一種系統(tǒng)分析。是一種系統(tǒng)科學(xué)中，常用的一種系統(tǒng)分析方法，因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。方法，因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。劉智勇劉智勇9 客觀世界的復(fù)雜性客觀世界的復(fù)雜性 系統(tǒng)是最普遍存在的系統(tǒng)是最普遍存在的 許多決策問(wèn)題無(wú)法定量化許多決策問(wèn)題無(wú)法定量化 思維方式需要改變思維方式需要改變劉智勇劉智勇10將一

4、個(gè)復(fù)雜的無(wú)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題分解為它的各個(gè)組將一個(gè)復(fù)雜的無(wú)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題分解為它的各個(gè)組成部分，將這些組成部分成部分，將這些組成部分(或稱為元素或稱為元素)整理整理成為一種遞階層次的顧序，按照每個(gè)元素的成為一種遞階層次的顧序，按照每個(gè)元素的相對(duì)重要性賦于其表示主觀判斷的數(shù)量值；相對(duì)重要性賦于其表示主觀判斷的數(shù)量值；然后綜合這些判斷以決定到底是哪個(gè)元素有然后綜合這些判斷以決定到底是哪個(gè)元素有著最大的權(quán)重和如何影響問(wèn)題的最終結(jié)果。著最大的權(quán)重和如何影響問(wèn)題的最終結(jié)果。 劉智勇劉智勇11（S1）將決策解分解為三個(gè)層次，即：）將決策解分解為三個(gè)層次，即：目標(biāo)層：（選擇旅游地）目標(biāo)層：（選擇旅游地）準(zhǔn)則層：（景色、

5、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等準(zhǔn)則層：（景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等5個(gè)準(zhǔn)則）個(gè)準(zhǔn)則）方案層或措施層：（有三個(gè)選擇地點(diǎn)）方案層或措施層：（有三個(gè)選擇地點(diǎn)）并用直線連接各層次。并用直線連接各層次。（S2）互相比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，各方案對(duì)每一個(gè)準(zhǔn)）互相比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，各方案對(duì)每一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過(guò)程中常是定性的。則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過(guò)程中常是定性的。例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會(huì)將景色好作為第一選擇；例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會(huì)將景色好作為第一選擇；中老年人：會(huì)將居住、飲食好作為第一選擇；中老年人：會(huì)將居住、飲食好作為第一選擇；經(jīng)濟(jì)不好的人：會(huì)把費(fèi)用低作為第一選擇

6、。經(jīng)濟(jì)不好的人：會(huì)把費(fèi)用低作為第一選擇。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。（S3）將方案后對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則后對(duì)目標(biāo)層的權(quán)）將方案后對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則后對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。重進(jìn)行綜合。（S4）最終得出方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。）最終得出方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。劉智勇劉智勇12 分析思路清楚分析思路清楚, ,可將系統(tǒng)分析人員的可將系統(tǒng)分析人員的思維過(guò)程系統(tǒng)化思維過(guò)程系統(tǒng)化, ,數(shù)學(xué)化和模型化數(shù)學(xué)化和模型化; ; 分析時(shí)需要的定量數(shù)據(jù)不多分析時(shí)需要的定量數(shù)據(jù)不多, ,但要求但要求對(duì)問(wèn)題所包含的因素及其關(guān)系具

7、體對(duì)問(wèn)題所包含的因素及其關(guān)系具體而明確而明確; ; 這種方法適用于多準(zhǔn)則這種方法適用于多準(zhǔn)則, ,多多目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的決策分析目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的決策分析, , 劉智勇劉智勇13 1 1、優(yōu)先排序、優(yōu)先排序 7 7、偏好量度、偏好量度 2 2、方案生成、方案生成 8 8、系統(tǒng)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)設(shè)計(jì) 3 3、選擇最優(yōu)政策、選擇最優(yōu)政策 9 9、規(guī)劃制定、規(guī)劃制定 4 4、決定需求、決定需求 1010、沖突解決、沖突解決 5 5、分配資源、分配資源 1111、最優(yōu)化分析、最優(yōu)化分析 6 6、結(jié)果預(yù)測(cè)、結(jié)果預(yù)測(cè) 劉智勇劉智勇14在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，在確定各

8、層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而因而SaatySaaty等人提出：一致矩陣法（與普通矩陣不同，等人提出：一致矩陣法（與普通矩陣不同，AHPAHP采用的成對(duì)比較的互反矩陣）采用的成對(duì)比較的互反矩陣）即：即：1. 1. 不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2. 2. 對(duì)此時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準(zhǔn)確對(duì)此時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準(zhǔn)確度。度。 1 a , , 1 , , 1nn221122222212211121121111nnnnnn

9、jiijnnnnWWWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaWWaA劉智勇劉智勇15標(biāo)度（標(biāo)度（aij）定義定義135792，4，6，8，倒數(shù)1，因素與因素相同重要因素比因素稍重要因素比因素較重要因素比因素非常重要因素比因素絕對(duì)重要因素與因素的重要性的比較值介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間因素與因素比較得到判斷值為的互反數(shù)， ijjiaa11iia91 ,81 ,71 ,61 ,51 ,41 ,31 ,21劉智勇劉智勇16結(jié)合計(jì)算過(guò)程來(lái)看AHP的基本思想組合權(quán)向量的計(jì)算組合權(quán)向量的計(jì)算層次總排序的權(quán)層次總排序的權(quán)向量的計(jì)算向量的計(jì)算 (1)計(jì)算出下一層每個(gè)元素對(duì)上一層每個(gè)元計(jì)算出下一層每個(gè)元素

10、對(duì)上一層每個(gè)元素的權(quán)向量素的權(quán)向量(2)并把下層每個(gè)元素對(duì)上層每個(gè)元素的權(quán)并把下層每個(gè)元素對(duì)上層每個(gè)元素的權(quán)向量按列排成以下表格形式向量按列排成以下表格形式 (3) 對(duì)層次總排序進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：從高層對(duì)層次總排序進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：從高層到低層逐層進(jìn)行到低層逐層進(jìn)行劉智勇劉智勇17劉智勇劉智勇18層次總排序，層次總排序，計(jì)算同一層次所有元素計(jì)算同一層次所有元素對(duì)最高層相對(duì)重要性的對(duì)最高層相對(duì)重要性的權(quán)重值。權(quán)重值。 構(gòu)造下一層每個(gè)元素對(duì)上一次構(gòu)造下一層每個(gè)元素對(duì)上一次每個(gè)元素的成對(duì)比較矩陣每個(gè)元素的成對(duì)比較矩陣 用最大特征根用最大特征根 用方式用方式 及及 對(duì)成對(duì)比較矩陣進(jìn)行一致對(duì)成對(duì)比較矩陣進(jìn)行

11、一致性檢，并通過(guò)。性檢，并通過(guò)。 由特征向量求出最大特征根由特征向量求出最大特征根 計(jì)算出成對(duì)比較矩陣的特征向量計(jì)算出成對(duì)比較矩陣的特征向量 maxmaxmax1maxnnICIRRCRC劉智勇劉智勇19因素比較方法因素比較方法 成對(duì)比較矩陣法成對(duì)比較矩陣法 目的目的 方法方法正互反矩陣正互反矩陣 ) 1( 1 , 0 ,)(ijijijjiijnxnijaaaaaaA或jiijijijaaaaA1 ,0 , )(要比較某一層個(gè)因素對(duì)上一層因素要比較某一層個(gè)因素對(duì)上一層因素O的影響的影響（例如：旅游決策解中，比較景色等（例如：旅游決策解中，比較景色等5個(gè)準(zhǔn)個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)中的重要性）

12、。則在選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)中的重要性）。特點(diǎn)劉智勇劉智勇201135131112513131211714155337412121A劉智勇劉智勇21應(yīng)該是應(yīng)該是41114a ; 22113313113212112aaCCaCCa188412131231213223CCCCaaCCa1723a而不應(yīng)該是而不應(yīng)該是劉智勇劉智勇22n n個(gè)元素比較次數(shù)為個(gè)元素比較次數(shù)為 因此，問(wèn)題是：如何改造成對(duì)比較矩陣，使因此，問(wèn)題是：如何改造成對(duì)比較矩陣，使由其能確定諸因素由其能確定諸因素 對(duì)上層因素對(duì)上層因素的的權(quán)重權(quán)重! 2) 1(2nnCnnCC , ,1劉智勇劉智勇23一致性矩陣一致性矩陣A（一致陣）的（一

13、致陣）的性質(zhì)性質(zhì) 性質(zhì)1：矩陣A秩Rank(A)=1的唯一非0的特征根為n性質(zhì)性質(zhì)2：的任一列（行）向量都是對(duì)應(yīng)特征根的特征向量：即有(特征向量、特征值)：nnnnnnWWWWWWWWWWWWWWWWWWA212221212111321WWWW則向量滿足WnnWnWnWWWWWWWWWWWWWWWWWAnnnnnnn21212112111劉智勇劉智勇24 一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義和確定一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義和確定 隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo) 一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義一致性比率一致性比率 ICIRIRICRC劉智勇劉智勇25（S1）將決策解分解為三個(gè)層次，即：）將決策解分解為

14、三個(gè)層次，即：目標(biāo)層：（選擇旅游地）目標(biāo)層：（選擇旅游地）準(zhǔn)則層：（景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等準(zhǔn)則層：（景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等5個(gè)準(zhǔn)則）個(gè)準(zhǔn)則）方案層或措施層：（有，三個(gè)選擇地點(diǎn)）方案層或措施層：（有，三個(gè)選擇地點(diǎn)）并用直線連接各層次。并用直線連接各層次。（S2）互相比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，各方案對(duì)每一個(gè)準(zhǔn)）互相比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，各方案對(duì)每一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過(guò)程中常是定性的。則的權(quán)重。這些權(quán)限重在人的思維過(guò)程中常是定性的。例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會(huì)將景色好作為第一選擇；例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會(huì)將景色好作為第一選擇；中老年人：會(huì)將居住、飲食好作為第一選擇

15、；中老年人：會(huì)將居住、飲食好作為第一選擇；經(jīng)濟(jì)不好的人：會(huì)把費(fèi)用低作為第一選擇。經(jīng)濟(jì)不好的人：會(huì)把費(fèi)用低作為第一選擇。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。（S3）將方案后對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則后對(duì)目標(biāo)層的權(quán)）將方案后對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則后對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。重進(jìn)行綜合。（S4）最終得出方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。）最終得出方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。劉智勇劉智勇26將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊懀瑫r(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。最上層為目標(biāo)層（

16、一般只有一個(gè)因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?決策層，中間可以有1個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則層元素過(guò)多（例如多于9個(gè)）時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。劉智勇劉智勇27構(gòu)造成對(duì)比較矩陣構(gòu)造成對(duì)比較矩陣劉智勇劉智勇28計(jì)算（每個(gè)成對(duì)比較矩陣的）權(quán)向量并計(jì)算（每個(gè)成對(duì)比較矩陣的）權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)作一致性檢驗(yàn)nWWW1ICRIIRICCR1 . 0RC1 . 0ICnWWW1jBjA1 . 0RC劉智勇劉智勇29mjWWWnj , , 11nWWW1TniWWWWW,:max*1CR劉智勇劉智勇30劉智勇劉智勇31（S1）將矩陣）將矩陣 的每一列向量的歸一化得：的每一列向量的歸一化得：（

17、S2）對(duì)）對(duì) 按行求和得：按行求和得：（S3）將）將 歸一化，即有：歸一化，即有： ，則有特征向量：，則有特征向量： （S4）計(jì)算與特征向量）計(jì)算與特征向量 對(duì)應(yīng)的最大特征根對(duì)應(yīng)的最大特征根 的近似值：的近似值：nxmijaA)(niijijijaaW1ijWnjijiWW1iWniiiiWWW1nWWW1nWWW1maxniiiWAWn1max)(1劉智勇劉智勇32選擇旅游地景色費(fèi)用居住飲食旅途P1P2P3目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層劉智勇劉智勇33先求目標(biāo)層到準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣為的特先求目標(biāo)層到準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣為的特征向量和最大特征根：征向量和最大特征根：一個(gè)計(jì)算實(shí)例一個(gè)計(jì)算實(shí)例1135131

18、112513131211714155712334211A1132 . 0333. 01122 . 0333. 0333. 05 . 01143. 025. 0557123345 . 01劉智勇劉智勇34nWWW1 097. 0095. 0176. 0098. 0085. 0097. 0095. 0118. 0098. 0085. 0032. 0048. 0059. 0070. 0064. 0484. 0476. 0411. 0489. 0510. 029. 0286. 0235. 0245. 0265. 0nxnijWA劉智勇劉智勇35333.1011333. 0535 .10115 . 0531732174043. 22 . 02 . 0143. 015 . 0917. 3333. 0333. 025. 02154322劉智勇劉智勇36nxnWAijijWnjijiWW1WWAi511.0493.0273.037.2312.1劉智勇劉智勇37（S3）再將上述矩陣向量歸一化得到特征向量近似值， 102. 0099. 0055. 0474. 0262. 0511. 0493. 0273. 037.