第2章_投影理論基礎(chǔ)

1、2022-6-71職業(yè)技術(shù)教育建設(shè)類專業(yè)系列教材職業(yè)技術(shù)教育建設(shè)類專業(yè)系列教材應(yīng)縣職業(yè)技術(shù)學(xué)校22.1 投影法的概述2.2 點(diǎn)的投影2.3 直線的投影2.4 平面的投影2.5 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置2.6 換面法一、投影法概述一、投影法概述投影面投影面Pa 投影投影投射線投射線bS 投影中心投影中心A 空間點(diǎn)空間點(diǎn)B 將光線通過(guò)物體向選定的平面投影，并在該平面上得到物體影子的方法稱為投影法。1. 投影法2. 投影法的分類投影法的分類 中心投影法 正投影法 平行投影法 斜投影法投影法（1）中心投影法中心投影法：投射線匯交于投射中心的投影法。（2）平行投影法斜投影法正投影法投射線相互平行

2、的投影法，稱為平行投影法。投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法畫透視圖畫透視圖畫斜軸測(cè)圖畫斜軸測(cè)圖畫工程圖樣畫工程圖樣及正軸測(cè)圖及正軸測(cè)圖1.1.實(shí)形性實(shí)形性2.2.積聚性積聚性3.3.類似性類似性正投影的特點(diǎn)正投影的特點(diǎn)(3).工程上常用的投影圖 1.多面正投影圖 2.軸測(cè)投影圖 3.標(biāo)高投影圖 4.透視投影圖（1）多面正投影 優(yōu)點(diǎn)：能反映物體的實(shí)際形狀和大小，度量性好，作圖簡(jiǎn)便、在工程中被廣泛使用。缺點(diǎn)：是直觀性差。主視圖主視圖俯視圖俯視圖左視圖左視圖1.1.1 三面投影與三視圖三面投影與三視圖XYWYHZ

3、OVHW（2） 軸測(cè)投影圖 軸測(cè)投影作圖較繁且量度性不好、但直觀較好，容易看懂，所以在工程中常作為輔助圖樣使用。（3）標(biāo)高投影圖 一般用于不規(guī)則曲面的表達(dá)。一般用于不規(guī)則曲面的表達(dá)。（4） 透視圖 透視投影圖是用中心投影法將物體投射在單一投影面上所得到圖形稱為透視投影圖，簡(jiǎn)稱透視圖。透視圖直觀性較強(qiáng)，但度量性差，作圖復(fù)雜，所以一般用于繪畫和建筑設(shè)計(jì)中。1 、 單一正投影不能完全確定物體的形狀和大小單一正投影不能完全確定物體的形狀和大小三個(gè)投影三個(gè)投影VWHx0yzy俯視俯視主視主視左視左視YXZO規(guī)定規(guī)定 : V面保持不動(dòng)，面保持不動(dòng)，H面面向下向后向下向后繞繞OX軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)900，W面面向

4、右向后向右向后繞繞OZ軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)900。高高長(zhǎng)長(zhǎng)寬寬長(zhǎng)長(zhǎng)高高長(zhǎng)長(zhǎng)寬寬高高寬寬X方向方向作為度量物體作為度量物體長(zhǎng)度長(zhǎng)度的方向的方向；Y方向方向作為度量作為度量物體物體寬度寬度的方向的方向；Z方向方向作為度量物體作為度量物體高度高度的方向的方向。主視圖主視圖長(zhǎng)、長(zhǎng)、高高 俯視圖俯視圖長(zhǎng)、長(zhǎng)、寬寬左視圖左視圖高、高、寬寬OXY ZVWH（3 ）視圖的度量性）視圖的度量性視圖上物體的相對(duì)位置視圖上物體的相對(duì)位置主視圖主視圖 實(shí)體的正面投影實(shí)體的正面投影俯視圖俯視圖 實(shí)體的水平投影實(shí)體的水平投影左視圖左視圖 實(shí)體的側(cè)面投影實(shí)體的側(cè)面投影三等關(guān)系三等關(guān)系主視俯視長(zhǎng)相等且對(duì)正主視俯視長(zhǎng)相等且對(duì)正主視左視

5、高相等且平齊主視左視高相等且平齊俯視左視寬相等且對(duì)應(yīng)俯視左視寬相等且對(duì)應(yīng)長(zhǎng)長(zhǎng)高高寬寬寬寬長(zhǎng)對(duì)正長(zhǎng)對(duì)正寬相等寬相等高平齊高平齊 視圖就是將物體向投影面視圖就是將物體向投影面投射所得的圖形。投射所得的圖形。OXY ZVWH上上下下左左右右后后上上下下前前后后左左右右前前上上下下左左右右前前后后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右 將物體自然放平，一般使將物體自然放平，一般使主要表面與投影面平行主要表面與投影面平行或垂直或垂直，進(jìn)而確定主視圖的投影方向。，進(jìn)而確定主視圖的投影方向。 整體和局部都要符合三視圖的投影規(guī)律整體和局部都要符合三視圖的投影規(guī)律 可見輪廓線用可見輪廓線用粗實(shí)線粗實(shí)線

6、繪制，不可見的輪廓線用繪制，不可見的輪廓線用虛虛線線繪制，當(dāng)虛線與實(shí)線重合時(shí)畫實(shí)線。繪制，當(dāng)虛線與實(shí)線重合時(shí)畫實(shí)線。 特別應(yīng)注意俯、左視圖特別應(yīng)注意俯、左視圖寬相等寬相等和和前、后方位前、后方位關(guān)系。關(guān)系。4、三視圖的繪制、三視圖的繪制XYZY1Y2Y1Y2例例1 由物體的立體圖畫三視圖由物體的立體圖畫三視圖主主線型線型前前前前虛線虛線要畫要畫例例2 畫三視圖畫三視圖123要注意寬相等要注意寬相等(1) 作圖方法與步聚 根據(jù)根據(jù)“三等三等”關(guān)系關(guān)系：正面圖和平面圖的各個(gè)相應(yīng)部分用：正面圖和平面圖的各個(gè)相應(yīng)部分用鉛垂線對(duì)正鉛垂線對(duì)正( (等長(zhǎng)等長(zhǎng)) )；正面圖和側(cè)面圖的各個(gè)相應(yīng)部分用；正面圖和側(cè)

7、面圖的各個(gè)相應(yīng)部分用水平線拉齊水平線拉齊( (等高等高) )，如圖如圖3.143.14（b b）； 先畫出水平和垂直十字相交線表示投影軸，先畫出水平和垂直十字相交線表示投影軸，如圖如圖3.14(a)3.14(a) 利用利用平面圖和側(cè)面圖的等寬關(guān)系平面圖和側(cè)面圖的等寬關(guān)系，從，從O O點(diǎn)作一條向右下斜點(diǎn)作一條向右下斜的的4545線，然后在平面圖上向右引水平線，與線，然后在平面圖上向右引水平線，與4545線相線相交后再向上引鉛垂線，把平面圖中的寬度反映到側(cè)面投交后再向上引鉛垂線，把平面圖中的寬度反映到側(cè)面投影中去，影中去，如圖如圖3.143.14（c c）。 三面正投影圖的畫法圖3.14 三面正投

8、影圖畫圖步驟 (2) 三面正投影圖中的點(diǎn)、線、面符號(hào) 為了作圖準(zhǔn)確和便于校核，作圖時(shí)可把所畫物為了作圖準(zhǔn)確和便于校核，作圖時(shí)可把所畫物體上的點(diǎn)、線、面用符號(hào)來(lái)標(biāo)注體上的點(diǎn)、線、面用符號(hào)來(lái)標(biāo)注（圖（圖3.153.15）。 一般規(guī)定空間物體上的點(diǎn)用大寫字母一般規(guī)定空間物體上的點(diǎn)用大寫字母A A、B B、C C、D D，、表示，面用表示，面用P P、Q Q、R R表示。表示。 點(diǎn)或面的投影用相應(yīng)的小寫字母表示。點(diǎn)或面的投影用相應(yīng)的小寫字母表示。 直線不另注符號(hào)，用直線兩端點(diǎn)的符號(hào)表示，直線不另注符號(hào)，用直線兩端點(diǎn)的符號(hào)表示，如如ABAB直線的正面投影是直線的正面投影是abab。圖3.15 正投影圖中

9、常用的符號(hào) 2.2 點(diǎn)的投影(1)點(diǎn)的正投影是點(diǎn)，在過(guò)該點(diǎn)垂直于投影面的投射線的垂足處；(2)如果兩點(diǎn)位于某一投影面的同一投射線上，則此兩點(diǎn)在該投影面上的投影必定重合。 （重影點(diǎn)） （1 1）兩投影面體系的建立）兩投影面體系的建立XO 兩投影面體系由V面和H面二個(gè)投影面構(gòu)成。V面和H面將空間分成四個(gè)分角。處在前、上側(cè)的那個(gè)分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來(lái)研究。正立投影面正立投影面投影軸投影軸VH水平投影面水平投影面（2 2）點(diǎn)的兩面投影圖）點(diǎn)的兩面投影圖HVOXaAa 點(diǎn)的二面投影圖是將空間點(diǎn)向二個(gè)投影面作正點(diǎn)的二面投影圖是將空間點(diǎn)向二個(gè)投影面作正投影后，將二個(gè)投影面展開在同一

10、個(gè)面后得到的。投影后，將二個(gè)投影面展開在同一個(gè)面后得到的。點(diǎn)點(diǎn)A的正面投影的正面投影點(diǎn)點(diǎn)A的水平投影的水平投影XHVOa aax（3 3）兩面投影圖的畫法）兩面投影圖的畫法HHVOXa aAax 展開時(shí)，規(guī)定展開時(shí)，規(guī)定V V面不動(dòng)，面不動(dòng)，H H面向下旋轉(zhuǎn)面向下旋轉(zhuǎn)9090 。用投影圖。用投影圖來(lái)表示空間點(diǎn)，其來(lái)表示空間點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是在同一平面上用點(diǎn)在二個(gè)不同是在同一平面上用點(diǎn)在二個(gè)不同投影面上的投影來(lái)表示點(diǎn)的空間位置。投影面上的投影來(lái)表示點(diǎn)的空間位置。HVOXa aAaxXOa aax 點(diǎn)的點(diǎn)的V面投影與面投影與H面投影之間的連線面投影之間的連線aa垂直于投垂直于投影軸影軸0X ；點(diǎn)的一

11、個(gè)投影到；點(diǎn)的一個(gè)投影到0X投影軸的距離等于空間投影軸的距離等于空間點(diǎn)到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離，即點(diǎn)到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離，即 aax= Aa， aax= Aa 。 （4） 點(diǎn)的兩面投影規(guī)律通常不畫邊界2.2.三投影面體系的建立三投影面體系的建立HVXOZYW 三投影面體系由三投影面體系由V V、H H、W W三個(gè)投影面構(gòu)成。三個(gè)投影面構(gòu)成。 H H、V V、W W面將面將空間分成八個(gè)分角，處在前、上、左側(cè)的那個(gè)分角稱為第空間分成八個(gè)分角，處在前、上、左側(cè)的那個(gè)分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來(lái)研究。一分角。我們通常把物體放在第一分角中來(lái)研究。 （1 1）點(diǎn)

12、的三面投影圖）點(diǎn)的三面投影圖HVXZYWOA 點(diǎn)的三面投影圖是將空間點(diǎn)向三個(gè)投影面作正投影后，將三點(diǎn)的三面投影圖是將空間點(diǎn)向三個(gè)投影面作正投影后，將三個(gè)投影面展開在同一個(gè)面后得到的。展開時(shí)，規(guī)定個(gè)投影面展開在同一個(gè)面后得到的。展開時(shí)，規(guī)定V V面不動(dòng)，面不動(dòng)，H H面面向下旋轉(zhuǎn)向下旋轉(zhuǎn)9090 ，W W面向右旋轉(zhuǎn)面向右旋轉(zhuǎn)9090 。a aa Ha aa VWXOZYWYH（2 2）三投影面體系中點(diǎn)的投影規(guī)律）三投影面體系中點(diǎn)的投影規(guī)律HVXZYWOayaxazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay 點(diǎn)的V面投影與H面投影之間的連線垂直于0X軸，即aa0X ；點(diǎn)的V面投影與W

13、面投影之間的連線垂直0Z軸，即a a“0Z；點(diǎn)的H面投影到0X軸的距離及點(diǎn)的W面投影到0Z 軸的距離兩者相等，都反映點(diǎn)到V面的距離。 長(zhǎng)對(duì)正 高平齊 寬相等HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay3.點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系 若把三個(gè)投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，若把三個(gè)投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點(diǎn)的空間位置可用其（則點(diǎn)的空間位置可用其（X、Y、Z）三個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定，點(diǎn)的投影）三個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定，點(diǎn)的投影就反映了點(diǎn)的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。就反映了點(diǎn)的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。

14、yAxAzA4.特殊點(diǎn)的投影投影面上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)1 1個(gè)坐標(biāo)為個(gè)坐標(biāo)為0 0。2 2個(gè)坐標(biāo)為個(gè)坐標(biāo)為0 0。例1 已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。ZYHXYWOa a a例2 已知點(diǎn)A在H面上，點(diǎn)B在W面上，點(diǎn)C在V面上，試求各點(diǎn)的投影。cccbbbccaaObbaaaAaBbCcXOZY5.兩點(diǎn)的相對(duì)位置a a ab b bBA 兩點(diǎn)的相對(duì)位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對(duì)于投影面的距離遠(yuǎn)近（或兩點(diǎn)的相對(duì)位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對(duì)于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣?lái)確定的。坐標(biāo)大?。﹣?lái)確定的。X X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；Y Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前；前；Z Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。坐

15、標(biāo)值大的點(diǎn)在上。 XZYWYHOa a ab bb （2 2）重影點(diǎn)）重影點(diǎn)cc(d)da(b)abAB 若兩點(diǎn)位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點(diǎn)在若兩點(diǎn)位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的重影點(diǎn)。該投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的重影點(diǎn)。XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。加括號(hào)表示。 例例3

16、 已知已知A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)的右點(diǎn)的右10mm、前、前6mm、上、上12mm，求求A點(diǎn)的投影。點(diǎn)的投影。a a aXZYWYHOb bb 12106例題4 已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A點(diǎn)的三面投影圖。axayHayw151020aaa2-3直線的投影直線的投影一般仍為直線，特殊情況下積聚為一點(diǎn)。OXZY直線的投影直線的投影ABbb a b aa ZXa b aOYYa bb 空間任何一直線可由直線上任意兩點(diǎn)所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點(diǎn)的同面投影所確定。一、各種位置直線一般位置直線 與三個(gè)投影面都傾斜。投影面平行線 平

17、行于某一投影面，對(duì)另外兩個(gè)投影面都傾斜。投影面垂直線 垂直于某一投影面，對(duì)另外兩個(gè)投影面都平行。OXZY （1）一般位置直線ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均均小于實(shí)長(zhǎng)小于實(shí)長(zhǎng) 2 、a b、a b 、a b 均傾斜于投影均傾斜于投影軸軸 3 、 不反映不反映 、 、 實(shí)角實(shí)角一般位置線的判別一般位置線的判別 ： 三個(gè)投影三個(gè)斜，三個(gè)投影三個(gè)斜，定是一般位置線。定是一般位置線。 2-3 直線對(duì)投影面的相對(duì)位置一、特殊位置直線一、特殊位置直線1.1.直線平行于一個(gè)投影面直線平行于一個(gè)投影面 (1) (1) 水平線水平線 (2) (2)

18、 正平線正平線 (3) (3) 側(cè)平線側(cè)平線2.2.直線垂直于一個(gè)投影面直線垂直于一個(gè)投影面 (1) (1) 鉛垂線鉛垂線 (2) (2) 正垂線正垂線 (3) (3) 側(cè)垂線側(cè)垂線3.3.從屬于投影面的直線從屬于投影面的直線 從屬于投影面的直線從屬于投影面的直線 從屬于投影面的鉛垂線從屬于投影面的鉛垂線 從屬于投影軸的直線從屬于投影軸的直線二、一般位置直線二、一般位置直線（2） 投影面的平行線 （水平線）XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：1. ab OX ; ab OYW 2. ab=AB 3. 反映、 角的真實(shí)大小XZYO正平線 平行于正面投影面的直線Xa

19、bab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小aababbXZYO側(cè)平線 平行于側(cè)面投影面的直線XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小aa b a bb平行線空間位置的判別：平行線空間位置的判別： OXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點(diǎn)成一點(diǎn) 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB（3）鉛垂線

20、垂直于水平投影面的直線ABb a(b)a ab正垂線 垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：投影特性： 1、 a b 積聚積聚 成一點(diǎn)成一點(diǎn) 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWabbababa側(cè)垂線 垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b 積聚積聚 成一點(diǎn)成一點(diǎn) 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWab垂直線空間位置的判別垂直線空間位置的判別 ： 一點(diǎn)兩直線，定是垂直線；一點(diǎn)兩直線，定是垂直線；點(diǎn)在哪個(gè)面，垂直哪個(gè)面。點(diǎn)在哪個(gè)面，垂

21、直哪個(gè)面。 1 1、根據(jù)下列直線的兩面投影，（、根據(jù)下列直線的兩面投影，（1 1）判斷）判斷直線對(duì)投影面的位置；（直線對(duì)投影面的位置；（2 2）作出直線的第）作出直線的第三面投影三面投影（1 1）線線正平正平 分析：由于有兩個(gè)投影平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸，該線必平行于一個(gè)坐分析：由于有兩個(gè)投影平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸，該線必平行于一個(gè)坐標(biāo)面，故為投影面平行線。標(biāo)面，故為投影面平行線。 正面投影反映實(shí)長(zhǎng)，故為正平線。正面投影反映實(shí)長(zhǎng)，故為正平線。 解：補(bǔ)全側(cè)面投影。解：補(bǔ)全側(cè)面投影。 WYHY例題例題線線（2 2）水平水平 分析：由于有兩個(gè)投影平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸，該分析：由于有兩個(gè)投影平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸，該線必平行

22、于一個(gè)坐標(biāo)面，故為投影面平行線。線必平行于一個(gè)坐標(biāo)面，故為投影面平行線。 水平投影反映實(shí)長(zhǎng)，故為水平線。水平投影反映實(shí)長(zhǎng)，故為水平線。 補(bǔ)全水平投影。補(bǔ)全水平投影。 HYWYcdcdd c （3 3）線線側(cè)垂側(cè)垂 分析：一個(gè)投影積聚，兩個(gè)投影同時(shí)平行于一分析：一個(gè)投影積聚，兩個(gè)投影同時(shí)平行于一根坐標(biāo)軸。該線必為投影面垂直線。根坐標(biāo)軸。該線必為投影面垂直線。 側(cè)面投影積聚，故為側(cè)垂線。側(cè)面投影積聚，故為側(cè)垂線。 補(bǔ)全側(cè)面投影。補(bǔ)全側(cè)面投影。 HYWY線線（4 4）一般位置一般位置 分析：三個(gè)投影均不平行于軸，故為一般位置線。分析：三個(gè)投影均不平行于軸，故為一般位置線。 補(bǔ)全水平投影。補(bǔ)全水平投影

23、。 HYWYghh g gh四、作圖四、作圖1 1 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角 角角2 2 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角 角角3 3 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角 角角 例題例題1 1 一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角|zA-zB |ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|abO三、一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角三、一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角直角三角形法直角三角形法1 求線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角角2 求線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正

24、立投影面的夾角 角a bABABa b|yA-yB|AB|yA-yB|O|yA-yB|yA-yB|3 求線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)立投影面的夾角 角|xA-xB|xA-xB|W 例題例題 求線段求線段ABAB的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)H H、V V面的夾角面的夾角、。b baaZ實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)Y實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)ZY 例例4 已知已知 線段的實(shí)長(zhǎng)線段的實(shí)長(zhǎng)AB以及以及ab和和a，求它的正面投影，求它的正面投影ab。aXa bAOBb0bb0bb0b b bb0=|zB-zA| 典型例題典型例題已知等腰三角形已知等腰三角形ABC的斜邊為的斜邊為AC，頂，頂點(diǎn)點(diǎn)B在直線在直線CD上，試完成三角形上，試完成三角形ABC的兩面投影。

25、的兩面投影。直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性： 1 1 從屬性從屬性 若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。 2 2 定比性定比性 屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)或判利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以

26、在側(cè)平線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上。斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上。 四、直線上的點(diǎn)ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例5 已知線段已知線段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成1：2兩段，求分點(diǎn)兩段，求分點(diǎn)C的投影。的投影。O 例例6 已知點(diǎn)已知點(diǎn)C在線段在線段AB上，求點(diǎn)上，求點(diǎn)C的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVO4.2 直線的跡點(diǎn)XAb aa m N n bBM mnOVHa b bam mnn XO 直線與投影面的交點(diǎn)稱為跡點(diǎn)。它是屬于直線上直線與投影面的交點(diǎn)稱為跡點(diǎn)。它是屬于直線上的特殊點(diǎn)，既是直線上的點(diǎn)又是投影面上的點(diǎn)。的特殊

27、點(diǎn)，既是直線上的點(diǎn)又是投影面上的點(diǎn)。五、兩直線的相對(duì)位置五、兩直線的相對(duì)位置（1）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩反之，若兩直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。（2）平行兩線段之比等于其投影之比。）平行兩線段之比等于其投影之比。XbaadbbccABCDXbaabdcdc（1）平行兩直線OO（2）相交兩直線 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點(diǎn)屬于兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點(diǎn)屬于兩直線。兩直線。 反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且反之，若兩直

28、線在同一投影面上的投影相交，且交點(diǎn)屬于兩直線，則該兩直線相交。交點(diǎn)屬于兩直線，則該兩直線相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO（3）交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 XOBDACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2OdacboYWYHZXaacddcbb例例7 判斷兩直線的相對(duì)位置。判斷兩直線的相對(duì)位置。判斷重影點(diǎn)的可見性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐

29、標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例例8 8 判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性O(shè)六、六、垂直兩直線的投影垂直兩直線的投影AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時(shí)，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時(shí)，則空間兩直線一定垂直。ObbaaOfeefX例9 過(guò)點(diǎn)A 作直線直線EF 的垂線AB。 已知等邊三角形已知等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A，另兩點(diǎn)，另兩點(diǎn)B和和C在在直線直線MN上，試完成三角形上，試

30、完成三角形ABC的兩面投影。的兩面投影。2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法1. 幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：（1）不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；（2）一直線和直線外一點(diǎn)；（3）相交兩直線；（4）平行兩直線；（5）任意平面圖形。1.1.幾何元素表示法幾何元素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用幾何元素表示平面有五種形式：用幾何元素表示平面有五種形式：（1 1）不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；）不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；（2 2）一直線和直線外一點(diǎn)；）一直線和直線外一點(diǎn)；（3 3）相交兩直線；）相交兩直線；（4 4）平行兩直線；）平行兩直

31、線；（5 5）任意平面圖形。）任意平面圖形。2.2.各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性1.1.一般位置平面一般位置平面2.2.投影的垂直面投影的垂直面(1)(1)鉛垂面鉛垂面(2)(2)正垂面正垂面(3)(3)側(cè)垂面?zhèn)却姑?.3.投影的平行面投影的平行面(1)(1)水平面水平面(2)(2)正平面正平面(3)(3)側(cè)平面?zhèn)绕矫?一般位置平面一般位置平面abcbacababbaccbacCAB投影特性投影特性 1. abc 、 a b c 、 a b c 均為均為 ABC的類似形的類似形 2. 不反映不反映 、 、 的真實(shí)角度的真實(shí)角度 鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：1、 水平投影水平

32、投影abc積聚為一條直線積聚為一條直線 2 、正面投影、正面投影 a b c 、 側(cè)面投影側(cè)面投影a b c 為為 ABC的類似形的類似形 3 、 abc與與OX、 OY的夾角的夾角反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 VWHPPHABCacbababbaccc 正垂面正垂面投影特性：1、 正面投影abc 積聚為一條直線 2 、 水平投影abc、側(cè)面投影abc是 ABC的類似形 3 、 abc與OX、 OZ的夾角反映、 角的真實(shí)大小 VWHQQVababbacccAcCabB側(cè)垂面投影特性：投影特性：1、 側(cè)面投影側(cè)面投影a b c 積聚為一條直線積聚為一條直線 2 、 水平投影水平投影ab

33、c、正面投影、正面投影 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 3 、 a b c 與與OZ、 OY的夾角的夾角反映反映、角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 VWHSWSCabABcabbbaaccc水平面水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性： 1. a b c 、 a b c 積聚為一條線積聚為一直條線，具有積聚性積聚為一條線積聚為一直條線，具有積聚性 2. 水平投影水平投影abc反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 正平面正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性： 1. 1. abcabc 、 a a b b c c 積聚為一條直線，具有積聚

34、性積聚為一條直線，具有積聚性 2.2.正平面投影正平面投影a a b b c c 反映反映 ABCABC實(shí)形實(shí)形 側(cè)平面?zhèn)绕矫鎂WHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：投影特性： 1. abc 、 a b c 積聚為一直條線，具有積聚性積聚為一直條線，具有積聚性 2. 側(cè)平面投影側(cè)平面投影a b c 反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 二二. . 屬于平面的點(diǎn)和直線屬于平面的點(diǎn)和直線（一）、屬于一般位置平面的點(diǎn)和直線（二）、屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線（三）、屬于平面的投影面平行線（四）、屬于平面的最大斜度線（一）、屬于一般位置平面的點(diǎn)和直線1 1平面上的直線平面上的直線 直線在平面上的幾

35、何條件是：通過(guò)平面上的兩點(diǎn)；通直線在平面上的幾何條件是：通過(guò)平面上的兩點(diǎn)；通過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。2 2平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn) 點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。點(diǎn)在平面上的幾何條件是：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。 在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，實(shí)質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問(wèn)題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問(wèn)線的問(wèn)題。利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問(wèn)題：判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；題：判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面； 完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成

36、已知平面上的點(diǎn)和直線的投影； 完成多邊形的投影。完成多邊形的投影。1取屬于平面的直線 取屬于定平面的直線，要經(jīng)過(guò)屬于該平面的已知兩點(diǎn)；或經(jīng)過(guò)取屬于定平面的直線，要經(jīng)過(guò)屬于該平面的已知兩點(diǎn)；或經(jīng)過(guò)屬于該平面的一已知點(diǎn)，且平行于屬于該平面的一已知直線。屬于該平面的一已知點(diǎn)，且平行于屬于該平面的一已知直線。EDFddeeff 2取屬于平面的點(diǎn) 取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面的已知直線取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面的已知直線EDddee例題例題10 已知 ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。ddee例題例題11 已知已知 ABC ABC 給定一平面，（給定一平面，（1 1）判斷點(diǎn)）判斷點(diǎn)K

37、 K是否屬于該平面。是否屬于該平面。（2 2）已知平面上一點(diǎn)）已知平面上一點(diǎn)E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO例題例題12 已知點(diǎn)D在 ABC上，試求點(diǎn)D的水平投影 。dd例題例題13 已知點(diǎn)E在 ABC上，試求點(diǎn)E的正面投影 。ee（二）、屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線 1取屬于投影面垂直面的點(diǎn)和直線 2過(guò)一般位置直線總可作投影面的垂直面 (1) 幾何元素表示法 (2) 跡線表示法 3過(guò)特殊位置直線作平面 (1) 過(guò)正垂線作平面 (2) 過(guò)正平線作平面 bb1 取屬于投影面垂直面的點(diǎn)和直線aaeffeabbaSbaabAB2過(guò)一般位置直

38、線總可作投影面的垂直面過(guò)一般位置直線AB作鉛垂面PH過(guò)一般位置直線AB作正垂面SVPPHSVAB(1) 過(guò)一般位置直線作投影面的垂直線(幾何元素表示法)mn(n)(m)(2) 過(guò)一般位置直線作投影面的垂直面(跡線表示法)baSVQWPH(3) 過(guò)正垂線作平面 (跡線表示法)PVSVQVRV（a ）給題（c）作側(cè)平面（ b）作水平面（d）作正垂面（有無(wú)窮多個(gè)）(4) 過(guò)正平線作平面PHSHgg（a ）給題（c）作正垂面（ b）作正平面（d）作一般位置平面（有無(wú)窮多個(gè)）（三）、屬于平面的投影面平行線屬于平面的水平線和正平線 例題14、15P屬于平面的水平線和正平線PVPH例題例題14 已知 ABC

39、給定一平面，試過(guò)點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過(guò)點(diǎn)A作屬于該平面 的水平線。mnnm例題例題15 已知點(diǎn)E 在ABC平面上，且點(diǎn)E距離H面15，距離V 面10，試求點(diǎn)E的投影。mnmnrsrs1015ee（四）、屬于平面的最大斜度線1平面上的投影面最大斜度線平面上的投影面最大斜度線平面上對(duì)某個(gè)投影面傾角最大的直線。平面上對(duì)某個(gè)投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的夾角。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的夾角。2平面上對(duì)某投影面的最大斜度線與該平面上對(duì)某投影面的平行線相平面上對(duì)某投影面的最大斜度線與該平面上對(duì)某投影面的平行線相互垂直。互垂直。3平面上的投影面最大斜度線有三組，即

40、分別對(duì)正面投影面、水平投平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對(duì)正面投影面、水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。（1 1）平面上對(duì)水平投影面的最大斜度線）平面上對(duì)水平投影面的最大斜度線（2 2）平面上對(duì)正面投影面的最大斜度線）平面上對(duì)正面投影面的最大斜度線（3 3）平面上對(duì)側(cè)面投影面的最大斜度線）平面上對(duì)側(cè)面投影面的最大斜度線 例題例題16 16 例題例題17 17 例題例題18 18 例題例題1919PCDaE1 SAE（1）平面上對(duì)水平投影面的最大斜度線 EF AB平行于 H， EF垂直于 ABPEFBA（2）平面上對(duì)正面投影面的最大斜度線 CD AB平行

41、于V， CD垂直于 ABPCDBA（3） 平面上對(duì)側(cè)面投影面的最大斜度線 MN AB 平行于W， MN垂直于ABPBAMN例題例題16 求作 ABC平面上對(duì)水平面的最大斜度線BE 。bddee例題例題17 求 ABC平面與水平投影面的夾角 。be BEab例題例題18 過(guò)正平線作平面與水平投影面成 60。60bbbaaabAB例題例題19 已知直線EF為某平面對(duì)H面的最大斜度線，試作出該平面。aa給題例例2020求求 ABC平面與水平投影面的夾角平面與水平投影面的夾角 。be BEddeeabcabc2-5 2-5 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置一、平行問(wèn)題一

42、、平行問(wèn)題二、相交問(wèn)題二、相交問(wèn)題1.11.1直線與平面平行直線與平面平行 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。與該平面平行。PCDBA例例21 21 試判斷直線試判斷直線ABAB是否平行于平面是否平行于平面 CDECDE。fgfgbaabcededc結(jié)論：直線結(jié)論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面XO例例22 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)K作一水平線作一水平線AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO1.2 1.2 平面與平面平行平面與平面平行 若平面內(nèi)的兩相交直線對(duì)應(yīng)地平行于另一

43、平面內(nèi)的兩相交若平面內(nèi)的兩相交直線對(duì)應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個(gè)平面平行。直線，則這兩個(gè)平面平行。PSEFDACBf e d edfc a acb bm n mnr rss 結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行XO例例23 23 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行二、相交問(wèn)題二、相交問(wèn)題 2.1 積聚性積聚性 2.2 輔助平面法輔助平面法2.1.1 交點(diǎn)與交線的性質(zhì)交點(diǎn)與交線的性質(zhì) 直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直

44、線與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線是直線，它是兩個(gè)平面的共與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線是直線，它是兩個(gè)平面的共有線。求線與面交點(diǎn)、面與面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有有線。求線與面交點(diǎn)、面與面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線的投影。線的投影。 PABKDBCALKEF2.1.2 2.1.2 積聚性積聚性 當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到?？稍谥本€的另一個(gè)投影上找到。VHPHPABCacbkNKM2.1.3直線可見性

45、的判別b ba acc m mn k n 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線的可見性判別直線的可見性-觀察法觀察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前XOaa(b)bcedcefdfkk例例24 鉛垂線鉛垂線AB與一般位置平面與一般位置平面CDE相交，求交點(diǎn)并判別相交，求交點(diǎn)并判別可見性?？梢娦?。（2 2） 兩平面相交兩平面相交f k 求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有積聚性平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。交線可直接求

46、出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm l n bacc a b XOfk平面可見性的判別平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk過(guò)過(guò)AB作作平面平面P垂直于垂直于H投影面投影面2.2 2.2 輔助平面法輔助平面法DECP12KBA2PH1 作題步驟：作題步驟：1、 過(guò)過(guò)AB作鉛作鉛垂平面垂平面P。2、求、求P平面與平面與CDE的交線的交線。3、求交線、求交線與與AB的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。XOa b bacd e edc 12 kk 直線直線ABAB與平面與平面CDECDE相交，判別可見性。相交，判別可見性。( )a b bace edc d 124 （ ）kk XO3 342 1 以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)1 2 QV21步驟：步驟：1、 過(guò)過(guò)EF作正作正垂平面垂平面Q。2、求、求Q平面與平面與ABC的交線的交線。3、求交線、求交線與與EF的交的交點(diǎn)點(diǎn)K。f e efba acb c k k 利用求一般位利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。兩平面的交線。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線的方法兩一般位置平面相交求交