實驗教材1-緒論

1、設計與實踐基礎物理實驗11級科教、物理專業(yè)用華南師范大學物理實驗教學示范中心普通物理實驗室編 目 錄緒論 1力學常用儀器介紹13電學常用儀器介紹16實驗一 分壓器、限流器的使用與伏安法測電阻(217室) 24實驗二 多用電表的使用(217室) 27實驗三 惠斯登電橋(220室) 30實驗四 薄透鏡焦距的測定(205室) 34實驗五 單擺(223室) 38實驗六 物體密度的測定(223室) 40實驗七 簡諧振動特性研究(223室) 45實驗報告樣板48緒 論大學的物理實驗課是高等院校理科的一門必修基礎課程，是對學生進行科學實驗基本訓練，提高學生分析問題和解決問題能力的重要課程。它與物理理論課具有

2、同等重要的地位。這里主要介紹測量誤差理論、實驗數(shù)據(jù)處理、實驗結果表述等初步知識，這是進入大學物理實驗前必備的基礎。物理實驗可分三個環(huán)節(jié)：1）課前預習，寫預習報告。2）課堂實驗，要求親自動手，認真操作，詳細記錄。3）課后進行數(shù)據(jù)處理，完成實驗報告。其中：預習報告的要求： 1）實驗題目、實驗目的、實驗原理（可作為正式報告的前半部分）。2）畫好原始數(shù)據(jù)表格，單獨用一張紙。實驗報告內(nèi)容：（要用統(tǒng)一的實驗報告紙做）1) 實驗題目；2) 實驗目的；3) 實驗原理：主要公式和主要光路圖、電路圖或示意圖，簡單扼要的文字敘述；4) 主要實驗儀器名稱、規(guī)格、編號5) 實驗步驟：寫主要的，要求簡明扼要；6) 數(shù)據(jù)處

3、理、作圖（要用作圖紙）、誤差分析。要保留計算過程，以便檢查；7) 結論：要寫清楚，不要淹沒在處理數(shù)據(jù)的過程中；8) 思考題、討論、分析或心得體會；9) 附：原始數(shù)據(jù)記錄。測量誤差及數(shù)據(jù)處理誤差分析和數(shù)據(jù)處理是物理實驗課的基礎，是一切實驗結果中不可缺少的內(nèi)容。實驗中的誤差分析，其目的是對實驗結果做出評定，最大限度的減小實驗誤差，或指出減小實驗誤差的方向，提高測量結果的可信賴程度。對低年級大學生，重點放在幾個重要概念及最簡單情況下的誤差處理方法。一、測量與誤差1、 測量：把待測量與作為標準的量（儀器）進行比較，確定出待測量是標準量的多少倍的過程稱為測量。測量得到的實驗數(shù)據(jù)應包含測量值的大小和單位。

4、2、測量的分類測量可以分為兩類。按照測量結果獲得的方法來分，可分為直接測量和間接測量兩類；而從測量條件是否相同來分，又可分為等精度測量和非等精度測量。直接測量就是把待測量與標準量直接比較得出結果。如用米尺測量物體的長度，用電流表測量電流等。間接測量是借助函數(shù)關系由直接測量的結果計算出的物理量。例如已知了路程和時間，根據(jù)速度、時間和路程之間的關系求出的速度就是間接測量。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學技術的發(fā)展，測量儀器的改進，很多原來只能間接測量的量，現(xiàn)在可以直接測量了。等精度測量是指在相同條件下進行的多次測量，即：同一個人，用同一臺儀器，每次測量時周圍環(huán)境條件相同，所取參數(shù)相同。等

5、精度測量每次測量的可靠程度相同。注意：重復測量必須是重復進行測量的整個操作過程，而不是僅僅重復讀數(shù)。物理實驗中大多采用等精度測量。反之，若每次測量時的條件不同，如測量儀器改變，或測量方法條件改變，或不同的人。這樣所進行的一系列測量叫做非等精度測量。3、描述儀器性能的基本概念描述儀器性能的基本概念有儀器精密度、準確度和量程等。儀器精密度：是指儀器能分辨的物理量的最小值，一般是儀器的最小分度值。儀器最小的分度越小，儀器精密度就越高，所測量物理量的精密度也越高。對測量讀數(shù)最小一位的取值，一般在儀器最小分度范圍內(nèi)再估讀一位數(shù)字。如米尺的最小分度為毫米，其精密度就是1毫米，應估讀到毫米的十分位。 儀器準

6、確度：是指儀器測量讀數(shù)的可靠程度。一般標在儀器上或?qū)懺趦x器說明書上。如電學儀表所標示的級別就是該儀器的準確度。對不同的儀器準確度是不一樣的，如對測量長度的常用儀器：米尺、游標卡尺和螺旋測微器，它們的儀器準確度依次提高。量程：是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍（有時也將所能測量的最大值稱量程）。測量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準確度降低，使用壽命縮短，重則損壞儀器。4、誤差與偏差在一定條件下，任何物理量的大小都有一個客觀存在的真實值，稱為真值。測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實數(shù)據(jù)，但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及觀測者水平等多

7、種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，即測量值x與真值a之間總是存在著這種差值，這種差值稱為測量誤差，即xa顯然誤差有正負之分，常稱為絕對誤差。注意，絕對誤差不是誤差的絕對值！設某個物理量真值為a ，進行n 次等精度測量，測量值分別為x1，x2， xn，（不考慮系統(tǒng)誤差）?？勺C明其算術平均值為最佳估計值： （1）當測量次數(shù)n時，即為測量值的近似真實值。為了估計誤差，定義測量值與近似真實值的差值為偏差。即。實驗中真值是得不到，因此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準確知道，實驗誤差分析中常用偏差來描述測量結果的精確程度。5、系統(tǒng)誤差與隨機誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差。

8、1）系統(tǒng)誤差是指在一定條件下多次測量的結果總是向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源有以下幾個方面：（1）儀器誤差。由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差；例如，用秒表測量運動物體通過某一段路程所需要的時間，若秒表走時偏快，即使測量多次，測量的時間t總是偏大為一個固定的數(shù)值，這是儀器不準確造成的誤差。（2）理論誤差。由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒灄l件不能達到理論公式所規(guī)定的要求，或測量方法等所帶來的誤差；（3）觀測誤差。由于觀測者本人生理或心理特點造成的誤差。通常與觀測者反應和觀察習慣有關，它因人而異，并與觀測

9、者當時的精神狀態(tài)有關。例如，按秒表時習慣提前或滯后。在任何一項實驗工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對測量結果進行修正。以下介紹幾種常用的方法。（1）檢定修正法：指將儀器、量具送計量部門檢驗取得修正值，以便對某一物理量測量后進行修正。（2）替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個已知標準量替換被測量來減小系統(tǒng)誤差。（3）異號法：指對實驗時在兩次測量中出現(xiàn)符號相反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數(shù)會產(chǎn)生一個附加誤差，若將儀表轉動180°再進行一次測量，外磁場將對讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，

10、引起負的附加誤差。兩次測量結果平均，正負誤差可以抵消，從中可以減小系統(tǒng)誤差。2）隨機誤差是指在實際測量條件下，多次測量同一量時，誤差時大時小、時正時負，以不可預定方式變化著的誤差叫做隨機誤差，也叫偶然誤差。當測量次數(shù)很多時，隨機誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實踐和理論都已證明，隨機誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布，如圖1），其特點是：f()- 0 圖1絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性）；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同（對稱性）；絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性）；誤差的算術平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零（抵償性）。因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機誤差，但不能

11、完全消除。引起隨機誤差的原因很多，它與儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關。如儀器顯示數(shù)值的估計讀數(shù)位偏大和偏??；測量環(huán)境擾動變化以及其它不能預測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾等。由于測量者過失、實驗方法不合理、用錯儀器、操作不當、讀錯數(shù)值或記錯數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差。過失誤差是可以避免的。6、隨機誤差的估算設在等精度測量中，一組n 次測量的值分別為：x1，x2，xn，這組測量值稱為測量列。誤差理論證明，測量列中某次測量值的標準偏差為 （2）其意義表示某次測量值的隨機誤差在之間的概率為68.3。（2）式稱為貝塞爾公式。7、算術平均值的標準偏差當測量次數(shù)n有限，其

12、算術平均值的標準偏差為 （3）其意義是測量平均值的隨機誤差在之間的概率為68.3%?；蛘哒f，待測量的真值在范圍內(nèi)的概率為68.3。這個概率叫置信概率，也叫置信度，用p表示，即p0.683。 是反映了平均值接近真值的程度。但不要誤認為真值一定就會落在之間。類似地，待測量的真值在范圍內(nèi)的概率為95.4，此時的置信度p0.954。正態(tài)分布f()t分布0圖28、t分布由于在實際工作中，測量次數(shù)n不可能趨于無窮。當測量次數(shù)較少時，隨機誤差服從的規(guī)律不是正態(tài)分布，而是t分布。t分布的曲線比正態(tài)分布的要平坦，兩者的分布函數(shù)不同，n較小時, t分布偏離正態(tài)分布較多，n較大時, 趨于正態(tài)分布。如圖2所示。對t分

13、布，只在公式 (3)的基礎上乘以一個t因子，即 （4）或 （5）t值是與測量次數(shù)等有關的，如下表是當p=0.95的t值： n3456789101520100t4.303.182.782.572.452.362.312.262.142.091.97 2.481.591.2041.05.9260.8340.7700.7150.5530.4670.139由該表可知，當5n10時，接近1，由（5）式可知ASx。對教學實驗，測量次數(shù)一般取510次，所以可用（2）式作為估算偏差的公式。9、異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標準有幾種，有3準則、肖維準則、格拉布斯準則等。下面是3準則：統(tǒng)計理論表明，測量值

14、的偏差超過3的概率已小于1。因此，可以認為偏差超過3的測量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應當剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測量值的偏差和標準偏差，把其中最大的與3比較，若3，則認為第j個測量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計。剔除后，對余下的各測量值重新計算偏差和標準偏差，并繼續(xù)審查，直到各個偏差均小于3為止。測量結果的評定和不確定度一、不確定度的含義在物理實驗中，因真值得不到，測量誤差也就不能肯定。為此，1992年國際計量大會以及四個國際組織制定了測量不確定度表達指南。1993年此指南經(jīng)國際理化等組織批準實施。對一個物理實驗的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測量值（近真值）附近的

15、一個范圍，測量值與真值之差（誤差）可能落于其中。它是對誤差的一種量化估計，是對測量結果可信賴程度的具體評定。不確定度小，測量結果可信賴程度高；不確定度大，測量結果可信賴程度低。所以用不確定度的概念對測量數(shù)據(jù)做出評定比用誤差來描述更合理。二、測量結果的表示和不確定度1、測量結果的不確定度在做物理實驗時，要求表示出測量的最終結果。即（單位） （6）式中x為待測量；是測量的近似真實值,是總的不確定度，三者的數(shù)量級、單位要相同。簡單起見，不確定度一般保留一位有效數(shù)字，多余的位數(shù)一律進位。的末尾數(shù)與不確定度的所在位數(shù)對齊。這種表達形式反應了三個基本要素：測量值、不確定度和單位，缺一不可，否則就不能全面表

16、達測量結果。2、相對不確定度相對不確定度定義為 （8）有時候還需要將測量結果與公認值或理論值進行比較（百分偏差）： （9）x理可以是公認值，或高一級精密儀器的測量值。相對不確定度一般取2位有效數(shù)字。3、測量結果在物理實驗中，直接測量時若不需要對被測量進行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量的算術平均值作為近似真實值；若在實驗中有時只需測一次或只能測一次，該次測量值就被認為是測量的近似真實值。如果要求對被測量值進行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對值和符號都確定的可估計出的不確定度分量）從算術平均值或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結果的近似真實值。例如，用螺旋測微器來測量

17、長度時，從被測量結果中減去螺旋測微器的零點讀數(shù)。 4、測量結果的表示 表示測量最后結果時，一般要求絕對和相對的不確定度同時表示出，才能較全面的結果表示。即（單位） 或 三、不確定度的兩類分量在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機誤差等方面進行綜合考慮的，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類：統(tǒng)計不確定度（A類）和非統(tǒng)計不確定度（B類）?？偟牟淮_定度是由兩類分量（A類和B類）求“方和根”計算而得。為使問題簡化，此處只討論簡單情況下（即A類、B類分量保持各自獨立變化，互不相關）的不確定度的合成。A類不確定度（統(tǒng)計不確定度）是指可以采用統(tǒng)計方法（即具有隨機誤差性質(zhì)）計算的不確定度，即是前面所說

18、的偶然誤差，可以用（5）式或（2）式計算，用A表示。B類不確定度（非統(tǒng)計不確定度）是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度，為系統(tǒng)誤差。如實驗室中的測量儀器不準確，量具磨損老化等等，用表示。本書對B類不確定度的估計作簡化處理，只考慮儀器不確定度。所以因儀器不準確對應的B類不確定度為 I為儀器不確定度。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器不確定度，由制造廠或計量檢定部門給定。物理實驗教學中，可由實驗室提供。儀器不確定度一般可分兩種情況處理：已知儀器準確度時，這時以其準確度作為不確定度大小。如一個量程150mA，準確度0.2級的電流表，測某一次電流，讀數(shù)為131.2mA。可估算出最大絕對不確定度為=

19、量程×級別150×0.2=0.3mA，因而該次測量的結果可寫成I131.2±0.3mA。其相對不確定度為EI0.3/131.2=0.23%，大于0.2。因此，測量值越接近量程，相對不確定度越小。對于沒有標明準確度的儀器，因在制造儀器時，其最小的分度數(shù)值是受儀器準確度約束的。所以，對連續(xù)讀數(shù)的儀器，最大讀數(shù)不確定度可取儀器最小刻度值的1/10、1/5、1/2或最小刻度，具體可根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官的分辨能力，以及觀測時的環(huán)境條件等因素來考慮。而無法進行估計的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，可簡單取其最末位數(shù)的1作為儀器不確定度。（若末位或末

20、兩位不穩(wěn)定，可記錄穩(wěn)定的數(shù)值加一位不穩(wěn)定的，或根據(jù)其變化規(guī)律，四舍五入到穩(wěn)定的那位。儀器不確定度則取穩(wěn)定位的1，或根據(jù)不穩(wěn)定位變化的程度來取。）合成不確定度為A類不確定度和B類不確定度的合成 （7） 在計算總的不確定度中求“方和根”時，若某一平方值小于另一平方值的1/9，則這一項就可以略去不計。這一結論叫做微小誤差準則。在進行數(shù)據(jù)處理時，利用微小誤差準則可減少不必要的計算。對于單次測量，一般是以最大不確定度進行估計?？捎脙x器不確定度作為合成不確定度，即： 。 四、直接測量的不確定度直接測量的不確定度的合成，用（5）式或（2）式計算A類不確定度。對B類不確定度，主要討論儀器的不確定度。例1用感量

21、為0.1g的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g ,求物體質(zhì)量的測量結果。（感量：在儀器上有標出，一般為最小分度值）解：用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復測量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進行單次測量即可。單次測量的讀數(shù)即為近似真實值，m35.41g。對物理天平通常取感量的1/2，作為儀器不確定度，即 0.05（g）測量結果為 m35.41±0.05（g）因為是單次測量, 總的不確定度中A無法估算, 所以。但是這個結論并不表明單次測量的就小，因為n1時,是發(fā)散的。例2用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為d（mm）11.92211.92311.92411.92111.92

22、0螺旋測微器的最小分度數(shù)值為0.01mm 試寫出測量結果的標準式。解：（1）求直徑 d 的算術平均值 11.922（mm）（2）計算B類不確定度螺旋測微器的儀器不確定度（取最小刻度值的1/2）為0.005（mm） 0.005（mm）（3）計算A類不確定度 =0.002(mm) （4）合成不確定度 =0.006(mm)（5）相對不確定度：（6）測量結果： E0.050%測量不確定度表達涉及到深廣的知識領域和誤差理論問題。因此，在保證科學性的前提下，在教學中盡量把方法簡化，為初學者易于接受。以后在工作需要時，可以參考有關文獻繼續(xù)深入學習。 有效數(shù)字及其運算法則一、有效數(shù)字的概念1、有效數(shù)字的定義若

23、用最小分度值為1mm的米尺測量某物體的長度，讀數(shù)為56.3mm。其中5和6這兩個數(shù)字是從米尺的刻度上準確讀出的，可以認為是準確的，叫做可靠數(shù)字。末尾數(shù)字3是從米尺最小分度值上估計出來的，是不準確的，叫做欠準數(shù)（或稱可疑數(shù)字）。顯然有一位可疑數(shù)字，使測量值更接近真實值，更能反映客觀實際。因此，測量值保留到這一位是合理的，即使估計數(shù)是0，也不能舍去。故測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位可疑數(shù)字稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字數(shù)字的個數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)。注意：有效數(shù)字的位數(shù)不要與小數(shù)點后的位數(shù)混淆。如上述的56.3mm稱為3位有效數(shù)字，但小數(shù)后只有1位。有效數(shù)字的位數(shù)與十進制單位的變換無關，即與小

24、數(shù)點的位置無關。因此，用以表示小數(shù)點位置的0不是有效數(shù)字。當0不是用作表示小數(shù)點位置時，0和其它數(shù)字具有同等地位，都是有效數(shù)字，即有效數(shù)字中間與末尾的0，均應算作有效位數(shù)。如0.0135 m和1.05cm及13.0mm都是三位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看出測量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度為毫米的尺子測量的，而1.030m是用最小刻度為厘米的尺子測量的。2、結果的表示由于最后一位可疑位是不確定的，即是不確定度所在位。所以，若把測量結果寫成542.817±0.5（mm）是錯誤的，由不確定度0.5（mm）可以得知，數(shù)據(jù)的小數(shù)0.8 已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來

25、沒有多大意義，正確的寫法應當是：542.8±0.5（mm）。即，結果的尾數(shù)應與不確定度的所在位對齊，后面的位數(shù)可以簡單地四舍五入。二、直接測量的有效數(shù)字記錄物理實驗中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字（包括最后一位估計讀數(shù)）都應讀出，并記錄下來。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是0時，此0也要記錄。儀器不確定度在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的可疑位就記錄到哪一位。對于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。例如，測出物體長為52.4 mm 與52.40 mm 是不同的兩個測量值，也是屬于不同儀器測量的兩個值，從這兩個值可以看出測量前者的儀器精度低，測量后者的儀器精度高出一個數(shù)量

26、級。在記錄直接測量的有效數(shù)字時，常用科學表達式。如0.0451 m 或45.1 mm，可表示為4.51×102m。三、有效數(shù)字的運算法則測量結果的有效數(shù)字，只能允許保留一位可疑數(shù)字。根據(jù)這一原則，為了簡化有效數(shù)字的運算，約定下列規(guī)則：1加法或減法運算若干個數(shù)進行加法或減法運算，其和或者差的結果的可疑數(shù)字的位置與參與運算各個量中的可疑數(shù)字的位置最高者相同。因此，幾個數(shù)進行加法或減法運算時，可先將多余數(shù)修約（四舍五入），將應保留的可疑數(shù)字的位數(shù)多保留一位進行運算，最后結果按保留一位可疑數(shù)字進行取舍。2乘法和除法運算有效數(shù)字進行乘法或除法運算時，乘積或商的結果的有效數(shù)字的位數(shù)，一般與參與運

27、算的各個量中有效數(shù)字的位數(shù)最少者相同，或多一位。實際運算過程，可比參與運算的位數(shù)最少者多取一位，最后由結果的不確定度決定。如：7.65+8.268=15.92 3.841×4.42=9.30 3.841×8.42=32.343.8 4 1× 8. 4 27 6 8 21 5 3 6 43 0 7 2 83 2.3 4 0 2 23.8 4 1× 2. 4 27 6 8 21 5 3 6 47 6 8 2 9.2 9 5 2 2 式中有下劃線的表示可疑數(shù)字。3乘方和開方運算乘方和開方運算的有效數(shù)字的位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。4、三角函數(shù)：結果有效數(shù)

28、字由度數(shù)的有效位數(shù)決定 例：sin30o07(4位) sin30.12o=0.5018 (注意：不寫成sin30o7)5、指數(shù)：結果的有效數(shù)字，與指數(shù)小數(shù)點后的位數(shù)相同。例：105.755.6×105； 100.0751.196、對數(shù)：結果的有效數(shù)字，其尾數(shù)（小數(shù)點后的位數(shù)）與真數(shù)的位數(shù)相同，或多取一位。例：ln1.550=0.43837、對任意函數(shù)： 可將數(shù)值末位改變1，運算后，看結果是哪位變化了，就保留到開始變化那位。例：ln1.550=0.43825，末位改變1：ln1.551=0.43890，所以，可取小數(shù)后4位：0.4383。8、自然數(shù) 1,2,3,4,不是測量而得，因此，

29、可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，書寫也不必寫出后面的0，如D2R，D的位數(shù)僅由R的位數(shù)決定。9、無理常數(shù),的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。 例如L2R，若測量值時，應比參加運算的最少位數(shù)多取一位，取為3.142。即。用計算器計算，可直接輸入。上述規(guī)定和方法，是為了簡化有效數(shù)字的運算，及作為不需算不確定度時，有效位數(shù)取值的參考，但并非完全準確。在實際的不確定度估算時，作為中間過程，可比上述規(guī)定取多12位，最后由結果的不確定度決定有效位數(shù)。間接測量結果的不確定度間接測量的近似真實值和不確定度是由直接測量結果通過函數(shù)式計算出來的，既然直接測量存在不確定度，那么間接測量也必有不確定度，這就是不確定度的

30、傳遞。由直接測量值及其不確定度來估算間接測量值的不確定度之間的關系式稱為不確定度的傳遞公式。設間接測量的函數(shù)式為 NF（x , y , z , ）N為間接測量的量，它有K個直接測量的物理量x , y , z , ，各直接觀測量的測量結果分別為，。（1）若將各個直接測量量的近似真實值代入函數(shù)表達式中，即可得到間接測量的近似真實值。 （2）求間接測量的不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學中的微小增量，對函數(shù)式NF（x , y , z , ）求全微分，即得 式中dN , dx , dy , dz , 均為微小量，dN 的變化由各自變量的變化決定,為函數(shù)對自變量的偏導數(shù), 將上面全微分式中的微

31、分符號d改寫為不確定度符號，并將微分式中的各項求“方和根”，即為間接測量的合成不確定度 （10）這里 x , y , z , 各量應相互獨立。當間接測量的函數(shù)表達式為積和商（或含和差的積商形式）時，為了使運算簡便起見，可以先將函數(shù)式兩邊同時取自然對數(shù)，然后再求全微分。即 同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根”，即為間接測量的相對不確定度EN，即 （11）已知、，由（11）式可以求出不確定度 （12）附表：常用函數(shù)的不確定度傳遞公式 函數(shù)關系式不確定度傳遞公式今后在計算間接測量的不確定度時，對函數(shù)表達式僅為“和差”形式，可以直接利用（10）式，求出間接測量的不確定度，若函數(shù)表達式為積和

32、商（或積商和差混合）等較為復雜的形式，可直接采用（11）式，先求出相對不確定度，再求出不確定度。附表為常用函數(shù)的不確定度傳遞公式，可直接應用。(注意應用附表時，要求各變量是相互獨立的)例1已知電阻R150.2±0.5（）, R2149.8±0.5（）, 求它們串聯(lián)的電阻R和不確定度。解：串聯(lián)電阻的阻值為R50.2149.8200.0（）由附表第一行公式求得不確定度為 （）相對不確定度 測量結果為 R200.0±0.7（） 注意：不確定度保留一位有效數(shù)字，相對不確定度保留2 位有效數(shù)字。例2測量金屬環(huán)的內(nèi)徑D128.80±0.04（mm），外徑D236.0

33、0±0.04（mm）, 厚度 h25.75±0.04（mm）。試求環(huán)的體積V。解： （1）環(huán)體積的近似真實值為（2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分 則相對不確定度為 =0.81%（3）合成不確定度為（4）環(huán)體積的測量結果為 V（9449）×10 (mm)3 EV0.81%注意： 結果的末尾數(shù)與不確定度的所在位對齊。數(shù)據(jù)處理方法物理實驗中測量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測量的最終結果。數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到得出結果為止的加工過程。數(shù)據(jù)處理包括記錄、整理、計算、分析、擬合等多種處理方法，常用有列表法、作圖法、圖解法、最小二乘法等。一、列表法列

34、表法是記錄數(shù)據(jù)的基本方法。是記錄的最好方法。設計記錄表格要求：1列表要簡單明了，利于記錄、運算處理數(shù)據(jù)和檢查處理結果，便于一目了然地看出有關量之間的關系。2表中各欄中的物理量都要用符號標明，并寫出數(shù)據(jù)所代表物理量的單位及量值的數(shù)量級。單位寫在符號標題欄，不要重復記在各個數(shù)值上。3記錄的數(shù)據(jù)，應正確反映測量結果的有效數(shù)字。一般記錄表格還有序號和名稱。例如：要求測量圓柱體的體積，圓柱體高H和直徑D的記錄如下：測柱體高H和直徑D記錄表測量次數(shù)i12345平 均Hi（mm）35.3235.3035.3235.3435.3035.326D i（mm）8.1358.1378.1368.1338.1328.

35、1347二、作圖法用作圖法處理實驗數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理的常用方法之一，它能直觀地顯示物理量之間的對應關系，揭示物理量之間的聯(lián)系。作圖法是在現(xiàn)有的坐標紙上用圖形描述各物理量之間的關系，將實驗數(shù)據(jù)用幾何圖形表示出來，叫做作圖法。在作圖時要注意以下幾點：1作圖一定要用坐標紙。當決定了作圖的參量以后，根據(jù)函數(shù)關系選用直角坐標紙，單對數(shù)坐標紙，雙對數(shù)坐標紙，極坐標紙等，本教材主要要求學會用直角坐標紙。2坐標紙的大小及坐標軸的比例。應當根據(jù)所測得的有效位數(shù)和結果的需要來確定，原則上數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應當標出，數(shù)據(jù)中可靠位的最后一位在圖中應是整數(shù)格。除特殊需要外，數(shù)值的起點一般不必從0開始，X軸和Y軸的比例可

36、以采用不同的比例，使作出的圖形大體上能充滿整個坐標紙，圖形布局美觀、合理。3標明坐標軸。對直角坐標系，一般是自變量為橫軸，因變量為縱軸，采用粗實線描出坐標軸，并用箭頭表示出方向，注明所示物理量的名稱，單位。坐標軸上標的量值的有效位數(shù)應與測量值的有效位數(shù)相同，且標整數(shù)。4描點。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，用直尺和筆尖使其函數(shù)對應的實驗點準確地落在相應的位置，一張圖紙上畫上幾條實驗圖線時。每條圖線應用不同的標記如“×”、“+”等符號標出，以免混淆。5連線。根據(jù)不同函數(shù)關系對應的實驗數(shù)據(jù)點分布，把點連成直線或光滑的曲線或折線，連線必須用直尺或曲線板，校準曲線中的數(shù)據(jù)點則連成折線。由于每個實驗數(shù)據(jù)都有一定

37、的不確定度，所以將實驗數(shù)據(jù)點連成直線或光滑曲線時，繪制的圖線不一定通過所有的點，應讓多數(shù)實驗點落在曲線上, 其余的點均勻分布在曲線的兩側，即盡可能使曲線兩側所有點到直線的距離之和最小并且接近相等，個別偏離很大的點應當應用異常數(shù)據(jù)的剔除中介紹的方法進行分析后決定是否舍去，原始數(shù)據(jù)點應保留在圖中。6寫圖名。作完圖后，在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的名稱、作者和作圖日期，有時還要附上簡單的說明，如實驗條件等，使讀者一目了然。作圖時，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代表的物理量寫在后面，中間用“”聯(lián)接。7最后將圖紙貼在實驗報告的適當位置，便于教師批閱實驗報告。三、圖解法在物理實驗中，實驗圖線

38、做出以后，可以由圖線求出經(jīng)驗公式。圖解法就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作好的圖線，用解析法找出相應的函數(shù)形式。實驗中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線。特別是當圖線是直線時，采用此方法更為方便。1由實驗圖線建立經(jīng)驗公式的一般步驟：（1）根據(jù)解析幾何知識判斷圖線的類型；（2）由圖線的類型判斷公式的可能特點；（3）利用半對數(shù)、對數(shù)或倒數(shù)坐標紙，把原曲線改為直線；（4）確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗公式的形式，用實驗數(shù)據(jù)來檢驗所得公式的準確程度。2用直線圖解法求直線的方程如果做出的實驗圖線是一條直線，則經(jīng)驗公式應為直線方程 ykxb （13）要建立此方程，由實驗直接求出k（斜率）和b（截距），一般有兩

39、種方法?？捎眯甭式鼐喾ê投酥登蠼夥?。其中斜率截距法：在圖線上選取兩點P1（ x1，y1 ）和P2（ x2，y2 ），其坐標值最好是整數(shù)值，或橫坐標取整數(shù)值。用特定的符號表示所取的點，與實驗點相區(qū)別。一般不要取原實驗點。所取的兩點在實驗范圍內(nèi)應盡量彼此分開一些，以減小不確定度。根據(jù)兩點的坐標求出斜率k為 （14）其截距b為 x0 時的y值；若原實驗中所繪制的圖形并未給出 x0段直線，可將直線用虛線延長交y軸，則可量出截距。如果起點不為零，也可以由式 (15)求出截距，求出斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗公式。例：金屬導體的電阻隨著溫度變化的測量值為下表所示，試求經(jīng)驗公式Rf（T）和電阻溫

40、度系數(shù)。溫度（）19.125.030.136.040.045.150.0電阻（）76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10根據(jù)所測數(shù)據(jù)繪出RT圖，如圖3所示。由圖求出直線的斜率和截距85.0080.0075.0070.000.020.040.0TR圖3某金屬絲電阻溫度曲線10.030.050.0 （） b72.00（）于是得經(jīng)驗公式 R72.000.296T該金屬的電阻溫度系數(shù)為 （1/）3曲線改直，曲線方程的建立PVO圖4 PV曲線POV圖5P1/V曲線在實驗工作中，許多物理量之間的關系并不都是線性的，由曲線圖直接建立經(jīng)驗公式一般是比較困難的，但仍可通過適當?shù)淖儞Q

41、而成為線性關系，即把曲線變換成直線，再利用建立直線方程的辦法來解決問題。這種方法叫做曲線改直。例如：PV=C，式中C為常量，曲線如圖4所示，要變換成P=C(1/V)，P是1/V的線性函數(shù)，斜率為C ，曲線如圖5所示。習 題1指出下列各量是幾位有效數(shù)字？（1） 63.74 cm; （2） 0.302 cm; （3） 0.0100 cm ; （4）12.61s ; 2試用有效數(shù)字運算法則計算出下列結果（1）107.50 2.5；（2）273.5÷0.100；（3）1.50×0.500；（4）；3. 一圓柱體，已知高h4.120±0.001（cm），直徑d2.040&#

42、177;0.001（cm）, m149.18±0.05（g）。求V 和密度的測量結果。4改正下列錯誤，寫出正確答案（1）L0.01040（km）的有效數(shù)字是五位；（2）d12.435±0.02（cm ）；（3）h27.3×10 4±2000（km）；（4）R6371 km6371000m637100000（cm）；（5）t=8.50±0.452s（6）60±2。5單位變換（1）將 L4.25±0.05（cm）的單位變換成m , mm , m , km 。（2）將 m1.750±0.001（kg）的單位變換成 g ,

43、 mg , t 。6利用單擺測重力加速度g，當擺角5°時，T2, 式中擺長L97.69±0.02 （cm），周期T1.9842±0.0002（s）。求g和 ，并寫出結果的標準式。7不確定度按形式可分為 和 ,按其性質(zhì)可分為 和 。8準確度等級為0.5級,量程為10mA的電流表,使用時可能產(chǎn)生的儀器不確定度為 mA,若要求測量的相對不確定度不超過1%,則被測電流應不小于 mA。9現(xiàn)有兩只伏特表甲和乙，分別為0.5級0300V和1.0級0100V，欲測100V左右的電壓，宜選用 表。10下列說法中正確的有( )。 A.可用儀器最小分度或最小分度的一半作為該儀器的一次測

44、量的不確定度; B.可以用儀器精度等級估算該儀器一次測量的不確定度; C.只要知道儀器的最小分度值,就可以大致確定儀器不確定度的數(shù)量級。D.任何一次測量值落在之間的可能性為57.5%; 11( )。 A.; B.; C.; D.。12. 用精密天平稱一物體的質(zhì)量m,共稱五次, 結果分別為3.6127克、3.6122克、3.6120克、3.6121克、3.6125克。試求這些數(shù)據(jù)的算術平均值、不確定度和相對不確定度。13. 用米尺測得正方形某一邊長為a1=200.1mm, a2=200.0mm, a3=200.4mm, a4=198.4mm, a5=197.3mm求正方形的邊長和面積的平均值、不

45、確定度和相對不確定度。14.用流體靜力稱衡法測固體密度的公式為測得m =(27.06±0.02)g, m1=(17.03±0.02)g, 。求。15. 已知。16. 用圖解法處理數(shù)據(jù)，若實驗圖線為直線, 則應讓 落在直線上, 分布在直線的兩側。確定直線斜率時, 所選的兩點在實驗范圍內(nèi)應盡量 , 一般 選用實驗點，而應在直線上選兩點。數(shù)據(jù)中的準確位在圖中應是 格。17、坐標軸上標的量值的有效位數(shù)應與測量值的有效位數(shù) ，且標整數(shù)。參考文獻：1、 何焰藍、楊俊才，大學物理實驗，北京，機械工業(yè)出版社，2004.52、 王銀峰、陶純匡、汪濤等，大學物理實驗，北京，機械工業(yè)出版社，20

46、05.9力學常用儀器介紹力學常用儀器有米尺、游標卡尺、千分尺（螺旋測微計）、讀數(shù)顯微鏡、天平和計時器（包括秒表）等儀器用具由于篇幅關系，此處只介紹游標卡尺、千分尺和讀數(shù)顯微鏡，物理天平、數(shù)字計時器在相應的實驗中介紹，而米尺、秒表等簡單的儀器不在此處贅述1 游標卡尺游標是為了提高角度、長度微小量的測量精度而采用的一種讀數(shù)裝置，長度測量用的游標卡尺就是用游標原理制成的典型量具(1) 結構圖1 游標卡尺如圖1所示，游標卡尺主要由主尺D及套在主尺上并能沿主尺滑動的副尺E（又稱游標）組成。分度值為毫米的主尺實際上是普通的鋼制米尺，其上有兩個垂直于主尺的固定量爪A和副尺上除了有個垂直于主尺的活動量爪B和,

47、還有尾尺C，緊固螺釘F及推把G松開F，副尺可沿主尺滑動量爪A、B（也叫外卡）用來測量物體長度和外徑，量爪、（也叫內(nèi)卡）用來測量內(nèi)徑，尾尺C則用來測量槽、孔深度當量爪AB緊密合攏時，量爪的直邊處在同一平面上，而且尾尺的尾端與主尺尾端、副尺上的零線與主尺上的零線剛好分別對齊（2）讀數(shù)原理(a)圖2 50分游標的主尺與游標尺主尺游標主尺游標(b)游標量具是由主尺（固定不動）和沿主尺滑動的游標尺組成的主尺一格（兩條相鄰刻線間的距離）的寬度與游標尺一格的寬度之差，稱為游標分度值目前，游標卡尺的主尺刻度為每格1mm，游標分度值有0.10mm ,0.05mm, 0.02mm三種，分別對應10分度、20分度、

48、50分度三種游標分度圖2是它的讀數(shù)原理示意圖游標上有50個分格，其總長正好等于主尺的9個分格主尺上一個分格是1mm，因此游標上50個分格的總長等于49mm，它一個分格長度是0.98mm，與主尺一格的寬度之差（即游標分度值）為0.02mm從圖2（a）中兩尺（游標尺和主尺）的“0”線對齊開始向右移動游標尺，當移動0.02mm時，兩尺上的第一根線對齊，兩根“0”線間相距為0.02mm以此類推，當游標卡尺移動0.98mm時，兩尺的第49根線對齊，這時兩根“0”線相距為0.98mm，該值就是游標卡尺在該位置時主尺的小數(shù)值（3）游標卡尺的讀數(shù) 零點修正測量之前，檢查游標卡尺和主尺在量爪合攏時，零線是否重合

49、，如不重合，讀出兩條刻度線間的距離在此情況下，若測量物體長度后的讀數(shù)為，則物體的長度為當量爪A、B合攏時，若副尺零刻度在主尺零刻度左邊，上式取正號，反之取負號 讀數(shù)圖3游標卡尺的讀數(shù)方法代表整數(shù)代表小數(shù)游標尺的“0”線是讀毫米的基準主尺上靠近游標“0”線左邊最近的那根刻線的數(shù)字就是主尺的毫米值（整數(shù)值）；然后，再看游標尺上哪一根線與主尺上的刻度線對齊，將該線的序號乘游標分度值之積，就是主尺的小數(shù)值將整數(shù)和小數(shù)相加，就是所求的數(shù)值讀數(shù)時要注意，主尺上刻的數(shù)字單位是厘米，讀數(shù)應將其單位轉換為毫米例如，從圖3中看到，主尺上靠近游標“0”線左邊最近的那根刻線是21mm，所以整數(shù)是21mm；游標的刻線與主尺上的對齊是第31根，所以小數(shù)是0.02mm×31=0.62mm，故兩次讀數(shù)之和為21.62mm但實際讀數(shù)不必用對齊刻線條數(shù)乘以0.02mm，可直接讀數(shù)由于游標上的5小格為：5×0.02mm0.1mm，所以游標上的數(shù)字是表示小數(shù)后的