正多邊形與圓

1、 九年級(jí)上 24.3 正多邊形和圓一：知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)入1. 圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于 .2. 垂直于弦的直徑平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直徑）的 垂直于弦，并且平分 .3. 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，兩個(gè)圓周角中有一組量 ，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別 .4. 同弧或等弧所對(duì)的圓周角 ，都等于它所對(duì)的圓心角的 .5. 直徑所對(duì)的圓周角是 ，90°所對(duì)的弦是 .二：新知識(shí)回顧（1） 正多邊形:各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形正多邊形的性質(zhì)：1.正多邊形各邊相等；正多邊形各角相等。2.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱

2、軸都通過(guò)正n邊形的中心邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心3.邊數(shù)相同的正多邊形相似它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方正多邊形的判定：1. 依次連結(jié)圓的n(n3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形2. 經(jīng)過(guò)圓的n(n3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形（2） 正多邊形和圓的關(guān)系:1.將一個(gè)圓n（n)3等分（可以借助量角器）,依次連接各等分點(diǎn)所得的多邊形就叫做這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形,這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.正多邊形的中心：把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑正

3、多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心,中心角的度數(shù)是.正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距2. 經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的內(nèi)接圓，這個(gè)多邊形叫做外接正多邊形。 3.正多邊形外接圓和內(nèi)接圓的關(guān)系定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓(三)正多邊形的有關(guān)計(jì)算1.正邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；2.正邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；3.正邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.(四)正多邊形的畫(huà)法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，因此作相等的圓心角可以等分圓.2

4、.用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.三：例題剖析（ 至少10個(gè)例題與習(xí)題 ）【例1】已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長(zhǎng)和面積分析：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過(guò)O點(diǎn)作OMAB垂于M，在RtAOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng)正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑 因此，所求的正六邊形的周長(zhǎng)為6a 在RtOAM中

5、，OA=a，AM=AB=a OM=a 【變式練習(xí)】已知，如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于半徑為R的O，求這個(gè)八邊形的面積.四：思維誤區(qū)判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形).例2.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，若分別以A、B、C、D為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作弧，分別與各邊交于E、F、G、H、K、L、M、N點(diǎn).求證：八邊形EFGHKLMN是正八邊形.例3:已知：如圖，ABC是O的內(nèi)接等腰三角形，頂角A=36°，弦BD、CE分別平分ABC、ACB

6、.求證：五邊形AEBCD是正五邊形 【變式練習(xí)】某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形，如圖1，是正三角形，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形； 丙同學(xué)：我能證明邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形，我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也是正多邊形；（1）請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等；（2）請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG（如圖2）是正七邊形（不必寫(xiě)已知、求證）；（3）根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想（不必證明）.例4（2013內(nèi)江）如

7、圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長(zhǎng)為2cm，則正六邊形的中心O運(yùn)動(dòng)的路程為 cm五：難點(diǎn)講解例5:已知O的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積例6:右圖的花環(huán)狀圖案中,ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六邊形. （1）求證:1=2;（2）找出一對(duì)全等的三角形并給予證明.ABCDOMNE圖3例7:如圖M、N分別是O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、正n邊形ABCDE的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連結(jié)OM、ON。ABCDOMN圖2ACBMNO圖1（1）求

8、圖1中MON的度數(shù)；（2）圖2中MON的度數(shù)是_，圖3中MON的度數(shù)是_； （3）試探究MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系.例8:正八邊形有_條對(duì)稱軸，它不僅是_對(duì)稱圖形，還是_對(duì)稱圖形【提示】正n邊形有n條對(duì)稱軸正2n邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形【答案】8，軸，中心鞏固練習(xí)(一)填空1.邊長(zhǎng)為2 a的正六邊形的面積為_(kāi)(二)判斷2各角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形（ ）【答案】×【點(diǎn)評(píng)】矩形內(nèi)接于以對(duì)角線為直徑的圓，但它不是正多邊形3正五邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形（ ）【答案】×【點(diǎn)評(píng)】正五邊形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形(三)選擇 4下列圖形中，既

9、是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是(     )   A等腰梯形    B平行四邊形   C. 等邊三角形  D圓例9:如圖，O是等邊三角形ABC的外接圓，D、E是O上兩點(diǎn)，則D °，E °【變式練習(xí)】如圖,正方形ABCD內(nèi)接于O,點(diǎn)E在弧AD上,則BEC等于多少?六：拓展講解例10：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB是直徑（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中的四邊形ABCD成等腰梯形，這個(gè)條件是 （只需填一個(gè)條件）。（2）如果CDAB，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一

10、種方案，使等腰梯形ABCD分成面積相等的三部分，并給予證明七：總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形知識(shí)點(diǎn)二、正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓2.正多邊形的有關(guān)概念(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑(3)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算(1)正邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

11、；(2)正邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；(3)正邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.知識(shí)點(diǎn)三、正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.2.正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成2個(gè)全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.八：家庭作業(yè)-溫方才能知新A組1、 一起填一填1已知正方形面積為8cm2，求此正方形邊心距_2. 一個(gè)正多邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)60°和原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)正多邊形是_3. 有一邊長(zhǎng)為4的正n邊形，它的一個(gè)內(nèi)角是120°，則其外接圓的

12、半徑為_(kāi)4. 正六邊形一組對(duì)邊間的距離為6，那么這個(gè)正六邊形的半徑是_5. 同圓中，內(nèi)接正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形中周長(zhǎng)最大的是_6. 正九邊形的半徑為R，則它的邊長(zhǎng)是_7. 一個(gè)正n邊形的中心角是它的一個(gè)內(nèi)角的1/5，則n=_.8. 兩個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)分別是3和4，則這兩個(gè)正六邊形的面積之比是_.2、 判斷題(一)判斷：1.正多邊形的中心角等于它的每一個(gè)外角.( ) 2.若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是150°,則這個(gè)正多邊形是正十二邊形.( ) 3.各角相等的圓外切多邊形是正多邊形.( )(二)判斷下列各種圖形是否一定是正多邊形（是打“”，不是打“×”）。（1）等

13、邊三角形（ ） （2）矩形（ ） （3）菱形（ ）（4）正方形（ ） （5）各角相等的圓內(nèi)接多邊形（ ）（6）各邊相等的圓內(nèi)接多邊形（ ）（7）順次連接正多邊形各邊中點(diǎn)所得的多邊形（ ）（8）既有內(nèi)切圓又有外接圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓的多邊形（ ）B組3、 填空題1.正n邊形的中心角等于_，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于_。正n邊形的每一個(gè)外角等于_。正n邊形內(nèi)角和_。2.正n邊形都是_對(duì)稱圖形，正n邊形共有_條對(duì)稱軸；正n邊形滿足什么條件時(shí)_，那又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是_。3.正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成_個(gè)全等的直角三角形，每個(gè)直角三角形的邊分別是指正n邊形的_4.一個(gè)外角等于它的一

14、個(gè)內(nèi)角的正多邊形是正_邊形.5.正八邊形的中心角的度數(shù)為_(kāi),每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為_(kāi),每一個(gè)外角度數(shù)為_(kāi).6.邊長(zhǎng)為6cm的正三角形的半徑是_cm,邊心距是_cm,面積是_cm.7.面積等于cm2的正六邊形的周長(zhǎng)是_.8.正多邊形的面積是240cm2,周長(zhǎng)是60cm2,則邊心距是_cm.9.正六邊形的兩對(duì)邊之間的距離是12cm,則邊長(zhǎng)是_cm.10.若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角大于它的一個(gè)內(nèi)角,則它的邊數(shù)是_11.正六邊形的兩條平行邊間距離是1,則邊長(zhǎng)是_12.周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S3、S4、S6之間的大小關(guān)系是: _13.正三角形的邊心距、半徑和高的比是_4、 簡(jiǎn)答題如圖：四邊

15、形ABCD為正方形，M、N分別是BC和CD中點(diǎn)，AM與BN交于點(diǎn)P，(1)請(qǐng)你用幾何變換的觀點(diǎn)寫(xiě)出BCN是ABM經(jīng)過(guò)什么幾何變換得來(lái)的；(2)觀察圖，圖中是否存在一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形的面積與APB的面積相等？寫(xiě)出你的結(jié)論.(不必證明)(3)如圖：六邊形ABCDEF為正六邊形，M、N分別是CD和DE的中點(diǎn)，AM與BN交于點(diǎn)P，問(wèn)：你在(2)中所得的結(jié)論是否成立？若成立，寫(xiě)出結(jié)論并證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.一、選擇題（題型注釋）1在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是 （ ） A三條中線的交點(diǎn) B三條高線交點(diǎn)C三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)D三邊垂直平分線交點(diǎn)2三角形的外心是（ ）A各內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)

16、B各邊中線的交點(diǎn) C各邊垂線的交點(diǎn) D各邊垂直平分線的交點(diǎn)3如圖，O內(nèi)切于，切點(diǎn)分別為，連結(jié)，則等于（ ）A B C D 4正多邊形的中心角是36°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）A10 B8 C6 D55下列命題中，正確的有（ ）平分弦的直徑垂直于弦；三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角相等；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線長(zhǎng)相等A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6（3分）如圖，正方形ABCD和正AEF都內(nèi)接于O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則的值是（ ）A B C D27如圖，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在O上，點(diǎn)P在上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，

17、則BPC的度數(shù)是（ ）A、45° B、60° C、75° D、90°8如圖，正六邊形螺帽的邊長(zhǎng)是2cm，這個(gè)扳手的開(kāi)口的值應(yīng)是A cm BcmC cm D1cm9若正多邊形的一個(gè)外角為60º，則這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是（ ）A30° B60° C90° D120°10如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，若直線PA與O相切于點(diǎn)A，則PAB=（ ）A30° B35° C45° D60°11如果正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為（ ）A B C D12

18、圓內(nèi)接四邊形ABCD，A，B，C的度數(shù)之比為3:4:6，則D的度數(shù)為（ ）A60° B80° C100° D120° 13同圓的內(nèi)接正三角形與正六邊形的邊長(zhǎng)之比為（ ）A1：2 B1：1 C：1 D2：114如圖，O是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)P在O上，則APB等于（ ）.A30° B45° C55° D60°15已知圓的內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為36，那么圓的半徑為（）A6 B4 C3 D216正六邊形內(nèi)切圓面積與外接圓面積之比為（ ）A B C D17如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀圖中所示的是前3個(gè)五邊形，要完成這一

19、圓環(huán)還需（ ）個(gè)五邊形A6 B7 C8 D918（3分）一元錢(qián)硬幣的直徑約為24mm，則用它能完全覆蓋住的正六邊形的邊長(zhǎng)最大不能超過(guò)（ ）A12mm Bmm C6mm Dmm19如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長(zhǎng)為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長(zhǎng)為（ ）A B C D20有一個(gè)邊長(zhǎng)為50cm的正方形洞口，要用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，那么圓蓋的直徑至少應(yīng)為（ ）A50cm B25c

20、m C50cm D50cm21如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和BC弧線的長(zhǎng)分別為（ ）A2， B，C， D，22已知圓的半徑是，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（ ）（A） （B） （C） （D）23邊長(zhǎng)為1的正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為 （A）2 （B）1 （C） （D）24如圖，一個(gè)半徑為r（r1）的圓形紙片在邊長(zhǎng)為10的正六邊形內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，則在該六邊形內(nèi)，這個(gè)圓形紙片不能接觸到的部分的面積是（ ） Ar2 B Cr2 Dr2 25如圖，O的半徑為1cm，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O，則圖中陰影部分面積為 cm2（結(jié)果保留）26正方形的邊長(zhǎng)為6，則其外接圓

21、半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（ ）A6， B，3 C6,3 D，27同圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的周長(zhǎng)之比為（ ） A1 B21 C12 D128半徑為的圓內(nèi)接正三角形的面積是（ ）A B C D29正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長(zhǎng)是（ ）A B2 C3 D230如圖，在PQR是O的內(nèi)接三角形，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，BCQR，則AOR=（ ）ARCDPOBQA60° B65° C72° D75°31周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S3、S4、S6之間的大小關(guān)系是A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6

22、S3 32如圖，要擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為a=6cm的正六邊形螺帽，扳手張開(kāi)的開(kāi)口b至少為（ ）A B12mm C D33（2014和平區(qū)三模）同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)的比是（ ）A. B. C. D.34（2014南開(kāi)區(qū)二模）若正六邊形的邊長(zhǎng)為6，則其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的大小分別為（ ）A.6，3 B.6，3 C.3，6 D.6，335（2014河西區(qū)一模）正六邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為（ ）A.1：2 B.：2 C.：1 D.：236（2014閔行區(qū)三模）如圖，在O中，OA=AB，OCAB，交O于點(diǎn)C，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.BAC=30° B.弧AC等于弧BCC.線段

23、OB的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的半徑D.弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)37（2014東麗區(qū)一模）正六邊形的邊長(zhǎng)等于2，則這個(gè)正六邊形的面積等于（ ）A.4 B.6 C.7 D.838（2014寶坻區(qū)一模）圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為24，則該圓的內(nèi)接正三角形的周長(zhǎng)為（ ）A.12 B.6 C.12 D.639（2014漢沽區(qū)一模）O的半徑等于3，則O的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)等于（ ）A.3 B.2 C.3 D.640（2014建湖縣一模）半徑為8cm的圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為（ ） A.8cm B.4cm C.8cm D.4cm41（2014天津）正六邊形的邊心距為，則該正六邊形的邊長(zhǎng)是（ ）A. B.2 C