振動理論多自由度線性系統(tǒng)的振動

1、振動微分方程振動微分方程 多自由度線性系統(tǒng)的振動多自由度線性系統(tǒng)的振動 n個自由度的系統(tǒng)個自由度的系統(tǒng) 分析方法分析方法隔離體受力分析隔離體受力分析建立廣義坐標建立廣義坐標1121211212111)()()(xmxxkxkxxcxctF iiiiiiiiiiiiiiixmxxkxxkxxcxxctF )()()()()(111111)1, 3, 2(ninnnnnnnnnnnnnxmxkxxkxcxxctF 1111)()()(整理后用矩陣形式表示為整理后用矩陣形式表示為 tFxKxCxM 應(yīng)用牛頓第二定律應(yīng)用牛頓第二定律方程方程 T21,nixxxxxT21,nixxxxx廣義位移廣義位移

2、廣義速度廣義速度廣義加速度廣義加速度外力向量外力向量 T21)(,),(,),(),()(tFtFtFtFtFni T21,nixxxxx 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣對稱、正定對稱、正定nimmmmM00000021 tFxKxCxM 方程方程 tFxKxCxM 剛度矩陣剛度矩陣對稱、半正定對稱、半正定 111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK阻尼矩陣阻尼矩陣 對稱對稱 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC方程方程 例例 建立圖示系統(tǒng)的振動微分方程建立圖示系統(tǒng)的振動微分方程鏈式系統(tǒng)鏈式系統(tǒng)

3、 建立廣義坐標如圖建立廣義坐標如圖 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx4321000000000000mmmmM 000000000646226262cccccccccC 5556543363322626210000kkkkkkkkkkkkkkkkkkK影響系數(shù)影響系數(shù) n個自由度無阻尼系統(tǒng)個自由度無阻尼系統(tǒng) 剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)產(chǎn)生單位位移所需的力，即系統(tǒng)僅在第產(chǎn)生單位位移所需的力，即系統(tǒng)僅在第j個個廣義坐標上產(chǎn)生單位位移（其他廣義坐標位移為零），需要廣義坐標上產(chǎn)生單位位移（其他廣義坐標位移為零），需要在第在第i個廣義坐標方向所加的力

4、個廣義坐標方向所加的力kij。 柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)單位外力所引起的系統(tǒng)位移單位外力所引起的系統(tǒng)位移 ，定義系統(tǒng)第，定義系統(tǒng)第j個坐標上作用的單位力在第個坐標上作用的單位力在第i個廣義坐標上所引起的位移為個廣義坐標上所引起的位移為柔度系數(shù)柔度系數(shù) hij。 例例 建立三自由度系統(tǒng)的振動微分方程建立三自由度系統(tǒng)的振動微分方程三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 設(shè)設(shè)x1=1，x2=x3=0，則在，則在m1上施加的力上施加的力F1=1(k1+k2)，即，即k11= k1+k2 ；在；在m2上施加的力上施加的力F2=-k2 1 =-k2 ，即，即k21=-k2 ；在；在m3上施加的力為零，即上施加的力為零，

5、即F3=0或或 k31=0。設(shè)設(shè)x2=1，x1=x3=0，則在，則在m2上施加的力上施加的力F2=1 (k2+k3)，即，即k22= k2+k3 ；在；在m3上施加的力上施加的力F3=-k3 即即k32=-k3 ；由剛度矩陣的對稱性得；由剛度矩陣的對稱性得 k12 =k21= -k2。設(shè)設(shè)x3=1，x1=x2=0，則在，則在m3上施加的力上施加的力F3=1 k3，即，即k33= k3 ；由剛度矩陣的；由剛度矩陣的對稱性得對稱性得 k13 =k31 = 0 ， k23 =k32= -k3。00000000000321333322221321321xxxkkkkkkkkkxxxmmm 系統(tǒng)振動微分

6、方程系統(tǒng)振動微分方程 剛度系數(shù)：剛度系數(shù)：產(chǎn)生單位位移所需的力，即系產(chǎn)生單位位移所需的力，即系統(tǒng)僅在第統(tǒng)僅在第j個廣義坐標上產(chǎn)生單位位移個廣義坐標上產(chǎn)生單位位移（其他廣義坐標位移為零），需要在第（其他廣義坐標位移為零），需要在第i個廣義坐標方向所加的力個廣義坐標方向所加的力kij。 弱耦合的二振子系統(tǒng) (兩個自由度)設(shè)：兩個振子： ； 。兩個振子之間：用軟彈簧 連接實現(xiàn)兩個振子的耦合 ：弱耦合又設(shè)：滑塊1、滑塊2的平衡位置為坐標原點，作兩軸 ，則：勢能為km,km,k2211,xoxo222121212111( ,)()222U x xkxkxxx拉格朗日函數(shù)：由拉格朗日方程得到運動方程：設(shè)：

7、解的形式為 兩個滑塊以同一頻率振動2222212121211111()22222LTUmxmxkxkxxx221012022021()xxxkmmxxx1122ReRei ti txC exC e0iiqLqLdtd 關(guān)于 的齊次方程組非零解條件： 的兩組解： (具體值由初始條件定) 12,C C220220()0()2201222102()0()0CCCC22102012,C C(1)(1)(2)(2)1212CCCC 矩陣形式的解：顯然，它們是相互正交的，即歸一化：令 ，有12,C C(1)(2)11(1)(1)(2)(2)11(1)(2)221111CCCCCC uu(1)1(1)(2)

8、(2)(2)11(1)1(,)0CCCCTuu(1)(2)1112CC(1)(2)11111122 uu滿足正交歸一條件： 耦合振子系統(tǒng)有兩個振動頻率： ，與 對應(yīng)有兩種確定的集體振動模式一般情況下，振動是以上兩種振動模式的疊加：( )( )ababuuT21,21,1211221111ReRe1122ititxxeexx 12121111ReRe1122ititxAeBex 選新的廣義坐標： ，令則 分別表示兩種獨立的集體振動模式。這樣：從而得到新舊坐標之間的變換關(guān)系：21, QQ1212ReReititQAeQBe21, QQ112211111122xQQx 11221211()()22x

9、QQxQQ新坐標系下的拉格朗日函數(shù)： 耦合項消失(退耦)，此時相互耦合 的二振子系統(tǒng)變成兩個獨立的振子系統(tǒng)。定義： 為耦合振子系統(tǒng)的簡正坐標。 21, QQ222212121111(2 )2222LmQmQkQkQ對稱矩陣的特征值與特征矢 為將二耦合振子系統(tǒng)推廣到任意s個耦合振子系統(tǒng)，將前面關(guān)于 的方程改寫成矩陣形式：令則12,C C201122220CCCC2012220CCSUSUU 一列二行矩陣U可看成一個二維空間中的矢量。一般： 對稱矩陣S作用在一個任意二維空間矢量 上，會改變它的大小和方向，即 SU和U一般 不平行。但： 表明此式中的矢量U受到S的作用后， 不改變方向，而只是乘上一個

10、常數(shù) 。定義： U矩陣S的特征矢， 與特征矢U對應(yīng) 的特征值， 對稱矩陣S的特征方程。2 2SUUSUU 這樣，求耦合二振子系統(tǒng)的集體振動模式歸結(jié)為求解矩陣S的特征值方程。 將以上方法推廣到三維空間，對此空間中的矢量 寫成矩陣形式：于是 的矩陣S的特征值方程為：1 1223 3uuuueee123uuuU3 3111213112122232233313233uuuuuu或?qū)憺?如果 ，則稱矩陣S為對稱矩陣。對于對稱矩陣有如下定理。定理一 的對稱矩陣S有3個獨立的特征矢。與特 征矢對應(yīng)的特征值為實數(shù)。SUU( ,1,2,3)ijjii j3 3證： 可寫為其中I為單位矩陣將 寫成矩陣形式SUU(

11、)0SUUSI U100010001I()0SUUSI U1112131212223233132330uuu上式是關(guān)于3個未知數(shù) 的齊次方程組。非零解條件：由以上條件，可得 的3個根 。與每個根相對應(yīng)，可得到一個解 ，這就是和特征值 對應(yīng)的特征矢。假定：S為實對稱矩陣，即123,u u u1112132122233132330(1,2,3)aa( )( )( )123,aaauuua*ijjiijji特征值方程又可寫成取其復(fù)共軛將i換為 j，并利用 ，得到：將上式左右兩邊同時乘以 ，并對j求和31(1,2,3)ijjijuui3*1(1,2,3)ijiijuui*ijjiijji3*1(1,2

12、,3)ijijiuujju333*111iijjjjijjuuu u將特征值方程的左右兩邊同時乘以 ，并對i求和因此 ，即 為實數(shù)。333*111iijjiiijiuuu u*iu3333*1111iijjiijjijijuuu uu u*注意：特征值方程是齊次方程，它的解可以乘上任意 常數(shù)。因此，和特征值對應(yīng)的只是特征矢的方 向，而相應(yīng)的特征矢的長度不確定。此時可以 將特征矢“歸一化”成單位長度，即通過乘上 一個常數(shù)使得 滿足上式的矩陣形式 其中 是 的轉(zhuǎn)置矩陣。(1,2,3)iu i 3211iiu1UUUU定理二 對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征矢相互正交。證：和 、 對應(yīng)的特征值方程分別

13、為將上兩式分別乘上 和 并對i 求和：a()bab33( )( )( )( )11,aabbijjaiijjbijjuuuu( )biu( )aiu333( )( )( )( )111babaiijjaiiijiuuuu333( )( )( )( )111ababiijjbiiijiuuuu對上兩式的第一式的左邊交換求和指標 i, j ，有又 ，所以即因 ，所以 ，即 。333( )( )( )( )111babajjiiaiiijiuuuu*ijjiijji33( )( )( )( )11baabaiibiiiiuuuu3( )( )1()0ababiiiuuab3( )( )10abiii

14、uu( )( )abuu 從定理一和定理二可知， 的對稱矩陣有三個獨立特征矢，對應(yīng)于三個特征值。如果這三個特征值互不相等，則對應(yīng)的三個特征矢相互垂直。 幾何上，可畫出三個特征矢，其長度分別為對應(yīng)的特征值，用它們?yōu)橹鬏S作一個橢球。這一橢球就是對稱矩陣的幾何表示，稱之為對稱矩陣的特特征橢球。 用特征橢球的三個主軸(對稱矩陣的三個特征矢)作為標架基矢作一個笛卡爾坐標系，則在此坐標系中，對稱矩陣有對角形式3 30000000abcS 當坐標系轉(zhuǎn)動時，矢量 變成 ，它的三個分量 是 的三個分量 的線性組合上式的矩陣形式其中矩陣 應(yīng)滿足一定的條件，以保證歸一化的矢量在轉(zhuǎn)動以后仍然歸一化，即有由 的任意性，

15、有 或UU( 1,2,3)iui U(1,2,3)iu i 31iiiiiua uUAUAIU UUAAUUUAAAI1AA滿足以上條件的矩陣稱為正交矩陣。注意，代表物理量的矩陣 是對稱矩陣，即 ；而坐標轉(zhuǎn)動矩陣 則是正交矩陣，即 。 由于坐標系的轉(zhuǎn)動，使得表示物理量的矩陣也發(fā)生變化。變化后的矩陣 與 的關(guān)系的推導(dǎo)：在原坐標系中，將S 作用到另一矢量V，有：SU=V；坐標系轉(zhuǎn)動后，這一關(guān)系仍然應(yīng)成立，即：由U的任意性，有 。SSSA1AASSSS UVS AUAVASUS AAS而 ，所以 ?？梢宰C明：在坐標轉(zhuǎn)動下，代表物理量的矩陣S的特 征值和特征矢不變。注：當坐標系變換到另一坐標系時，對稱

16、矩陣的各個 分量都要發(fā)生變化，矩陣不再是對角的了，但是 物理量的特征值和特征矢不因坐標系的變換而變 化。1AASASA定理三 如果對稱矩陣S的兩個特征值相等 ， 則和它們對應(yīng)的特征矢 和 的線性組合 也是S的對應(yīng)于同一個特征值 的特 征矢。證：特征值方程為將兩式分別乘上 和 并相加，得abaubuabuu33( )( )( )( )11,aabbijjiijjijjuuuu3( )( )( )( )1()()ababijjjiijuuuu 上式表明： 也是S的對應(yīng)于同一個特征值 的 特征矢。 兩個獨立矢量 和 的線性組合形成一個平面。因此定理三表明，和兩個相等特征值對應(yīng)的不是兩個特定的特征矢量

17、，而是一個平面，在這一平面中的任意矢量都是和這一特征值對應(yīng)的特征矢。此時，對應(yīng)的橢球有兩個主軸長度相同，是一個旋轉(zhuǎn)橢球。沿這兩個主軸作的橢球的截面是一個圓。這一截面上的任意矢量都可以看成橢球的主軸?？梢詮闹羞x兩個相互abuuaubu垂直的矢量作為橢球的主軸。所以，對于任意一個 對稱矩陣S，總可以找到三個相互垂直的方向，當矢量 沿這三個方向時，S作用到矢量 上不改變它的方向。推廣：s 維矢量的定義。定義一 一組s個實數(shù) 稱為s 維空間中的矢 量。每個 稱為這一矢量的分量。定義二 兩個矢量的對應(yīng)分量相乘并求和 稱為它 們的標積。3 3uu(1,2,)iuisiu1siiiu v定義三 如果兩個矢量

18、的對應(yīng)分量成正比 就稱它 們相互平行。定義四 如果兩個矢量的標積 等于零就稱它們相 互正交。矩陣的特征值方程成為或者iiucv1siiiu v111111ssssssuuuu1(1,2,)sijjijuuis定理四 的對稱矩陣S有s 個獨立的特征矢。對應(yīng)的特征值為實數(shù)。當這s個特征值各不相等時，對應(yīng)的s 個特征矢相互正交?？梢詫⑺鼈儦w一化成為一組s 個正交歸一的s 維矢量 。當在s 個本征值中有m個特征值相等時，對應(yīng)的m個獨立特征矢的線性組合形成一個m維線性子空間(m 維 “平面”)，其中的任意矢量都是對稱矩陣S對應(yīng)于這一特征值的特征矢。可以從中選出m個相互正交的矢量并加以歸一化，成為這個m

19、維線性子空間中的正交歸一完備基。對于所有有相等s s( ),1,2,(1,2,)aiuis as特征值的特征矢都這樣處理以后，得到一組s 個矢量 ，滿足正交歸一條件( ),1,2,(1,2,)aiuis as( )( )1sabiiabiuu多自由度耦合振子的集體振動模式對兩個自由度的二振子耦合振動系統(tǒng)，勢能改寫為： 222212121211211221221,1111( ,)()()2221(,)2U x xkxkxx xkx xkx xkkkkk 22 1 122 1 11()212xxUkxkxxxxkxkx 2222 1 1112111112222()kxkxkxkxkxkk 推廣到有s個自由度的一般情況，有因此對于有s個自由度的振動系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)為：2111122ssLm xkx x112sUkx x拉格朗日方程：又： 運動方程： 為了得到s個質(zhì)點的集體振動模式，下面來求所有的 以同一頻率振動的解。1sLLUm xkxxxx 10(1,2,)sm xkxs0dLLdtxx(1,2,)ix is解的形式：代入運動方程得： 關(guān)于 的s個線性齊次方程組Re(1,2,)i txC es210(1,2,)smCk Cs2,11(