文稿講稿數(shù)分真題wentijieda

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3、答123613高等代數(shù)解答133714高等代數(shù)解答143815高等代數(shù)解答153916高等代數(shù)解答164217高等代數(shù)解答174418高等代數(shù)解答184819高等代數(shù)解答195320高等代數(shù)解答20552高等代數(shù)網(wǎng)目錄21高等代數(shù)解答215622高等代數(shù)解答225923高等代數(shù)解答236024高等代數(shù)解答246225高等代數(shù)解答256326高等代數(shù)解答266427高等代數(shù)解答276728高等代數(shù)解答286829高等代數(shù)解答297030高等代數(shù)解答307131高等代數(shù)解答317432高等代數(shù)解答327533高等代數(shù)解答337834高等代數(shù)解答348135高等代數(shù)解答358236高等代數(shù)解答368

4、437高等代數(shù)解答378538高等代數(shù)解答388639高等代數(shù)解答398740高等代數(shù)解答408841高等代數(shù)解答41893高等代數(shù)網(wǎng)目錄42高等代數(shù)解答429043高等代數(shù)解答439144高等代數(shù)解答449245高等代數(shù)解答459346高等代數(shù)解答469647高等代數(shù)解答479748高等代數(shù)解答489849高等代數(shù)解答499950高等代數(shù)解答5010251高等代數(shù)解答5110352高等代數(shù)解答5210453高等代數(shù)解答5310654高等代數(shù)解答5410755高等代數(shù)解答5510956高等代數(shù)解答5611057高等代數(shù)解答5711158高等代數(shù)解答5811459高等代數(shù)解答5911560高等代

5、數(shù)解答6011661高等代數(shù)解答6111762高等代數(shù)解答621194高等代數(shù)網(wǎng)目錄63高等代數(shù)解答6312064高等代數(shù)解答641215高等代數(shù)網(wǎng)1 高等代數(shù)解答11 高等代數(shù)解答11.對稱矩陣A的階數(shù)為偶數(shù),且滿足A3 + 6A2 + 11A + 6E = 0.證明:A的伴隨矩陣A為負(fù)定矩陣.證明:首先,設(shè)為矩陣A的任一特征值,為對應(yīng)的特征向量,即A = , = 00 = (A3 + 6A2 + 11A + 6E) = (3 + 62 + 11 + 6)故由 = 0可得0 = 3 + 62 + 11 + 6 = ( + 1)( + 2)( + 3)即A的特征值只能為1, 2, 3.由A的階

6、數(shù)為偶數(shù)知|A| 0.(因?yàn)樾辛惺綖樗刑卣髦档某朔e).A的特征值只能為11, , .而11A= |A|A1.從而A的特征值都是負(fù)的. 易23知A實(shí)對稱.所以A是負(fù)定矩陣.2.設(shè)V 是數(shù)域P 上的線性空間,V = W1 W2. A1, A2分別為W1, W2上的線性變換.定義法則A 如下:A (1 + 2) = 2A1(1) 3A2(2), 1 W1, 2 W21) 求證A 是V 上的線性變換;2) 求證W1是A 子空間;3) 若dim W1 = n1, dim W2 = n2, detA1 = d1, detA2 = d2,求detA .證明:1)1, 1 W1, 2, 2 W2, k P,

7、則A (1 + 2) + (1 + 2)= A (1 + 1) + (2 + 2)= 2A1(1 + 1) 3A2(2 + 2)= 2A1(1) + 2A1(1) 3A2(2) 3A2(2)= A (1 + 2) + A (1 + 2)A k(1 + 2) = A (k1 + k2) = 2A1(k1) 3 = k(2A1(1) 3A2(2) = 2A (1 + 2)故結(jié)論成立.2)1 W1,則于是1 = 1 + 0, 1 W1, 0 W2A (1) = 2A1(1) 3A2(0) = 2A1(1) W1故結(jié)論成立.3)設(shè)1, , n11, , n26與高等代數(shù)網(wǎng)1 高等代數(shù)解答1分別為W1,

8、 W2的基,則它們合起來為V 的基.設(shè)A1(1, , n1 ) = (1, , n1 )A1A1(1, , n2 ) = (1, , n2 )A2則) (2A1)A ( , , , , , ) = ( , , , , , 1n11n21n11n23A2于是2A1n1n2= |2A | 3A | = 2 d (3) d .detA = 12123A23.設(shè)rank(A E) = p, rank(B E) = q.求證:rank(AB E) p + q.證明:由于(A E) (A E)()AB BA EAB BB EB EA EAB E故p + q = rank (A E)()A EAB B= r

9、ank rank(AB E)B EA EAB E4.設(shè)A, B都是n階方陣,且rank(A) = rank(BA).證明:rank(A2) = rank(BA2).證明:首先線性方程組Ax = 0的是BAx = 0的解,又rank(A) = rank(BA),故兩個方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)相等,從而Ax = 0與BAx = 0同解.下證A2x = 0與BA2x = 0同解.顯然A2x = 0的任一解,則BA2x = 0的解.設(shè)x0為BA2x = 0的0 = BA2x = BA(Ax)即Ax是BAx = 0的解,由Ax = 0與BAx = 0同解可得0 = A(Ax) = A2x.這就證明

10、了A2x = 0與BA2x = 0同解.從而其基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)相等,即22n rank(A ) = n rank(BA )從而rank(A2) = rank(BA2).5.設(shè)A, B為可換的n階實(shí)對稱矩陣,且A, B, A + B都可逆,證明:(A + B)1 = A1 + B1.證明:由于A為實(shí)對稱矩陣,故正交陣P 使得 E1 r1.P 1AP =.tErt 其中1, , , t為A的互不相同的特征值.AB = BA有P 1APP 1BP = P 1BPP 1AP,7高等代數(shù)網(wǎng)1 高等代數(shù)解答1從而可知Br1.P 1BP =Brt 而由B也是實(shí)對稱矩陣,從而也能夠?qū)腔?即Bri 可對角

11、化,故正交陣Pri 使得i1.1.PB P=, i = 1, , trrriiiiri令Pr1.Q =, H = PQPrt 則Q, H為正交陣且使得11.H1BH =., H1AH =.nnH1,都是對角陣.由A, B, A + B都可逆知i, i, + i都不等于0,且1/( + )11.(A + B)1 = H1/(n + n)1/ + 1/11.A1 + B1 = H.H11/n + 1/n從而可知結(jié)論成立.6.設(shè)A P nn, W = B P nn|AB = BA.(1) 求證:W 是P nn的子空間;(2) 若A的全體次數(shù)非零的不變因子為, 2( 1),求dim W.證明:(1)略

12、.(2)首先,由于矩陣的秩不隨數(shù)域的擴(kuò)大而改變,故線性方程組是否有解,齊次線性方空間的維數(shù)及齊次線性方程組是否有非零解等均與數(shù)域的擴(kuò)張無關(guān),從而矩陣方 程AX = XA的維數(shù)不隨數(shù)域的擴(kuò)大而改變.于是可以在復(fù)數(shù)域上討論.由條件知A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為01= J0108高等代數(shù)網(wǎng)1 高等代數(shù)解答1即可逆矩陣P 使得P 1AP = J.于是P 1APP 1BP = P 1BPP 1AP計(jì)算可得P 1BP 形式如下:b0b220000b330b111400= P 1BPb31b34 b330從而可知dim W = 6.9高等代數(shù)網(wǎng)2 高等代數(shù)解答22 高等代數(shù)解答21.令0100010 00000

13、00 0 J(0, n) =. . . . . . . .0010000 000 為復(fù)數(shù)域C上的n n矩陣.(1)求J(0, n)2的最小多項(xiàng)式;(2) 計(jì)算特征矩陣E J(0, n)2的行列式因子,不變因子,初等因子;(3) 給出J(0, n)2的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.解:令0 0100010000000 0 J(0, n) =. . . . . . . .0010000 000 為復(fù)數(shù)域C上的n n矩陣.(1)求J(0, n)2的最小多項(xiàng)式;(2) 計(jì)算特征矩陣E J(0, n)2的行列式因子,不變因子,初等因子;(3) 給出J(0, n)2的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.解:首先,J(0, n)2是

14、把J(0, n)中的1向左下方平移一層,亦即001000000 000000000 . . . . .J(0, n)2 =. . . . . 0000000 001000000 00 類似的,J(0, n)k就是把1平移k 1層,故J(0, n)n1只有第n行第1列交叉處為1,其余元為0,J(0, n)n = 0.從而J(0, n)的最小多項(xiàng)式為n1.J(0, n)2的特征多項(xiàng)式為n,且第n 2個不變因子為dn2() = 1.(i)若n為偶數(shù),則nn= J(0, n)n = 0, (J(0, n)2) 2 1 = J(0, n)n2 = 0(J(0, n)2) 210高等代數(shù)網(wǎng)2 高等代數(shù)解答

15、2n故J(0, n) 的最小多項(xiàng)式為2 ,從而其不變因子為2nnd1() = = dn2() = 1, dn1() = 2 , dn() = 2(ii)若n為奇數(shù),同(i)可得不變因子為n1n+1 2d () = = d() = 1, d() = , d () = 21n2n1n2.設(shè)n維線性空間V的線性變換的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式相等.證明: 得, (), , n1()為V的基.證明: 設(shè)的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式同為 V 使dn() = n + bn1n1 + + b1 + b0則的不變因子為1, , 1, dn(),而矩陣0 .b0.11b1F =b2.1.bn1的不變因子也是1, , 1

16、, dn(). 故V 的一組基1, 2, , n使得(1, 2, , n) = (1, 2, , n)F故令 = 1,則n1 = 1, () = 2, , () = n性方程組AX = 0與BX = 0同解,則A與B的行向量組等價.為V 的基.3.設(shè)A, B都是m n矩證明:由條件可知AX = 0與Ax = 0Bx = 0同解.故( )Ar(A) = rB將A, B按行分塊11A =, B =.mm11高等代數(shù)網(wǎng)2 高等代數(shù)解答2則1, , m的極大無關(guān)組是1, , m, 1, , m的極大無關(guān)組,從而1, , m可由1, , m線性表示, 即B的行向量可由A的行向量線性表示, 類似可得A的行

17、向量可由B的行向量線性表示.4.設(shè)為有理數(shù)域上的線性空間V的線性變換,g(x) = x(x2 + x 1).證明:若g()=0.則V = Im ker .證明: 記g1(x) = x, g2(x) = x2 + x 1.則g(x) = g1(x)g2(x), (g1(x), g2(x) = 1在u(x), v(x) Qx使得g1(x)u(x) + g2(x)v(x) = 1從而g1()u() + g2()v() = I V,由于 = g1()u() + g2()v()g2()v() ker g1() = ker , g1()u() = (u() Im即V Im + ker .而Im + ker

18、 V 是顯然的.從而V = Im + ker . Im ker ,則 V 使得() = , 0 = () = 2()由 = g1()u() + g2()v()可得 = () = u()2() + g()v() = 0即Im ker = 0.故V = Im ker .5.n階矩陣A, B都可對角化,且AB = BA.則可逆矩陣P 使得P 1AP, P 1BP同時為對角陣.證明:設(shè)1, , s為A的全部互異的特征值,其重數(shù)分別為r1, , rs.則可逆矩陣Q使得 E1 r1.Q1AQ =sErs 由AB = BA有Q1AQQ1BQ = Q1BQQ1AQ故B1.Q1BQ =Bs12高等代數(shù)網(wǎng)2 高等

19、代數(shù)解答2其中Bi為ri階方陣.由于B可以對角化,故Bi也可對角化.設(shè)ri階可逆陣Ri使得1RB R , i = 1, , si ii為對角陣.令R1.R =Rs則P = QR可逆,且使得結(jié)論成立.推論:設(shè)A, B都是n n矩陣,AB = BA.證明:若A, B都相似于對角陣,則A + B也相似于對角陣.6.設(shè)A是一個2n 2n矩陣,證明:如果對于任意的2n 2矩陣B,矩陣方程AX = B都有解,則A可逆.證明:設(shè)ei為2n維向量,令B = (ei, ej)則AX = B有解,設(shè)為Xij,則有A(X12, X34, , X(n1)n) = (e1, e2, e3, e4, , en1, en)

20、 = E其中(X12, X34, , X(n1)n)為方陣,故A可逆.7.設(shè)V 是空間, 1, 2, , s V, = 0.設(shè)W1是由1, 2, , s生成的子空間,W2是由, 1, 2, , s生成的子空間.證明:若(, i) = 0, i = 1, , s,則dim W1 =dim W2.證明:反證法.設(shè)dim W1 = dim W2,又W1 W2,故W1 = W2.設(shè) = k11 + + kss, ki R, i = 1, , s由(, i) = 0, i = 1, , s,有(, ) = (k11 + + kss, ) = 0從而 = 0.8.設(shè)V 是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間, 為V 上

21、兩個可對角話的線性變換,且= .證明:(1)若是的特征值,則V是 的不變子空間;(2)一組基,使得, 在此基下的矩陣都是對角陣.證明:(1)略.(2)參看第5題.9.設(shè)A, B, C分別為m m, n n, m n(m n).階矩陣,且AC = CB, r(C) = r.證明A, B至少有r個相同的特征值.證明: 設(shè)()E0rPCQ =00由AC = CB知PACQ = PCBQ13高等代數(shù)網(wǎng)2 高等代數(shù)解答2即PAP 1PCQ = PCQQ1BQ(1)設(shè)()()AABB1112111211PAP=, QBQ =A21A22B21B22則由(1)可得()()AAB011121111A= B ,

22、 PAP=, QBQ =11110A22B21B22故|E A| = |E A11|E A22|E B| = |E A11|E B22|故結(jié)論成立.10. 設(shè)P 是一個數(shù)域,V 是P 上的n維線性空間,是V 上的線性變換,r是正整數(shù).證明:如果(0E )r的核不是0,則0是的一個特征值.證明：由條件知0 = ker(0E )r使得r(0E ) () = 0若(0E )() = 0,則結(jié)論成立.否則,設(shè)s是使得(0E )s() = 0的最小正整數(shù),即s1s(0E )() = 0, (0E ) () = 0則ss1(0E ) () = (0E )(0E )() = 0即(0E )s1()為的屬于特

23、征值0的特征向量.11. 設(shè)A, B是兩個n n實(shí)對稱矩陣,B正定,x Rn.證明:=0G(x) =, x在LT AL的最大特征值與最小特征值之間,其中L是某個可逆矩陣,表示Rn中的內(nèi)積.證明:由B正定,則實(shí)可逆矩陣P 使得P T BP = E而P T AP 是實(shí)對稱矩陣,故正交陣T 使得1.T 1P T APT =n14高等代數(shù)網(wǎng)2 高等代數(shù)解答2其中1 n為矩陣LT AL(L = PT )的特征值. 而T 1PT BPT = E令Q = (PT )1,則1.A = QTQ, B = QT Qn于是1.(QX)TQxnxT AxG(x) =xT Bx(Qx)T Qx令Qx = y,則1.yT

24、yn G(x) = 1nyT y即結(jié)論成立。15高等代數(shù)網(wǎng)3 高等代數(shù)解答33 高等代數(shù)解答31.設(shè)V 是數(shù)域P 上的n維線性空間,是V 的線性變換.證明:如果5 = 32 6,則V=Im ker.證明:記f (x) = x5 3x2 + 6x,則f (x) = f1(x)f2(x), f1(x) = x, f2(x) = x4 3x + 6, (f1(x), f2(x) = 1.在u(x), v(x)使得f1(x)u(x) + f2(x)v(x) = 1故f1()u() + f2()v() = I, f () = 0.下證V = Im + ker.首先Im + ker V,下證V Im +

25、ker. V,由于 = I() = f1()u()() + f2()v()()f2()v()() ker, f1()u()() = (u()() Im. 從而V 再證V = Im ker. Im ker,則 V 滿足() = , 0 = () = 2()= Im + ker.由 = I() = f1()u()() + f2()v()()可得 = () = 2u()() = u()2() = 0.即結(jié)論成立.2.設(shè)n階矩陣A, B滿足A2 + A = 2E, B2 = B, AB = BA證明:可逆矩陣Q使得Q1AQ, Q1BQ都是對角陣.證明:首先,有如下的結(jié)論:n階矩陣A, B都可對角化,且

26、AB = BA.則可逆矩陣P 使得P 1AP, P 1BP同時為對角陣.證明如下: 設(shè)1, , s為A的全部互異的特征值,其重數(shù)分別為r1, , rs.則可逆矩陣Q使得 E1 r1.Q1AQ =sErs 16高等代數(shù)網(wǎng)3 高等代數(shù)解答3由AB = BA有Q1AQQ1BQ = Q1BQQ1AQ故B1.Q1BQ =Bs其中Bi為ri階方陣.由于B可以對角化,故Bi也可對角化.設(shè)ri階可逆陣Ri使得1RB R , i = 1, , si ii為對角陣.令R1.R =Rs則P = QR可逆,且使得結(jié)論成立.回到原,由條件知f (x) = x2 + x 2, g(x) = x2 x分別為A, B的零化多

27、項(xiàng)式,而f (x), g(x)可對角化,利用上面的結(jié)論可得.3.計(jì)算n + 1階行列式根,從而A, B的最小多項(xiàng)式為重根.故A, B都an1b1an2b2annn a1b1b1 1111an1b2an2b2annn a2b2b2= 2222Dn+1 an1bn+1an2b2nan+1bnbna n+1n+1n+1 n+1n+1n+1解:只考慮a1, , an+1都不為0的情況.第行除以n后轉(zhuǎn)化為行列式即可.ia (i = 1, , n + 1)i3. (浙大02)設(shè)為n維線性空間V 的線性變換,在V 的某組基下的矩陣為A,證明r(A2) =r(A)的充要條件為V = Im ker .必要性.設(shè)

28、1, , n為V 的基,且(1, , n) = (1, , n)A則2(1, , n) = (1, , n)A2Im = L(1), , (n) = L(1, , s)其中1, , s為Im的一組基.則Im2 = L(1), , (s)17高等代數(shù)網(wǎng)3 高等代數(shù)解答3由于r(A2) = r(A),則dim Im2 = dim Im于是(1), , (s)為Im2的一組基. Im ker ,設(shè)由于 = k11 + + kss0 = () = k1(1) + + ks(s)以及(1), , (s)線性無關(guān),可得k1 = = ks = 0,故 = 0. 即Im ker = 0又dim(Im + ke

29、r ) = dim Im + dim ker dim(Im ker ) = n = dim VIm + ker V從而V = Im ker .充分性.顯然Im2 Im.() Im, V,則 = () + , () Im, ker 于是() = 2() Im2從而 Im2 = Im,故r(A2) = r(A).4.設(shè)n維線性空間V 的線性變換的特征多項(xiàng)式為n1n2f () = ( 1) ( 2) , 1 = 2且1 = 0, 1 = 0,1 = 11, ( 1I)2 = 1, , ( 1I)n11 = 21, ( 2I)2 = 1, , ( 2I)n2證明:1, , n1 , 1, , n2 為

30、V 的基,并求在此基下的矩陣.證明:首先證明1, , n1 線性無關(guān).設(shè)k11 + kn1 n1 = 0則= n11= n210 = ( 1I)(k11 + kn1 n1 ) = k21 + + kn1 n1120 = ( 1I) (k11 + kn n ) = k31 + + kn n1111118高等代數(shù)網(wǎng)3 高等代數(shù)解答3 n110 = ( 1I)(k11 + kn n ) = kn 1,111故可得kn1 = = k1 = 0.即1, , n1 線性無關(guān). 類似可知1, , n2 線性無關(guān).令f1() = ( 1)n1 , f2() = ( 2)n2 ,則f () = f1()f2()

31、, (f1(), f2() = 1由(f1(), f2() = 1,則u(), v()使得f1()u() + f2()v() = 1故f1()u() + f2()v() = I下證V = kerf1() kerf2().顯然kerf1() + kerf2() V,下證V kerf1() + kerf2(). V,由于 = f1()u()() + f2()v()()以及f () = 0可知f1()u()() kerf2(), f2()v()() kerf1()從而V = V = kerf1() + kerf2(). kerf1() kerf2(),由 = f1()u()() + f2()v()(

32、)可得 = 0.故V = kerf1() kerf2().又1, , 1n1 kerf1(), 1, , n2 kerf2()故dimkerf1() n1, dimkerf2() n2,又n1 + n2 = n, dimkerf1() + dimkerf2()=n,故dimkerf1() = n1, dimkerf2() = n2.即1, , 1n1, 與1, , n2分別為kerf1()與kerf2()的基,從而是V 的基.在此基下的矩陣,省略.19高等代數(shù)網(wǎng)4 高等代數(shù)解答44 高等代數(shù)解答4例 4.1 設(shè)A是n n實(shí)稱矩陣.證明:A2半正定.證明: 首先A2 = AT A,故A2是實(shí)對稱

33、矩陣.(法1)X Rn,有XT (A2)X = XT AT AX = (AX)T (AX) 0.即A2是半正定的.(法2)由于實(shí)稱矩陣的特征值為0或純虛數(shù).設(shè)A的特征值為0, , 0, a1i, a1i, , asi, asi.則A2的特征值為從而結(jié)論成立.22220, , 0, a , a , , a , a .11ss例 4.2 設(shè)V 是一個n維歐幾里得空間,g(x) = x2 3x + 7,是V 的一個對稱變換.證明:對于V 的任意非零向量,都有(, g()() 0.證明: 設(shè)在V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基e1, , en下的矩陣為A,則A為實(shí)對稱矩陣,且g()在e1, , en下的矩陣為g(A)

34、= A2 3A + 7E.由A實(shí)對稱可知g(A)是實(shí)對稱矩陣.設(shè)是A的任一特征值,則為實(shí)數(shù),且g(A)的特征值為3194g() = 2 3 + 7 = ( )2 +2從而g(A)正定. V, = 0,設(shè)在e1, , en下的坐標(biāo)為X,則X = 0,故(, g()() = XT G(e1, , en)g(A)X = XT g(A)X 0例 4.3 設(shè)A P nn, n 3,且r(A) = n 2,設(shè)W = B P n2|AB = 0. (1)證明:W 關(guān)于矩陣通常的加與數(shù)量乘積是P 上的一個線性空間. (2)求W 的維數(shù).證明: (1)略.(2)由于B的列是線性方程組Ax = 0的解,設(shè)1, 2

35、是Ax = 0的基礎(chǔ)解系,則(1, 0), (0, 1), (2, 0), (0, 2)是W 的一組基.從而dim W = 4.20高等代數(shù)網(wǎng)4 高等代數(shù)解答4例 4.4 設(shè)p(x), q(x)都是有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式.證明:如果p(x), q(x)的最大式不是一個非零常數(shù),則一個非零常數(shù)c使得p(x) = cq(x).證明: 設(shè)(p(x), q(x) = d(x),則d(x) = 1.由d(x)|p(x), d(x)|q(x)以及p(x), q(x)不可約知非零常數(shù)c1, c2使得d(x) = c1p(x), d(x) = c2p(x).故結(jié)論可得.例 4.5 設(shè)n1iV = Rx =

36、ax |a R, i = 0, 1, , n 1niii=0是實(shí)數(shù)域R上的n維線性空間.設(shè)是V 的線性變換且(g(x) = g(x) + g(x), g(x) V(1)試求在基1, x, 2 , , (n 1)!下的矩陣；x2xn1(2)在V 中共有多少個的不變子空間？并證明你的結(jié)論.x2xn1證明: (1)在基1, x, 2 , , (n 1)!下的矩陣為100110011 000 A =. . . . .11 000000 (2)xn1x2x2V0 = 0, V1 = L(1), V2 = L(1, x), V3 = L(1, x, 2 ), , Vn = L(1, x, 2 , 是的不變

37、子空間.設(shè)W 是的任一不變子空間,下證W 必等于某個Vi. (1)若W = 0,則結(jié)論成立.,) = V(n 1)!x2xn1(2)(法1)設(shè)W = 0,且f1(x), , fr(x)為W 的基,設(shè)f1(x), , fr(x)由1, x, 2 , ,線(n 1)!xi性表示到的最后一個向量為 ,故可設(shè)i!xifj(x) = kj01 + kj1x + + kji i! , kji = 021高等代數(shù)網(wǎng)4 高等代數(shù)解答4則由W 是的不變子空間有xi1( I)(f (x) = f (x) = k 1 + k x + + k Wjj1j2jij(i 1)!xi2同理2( I) (f (x) = f

38、(x) = k 1 + k x + + k Wjj2j3jij(i 2)!如此下去有xifj(x) = kj01 + kj1x + + kji i! Wxi1( I)(f (x) = f (x) = k 1 + k x + + k W Wjj1j2jij(i 1)!xi22( I) (f (x) = f (x) = k 1 + k x + + kjj2j3jij(i 2)! (i1)i1( I)(f (x) = f(x) = k1 + k x Wjj(i1)jij(i)i( I) (f (x) = f(x) = k 1 Wjjij從最后一式開始倒推回去可得x2xi1, x, , W.2i!x2xi于是i + 1 r,又f1(x), , fr(x)由1, x, 2 , , i! 線性表示,故r i + 1,從而dim W = r =i + 1.所以x2xiW = L(1, x, ,).2i!例 4.6 (蘇州大學(xué)02)設(shè)V 為有理數(shù)域Q上的n維線性空間, 為V 的線性變換,其中 可對角化,且 = .證明正整數(shù)m使得m = 0.證明: 注:此題中的條件:有理數(shù)域以及 可對角化好像無用. 設(shè), 在V 的某組基下的矩陣分別為A, B.首先,對正整數(shù)k有kAk = AkB BAk.下用歸納法證明.當(dāng)k = 1時,顯然成立.假設(shè)結(jié)論對k 1成立,