《不等式選講》歷年高考真題專項突破

1、不等式選講歷年高考真題專項突破整理人：毛錦濤命題角度1.含有絕對值不等式的解法1,已知函數(shù) f (x) =|2x 1|+|2x+a| , g (x) =x+3.(I)當(dāng)a=- 2時，求不等式f (x) <g (x)的解集；(H )設(shè)a> - 1,且當(dāng)虻一金，寺)時，f(、)& g (x),求a的取值范圍.2 .已知函數(shù) f (x) =|x+a|+|x -2|(1)當(dāng)a=-3時，求不等式f (x) >3的解集；(2)若f (x) & |x -4|的解集包含1 , 2,求a的取值范圍.3 .設(shè)函數(shù) f (x) =|x - a|+3x ,其中 a>0.(I)當(dāng)

2、a=1時，求不等式f (x)3x+2的解集(n)若不等式f (x) &0的解集為x|x < - 1,求a的值.4 .已知函數(shù) f (x) =|2x a|+a .(1)當(dāng)a=2時，求不等式f (x) W 6的解集；(2)設(shè)函數(shù) g (x) =|2x - 1| ,當(dāng) xC R時，f (x) +g (x) > 3,求 a 的取值范 圍.5 . 已知函數(shù) f (x) =|x - 2| - |x - 5| .(1)證明：3<f (x) <3;(2)求不等式f (x)x2-8x+15的解集.命題角度2,含有絕對值的函數(shù)的圖像與應(yīng)用6 .已知函數(shù) f (x) =|x+1| -

3、2|x -a| , a>0.(I )當(dāng)a=1時，求不等式f (x) >1的解集；(H)若f (x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.7 .設(shè)函數(shù) f (x) =|2x - 4|+1 .(I)畫出函數(shù)y=f (x)的圖象：(n)若不等式f (x) wax的解集非空，求a的取值范圍.8 .已知函數(shù) f (x) =|x+1| - | 2x-3| .(I )在圖中畫出y=f (x)的圖象；(II)求不等式|f (x) | >1的解集.命題角度3.不等式的證明與最值9 .設(shè)函數(shù) f (x) =|x+|+|x - a| (a>0).(I )證明：f (x) >

4、;2;(H)若f (3) <5,求a的取值范圍.10 .若 a>0, b>0, H+L=/ab|. a b(I )求a3+b3的最小值；(H)是否存在a, b,使得2a+3b=6?并說明理由.11 .設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明: (1)若 ab>cd,則6+幾>爪+71；(2) F+/E>丘Mi是|a -b|<|c -d| 的充要條件.12.設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且a+b+c=1,證明：(I)簿 b+bu+c 244"，J,2 J(R) -T- + +>1 oca13 .已知函數(shù)f (x) =|x -|+

5、|x+ 1| , M為不等式f (x) <2的解集(I )求 M;(H)證明：當(dāng) a, bC M時，|a+b| < |1+ab| .14 .設(shè) a>0, |x-1| < a , | y-2| < -,求證：|2x+y-4| <a. 3315 .若函數(shù)f (x) x 1 2 x a的最小值為5,則實數(shù)a=16 .已知 a>0, b>0, c>0,函數(shù) f (x) =|x+a|+|x - b|+c 的最小值為 4.(1)求a+b+c的值；(2)求 $%b2+c2的最小化 (柯西不等式)17 .已知關(guān)于x的不等式x a b的解集為x2 x 4 .

6、(I)求實數(shù)a, b的值；(II)求Jat 12京的最大值.(柯西不等式)2017年03月30日小毛的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一.解答題(共13小題)1. (2013漸課標(biāo)I)(選修4-5:不等式選講)已知函數(shù) f (x) =|2x 1|+|2x+a| , g (x) =x+3.(I)當(dāng)a=- 2時，求不等式f (x) <g (x)的解集；(n)設(shè)a> - 1,且當(dāng)xE -時，f (x) &g (x)，求a的取值范圍.【解答】解：(I)當(dāng)a=-2時，求不等式f (x) <g (x)化為|2x-1|+|2x - 2| -x-3<0.它的圖象如圖所示:X>

7、;1設(shè) y=|2x 1|+|2x 2| x 3,則 y=3x-6結(jié)合圖象可得，y<0的解集為(0, 2),故原不等式的解集為(0, 2).(H)設(shè)a>-1,且當(dāng)支£ 一r §)時，f (x) =1+a,不等式化為1+a w x+3, 故x)a-2對工E 1-f都成立.故-旦a-2,解得a < ,故a的取值范圍為(-2314 / 132. (2012漸課標(biāo))已知函數(shù) f (x) =|x+a|+|x - 2|(1)當(dāng)a=-3時，求不等式f (x) >3的解集;k<23-工+2一工）3(2)若f (x) & |x -4|的解集包含1 , 2,

8、求a的取值范圍.【解答】解：（1）當(dāng)a=- 3時,f （x） >3即|x -3|+|x 2| >3,即或或"3.3-工+工-23.3.工-3+工-23 解可得x<1,解可得xC?,解可得x>4.把、的解集取并集可得不等式的解集為x|x &1或x4.(2)原命題即f (x) < |x -4|在1 , 2上恒成立，等價于|x+a|+2 -x<4-x 在1 , 2上恒成立，等價于 |x+a| <2,等價于-2<x+a<2, - 2-x<a<2-xft1 , 2上恒成立. 故當(dāng)1&x02時，-2-x的最大值為-

9、2-1 = -3, 2-x的最小值為0, 故a的取值范圍為-3, 0.3. (2011漸課標(biāo))設(shè)函數(shù) f (x) =|x - a|+3x ,其中 a>0.(I)當(dāng)a=1時，求不等式f (x)3x+2的解集(n)若不等式f (x) &0的解集為x|x < - 1,求a的值.【解答】解：(I)當(dāng)a=1時，f (x)3x+2可化為|x - 1| >2.由此可得x>3 m£x< - 1.故不等式f (x)3x+2的解集為x|x >3或 x< 1.(H)由 f (x) &0得|x a|+3x < 0此不等式化為不等式組因為a>

10、;0,所以不等式組的解集為x|x <腎由題設(shè)可得-A=-1,故a=224. (2016麗課標(biāo)田)已知函數(shù)f (x) =|2x - a|+a .(1)當(dāng)a=2時，求不等式f (x) <6的解集；(2)設(shè)函數(shù) g (x) =|2x - 1| ,當(dāng) xC R時，f (x) +g (x) > 3,求 a 的取值范 圍.【解答】解：(1)當(dāng) a=2 時，f (x) =|2x - 2|+2 ,. f (x) <6, a |2x -2|+2 <6, |2x - 2| <4, |x - 1| <2, - 20x - 102,解得-1&X&3,不等式f

11、(x) 06的解集為x| - 1<x<3.(2) vg (X) =|2x - 1| ,f (x) +g (x) =|2x - 1 |+|2x - a|+a >3, 2|x -|+2|x -|+a>3,當(dāng)a > 3時，成立,>0,當(dāng) av3 時,|x -4+|xi£-n(a- 1) 2> (3- a)解得2<a<3,a的取值范圍是2 , +s).5. (2011迫寧)選修4-5:不等式選講已知函數(shù) f (x) =|x -2| - |x -5| .(1)證明：3<f (x) <3;(2)求不等式f (x) >x?-8

12、x+15的解集.【解答】解：(1) f (x) =|x 2| |x 5|n 去一八 2<i<5.3,耳5當(dāng) 2Vx<5 時，3< 2x-7<3.所以-3<f (x) <3.(2)由(1)可知，當(dāng)x02時，f (x)x2-8x+15的解集為空集；當(dāng) 2Vx<5 時，f (x)x2 8x+15 的解集為x|5 正&x<5;當(dāng) x5 時，f (x)x2-8x+15 的解集為x|5 <x<6.綜上，不等式f (x)x2-8x+15的解集為x|5 -V3<x<6.6. (2015漸課標(biāo) I)已知函數(shù) f (x) =|x

13、+1| -2|x - a| , a>0.(I )當(dāng)a=1時，求不等式f (x) >1的解集;(H)若f (x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.【解答】解：(I )當(dāng)a=1時，不等式f (x) >1,即|x+1| -2|x - 1| >1,即 ,，或 ，-X-1 -2 (l-i) >1x+1- 2Clr)l或卜)L .解求得x ?,解求得看<x<1,解求得1&x<2.綜上可得，原不等式的解集為(一，2).(H)函數(shù) f (x) =|x+1| - 2|x - a|= 3i+l-2a, -L<Kw,-k+1+2sj由此

14、求得f (x)的圖象與x軸的交點A (宜L, 0),3B (2a+1, 0),故f (x)的圖象與x軸圍成的三角形的第三個頂點 C (a, a+1),由AB。勺面積大于6,可得占2a+1 -區(qū)a？(a+1) >6,求得a>2.23故要求的a的范圍為(2, +8).7. (2010漸課標(biāo))設(shè)函數(shù) f (x) =|2x-4|+1.(I )畫出函數(shù)y=f (x)的圖象：(n)若不等式f (x) wax的解集非空，求a的取值范圍.【解答】解：(I)由于f (x) =W-3, k>2函數(shù)y=f (x)的圖象如圖所示.(H)由函數(shù)y=f (x)與函數(shù)y=ax的圖象可知，極小值在點(2,

15、1) 當(dāng)且僅當(dāng)a<-2或a>亍時，函數(shù)y=f (x)與函數(shù)y=ax的圖象有交點. 故不等式f (x)ax的解集非空時，a 的取值范圍為- 2) U -1-, +oo).8. (2014漸課標(biāo)H)設(shè)函數(shù) f (x) =|x+-1-|+|x - a| (a>0).(I )證明：f (x) >2;(H)若f (3) <5,求a的取值范圍.【解答】解：(I)證明：丁 a>0, f (x) =|x+|+|x - a| > | (x+1-) (x a) |=|a+ |=a+> 2故不等式f (x) >2成立.(H) f (3) =|3+g|+|3 -a

16、|<5,當(dāng)a>3時，不等式即a+二<5,即a2-5a+1<0,解得3Va<曰低 . a2當(dāng)0<a03時，不等式即6 -a+L<5,即a2-a- 1>0,求得It醫(yī)<a03. a2綜上可得，a的取值范圍(上迤，史返).229. (2014漸課標(biāo)I)若a>0, b>0,且工工、商. a b(I )求a3+b3的最小值；(H)是否存在a, b,使得2a+3b=6?并說明理由.【解答】解：(I) . a>0, b>0,且工4=/, a b叵樂"需 ,ab>2, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=回時取等號.a3+b3 >

17、2(ab)3>2./3=4/2,當(dāng)且僅當(dāng) a=b=/時取等號，；a3+b3的最小值為472.(H) v 2a+3b>2伍畤b=2/,當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時，取等號.而由(1)可知，2、兄R12J五=4乃>6,故不存在a, b,使得2a+3b=6成立.10. (2015漸課標(biāo)H)設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明:(1)若 ab>cd,則4+J>H+y；(2) 也+我>正帖是忸-b| <|c -d|的充要條件.【解答】證明：(1)由于(爪+在)2=a+b+2/ab,(h/c+Vd)2=c+d+2/7d,由 a, b, c, d 均為正數(shù)

18、，且 a+b=c+d, ab>cd,則即有(丘+、ZE) 2>( Vc+/d) 2,則 fa+Vb > xfc+Vd ；(2)若 V+/Tj>VZ+、A,則(x/-a+/b) 2> (Vc+/d) ?, 即為 a+b+2-/ab>c+d+2/cd,由 a+b=c+d,ab>cd,于是(a-b) 2= (a+b) 2- 4ab,(c - d) 2= (c+d) 2 - 4cd,即有(a - b) 2< ( c - d) 2,即為 |a b| < |c d| ；若 |a b| < |c d| ,則(a b) 2< ( c d) 2,

19、即有(a+b) 2 - 4ab< (c+d) 2 - 4cd,由 a+b=c+d,ab>cd,則有(Va+X/b) > (Vc+/d) 2.綜上可得，爪+%>爪+/4是忸-b| < |c - d|的充要條件.11. (2013漸課標(biāo)H)【選修4-5;不等式選講】設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且a+b+c=1,證明:(I)J12 ,22(R)+DCS.【解答】 證明：(I)由 a2+b2> 2ab, b2+c2> 2bc, c2+a2> 2ca 得:a2+b2+c2 > ab+bc+ca,由題設(shè)得(a+b+c) 2=1,即 a2+b2+c2+2a

20、b+2bc+2ca=1,所以 3 (ab+bc+ca) & 1,即 ab+bc+ca<.J(n)因為2 a T2+b> 2a,2+c> 2b, +a> 2c,a+ (a+b+c) >2 (a+b+c),即> a+b+c.所以>112. (2016 漸課標(biāo) H)已知函數(shù) f (x) =|x -l|+|x+l| , M 為不等式 f (x) <2的解集.(I )求 M(R)證明：當(dāng) a, bCM時，|a+b| <|1+ab| .【解答】解：(I)當(dāng)XV時，不等式f (x) <2可化為：l-x-x-l<2, £22解

21、得：X>- 1 ,-1<X< 卷,當(dāng)年&X*時，不等式f (x) <2可化為：i-x+x+ir=1<2,此時不等式恒成立，,* 嘲當(dāng)X>,時，不等式f (x) <2可化為：-點+x+x總<2,解得：x<1, V X V 1 , 2綜上可得：M=(- 1, 1);證明：(U)當(dāng)a, bCM時， 22(a - 1) (b - 1) >0,W2. 2.2. 2a b +1>a +b , o no oIP a b +1+2ab> a +b +2ab,即(ab+1) 2> (a+b) 2,IP |a+b| < |