第二節(jié)柯西公式

1、第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式4. 4. 柯西公式柯西公式5. 5. 莫勒拉定理莫勒拉定理4. 4. 柯西公式柯西公式第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 為邊界的閉圓盤上解析，為邊界的閉圓盤上解析，f (z)沿沿C 的積分為零。的積分為零。則有：則有：考慮積分考慮積分設(shè)設(shè)f (z)在以圓在以圓0( )Cf zIdzzz000:|(0)Czzrr 不一定為不一定為0 0. .（2 2）在上述閉圓盤上）在上述閉圓盤上 不解析，不解析，I 的值的值0( )f zzz( (1) 1) 被積函數(shù)在被積函數(shù)在C上連續(xù)，積分上連續(xù)，積分I

2、 必然存在；必然存在；問題提出問題提出第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 4. 4. 柯西公式柯西公式 柯西公式柯西公式 定理定理4.1 設(shè)設(shè)D是以有限條簡單閉曲線是以有限條簡單閉曲線C為邊界為邊界的有界區(qū)域。的有界區(qū)域。解析，那么在解析，那么在D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)z，有，有稱（稱（4.54.5）為）為柯西公式柯西公式。設(shè)設(shè)f(z)在在D及及C所組成的閉區(qū)域所組成的閉區(qū)域 上上D1( )( .24 5)(Cff zdiz第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 證明：證明：設(shè)設(shè) Dzzf)(在滿足在滿足 的點(diǎn)的點(diǎn) 處解析。處解析。zD,以以z為心，作一個(gè)包含在為心，作一個(gè)包含在D內(nèi)的圓盤，設(shè)其半徑內(nèi)的圓盤，設(shè)

3、其半徑在在 上，挖去以上，挖去以C 為邊界的圓盤，余下的點(diǎn)集為邊界的圓盤，余下的點(diǎn)集D是一個(gè)閉區(qū)域是一個(gè)閉區(qū)域 。D顯然函數(shù)顯然函數(shù)為為 ，邊界為圓，邊界為圓C 。第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 C0C1C2CCz第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 其中，沿曲線其中，沿曲線C的積分是按關(guān)于的積分是按關(guān)于D的正向取的，的正向取的，CCdzfdzf)()(沿沿Cr的積分是按反時(shí)針方向取的。的積分是按反時(shí)針方向取的。解析，所以有解析，所以有在在 上，上， 的函數(shù)的函數(shù) 以及以及D)(fzf)(現(xiàn)證：現(xiàn)證：( )2( )Cfdif zz第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 因此，因此，I的值只的值只f(z)與在

4、與在z0點(diǎn)附近的值有關(guān)。點(diǎn)附近的值有關(guān)。由柯西定理，得由柯西定理，得作以作以z0 為心，以為心，以r為半徑的圓為半徑的圓Cr .rCCdzzzzfdzzzzf00)()(令，令，iezz0則有則有CidezfiI)(0第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 由于由于I的值只的值只f(z)與在與在z0點(diǎn)附近的值有關(guān)，點(diǎn)附近的值有關(guān)，),(20zifI即即事實(shí)上，當(dāng)事實(shí)上，當(dāng)r趨近于趨近于0時(shí)，有時(shí)，有Cdzzzzfizf00)(21)(與與r無關(guān)，由無關(guān)，由f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0的連續(xù)性，應(yīng)該有的連續(xù)性，應(yīng)該有rCCdzzzzfzfzfdzzzzf0000)()()()(第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 由

5、于由由于由f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0的連續(xù)性，所以的連續(xù)性，所以)(0, 00r使得當(dāng)使得當(dāng)時(shí)，rCzr,0| )()(|0zfzfrrCCdzzzzfzfdzzzzf0000)()(1)(22|)()(|00rrdzzzzfzfrC因此因此第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 即當(dāng)即當(dāng)r趨近于趨近于0時(shí)，上式右邊的有第二個(gè)積分趨時(shí)，上式右邊的有第二個(gè)積分趨idzzzrC210因此，結(jié)論成立。因此，結(jié)論成立。近于近于0；而；而第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 注解注解1 1、對(duì)于某些有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在對(duì)于某些有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)所取的值可以用它在邊界上的積區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)所取的值可

6、以用它在邊界上的積分表示出來。分表示出來。2 2、柯西公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿簡單閉柯西公式提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿簡單閉曲線積分的一種方法。即曲線積分的一種方法。即 00( )2()Cf zdzif zzz第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 例例 1 求下列積分的值。求下列積分的值。 2sin(1);zzdzz22(2).(9)()zzdzzzi第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 ,.)3 , 2 , 1( )()(2!)(1)(ndzfinzfCnn 解析函數(shù)的無窮可微性解析函數(shù)的無窮可微性 定理定理4.2 設(shè)設(shè)D是以有限條簡單閉曲線是以有限條簡單閉曲線C為邊界

7、為邊界的有界區(qū)域。的有界區(qū)域。設(shè)設(shè)f(z)在在D及及C所組成的閉區(qū)域所組成的閉區(qū)域 D那么那么f(z)在在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且（4.7）式叫做解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式 第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 證明證明：先證明結(jié)論關(guān)于：先證明結(jié)論關(guān)于n=1時(shí)成立。設(shè)時(shí)成立。設(shè)Dhz是是D內(nèi)另一點(diǎn)。只需證明，當(dāng)內(nèi)另一點(diǎn)。只需證明，當(dāng)h趨近于趨近于0時(shí)，下時(shí)，下式也趨近于式也趨近于0 )()(2 )(21)(2112CCCdzfihdzfidhzfihCdzhzfih2)()(2Cdzfihzfhzf2)()(21)()(第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 現(xiàn)在估計(jì)上式右邊

8、的積分。設(shè)以現(xiàn)在估計(jì)上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以為心，以2d為為,| ,|dhzdzz+h，使得，使得0|h|d，那么當(dāng)，那么當(dāng) 時(shí)時(shí)D設(shè)設(shè)|f(z)|在在C上的一個(gè)上界是上的一個(gè)上界是M，并且設(shè)，并且設(shè)C的長度的長度因此當(dāng)因此當(dāng)h趨近于趨近于0時(shí)，要證的積分趨于時(shí)，要證的積分趨于0。,2|)()(2|22dMLhdzhzfihC半徑的圓盤完全在半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個(gè)圓盤內(nèi)取內(nèi)，并且在這個(gè)圓盤內(nèi)取是是L，于是我們有，于是我們有第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明。Ckkkdzfikhzfhzf2)()()()(2)!1()(

9、)(CkCkCkdzfikdzfikdhzfikh211)()(2)!1( )()(2!)()(2!1CkCkkkdzfikdzhzOhzkfihk2112)()(2)!1()()() 1 ()(1()(2!設(shè)設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立。取時(shí)，結(jié)論成立。取z及及z+h同上，那么有同上，那么有第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 ) 1 ()(1)()(1)(2)!1(21CkkhOdzzhzfik由此證明，當(dāng)由此證明，當(dāng)h趨近于趨近于0時(shí)，上式的右邊趨于時(shí)，上式的右邊趨于0，于是定理的結(jié)論當(dāng)于是定理的結(jié)論當(dāng)n=k+1時(shí)成立。時(shí)成立。第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 ( )1( )2( )()!nnCfidf

10、zzn注解注解1 1、可以從兩個(gè)方面理解公式（可以從兩個(gè)方面理解公式（4.7）一方面用積分來代替求導(dǎo)數(shù)；一方面用積分來代替求導(dǎo)數(shù)；求導(dǎo)的方法來計(jì)算積分或提供了計(jì)算函數(shù)沿閉求導(dǎo)的方法來計(jì)算積分或提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分的一種方法，即曲線積分的一種方法，即2 2、由定理由定理4.2，可以得出解析函數(shù)的無窮可微性，可以得出解析函數(shù)的無窮可微性另一方面則是用另一方面則是用( )010( )2()()!nnCf zidzfzzzn或或 4.7第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 例例 2 求下列積分的值。求下列積分的值。 31cos(1);()z izdzzi 224(2).(1)zzedzzz解：由（解：

11、由（4.7）得）得 31cos2(cos )()2!z iz izidzzzi 1cos()2iiiee (2)221122224122(1)(1)(1)zzzzzzeezezdzdzdzzzzz 第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 系系4.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，那么內(nèi)解析，那么f(z)在在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。1 1、以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的注解注解解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異；有非常大的差異；f(z)解析解析柯西柯西- -黎曼條件黎曼條件柯西定理柯西定理

12、柯西公式柯西公式任意階導(dǎo)數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)2 2、任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論。任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論。(0)( )( )fzf z記 ( )1!( )( ) (0,1,2,.)2()nnCnffzdniz第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 1), ,(,xyxyu uv vD在區(qū)域 內(nèi)連續(xù);( )( , )2,u x yv x yDCR 和在 內(nèi)滿足方程： ( )f zuivD在 內(nèi)解析的充要定理?xiàng)l件是:第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 柯西不等式與劉維爾定理柯西不等式與劉維爾定理 下面我們利用定理下面我們利用定理4.2來來推導(dǎo)一個(gè)導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)式：推導(dǎo)一個(gè)導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)式： 定理定理4.

13、34.3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在以在以)0(|:|000zzC為邊界的閉圓盤上解析，那么為邊界的閉圓盤上解析，那么( )0|()|( )(0,1,2,.)(4.12)!nnfzMnn其中其中).0( | )(|max)(0|0zfMzz( )0!( )|()|(0,1,2,.)nnn Mfzn也可以寫成：也可以寫成：第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 證明：證明：那么，由導(dǎo)數(shù)公式，有那么，由導(dǎo)數(shù)公式，有11)(!2)(2nnMnMn!其中，其中，n=0,1,2,;0!=1。C是圓是圓)0(|00 zz令令( )010!( )()2()nnCnf zfzdzizz第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 1

14、1、不等式不等式（4.12）稱為稱為柯西不等式柯西不等式. .注解注解2 2、柯西不等式表明：柯西不等式表明：0zz 在定理在定理4.3的條件下，的條件下， f (z)及其各階導(dǎo)數(shù)在及其各階導(dǎo)數(shù)在之值的模，可以用之值的模，可以用| |f (z)| |在上的最大值來估計(jì)。在上的最大值來估計(jì)。它與解析函數(shù)的解析區(qū)域有密切關(guān)系。它與解析函數(shù)的解析區(qū)域有密切關(guān)系。 如果如果f (z)在在C（復(fù)平面）（復(fù)平面）上解析，那么就稱上解析，那么就稱定義定義它為一個(gè)它為一個(gè)整函數(shù)整函數(shù)。定理定理 4.4劉維爾劉維爾( (Liouville) )定理定理有界整函數(shù)一定恒等于常數(shù)。有界整函數(shù)一定恒等于常數(shù)。例如：z

15、ezz,cos,sin等。第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 f(z)是有界整函數(shù)，即存在是有界整函數(shù)，即存在), 0( M使得使得.| )(|C,Mzfz), 0(,C0z由柯西公式，有由柯西公式，有/| )( |0Mzf令令0)( ,C00zfz從而從而f(z)在在C上恒等于常數(shù)。上恒等于常數(shù)。 證明：證明：f(z)在在 上解析。上解析。|0 zzz，可見，可見第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 5. 5. 柯西定理的逆定理：柯西定理的逆定理： 莫勒拉莫勒拉（Morera）定理定理 定理定理5.1 如果函數(shù)如果函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且內(nèi)連續(xù)，并且對(duì)于對(duì)

16、于D內(nèi)的任一條簡單閉曲線內(nèi)的任一條簡單閉曲線C，有，有0)(Cdzzf那么那么f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析。內(nèi)解析。由定理（由定理（3.13.1）與（）與（5.15.1）得到刻劃解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)定理：）得到刻劃解析函數(shù)的一個(gè)等價(jià)定理： 定理定理 函數(shù)函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：內(nèi)解析的充要條件是：(1) f(z)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù); ;(2)( )0.Cf z dz （其中（其中C內(nèi)內(nèi)D的任一條簡單閉曲線的任一條簡單閉曲線. .）第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 證明：證明：,C0z作以為作以為z0心的圓盤心的圓盤.DK 在凸區(qū)域在凸區(qū)域K內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且對(duì)于連續(xù)，并且對(duì)于K內(nèi)任內(nèi)任)()( zfzF于是于是F(z)在在K內(nèi)解析。由系內(nèi)解析。由系4.1，f(z)在在K內(nèi)，在內(nèi)，在z0解析，從而有任意階導(dǎo)數(shù)。解析，從而有任意階導(dǎo)數(shù)。又因?yàn)橛忠驗(yàn)閦0的任意性，結(jié)論成立。的任意性，結(jié)論成立。何一個(gè)