第三章函數(shù)第三節(jié)反比例函數(shù)

1、 第三章第三章 函函 數(shù)數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 反比例函數(shù)反比例函數(shù) 考點精講反反比比例例函函數(shù)數(shù)反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)反比例函數(shù)中比例系數(shù)反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義的幾何意義反比例函數(shù)解析式的確定反比例函數(shù)解析式的確定反反比比例例函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象及及性性質(zhì)質(zhì)表達式表達式y(tǒng)= （k為常數(shù)，為常數(shù)，k0 ），也可以表示），也可以表示 xy=k 函數(shù)函數(shù)圖象圖象k _0k _0反比例函數(shù)的圖象是一條雙曲線，且關(guān)于原點成中心對稱反比例函數(shù)的圖象是一條雙曲線，且關(guān)于原點成中心對稱所在象限所在象限第第 _象限（象限（x、y同號）同號）第第_象限（象限（x、y異號）異號）增減性增

2、減性在每一象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y 隨隨x的增大的增大而而_ 在每一象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y 隨隨x的增大的增大而而_對稱性對稱性關(guān)于直線關(guān)于直線y=x，y=-x成軸對稱，關(guān)于成軸對稱，關(guān)于_成中心對稱成中心對稱kx二、四二、四增大增大減小減小一、三一、三原點原點反比例函反比例函數(shù)中比例數(shù)中比例系數(shù)系數(shù)k的的幾何意義幾何意義1.k的幾何意義：如圖，過反比例函數(shù)圖象上的幾何意義：如圖，過反比例函數(shù)圖象上 任一點任一點P（x,y）作）作x軸、軸、y軸軸 的垂線的垂線PM、PN,所得矩形所得矩形 PMON的面積的面積S= _ =|x| |y|=|xy|=_. 2.常見的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型

3、常見的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型PMPN|k|2.常見的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型常見的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型 SAOP_ SBOP SAPB= _； S矩形矩形OAPB=k _（P、P1關(guān)于原關(guān)于原點對稱）點對稱）2k2|k|2k2k11 11 12 12 1A AP PP PS S 反比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式的確立解析式的確立待定系數(shù)法待定系數(shù)法（2011版課標新增內(nèi)容）版課標新增內(nèi)容）利用利用k的幾何意義求解的幾何意義求解待待定定系系數(shù)數(shù)法法1.設出反比例函數(shù)解析式設出反比例函數(shù)解析式 y= ；2.找出滿足反比例函數(shù)解析式的點找出滿足反比例函數(shù)解析式的點P（a，b）；）；

4、3.將點將點P（a，b）代入解析式得）代入解析式得k= _；4.將將k的值代入的值代入y= 確定反比例函數(shù)解析式確定反比例函數(shù)解析式kxkxab13 13 利用利用k 的的幾何意義幾何意義 求解求解若已知某點到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成若已知某點到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成圖形為矩形或三角形的面積，根據(jù)函數(shù)圖象圖形為矩形或三角形的面積，根據(jù)函數(shù)圖象所在象限確定所在象限確定k的符號，從而確定的符號，從而確定k值，求得值，求得過該點的反比例函數(shù)解析式；若所圍圖形為過該點的反比例函數(shù)解析式；若所圍圖形為一般圖形，可將其轉(zhuǎn)化為矩形或三角形的和一般圖形，可將其轉(zhuǎn)化為矩形或三角形的和或差，確定或差，確定k

5、值，求得反比例函數(shù)的解析式值，求得反比例函數(shù)的解析式 重難點突破反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題（難點）反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題（難點）例例（2015舟山舟山）如圖，直線）如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y= (k0，x0）的圖象交于點）的圖象交于點A（1，a），），B是反比例函數(shù)圖象上一是反比例函數(shù)圖象上一點，直線點，直線OB與與x軸的夾角為軸的夾角為 ，tan = .（1）求）求k的值；的值；（2）求點）求點B的坐標；的坐標；（3）設點）設點P（m，0），使），使PAB的面積的面積 為為2，求，求m的值的值.kx12例題圖例題圖 【思維教練思維教練】（1）要求反比例函數(shù)系數(shù)）要求反比

6、例函數(shù)系數(shù)k的值，的值，只需找到經(jīng)過反比例函數(shù)圖象的點坐標，根據(jù)只需找到經(jīng)過反比例函數(shù)圖象的點坐標，根據(jù)橫、縱坐標之積即可求解；橫、縱坐標之積即可求解；（2）要求點）要求點B的坐標，觀察圖象點的坐標，觀察圖象點B在反比例在反比例函數(shù)的圖象上，結(jié)合已知函數(shù)的圖象上，結(jié)合已知tan ，可得其橫、縱坐標的關(guān)系，可得其橫、縱坐標的關(guān)系，再結(jié)合反比例函數(shù)解析式，點再結(jié)合反比例函數(shù)解析式，點B的坐標即可求解；的坐標即可求解；12例題圖例題圖（3）已知）已知P（m,0）和）和PAB的面積，求的面積，求m的值，觀察圖形的值，觀察圖形PAB的三邊均不在坐標軸上，故考慮將其面積轉(zhuǎn)化為一邊在坐標軸上的三邊均不在坐標

7、軸上，故考慮將其面積轉(zhuǎn)化為一邊在坐標軸上（或一邊平行于坐標軸）的兩個三角形的面積和差來求解（或一邊平行于坐標軸）的兩個三角形的面積和差來求解.由由(1)(2)知知A、B兩點的坐標，設直線兩點的坐標，設直線AB與與x軸交于點軸交于點D，PAB的面積就的面積就可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為SPABSPAD -SPBD，m的值即可求解的值即可求解. 解解：（：（1）把點）把點A（1，a）代入）代入y=2x，得，得a=2，點點A坐標為（坐標為（1，2），），把點把點A（1，2）代入）代入y= ，得，得k=12=2；kx（2）如解圖，過點）如解圖，過點B作作BCx軸于點軸于點C，在在Rt BOC中，中，tan = ，

8、可設點可設點B（2h，h）.點點B（2h，h）在反比例函數(shù)）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，的圖象上，2h2=2，解得，解得h=1，h0，h=1，點點B的坐標為（的坐標為（2，1）；）；例題解圖例題解圖2x12 （3）設直線）設直線AB的解析式為的解析式為y=nx+t，將點將點A（1，2）,B（2，1）代入）代入ynx+t，得，得 直線直線AB的解析式為的解析式為y=-x+3.如解圖，設直線如解圖，設直線AB與與x軸交于點軸交于點D，則，則D（3，0），），SPAB =SPAD -SPBD =2，P（m，0），）， 3-m（2-1）=2，解得解得m1=-1，m2=7，點點P的坐標為（的坐標為（-1

9、，0）或（）或（7，0）.n+t=22n+t=1,n=-1t=312解得解得,例題解圖例題解圖滿滿 分分 技技 法法對于一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，設問常有：求函數(shù)解對于一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，設問常有：求函數(shù)解析式，求交點坐標，判斷兩函數(shù)值大小時自變量的取值范析式，求交點坐標，判斷兩函數(shù)值大小時自變量的取值范圍，與線段有關(guān)的問題，與圖形面積有關(guān)的問題，解決這圍，與線段有關(guān)的問題，與圖形面積有關(guān)的問題，解決這些問題的一般方法為：些問題的一般方法為：1.求函數(shù)解析式：一般先通過一個已知點求得反比例函數(shù)求函數(shù)解析式：一般先通過一個已知點求得反比例函數(shù) 解析式，若已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個交

10、點坐標，解析式，若已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個交點坐標， 求一次函數(shù)解析式只需將交點坐標代入一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式只需將交點坐標代入一次函數(shù)解析式， 利用待定系數(shù)法求解；利用待定系數(shù)法求解；2.求交點坐標：已知函數(shù)求交點坐標：已知函數(shù)y=ax+b及及y= 的解析式，求它們的解析式，求它們 圖象的交點圖象的交點A、B的坐標時，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系聯(lián)立的坐標時，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系聯(lián)立 兩個函數(shù)關(guān)系式，求解方程組即可；對于正比例函數(shù)與兩個函數(shù)關(guān)系式，求解方程組即可；對于正比例函數(shù)與 反比例函數(shù)的交點問題，利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)反比例函數(shù)的交點問題，利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù) 均關(guān)于

11、原點對稱，只要知道一個交點坐標，然后求其關(guān)均關(guān)于原點對稱，只要知道一個交點坐標，然后求其關(guān) 于原點對稱的點坐標即可求得另一交點坐標；于原點對稱的點坐標即可求得另一交點坐標；kx3.判斷兩函數(shù)值的大小時自變量的取值范圍：判斷兩函數(shù)值的大小時自變量的取值范圍：（1）分區(qū)：過兩函數(shù)圖象的交點分別做）分區(qū)：過兩函數(shù)圖象的交點分別做 y軸的平行線，連軸的平行線，連 同同 y 軸，將平面分為四部分，如圖，即軸，將平面分為四部分，如圖，即， ；（2）觀察函數(shù)圖象找答案：根據(jù)函數(shù)圖象上方的值總）觀察函數(shù)圖象找答案：根據(jù)函數(shù)圖象上方的值總 比函數(shù)圖象下方的值大，在各區(qū)域內(nèi)找相應的比函數(shù)圖象下方的值大，在各區(qū)域內(nèi)

12、找相應的x的的 取值范圍取值范圍: ，區(qū)域內(nèi)：區(qū)域內(nèi)： ax+b，自變量的，自變量的 取值范圍為取值范圍為xxB 或或0 xxA； ，區(qū)域內(nèi)：區(qū)域內(nèi)：ax+b ,自變量的自變量的 取值范圍為取值范圍為xBx0或或xxA.kxkx4.與線段有關(guān)的問題，主要是將線段兩端點的坐標表示與線段有關(guān)的問題，主要是將線段兩端點的坐標表示 出來出來.例：已知例：已知A（x1，y1），），B（x2，y2），則），則AB長為長為 .涉及線段之和最小，一般已知涉及線段之和最小，一般已知 一條直線（或坐標軸）和直線（或坐標軸）同旁的兩一條直線（或坐標軸）和直線（或坐標軸）同旁的兩 個點，要求直線（或坐標軸）上一動點使

13、得兩條線段個點，要求直線（或坐標軸）上一動點使得兩條線段 之和最小，通過作其中一個已知點關(guān)于已知直線（或之和最小，通過作其中一個已知點關(guān)于已知直線（或 坐標軸）的對稱點，利用兩點之間線段最短求解；坐標軸）的對稱點，利用兩點之間線段最短求解； 221212xxyy 5.求幾何圖形的面積：求幾何圖形的面積：（1）當所求圖形有一邊在坐標軸上或與坐標軸平行時，）當所求圖形有一邊在坐標軸上或與坐標軸平行時， 可可將該邊作為底邊，利用點的坐標求得底邊上的將該邊作為底邊，利用點的坐標求得底邊上的 高，然后利用面積公式求解；高，然后利用面積公式求解；（2）當三邊均不在坐標軸上時，一般可采用割補法將其）當三邊均

14、不在坐標軸上時，一般可采用割補法將其 轉(zhuǎn)化為一邊在坐標軸上（或一邊平行于坐標軸）的轉(zhuǎn)化為一邊在坐標軸上（或一邊平行于坐標軸）的 兩個三角形面積的和或差來求解兩個三角形面積的和或差來求解. 此外，求面積時要充分利用此外，求面積時要充分利用“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”的思想，即用的思想，即用“坐坐 標標”求求“線段線段”，用，用“線段線段”求求“坐標坐標”.【拓展拓展】如圖，直線如圖，直線y1=x+2與雙曲線與雙曲線y2= 交于交于A（m，4）,B（-4，n）.（1）求）求k值；值；（2）當）當y1y2時請直接寫出時請直接寫出x的取值范圍；的取值范圍；（3）P為為x軸上任意一點，當軸上任意一點，當ABP為

15、直角三角形時，求為直角三角形時，求 P點坐標點坐標.拓展題圖拓展題圖kx解解：（：（1）根據(jù)題意可將點）根據(jù)題意可將點A（m,4），），B（-4,n）代入直線）代入直線y1=x+2，得，得m+2=4,-4+2=n,解得解得m=2,n=-2,點點A坐標為（坐標為（2,4）,點點B坐標為（坐標為（-4,-2）.將點將點A（2，4）代入雙曲線）代入雙曲線y2= ，可得可得k=8; kx（2）觀察圖象可得）觀察圖象可得:y1y2時，時，-4x0或或x2；（3）設）設 x 軸上的點軸上的點P坐標為（坐標為（a，0）,點點A坐標為（坐標為（2，4），點），點B坐標為（坐標為（-4，-2），），PA2(2-a)2+42=(a-2)2+16,PB2=(-4-a)2+(-2)2=(a+4)2+4,AB2(-4-2)2+(-2-4)2=72.當當BAP=90時時,AB2+PA2=PB2，即即72+(a-2)2+16=(a+4)2+4，解得解得a=6，則點則點P坐標為（坐標為（6，0）；）；當當ABP=90時，時，AB2+PB2PA2，即即72+(a+4)2+4=(a-2)2+16,解得解得a=-6,則點則點P坐標為（坐標為（-6，0）；）；當當APB=90，PA2+PB2=AB2,即即(a-2)2+16+(a+4)2+4=72，解得解得a= 或或a= ，則點則點P的坐標為（的坐標為（ ，0