第三章函數(shù)第三節(jié)反比例函數(shù)

1、 第三章第三章 函函 數(shù)數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 反比例函數(shù)反比例函數(shù) 考點(diǎn)精講反反比比例例函函數(shù)數(shù)反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)反比例函數(shù)中比例系數(shù)反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義的幾何意義反比例函數(shù)解析式的確定反比例函數(shù)解析式的確定反反比比例例函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象及及性性質(zhì)質(zhì)表達(dá)式表達(dá)式y(tǒng)= （k為常數(shù)，為常數(shù)，k0 ），也可以表示），也可以表示 xy=k 函數(shù)函數(shù)圖象圖象k _0k _0反比例函數(shù)的圖象是一條雙曲線，且關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱反比例函數(shù)的圖象是一條雙曲線，且關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱所在象限所在象限第第 _象限（象限（x、y同號(hào)）同號(hào)）第第_象限（象限（x、y異號(hào)）異號(hào)）增減性增

2、減性在每一象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y 隨隨x的增大的增大而而_ 在每一象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)，y 隨隨x的增大的增大而而_對(duì)稱性對(duì)稱性關(guān)于直線關(guān)于直線y=x，y=-x成軸對(duì)稱，關(guān)于成軸對(duì)稱，關(guān)于_成中心對(duì)稱成中心對(duì)稱kx二、四二、四增大增大減小減小一、三一、三原點(diǎn)原點(diǎn)反比例函反比例函數(shù)中比例數(shù)中比例系數(shù)系數(shù)k的的幾何意義幾何意義1.k的幾何意義：如圖，過(guò)反比例函數(shù)圖象上的幾何意義：如圖，過(guò)反比例函數(shù)圖象上 任一點(diǎn)任一點(diǎn)P（x,y）作）作x軸、軸、y軸軸 的垂線的垂線PM、PN,所得矩形所得矩形 PMON的面積的面積S= _ =|x| |y|=|xy|=_. 2.常見(jiàn)的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型

3、常見(jiàn)的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型PMPN|k|2.常見(jiàn)的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型常見(jiàn)的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型 SAOP_ SBOP SAPB= _； S矩形矩形OAPB=k _（P、P1關(guān)于原關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）點(diǎn)對(duì)稱）2k2|k|2k2k11 11 12 12 1A AP PP PS S 反比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式的確立解析式的確立待定系數(shù)法待定系數(shù)法（2011版課標(biāo)新增內(nèi)容）版課標(biāo)新增內(nèi)容）利用利用k的幾何意義求解的幾何意義求解待待定定系系數(shù)數(shù)法法1.設(shè)出反比例函數(shù)解析式設(shè)出反比例函數(shù)解析式 y= ；2.找出滿足反比例函數(shù)解析式的點(diǎn)找出滿足反比例函數(shù)解析式的點(diǎn)P（a，b）；）；

4、3.將點(diǎn)將點(diǎn)P（a，b）代入解析式得）代入解析式得k= _；4.將將k的值代入的值代入y= 確定反比例函數(shù)解析式確定反比例函數(shù)解析式kxkxab13 13 利用利用k 的的幾何意義幾何意義 求解求解若已知某點(diǎn)到坐標(biāo)軸的垂線與坐標(biāo)軸所圍成若已知某點(diǎn)到坐標(biāo)軸的垂線與坐標(biāo)軸所圍成圖形為矩形或三角形的面積，根據(jù)函數(shù)圖象圖形為矩形或三角形的面積，根據(jù)函數(shù)圖象所在象限確定所在象限確定k的符號(hào)，從而確定的符號(hào)，從而確定k值，求得值，求得過(guò)該點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式；若所圍圖形為過(guò)該點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式；若所圍圖形為一般圖形，可將其轉(zhuǎn)化為矩形或三角形的和一般圖形，可將其轉(zhuǎn)化為矩形或三角形的和或差，確定或差，確定k

5、值，求得反比例函數(shù)的解析式值，求得反比例函數(shù)的解析式 重難點(diǎn)突破反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題（難點(diǎn)）反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題（難點(diǎn)）例例（2015舟山舟山）如圖，直線）如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y= (k0，x0）的圖象交于點(diǎn)）的圖象交于點(diǎn)A（1，a），），B是反比例函數(shù)圖象上一是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，直線點(diǎn)，直線OB與與x軸的夾角為軸的夾角為 ，tan = .（1）求）求k的值；的值；（2）求點(diǎn)）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)P（m，0），使），使PAB的面積的面積 為為2，求，求m的值的值.kx12例題圖例題圖 【思維教練思維教練】（1）要求反比例函數(shù)系數(shù)）要求反比

6、例函數(shù)系數(shù)k的值，的值，只需找到經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)圖象的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)只需找到經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)圖象的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橫、縱坐標(biāo)之積即可求解；橫、縱坐標(biāo)之積即可求解；（2）要求點(diǎn)）要求點(diǎn)B的坐標(biāo)，觀察圖象點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察圖象點(diǎn)B在反比例在反比例函數(shù)的圖象上，結(jié)合已知函數(shù)的圖象上，結(jié)合已知tan ，可得其橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系，可得其橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系，再結(jié)合反比例函數(shù)解析式，點(diǎn)再結(jié)合反比例函數(shù)解析式，點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求解；的坐標(biāo)即可求解；12例題圖例題圖（3）已知）已知P（m,0）和）和PAB的面積，求的面積，求m的值，觀察圖形的值，觀察圖形PAB的三邊均不在坐標(biāo)軸上，故考慮將其面積轉(zhuǎn)化為一邊在坐標(biāo)軸上的三邊均不在坐標(biāo)

7、軸上，故考慮將其面積轉(zhuǎn)化為一邊在坐標(biāo)軸上（或一邊平行于坐標(biāo)軸）的兩個(gè)三角形的面積和差來(lái)求解（或一邊平行于坐標(biāo)軸）的兩個(gè)三角形的面積和差來(lái)求解.由由(1)(2)知知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線AB與與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)D，PAB的面積就的面積就可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為SPABSPAD -SPBD，m的值即可求解的值即可求解. 解解：（：（1）把點(diǎn)）把點(diǎn)A（1，a）代入）代入y=2x，得，得a=2，點(diǎn)點(diǎn)A坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（1，2），），把點(diǎn)把點(diǎn)A（1，2）代入）代入y= ，得，得k=12=2；kx（2）如解圖，過(guò)點(diǎn)）如解圖，過(guò)點(diǎn)B作作BCx軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)C，在在Rt BOC中，中，tan = ，

8、可設(shè)點(diǎn)可設(shè)點(diǎn)B（2h，h）.點(diǎn)點(diǎn)B（2h，h）在反比例函數(shù)）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，的圖象上，2h2=2，解得，解得h=1，h0，h=1，點(diǎn)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（2，1）；）；例題解圖例題解圖2x12 （3）設(shè)直線）設(shè)直線AB的解析式為的解析式為y=nx+t，將點(diǎn)將點(diǎn)A（1，2）,B（2，1）代入）代入ynx+t，得，得 直線直線AB的解析式為的解析式為y=-x+3.如解圖，設(shè)直線如解圖，設(shè)直線AB與與x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)D，則，則D（3，0），），SPAB =SPAD -SPBD =2，P（m，0），）， 3-m（2-1）=2，解得解得m1=-1，m2=7，點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-1

9、，0）或（）或（7，0）.n+t=22n+t=1,n=-1t=312解得解得,例題解圖例題解圖滿滿 分分 技技 法法對(duì)于一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，設(shè)問(wèn)常有：求函數(shù)解對(duì)于一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，設(shè)問(wèn)常有：求函數(shù)解析式，求交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷兩函數(shù)值大小時(shí)自變量的取值范析式，求交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷兩函數(shù)值大小時(shí)自變量的取值范圍，與線段有關(guān)的問(wèn)題，與圖形面積有關(guān)的問(wèn)題，解決這圍，與線段有關(guān)的問(wèn)題，與圖形面積有關(guān)的問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的一般方法為：些問(wèn)題的一般方法為：1.求函數(shù)解析式：一般先通過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)求得反比例函數(shù)求函數(shù)解析式：一般先通過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)求得反比例函數(shù) 解析式，若已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個(gè)交

10、點(diǎn)坐標(biāo)，解析式，若已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)， 求一次函數(shù)解析式只需將交點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式只需將交點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式， 利用待定系數(shù)法求解；利用待定系數(shù)法求解；2.求交點(diǎn)坐標(biāo)：已知函數(shù)求交點(diǎn)坐標(biāo)：已知函數(shù)y=ax+b及及y= 的解析式，求它們的解析式，求它們 圖象的交點(diǎn)圖象的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)時(shí)，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系聯(lián)立的坐標(biāo)時(shí)，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系聯(lián)立 兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求解方程組即可；對(duì)于正比例函數(shù)與兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求解方程組即可；對(duì)于正比例函數(shù)與 反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù) 均關(guān)于

11、原點(diǎn)對(duì)稱，只要知道一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求其關(guān)均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，只要知道一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求其關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)即可求得另一交點(diǎn)坐標(biāo)；于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)即可求得另一交點(diǎn)坐標(biāo)；kx3.判斷兩函數(shù)值的大小時(shí)自變量的取值范圍：判斷兩函數(shù)值的大小時(shí)自變量的取值范圍：（1）分區(qū)：過(guò)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別做）分區(qū)：過(guò)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別做 y軸的平行線，連軸的平行線，連 同同 y 軸，將平面分為四部分，如圖，即軸，將平面分為四部分，如圖，即， ；（2）觀察函數(shù)圖象找答案：根據(jù)函數(shù)圖象上方的值總）觀察函數(shù)圖象找答案：根據(jù)函數(shù)圖象上方的值總 比函數(shù)圖象下方的值大，在各區(qū)域內(nèi)找相應(yīng)的比函數(shù)圖象下方的值大，在各區(qū)域內(nèi)

12、找相應(yīng)的x的的 取值范圍取值范圍: ，區(qū)域內(nèi)：區(qū)域內(nèi)： ax+b，自變量的，自變量的 取值范圍為取值范圍為xxB 或或0 xxA； ，區(qū)域內(nèi)：區(qū)域內(nèi)：ax+b ,自變量的自變量的 取值范圍為取值范圍為xBx0或或xxA.kxkx4.與線段有關(guān)的問(wèn)題，主要是將線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)表示與線段有關(guān)的問(wèn)題，主要是將線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)表示 出來(lái)出來(lái).例：已知例：已知A（x1，y1），），B（x2，y2），則），則AB長(zhǎng)為長(zhǎng)為 .涉及線段之和最小，一般已知涉及線段之和最小，一般已知 一條直線（或坐標(biāo)軸）和直線（或坐標(biāo)軸）同旁的兩一條直線（或坐標(biāo)軸）和直線（或坐標(biāo)軸）同旁的兩 個(gè)點(diǎn)，要求直線（或坐標(biāo)軸）上一動(dòng)點(diǎn)使

13、得兩條線段個(gè)點(diǎn)，要求直線（或坐標(biāo)軸）上一動(dòng)點(diǎn)使得兩條線段 之和最小，通過(guò)作其中一個(gè)已知點(diǎn)關(guān)于已知直線（或之和最小，通過(guò)作其中一個(gè)已知點(diǎn)關(guān)于已知直線（或 坐標(biāo)軸）的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短求解；坐標(biāo)軸）的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短求解； 221212xxyy 5.求幾何圖形的面積：求幾何圖形的面積：（1）當(dāng)所求圖形有一邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行時(shí)，）當(dāng)所求圖形有一邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行時(shí)， 可可將該邊作為底邊，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得底邊上的將該邊作為底邊，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得底邊上的 高，然后利用面積公式求解；高，然后利用面積公式求解；（2）當(dāng)三邊均不在坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可采用割補(bǔ)法將其）當(dāng)三邊均

14、不在坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可采用割補(bǔ)法將其 轉(zhuǎn)化為一邊在坐標(biāo)軸上（或一邊平行于坐標(biāo)軸）的轉(zhuǎn)化為一邊在坐標(biāo)軸上（或一邊平行于坐標(biāo)軸）的 兩個(gè)三角形面積的和或差來(lái)求解兩個(gè)三角形面積的和或差來(lái)求解. 此外，求面積時(shí)要充分利用此外，求面積時(shí)要充分利用“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”的思想，即用的思想，即用“坐坐 標(biāo)標(biāo)”求求“線段線段”，用，用“線段線段”求求“坐標(biāo)坐標(biāo)”.【拓展拓展】如圖，直線如圖，直線y1=x+2與雙曲線與雙曲線y2= 交于交于A（m，4）,B（-4，n）.（1）求）求k值；值；（2）當(dāng)）當(dāng)y1y2時(shí)請(qǐng)直接寫出時(shí)請(qǐng)直接寫出x的取值范圍；的取值范圍；（3）P為為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)ABP為

15、直角三角形時(shí)，求為直角三角形時(shí)，求 P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo).拓展題圖拓展題圖kx解解：（：（1）根據(jù)題意可將點(diǎn)）根據(jù)題意可將點(diǎn)A（m,4），），B（-4,n）代入直線）代入直線y1=x+2，得，得m+2=4,-4+2=n,解得解得m=2,n=-2,點(diǎn)點(diǎn)A坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（2,4）,點(diǎn)點(diǎn)B坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-4,-2）.將點(diǎn)將點(diǎn)A（2，4）代入雙曲線）代入雙曲線y2= ，可得可得k=8; kx（2）觀察圖象可得）觀察圖象可得:y1y2時(shí)，時(shí)，-4x0或或x2；（3）設(shè)）設(shè) x 軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（a，0）,點(diǎn)點(diǎn)A坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)），點(diǎn)B坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-4，-2），），PA2(2-a)2+42=(a-2)2+16,PB2=(-4-a)2+(-2)2=(a+4)2+4,AB2(-4-2)2+(-2-4)2=72.當(dāng)當(dāng)BAP=90時(shí)時(shí),AB2+PA2=PB2，即即72+(a-2)2+16=(a+4)2+4，解得解得a=6，則點(diǎn)則點(diǎn)P坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（6，0）；）；當(dāng)當(dāng)ABP=90時(shí)，時(shí)，AB2+PB2PA2，即即72+(a+4)2+4=(a-2)2+16,解得解得a=-6,則點(diǎn)則點(diǎn)P坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-6，0）；）；當(dāng)當(dāng)APB=90，PA2+PB2=AB2,即即(a-2)2+16+(a+4)2+4=72，解得解得a= 或或a= ，則點(diǎn)則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（ ，0