2016年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)及解析

1、2016年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1. （5分）（2016浙江）已知集合P=xGRI1x4,則PU（CrQ）=（）A.2,3B.（-2,3C.1,2）D.（-,-2U1,+-）2. （5分）（2016浙江）已知互相垂直的平面a,B交于直線1,若直線m,n滿足mila,n丄B，則（）A.mil1B.milnC.n丄1D.mln3. （5分）（2016浙江）在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線1的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線1上k-20的投影，由區(qū)域龍+卩0中的點(diǎn)在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB

2、,貝93y+40IABI=J）_A.2；龍B.4C.3一2D.64. （5分）（2016浙江）命題VxGR,3nGN*，使得nx2”的否定形式是（）A.VxGR,3nGN*，使得nVx2B.VxGR,VnGN*，使得nVx2C.3xGR,3nGN*，使得nVx2D.3xGR,VnGN*，使得nVx25. （5分）（2016浙江）設(shè)函數(shù)f（x）=sin2x+bsinx+c，則f（x）的最小正周期（）A.與b有關(guān)，且與c有關(guān)B.與b有關(guān)，但與c無(wú)關(guān)C.與b無(wú)關(guān)，且與c無(wú)關(guān)D.與b無(wú)關(guān)，但與c有關(guān)6（5分）（2016浙江）如圖，點(diǎn)列An、Bn分別在某銳角的兩邊上，且IAnAn+1I=IAn+1An+

3、2I,AnAn+1,nGN*,IBnBn+1I=IBn+1Bn+2I,BnBn+1，nGN*,（PhQ表示點(diǎn)P與Q不重合）若dn=IAnBnI,A.Sn是等差數(shù)列B.Sn2是等差數(shù)列C.dn是等差數(shù)列D.dn2是等差數(shù)列227.（5分）（2016浙江）已知橢圓C：士+y2=1（m1）與雙曲線C2：士-y2=1（n0）wn的焦點(diǎn)重合，e1,e2分別為C1,C2的離心率，則（）A.mn且6許21B.mn且6許21D.mVn且6許218.（5分）（2016浙江）已知實(shí)數(shù)a,b,c.（）A. 若Ia2+b+cI+Ia+b2+cI1,則a2+b2+c2V100B. 若Ia2+b+cI+Ia2+b-cI1

4、,則a2+b2+c2V100C. 若Ia+b+c2I+Ia+b-c2I1，貝Va2+b2+c2V100D. 若la2+b+cl+la+b2-clWl，則a2+b2+c20）,則A=,b=.11. （6分）（2016浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該幾何體的表面積是cm2,體積cm3.正視團(tuán)側(cè)視團(tuán)俯視圖12. （6分）（2016浙江）已知ab1,若logab+logba冷,ab=ba，則a=,b=.13. （6分）（2016浙江）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=4,an+1=2Sn+1,nGN*,則a1=,S5=14. （4分）（2016浙江）如圖，在ABC中，AB=BC=2

5、,ZABC=120.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值15.（4分）（2016浙江）已知向量已b,丨刊=1,|b|=2,若對(duì)任意單位向量u,均有I耳已+|b已wi6,貝衍b的最大值是.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.（14分）（2016浙江）在厶ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.（I）證明：A=2B2（口）若厶ABC的面積S=，求角A的大小.4第3頁(yè)（共16頁(yè)）17.(15分)(2016浙江)如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，已知平面BCF

6、E丄平面ABC,ZACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,(I)求證：EF丄平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的余弦值.18.(15分)(2016浙江)已知a3,函數(shù)F(x)=min2lx-1l,x2-2ax+4a-2，其中minfp：p1)a(I)求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)(用a,k表示)(I)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍.且n+120.（15分）（2016浙江）設(shè)數(shù)列滿足lan-!2n-1（la1l-2）（nGN*）3（口）若laj（卡）n,nGN*,證明：laj4=xGRIx2或xx2”的否定形式是：3

7、xGR，VnGN*，使得nVx2.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.5. (5分)【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷.【解答】解：T設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsinx+c,9JT的最小正周期為T(mén)=n，c是圖象的縱坐標(biāo)增加了c,橫坐標(biāo)不變，故周期與c無(wú)關(guān)，當(dāng)b=0時(shí),f(x)=sin2x+bsinx+c=-cos2當(dāng)bHO時(shí)，f(x)=rcos2x+bsinxc，Ty=cos2x的最小正周期為n，y=bsinx的最小正周期為2n,f(x)的最小正周期為2n，故f(x)的最小正周期與b有關(guān)，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題

8、考查了三額角函數(shù)的最小正周期，關(guān)鍵掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.6.(5分)【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合.【分析】設(shè)銳角的頂點(diǎn)為O,再設(shè)IOAl=a,IOBl=b,lAnAn+iimAn+iAn+b,|BnBn+1I=|Bn+1Bn+2I=d，由于a,b不確定，判斷C,D不正確，設(shè)AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn,運(yùn)用三角形相似知識(shí)，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=新hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1,進(jìn)而得到數(shù)列SJ為等差數(shù)列.【解答】解：設(shè)銳角的頂點(diǎn)為O,|OA1|=a,|OB1|=b,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2

9、|=d，由于a,b不確定，貝ydn不一定是等差數(shù)列，dn2不一定是等差數(shù)列，設(shè)厶AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn,hji0扎yl且+(n1)由三角形的相似可得=*十1%十且+nt)%+2n+2a+hn+l0An+la+nb，兩式相加可得,hjh*g十a(chǎn)-l-nb=2,第7頁(yè)(共16頁(yè))即有hn+hn+2=2hn+1，由Sndhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即為Sn+2-Sn+1=Sn+1-Sn，則數(shù)列Sn為等差數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的判斷，注意運(yùn)用三角形的相似和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的推理能力，屬于中檔題.7.(5分)【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

10、【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，得到c2=m2-1=n2+1，即m2-n2=2，進(jìn)行判斷,能得mn，求出兩個(gè)離心率，先平方進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷即可.it2$-y2=1(n0)的焦點(diǎn)重合,2【解答】解：橢圓C：七+y2=1(m1)與雙曲線C2：rr-滿足c2=m2-1=n2+1,即m2-n2=20,m2n2，則mn,排除C,D則c2=m2-1Vm2,c2=n2+1n2,則cV,2貝yee2J壬=irninn第11頁(yè)（共16頁(yè)）貝則(efe?)2=)2(三)irn222-一=mn(m2-1)(n2+l)mel22,/2_2m門(mén)十Imn)r2mel=1+-1?-12-1=1+=melinn

11、1+11，rr廣門(mén)J-花1，故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線離心率的大小關(guān)系的判斷，根據(jù)條件結(jié)合雙曲線和橢圓離心率以及不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.8.（5分）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】本題可根據(jù)選項(xiàng)特點(diǎn)對(duì)a,b,c設(shè)定特定值，采用排除法解答.【解答】解：A.設(shè)a=b=10,c=-110,則la2+b+cl+la+b2+cl=0W1,a2+b2+c2100；B. 設(shè)a=10,b=-100,c=0，則la2+b+cl+la2+b-cl=0W1,a2+b2+c2100；C. 設(shè)a=100,b=-100,c=0，貝Jla+b+c2l+la+b-c2l=01

12、00；故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，由于正面證明比較復(fù)雜，故利用特殊值法進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.9.（4分）【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10,故到y(tǒng)軸的距離為9.【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線為x=-1,T點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10,點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.故答案為：9.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10.（6分）【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù).【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)左邊，即可得到答案.【解答】解：

13、2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+:2sin2x)+1=：2sin（2x+）+1,4A=T2，b=1,故答案為：.邁；1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角的余弦公式、兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.11.（6分）【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖可得，原幾何體為由四個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的小正方體所構(gòu)成的，代入體積公式和面積公式計(jì)算即可.【解答】解：由三視圖可得，原幾何體為由四個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的小正方體所構(gòu)成的，則其表面積為22x（24-6）=72cm2,其體積為4x23=32,故答案為：72，32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的體積和表面積，解題的關(guān)鍵

14、是判斷幾何體的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量，考查空間想象能力.12.（6分）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).【分析】設(shè)t=logba并由條件求出t的范圍，代入logab+logba峙化簡(jiǎn)后求出t的值，得到a與b的關(guān)系式代入ab=ba化簡(jiǎn)后列出方程，求出a、b的值.【解答】解：設(shè)t=logba,由ab1知t1.代入logab+logba-得即2t2-5t+2=0，解得t=2或（舍去）,所以logba=2，即a=b2，因?yàn)閍b=ba，所以b2b=ba，則a=2b=b2，解得b=2，a=4，故答案為：4；2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及換元法在解方程中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13.（6分）【考點(diǎn)】數(shù)列的

15、概念及簡(jiǎn)單表示法.【分析】運(yùn)用n=1時(shí)，a1=S1，代入條件，結(jié)合S2=4,解方程可得首項(xiàng)；再由n1時(shí)，an+1=Sn+1-Sn，結(jié)合條件，計(jì)算即可得到所求和.【解答】解：由n=1時(shí)，a=S,可得a2=2S+1=2a+1,又S?=4,即卩a+a2=4,即有3a1+1=4,解得a1=1；由an+1=Sn+1-Sn，可得Sn+1=3Sn+1,由S?=4，可得$3=3x4+1=13,S4=3x13+1=40,S5=3x40+1=121.故答案為：1,121.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：n=l時(shí)，a=S,nl時(shí)，an=Sn-Sn_i，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.14.（4分）【考點(diǎn)】棱柱

16、、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】由題意，ABDPBD,可以理解為PBD是由ABD繞著B(niǎo)D旋轉(zhuǎn)得到的，對(duì)于每段固定的AD，底面積BCD為定值，要使得體積最大，PBD必定垂直于平面ABC,此時(shí)高最大，體積也最大.【解答】解：如圖，豈是AC的中點(diǎn).當(dāng)AD=tVAM=；3時(shí)，如圖，此時(shí)高為P到BD的距離，也就是A到BD的距離，即圖中AE，CDM=一3-t，由厶ADEBDM，當(dāng)AD=tAM=：3時(shí)，如圖，此時(shí)高為P到BD的距離，也就是A到BD的距離，即圖AB中AH，DM=t-T3,由等面積,可得”二2V=:，堆（兀，2七）32v416V2+1、13-（V5_t1丄廠綜上所述，V=:,t（0，2：3）6V令m

17、=J布-t）5e1，2），則V#J,m=1時(shí)，Vmaxj-故答案為：寺【點(diǎn)評(píng)】本題考查體積最大值的計(jì)算，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,對(duì)思維能力和解題技巧有一定要求，難度大.15.（4分）【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】根據(jù)向量三角形不等式的關(guān)系以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.p-p-p-p-p-p-p-p-r-【解答】解:v|（耐b）已=1de+b已wld已+lbW6,-l（Mb）日wQ+blM；6，平方得：|；3|2+|b|2+2；3也6,即12+22+2耳bw6.則呂也寺故；滾的最大值是寺故答案為：寺【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)絕對(duì)值不

18、等式的性質(zhì)以及向量三角形不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16. （14分）【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理.【分析】（I）利用正弦定理，結(jié)合和角的正弦公式，即可證明A=2B22（口）若厶ABC的面積S肯，貝ygbcsinA#p，結(jié)合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小.【解答（I）證明：vb+c=2acosB,sinB+sinC=2sinAcosB，sinB+sin（A+B）=2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosBsinB=2=sinAcosB-cosAs

19、inB=sin（A-B）vA，B是三角形中的角，B=A-B，.A=2B；2.o（口）解：vABC的面積S=-，4.丄bcsinA=a，242bcsinA=a2，2sinBsinC=sinA=sin2B，sinC=cosB,B+C=90,或C=B+90,A=90。或A=45.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，考查二倍角公式的運(yùn)用,屬于中檔題.17. (15分)【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析先證明BF丄AC,再證明BF丄CK,進(jìn)而得到BF丄平面ACFD.(II)方法一：先找二面角B-AD-F的平面角，再在RtABQF中計(jì)算，即可得出；

20、方法二：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面ACK與平面ABK的法向量，進(jìn)而可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【解答證明：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于點(diǎn)K,如圖所示，T平面BCFE丄平面ABC,ZACB=90, AC丄平面BCK,BF丄AC.又EFIIBC,BE=EF=FC=1,BC=2,BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF丄CK, BF丄平面ACFD.(II)方法一：過(guò)點(diǎn)F作FQ丄AK,連接BQ,vBF丄平面ACFD.BF丄AK,則AK丄平面BQF,BQ丄AK.ZBQF是二面角B-AD-F的平面角.可得:cosZBQF=?4在RtAACK中，AC=3,CK=2，可得FQ仝在RtA

21、BQF中，BF=,3,FQ上1面角B-AD-F的平面角的余弦值為竺.方法二：如圖，延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于點(diǎn)K,貝仏BCK為等邊三角形，取BC的中點(diǎn)，則K0丄BC,又平面BCFE丄平面ABC,K0丄平面BAC,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OK的方向?yàn)閤,z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.可得：B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,1虧)，A(-1,-3,0),二a嗨).第13頁(yè)(共16頁(yè))AC=(0,3,0),皿3,A5(2,3,0).ACm二0AKrn=0設(shè)平面ACK的法向量為ir=(x1,y1,z1)，平面ABK的法向量為n=(x2,y2,z2),由3珀二Q可得L嚴(yán)1+

22、Sy1+VS二0取二Q，-1).由AK-n=O取二(3-2,.引.22+3y2=0K2+3y2+V3-E2=0面角B-AD-F的余弦值為仝.4z*K【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.18. (15分)【考點(diǎn)】函數(shù)最值的應(yīng)用；函數(shù)的最值及其幾何意義.【分析(I)由a3，討論x1,去掉絕對(duì)值，化簡(jiǎn)x2-2ax+4a-2-2lx-11,判斷符號(hào)，即可得到F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；(n)(i)設(shè)f(x)=2lx-11，g(x)=x2-2ax+4a-2，求得f(x)和g(x)的最小值，再由新定義，可得F(x

23、)的最小值；(ii)分別對(duì)當(dāng)0x2時(shí)，當(dāng)2Vx3，故x0；當(dāng)x1時(shí)，x2-2ax+4a-2-2lx-1l=x2-(2+2a)x+4a=(x-2)(x-2a)，則等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍是(2,2a)；(n)(i)設(shè)f(x)=2lx-11，g(x)=x2-2ax+4a-2，則f(x)min=f(1)=0，g(x)min=g(a)=-a2+4a-2.由-a2+4a-2=0，解得a=2+l2(負(fù)的舍去),由F(x)的定義可得m(a)=minf(1)，g(a)，即m(a)-a2+4a-2,辻2+逅(ii)當(dāng)0x2時(shí)，F(xiàn)(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2)；

24、當(dāng)2Vx6時(shí)，F(xiàn)(x)g(x)42第17頁(yè)（共16頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的思想方法，以及二次函數(shù)的最值的求法，不等式的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.19. （15分）【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；圓與圓錐曲線的綜合.【分析（I）聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求解即可.（口）寫(xiě)出圓的方程，假設(shè)圓A與橢圓由4個(gè)公共點(diǎn)，再利用對(duì)稱性有解已知條件可得任意一A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，a的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓的離心率的取值范圍.ry=kK+l【解答】解：（I）由題意可得：工2_,，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，+V=1得X=0或X2=-2ka2直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長(zhǎng)