平面任意力系

1、工程力學第四章 平面任意力系第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-1 4-1 平面任意力系概念及工程實例平面任意力系概念及工程實例 各個力的作用線在同一平面內，但不匯交于一點，也各個力的作用線在同一平面內，但不匯交于一點，也不都平行的力系稱為平面任意力系。不都平行的力系稱為平面任意力系。一、力的平移定理一、力的平移定理4-2 4-2 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化證：證：F 可以把作用在剛體上點可以把作用在剛體上點A A的力的力 平行移到任一平行移到任一點點 B B，但必須同時附加一個力偶，這個力偶的矩等，但必須同時附加一個力偶，這個力偶的矩等于原來的力于原來的力 對新作用點對新作用

2、點B B的矩。的矩。FM=MO(F)ABMABFFFFABF力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力力線平移定理揭示了力與力偶的關系：力 力力+力偶力偶 力線平移定理是力系向一點簡化的理論基礎。力線平移定理是力系向一點簡化的理論基礎。力線平移定理可考察力對物體的作用效應。力線平移定理可考察力對物體的作用效應。二、平面任意力系向一點簡化二、平面任意力系向一點簡化向一點簡化向一點簡化FnMn任意力系任意力系匯交力系匯交力系+力偶系力偶系（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）。OF1。A1F2。A2。FnAn。OF1F2M2M1簡化結果簡化結果: :平面匯交力系平面匯交力系力（主矢）力（主矢）

3、平面力偶系平面力偶系力偶（主矩）力偶（主矩）xoyFRO=FRM=MO12312 ( )()( )OOOOiMmmmm Fm Fm F大小大小方向方向主矢主矢主矩主矩FRO=F1+F2+Fn=F =FR2222()() RR xR yxyFFFFFarctanarctanRyyRxxFFFF作用點作用點: : 簡化中心簡化中心 ( (與簡化中心位置無關與簡化中心位置無關) ) 說說 明明1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關。中心的位置無關。2、平面任意力系的主矩與簡化中心、平面任意力系的主矩與簡化中心O 的位置的位置有關。因此，在說到力系

4、的主矩時，一定要指有關。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。明簡化中心。主矩：主矩： 012ooonoMMFMFMFMF12RnFFFFF 主矢：主矢：平面固定端（插入端）約束平面固定端（插入端）約束 一物體的一端完全固定在另一物體上所構成的約束稱為固定端或插入端支座。平面固定端的約束力平面固定端的約束力AAAAMAFAyFAxFAMA三、三、 平面任意力系簡化的最后結果平面任意力系簡化的最后結果 =0, =0,M MO O00，簡化結果為一合力偶，簡化結果為一合力偶, , 剛體等剛體等 效于只有一個力偶的作用，因力偶可以在剛體平效于只有一個力偶的作用，因力偶可以在剛體平 面內任意移

5、動，故這時，主矩與簡化中心面內任意移動，故這時，主矩與簡化中心O O無關無關。RF =0 =0，M MO O =0 =0，力系平衡，力系平衡, ,下節(jié)專門討論。下節(jié)專門討論。 RF1. 1. 簡化結果簡化結果： 0, 0,M MO O =0, =0,簡化為一個作用于簡化中心的簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時，簡化結果就是力系的合力。（此時合力。這時，簡化結果就是力系的合力。（此時與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零）與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零）RFRF 0, 0,M MO O 0, 0,為最一般的情況。此種為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡化為一個合力情況還可以繼續(xù)簡化

6、為一個合力 。RF合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用線位置的作用線位置RMdORFRFOOOOFRdFRFRMOFRdOOOOOOFRdFRFRMOFRdOO)()()(主矩合力偶iOOFmM()()ORROmFFdM一合力偶1()()nOROiiMFmF一 平面任意力系的合力對作用面內任一點之平面任意力系的合力對作用面內任一點之矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數和。矩等于力系中各力對于同一點之矩的代數和。2. 2. 合力矩定合力矩定理理OOFRdFRFRMOFRdOOOOFxxoyAF FyFyFxxy =-yFxxFyMO(F)合力矩定理的解析式例題例

7、題 4-1 在長方形平板的在長方形平板的O、A、B、C 點上分別作用著有四點上分別作用著有四個力：個力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如圖），試求以上四（如圖），試求以上四個力構成的力系對點個力構成的力系對點O 的簡化結果，以及該力系的最后的合的簡化結果，以及該力系的最后的合成結果。成結果。234cos60cos300.598kNRxxFFFFF 124sin60sin300.768kNRyyFFFFF OABC xy2m3m30601F4F3F2F解：解：取坐標系取坐標系Oxy。（1）求向）求向O點簡化結果：點簡化結果： 求主矢求主矢 ：RFcos , 0.614RxRRF

8、FxF0.794kN22RRxRyF=F+ F= , 52 6RFx cos , 0.789RyRRFFyF , 37 54RFy yOABC xRF 主矢的大小主矢的大小主矢的方向主矢的方向 求主矩求主矩： OoMMF2342cos6023sin300.5kN mFFF （2）求合成結果：合成為一個合）求合成結果：合成為一個合力力FR， FR的大小、方向與的大小、方向與FR相同。相同。其作用線與其作用線與O點的垂直距離為：點的垂直距離為：R0.51mOMdFyOABC xRF OMRFdOABC xy2m3m30601F4F3F2F平面任意力系平衡的充要條件是：平面任意力系平衡的充要條件是：

9、 力系的主矢和對任意點的主矩都等于零。力系的主矢和對任意點的主矩都等于零。00ROFM 22 ()()( )RxyOOFFFMMF 平面任意力系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：000 xyoFFM1、平面任意力系的平衡方程、平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三種形式：平面任意力系平衡方程的三種形式：剛體平衡條件剛體平衡條件二矩式二矩式A、B連線與連線與x軸不垂直軸不垂直三矩式三矩式A、B、C三點不共線三點不共線一矩式一矩式Fx =0Fy=0 MA=0Fx =0MA=0 MB=0MA=0M B=0 MC=0解：解：（1）取伸臂）取伸臂AB為研究對象；為研究對象； （2）受力分析如圖

10、：）受力分析如圖：例題例題 4-2 懸臂式簡易起重機可簡化為圖示結構。懸臂式簡易起重機可簡化為圖示結構。AB是吊車是吊車梁，梁，BC是鋼索，是鋼索，A端支承可簡化為鉸鏈支座。設已知電動端支承可簡化為鉸鏈支座。設已知電動葫蘆和重物共重葫蘆和重物共重P=10kN，梁自重，梁自重W=5kN,=30o。求鋼索。求鋼索BC和鉸鏈和鉸鏈A的約束力，以及鋼索受力的最大值的約束力，以及鋼索受力的最大值 。( (3) ) 列平衡方程：列平衡方程：AB( )0,sin02lMFWP xFlAB0,cos0 xxFFFAB0,sin0yyFFWPF( (4) ) 聯立求解，可得：聯立求解，可得：B222sinsin

11、30ollWP xWP xxFWPlllAB33cos302oxxFFWPlA(2)sin2 (1 sin )(1sin )yxFWPWPlxWPl當當x=l時，鋼索受力時，鋼索受力FB最大，為拉力。最大，為拉力。Bmax225 kNFWP解：解： （1）?。┤B研究對象，受力分析如圖。研究對象，受力分析如圖。 （2）列平衡方程：）列平衡方程：例例 4-3 求圖示懸臂梁固定端求圖示懸臂梁固定端A處的約束力。其中：處的約束力。其中：q為均布載為均布載荷的載荷集度，集中力荷的載荷集度，集中力F=ql，集中力偶，集中力偶M=ql2 。BAq2lFMB2lFMAxFAyFAM xAy0,xF 0Ax

12、F0,yF 0,AmF 20AyFFql220AMql lMFl 負號表示實際方向和假設的方向相反。負號表示實際方向和假設的方向相反。( (3) ) 聯立求解：聯立求解：0AxF2AyFqlFql2AMql B2lFMAxFAyFAM xAy解：解：（1）取梁為研究對象。）取梁為研究對象。（2）受力分析如圖。）受力分析如圖。例例 4-4 水平外伸梁如圖所示。若均布載荷水平外伸梁如圖所示。若均布載荷q=20kN/m，F=20kN，力偶矩，力偶矩M=20kNm ，a=0.8m，求，求A、B點的約點的約束反力。束反力。 ( (3) ) 列平衡方程：列平衡方程：( (4) ) 聯立求解：聯立求解：AA

13、B24 kN,0,12 kNyxyFFFAB( )0,202yaMFqaMFaFaAB0,0yyyFFFFqaA0,0 xxFF例例 4-5 剛架剛架ABCD的的A處為固定鉸支座，處為固定鉸支座，D處為輥軸支座。此處為輥軸支座。此剛架上有水平載荷和垂直載荷。已知剛架上有水平載荷和垂直載荷。已知F1=10 kN，F2=20 kN， a=3 m。求支座。求支座A、D的約束反力。的約束反力。 解：解：（1）取剛架整體為研究對象，畫出受力圖。）取剛架整體為研究對象，畫出受力圖。( (3) ) 列平衡方程：列平衡方程：( (4) ) 求解：求解：A12D( )0, 20yMFF aFaFaD21A( )

14、0, 20yMFF aF aFa A10, 0 xxFFFA110 kNxFF A21()/25 kNyFFFD15 kNyF2、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程 0 xF0000平面平行力系的方程為兩個，有兩種形式：平面平行力系的方程為兩個，有兩種形式：00yoFM各力不得與投影軸垂直。各力不得與投影軸垂直。00BAMM兩點連線不得與各力平行。兩點連線不得與各力平行。BA, 塔式起重機的結構簡圖如塔式起重機的結構簡圖如圖所示。起重機自重為圖所示。起重機自重為W，載，載重為重為W1，平衡物重，平衡物重W2。要使。要使起重機在空載、滿載且載重在起重機在空載、滿載且載重在最遠處時均不

15、翻倒，試求平衡最遠處時均不翻倒，試求平衡物重。物重。解：解：（1）取塔式起重機整體為研究對象）取塔式起重機整體為研究對象,受力分析如圖。受力分析如圖。（整機在平面平行力系作用下處于平衡。）（整機在平面平行力系作用下處于平衡。）2W1WWeCbla例例 4-6 翻倒問題翻倒問題( (2) ) 列平衡方程：列平衡方程：0,AM0BF 1) 空載時（空載時（ W1 =0）：）：不翻倒的條件是：不翻倒的條件是：B2()0Fb W ebWa B21()0FW ebWab可得空載時平衡物重量可得空載時平衡物重量W2的條件：的條件：2()W ebWa2W1WWeCbla0,BM0AF 2) 滿載且載重位于最

16、遠端時滿載且載重位于最遠端時,不翻倒不翻倒的條件是：的條件是：A21()0FbW abWe W l A121()0FWe WlWabb 211()WWeWlab2W1WWeCbla121()()W ebWeWlWaba綜合考慮，平衡物重量綜合考慮，平衡物重量W2應滿載的條件應滿載的條件：可得滿載時平衡物重量可得滿載時平衡物重量W2的條件：的條件：一、基本概念：一、基本概念： 剛體系剛體系 由若干個物體通過約束組成的系統(tǒng)；由若干個物體通過約束組成的系統(tǒng)； 外外 力力 物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力；物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力； 內內 力力 物體系內部各物體間相互作用的力；物體系內部各

17、物體間相互作用的力；CFBFBCCFACqAxFAyFABCq物系平衡的特點：物系平衡的特點： 物系靜止物系靜止 物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列3 3個個 平衡方程，整個系統(tǒng)可列平衡方程，整個系統(tǒng)可列3 3n個方程（設物系中個方程（設物系中 有有n個物體）個物體） 解物系問題的一般方法：解物系問題的一般方法： 由整體由整體 局部局部（常用），由局部由局部 整體整體（用較少）解：解：1、以整體為研究對象，畫出受力圖、以整體為研究對象，畫出受力圖 例例 4-9 三鉸拱結構如圖所示，它的左半部受到豎向均布三鉸拱結構如圖所示，它的左半部受到豎向均布荷載荷載

18、q的作用。已知的作用。已知q=10kN/m，a=4m。求支座。求支座A、B的的約束反力。約束反力。列平衡方程列平衡方程:B0, 202AyaMFqaFa0,xF AB0 xxFF0,yF AB0yyqaFFA33 10 kN/m4 m30 kN44yqaFB10 kN/m4 m10 kN44yqaF解得：解得：2、以左半部分為研究對象，畫出受力圖、以左半部分為研究對象，畫出受力圖 。列平衡方程列平衡方程:C()0,MF AA02xyaFaFaqaAB10 kN/m4 m10 kN44xxqaFF解：解：1、取系統(tǒng)整體為研究對象，畫出受力圖。、取系統(tǒng)整體為研究對象，畫出受力圖。 例例4.11 物

19、塊重物塊重W=12 kN，由，由3根桿根桿AB、BC和和CE組成的構組成的構架及滑輪架及滑輪E支承。已知：支承。已知：AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，不，不計桿及滑輪的重量，設滑輪半徑為計桿及滑輪的重量，設滑輪半徑為r，求支座，求支座A、B的反力的反力以及以及BC桿的內力。桿的內力。DCBAEWByFFAxFAyFABCED列平衡方程：列平衡方程：A( )0,MF B4 (1.5 )(2 )0yFFrWrB10.5 kNyF0,xF A0 xFFA12 kNxFFW0,yF AB0yyFWFAB1.5 kNyyFWFWByFFAxFAyFABCED解得：解得：列平衡方程：列平衡方程：2

20、、以、以ADB桿為研究對象，畫出受力圖。桿為研究對象，畫出受力圖。解得：解得：ByFBCFAxFAyFADBDxFDyFBCBCFBCFBCDAB221.5( )0,2 2 2 021.5yyFMFFFBC15 kNF 負值說明二力桿負值說明二力桿BC桿受壓。桿受壓。 1、靜定問題靜定問題 當系統(tǒng)中未知量數目等于或少于獨立平當系統(tǒng)中未知量數目等于或少于獨立平衡方程數目時的問題。衡方程數目時的問題。 2、靜不定問題靜不定問題 當系統(tǒng)中未知量數目多于獨立平衡方當系統(tǒng)中未知量數目多于獨立平衡方程數目時，不能求出全部未知量的問題。程數目時，不能求出全部未知量的問題。(也稱為超靜定問題也稱為超靜定問題)

21、靜定靜定靜不定靜不定靜不定靜不定靜不定靜不定三、靜定與靜不定概念：三、靜定與靜不定概念：摩擦力摩擦力滑動摩擦力滑動摩擦力滾動摩擦力滾動摩擦力靜滑動摩擦力靜滑動摩擦力動滑動摩擦力動滑動摩擦力靜滾動摩擦力靜滾動摩擦力動滾動摩擦力動滾動摩擦力摩擦力的分類：摩擦力的分類：PNF如果施以水平力如果施以水平力HFHF可能出現什么情況？可能出現什么情況？F摩擦力摩擦力 兩個相互接觸的物體，當它們之間產生了相對滑動或兩個相互接觸的物體，當它們之間產生了相對滑動或者有相對滑動的趨勢時，在接觸面之間產生了彼此阻礙運者有相對滑動的趨勢時，在接觸面之間產生了彼此阻礙運動的力，這種阻力就稱為滑動摩擦力。動的力，這種阻力

22、就稱為滑動摩擦力。 現有一物塊承受重力，在鉛垂方向必有約束反力與之現有一物塊承受重力，在鉛垂方向必有約束反力與之平衡。平衡。一、滑動摩擦力的特征一、滑動摩擦力的特征靜滑動摩擦力的特點：靜滑動摩擦力的特點：1 方向：沿接觸處的公切線，方向：沿接觸處的公切線，2 大?。捍笮。簃ax0FFs3 NFfFsmax（庫侖摩擦定律）（庫侖摩擦定律） （ f s只與材料和表面情況有只與材料和表面情況有 關，與接觸面積大小無關。）關，與接觸面積大小無關。）與相對滑動趨勢反向；與相對滑動趨勢反向；max0FF臨界摩擦力與維持平衡的靜摩擦力的關系為：臨界摩擦力與維持平衡的靜摩擦力的關系為：PNFFfF2 2 大小

23、：大?。篎fF N動滑動摩擦的特點：動滑動摩擦的特點：1 1 方向：沿接觸處的方向：沿接觸處的公切線，公切線， 與相對滑動趨勢反向；與相對滑動趨勢反向； 一般情況下，動摩擦力一般情況下，動摩擦力 小于最大靜摩擦小于最大靜摩擦Fmax，并可以看成是一個常數。并可以看成是一個常數。Ff稱為動滑動摩擦因數。稱為動滑動摩擦因數。sff 對多數材料，通常情況下對多數材料，通常情況下 , ,實際中常實際中常取取 。sffPNFHFF 仍為平衡問題，平衡方程照用，求解步驟與前面仍為平衡問題，平衡方程照用，求解步驟與前面基本相同?；鞠嗤讉€新特點：幾個新特點：2 2 嚴格區(qū)分物體處于嚴格區(qū)分物體處于臨界、

24、非臨界狀態(tài)臨界、非臨界狀態(tài)；3 3 因因 問題的解有時在一個問題的解有時在一個范圍范圍內。內。maxFFs01 1 畫受力圖時，必須考慮畫受力圖時，必須考慮摩擦力摩擦力；二、有滑動摩擦時的平衡問題二、有滑動摩擦時的平衡問題推力為推力為 ， 解：使物塊有上滑趨勢時，解：使物塊有上滑趨勢時，1F已知：已知：.,sfP水平推力水平推力 的大小的大小求：求： 使物塊靜止，使物塊靜止，F例例4-124-12畫物塊受力圖畫物塊受力圖,0 xF0sincos11sFPF(1),0yF0cossin11NFPF(2)解得：解得：PffFsssincoscossin11N 1SsFf F(3)(3)設物塊有下滑

25、趨勢時，推力為設物塊有下滑趨勢時，推力為2F畫物塊受力圖：畫物塊受力圖：PffFsssincoscossin2, 0 xF0sincos22sFPF(1)(1), 0yF0cossin22NFPF(2)(2)22NssFfF(3)(3)12sincoscossinsincoscossinFPffFPffFssss為使物塊靜止為使物塊靜止屋屋 架架 桁架是由一些桁架是由一些細長桿細長桿在其在其兩端兩端用用鉸鏈鉸鏈連接連接(利用焊接利用焊接或鉚接等方法或鉚接等方法)而成的幾何形狀不變的結構。而成的幾何形狀不變的結構。 在載荷作用下計算在載荷作用下計算桁架的內力桁架的內力是研究桁架的主要目是研究桁架

26、的主要目的之一。的之一。1、平面桁架的基本假設：、平面桁架的基本假設：（1）直桿；）直桿；（2）鉸接；）鉸接；（3）外力作用在節(jié)點上；）外力作用在節(jié)點上；（4）不計自重。）不計自重。 在上述假設下的桁架稱為理想桁架，桁架在上述假設下的桁架稱為理想桁架，桁架中中每根桿件均為二力桿每根桿件均為二力桿。 桁架的優(yōu)點：承載力大、自重輕。桁架的優(yōu)點：承載力大、自重輕。 截面法：將桁架部分桿切斷，利用桁架的平衡方程計算桿截面法：將桁架部分桿切斷，利用桁架的平衡方程計算桿的內力。的內力。2、桁架的內力計算、桁架的內力計算 節(jié)點法：利用各個節(jié)點的平衡方程計算桿的內力。節(jié)點法：利用各個節(jié)點的平衡方程計算桿的內力。例例4-14 已知已知: P=10kN,尺寸如圖；求尺寸如圖；求:桁架各桿件受力。桁架各桿件受力。解解: 1、求外約束力。取整體，畫受力圖。、求外約束力。取整體，畫受力圖。0,xF0,yF0,BM0BxF042AyFP5kNAyF0PFFByAy5kNByF2、求各桿內力。、求各桿內力。 取節(jié)點取節(jié)點A，畫受力圖。，畫受力圖。0 ,yF030sin01 FFAy110kNF (壓壓)0 ,xF030cos012 FF解得解得:28.66kNF (拉