第8章矩陣位移法

1、第第8章章 矩陣位移法矩陣位移法 僅限于求解桿系結(jié)構(gòu)在靜荷載作用下的位移和內(nèi)力。僅限于求解桿系結(jié)構(gòu)在靜荷載作用下的位移和內(nèi)力。以位移法為基礎(chǔ)，從有限單元法的角度講解結(jié)構(gòu)的靜以位移法為基礎(chǔ)，從有限單元法的角度講解結(jié)構(gòu)的靜力分析。既適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)，力分析。既適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)，易于編寫通用的計算機程序，尤其對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，易于編寫通用的計算機程序，尤其對于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，該法具有很大的優(yōu)越性，可大大減少手算的工作量，該法具有很大的優(yōu)越性，可大大減少手算的工作量，是面向計算機的計算方法。是面向計算機的計算方法。 本章內(nèi)容介紹本章內(nèi)容介紹第第1 1節(jié)節(jié) 位移法回顧位

2、移法回顧第第2 2節(jié)節(jié) 基本概念基本概念第第3 3節(jié)節(jié) 單元剛度方程和單元剛度矩陣單元剛度方程和單元剛度矩陣第第4 4節(jié)節(jié) 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換第第5 5節(jié)節(jié) 用整體坐標(biāo)表示單元剛度矩陣用整體坐標(biāo)表示單元剛度矩陣第第6 6節(jié)節(jié) 結(jié)構(gòu)剛度方程和總剛度矩陣結(jié)構(gòu)剛度方程和總剛度矩陣第第7 7節(jié)節(jié) 直接剛度法直接剛度法第第8 8節(jié)節(jié) 荷載向量荷載向量第第9 9節(jié)節(jié) 支座條件的引進支座條件的引進第第1010節(jié)節(jié) 剛度方程的求解剛度方程的求解第第1111節(jié)節(jié) 由結(jié)點位移求桿端力由結(jié)點位移求桿端力習(xí)題訓(xùn)練習(xí)題訓(xùn)練第一節(jié)第一節(jié) 位移法回顧位移法回顧v本章介紹的桿系結(jié)構(gòu)靜力計算是以位移法為基礎(chǔ)的，基本未知量的確定及

3、解題思路與位移法是一致的；在建立單元的剛度矩陣時，總要用到等截面直桿的剛度方程中的系數(shù)。理解該系數(shù)的物理意義是非常重要。位移法要點n位移法基本未知量：桿端節(jié)點位移。n位移法基本方程：節(jié)點位移對應(yīng)的平衡方程；0000332211333332321312232322212111313212111npnnnnnnpnnpnnpnnFkkkkFkkkkFkkkkFkkkk以上方程即為結(jié)構(gòu)的剛度方程。其中剛度系數(shù)以上方程即為結(jié)構(gòu)的剛度方程。其中剛度系數(shù)kij為基本結(jié)構(gòu)在位移為基本結(jié)構(gòu)在位移 j=1作用下，在第作用下，在第i號附加約束上產(chǎn)生的反力。號附加約束上產(chǎn)生的反力。Fip為基本結(jié)構(gòu)在荷載為基本結(jié)構(gòu)在

4、荷載作用下，在第作用下，在第i號附加約束上產(chǎn)生的反力。號附加約束上產(chǎn)生的反力。n由以上基本方程解得結(jié)點位移；再由每根桿的剛度方程求得由以上基本方程解得結(jié)點位移；再由每根桿的剛度方程求得各桿端內(nèi)力。各桿端內(nèi)力。n基本體系把結(jié)構(gòu)分劃為若干獨立的超靜定梁，靠基本方程把基本體系把結(jié)構(gòu)分劃為若干獨立的超靜定梁，靠基本方程把它們組合在一起。它們組合在一起。等截面直桿的剛度方程n剛度方程：剛度方程：21266)(1642624lililiQQMMlQQliiiMliiiMBABAABBAABBAABBABABAABv桿端彎矩、剪力、桿端桿端彎矩、剪力、桿端側(cè)移均以繞桿端順時針側(cè)移均以繞桿端順時針為正。關(guān)鍵掌

5、握每個系為正。關(guān)鍵掌握每個系數(shù)的數(shù)值及含義。在今后經(jīng)常用到。數(shù)的數(shù)值及含義。在今后經(jīng)常用到。BABAABBAABlililililililiiiliiiQQMM2212661266642624v寫成矩陣的形式：寫成矩陣的形式：適用于兩端都是剛結(jié)點的桿，適用于兩端都是剛結(jié)點的桿， 基本未知量為桿兩端的轉(zhuǎn)角和側(cè)移；基本未知量為桿兩端的轉(zhuǎn)角和側(cè)移；一端簡支等截面直桿的剛度方程v桿端彎矩、剪力、桿端位移均以繞桿端順時針為正。桿端彎矩、剪力、桿端位移均以繞桿端順時針為正。 關(guān)鍵掌握每個系數(shù)的數(shù)值及含義。在今后經(jīng)常用到。關(guān)鍵掌握每個系數(shù)的數(shù)值及含義。在今后經(jīng)常用到。233)(133liliQQMMlQQl

6、iiMBABAABBAABBAABAABn剛度方程：ABAABABlililililiiQQM22333333v寫成矩陣的形式：寫成矩陣的形式：適用于一端剛結(jié)點另一端鉸結(jié)點的桿，適用于一端剛結(jié)點另一端鉸結(jié)點的桿， 鉸端轉(zhuǎn)角任意，不再作為基本鉸端轉(zhuǎn)角任意，不再作為基本未知量；未知量；位移法的基本步驟n確定基本未知量及基本體系；確定基本未知量及基本體系；n利用基本體系建立位移法方程利用基本體系建立位移法方程:0022221211212111ppFkkFkkn根據(jù)各桿的剛度方程，分別求基本結(jié)構(gòu)在荷載、根據(jù)各桿的剛度方程，分別求基本結(jié)構(gòu)在荷載、 1=1及及 2=1 作用下的各桿端內(nèi)力，以計算方程中各系

7、數(shù)。作用下的各桿端內(nèi)力，以計算方程中各系數(shù)。（1）（2）（3）n把各系數(shù)代入以上基本方程，解得位移把各系數(shù)代入以上基本方程，解得位移 1、 2 ；再由每根；再由每根桿的剛度方程或疊加法求得各桿端內(nèi)力。桿的剛度方程或疊加法求得各桿端內(nèi)力。位移法的基本步驟（1）（2）（3） 第二節(jié)第二節(jié) 基本概念基本概念 結(jié)構(gòu)離散化、單元桿端力，單元桿端位移、坐標(biāo)結(jié)構(gòu)離散化、單元桿端力，單元桿端位移、坐標(biāo)系等等系等等 一一、結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 結(jié)構(gòu)靜力計算首要工作，也是有限單元法的第一步。所謂結(jié)構(gòu)離散化，把結(jié)構(gòu)假想地劃分成若干個相互分離的有限個單元, 單元與單元之間用結(jié)點聯(lián)結(jié)。 用這樣離散

8、化的單元集合體來代替原結(jié)構(gòu)。 單元單元 最基本的分析部件 最簡單的單元是等截面直桿 桿單元的兩個端分別為 i 端和 j 端結(jié)點結(jié)點 桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、支撐點、截面突變點 等直桿再劃分單元，單元之間的連接點荷載荷載 只作用在結(jié)點上。如果實際結(jié)構(gòu)中有荷載作用在單元上，則等效地移置到結(jié)點上。 一一、結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 分析對象：分析對象：12341234原結(jié)構(gòu)：原結(jié)構(gòu)：圖1圖2圖3二、桿端力和桿端位移二、桿端力和桿端位移 n桿端力桿端力n作用在單元兩端的力就稱為作用在單元兩端的力就稱為桿端力桿端力，在平面桿系結(jié)構(gòu)中在平面桿系結(jié)構(gòu)中， 一般情況下一般情況下，單元每端一般有三個桿端力分量，單元每端

9、一般有三個桿端力分量，即軸力、剪即軸力、剪力、彎矩。力、彎矩。統(tǒng)一用統(tǒng)一用 F(e) 來表示單元的桿端力向量來表示單元的桿端力向量: Tjjjiiievuvu)(TeFFFFFF654321)(Fn桿端位移桿端位移n單元在桿端力作用下會產(chǎn)生變形單元在桿端力作用下會產(chǎn)生變形，該變形會使單元產(chǎn)生位移，該變形會使單元產(chǎn)生位移， 單元兩端點因此而產(chǎn)生位移就稱為單元兩端點因此而產(chǎn)生位移就稱為桿端位移桿端位移。n在平面桿系結(jié)構(gòu)中在平面桿系結(jié)構(gòu)中， 一般情況下一般情況下，單元每端有三個位移分單元每端有三個位移分量量， 即軸向位移即軸向位移、豎向位移和轉(zhuǎn)角。豎向位移和轉(zhuǎn)角。 統(tǒng)一用單元桿端位移統(tǒng)一用單元桿端位

10、移向量向量(e) 來表示來表示: 三、坐標(biāo)系坐標(biāo)系 n單元坐標(biāo)系（局部坐標(biāo)系）：單元坐標(biāo)系（局部坐標(biāo)系）：n與單元聯(lián)系在一起與單元聯(lián)系在一起。在桿單元中，在桿單元中， 單元坐標(biāo)系單元坐標(biāo)系x 軸與桿軸重合，軸與桿軸重合，y 軸軸與桿橫截面上的一個主軸重合。與桿橫截面上的一個主軸重合。 坐標(biāo)原點放在單元坐標(biāo)原點放在單元 i 端端 點上，從點上，從 i 指指向向 j 的方向為的方向為x軸正向軸正向, 自自x軸軸逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90度的方向為度的方向為y軸正向，用軸正向，用符號符號xoy 表示單元坐標(biāo)系。用來描述單元的變形和桿端力表示單元坐標(biāo)系。用來描述單元的變形和桿端力。n每個單元都有各自獨立

11、的坐標(biāo)系，方向一般不同。每個單元都有各自獨立的坐標(biāo)系，方向一般不同。n整體坐標(biāo)系：整體坐標(biāo)系：n不隨單元方向變化而變化的不隨單元方向變化而變化的. 用它來描述結(jié)構(gòu)整體的變形和受力，用它來描述結(jié)構(gòu)整體的變形和受力， 如如結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移和結(jié)點力等結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移和結(jié)點力等。在一個結(jié)構(gòu)中，在一個結(jié)構(gòu)中， 整體坐標(biāo)系只有唯一整體坐標(biāo)系只有唯一的一個的一個。用符號用符號 表示。表示。 yoxy0 xo1o2o3o41234xyxxxyyy三、坐標(biāo)系坐標(biāo)系 單元單元1、2、3、4局部坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系xo1y， xo2y，xo3y，xo4y yox圖示結(jié)構(gòu)離散化后，有唯一的整體坐標(biāo)系圖示結(jié)構(gòu)離散化后，有唯一的

12、整體坐標(biāo)系ijj5 k NN圖5 k Ni9 k Ni3 0 k N. mQ圖M圖j9 k N1 5 k N. myMiFQiFNiixMjFNjjFQjn單元坐標(biāo)系表示的桿端力向量單元坐標(biāo)系表示的桿端力向量n作用在單元上的桿端力，作用在單元上的桿端力， 沿單元坐標(biāo)方向分解沿單元坐標(biāo)方向分解得到的桿端力分量得到的桿端力分量。TjQjNjiQiNieMFFMFF)(Fn桿端力向量中的桿端力向量中的其元素就是傳統(tǒng)意義上的內(nèi)力，即分別為單元其元素就是傳統(tǒng)意義上的內(nèi)力，即分別為單元 i 端端截面的截面的軸力、剪力、彎矩軸力、剪力、彎矩和和 j 端端截面的截面的軸力、剪力、彎矩軸力、剪力、彎矩，只是正負(fù)

13、，只是正負(fù)號規(guī)定不盡相同；號規(guī)定不盡相同；n內(nèi)力的符號規(guī)定內(nèi)力的符號規(guī)定：軸力以拉力為正。剪力和彎矩以繞桿端截面順時針：軸力以拉力為正。剪力和彎矩以繞桿端截面順時針轉(zhuǎn)為正。轉(zhuǎn)為正。 n單元坐標(biāo)單元坐標(biāo)表示的桿端力向量中的軸力、剪力以與單元坐標(biāo)的方向一致表示的桿端力向量中的軸力、剪力以與單元坐標(biāo)的方向一致為正，彎矩以繞桿端截面順時針轉(zhuǎn)為正。為正，彎矩以繞桿端截面順時針轉(zhuǎn)為正。( )5930.5915.TekNkNkN mkNkNkN mFn如上圖示單元的桿端力向量如下，則內(nèi)力圖為：如上圖示單元的桿端力向量如下，則內(nèi)力圖為：n整體坐標(biāo)系表示的桿端力向量整體坐標(biāo)系表示的桿端力向量n單元桿端力，沿整體

14、坐標(biāo)方向分解得到的單元桿端力，沿整體坐標(biāo)方向分解得到的桿端力分量構(gòu)成的桿端力分量構(gòu)成的向量。向量。654321)(FFFFFFeFyijxxyF3F2F1F4F5F6n單元坐標(biāo)系表示的桿端位單元坐標(biāo)系表示的桿端位移移)(e)(en整體坐標(biāo)系表示的桿端位移整體坐標(biāo)系表示的桿端位移 jjjiiievuvu)(654321)(en 單元兩端的桿端位移分別在單元坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系單元兩端的桿端位移分別在單元坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系下分解，其位移分量就構(gòu)成上面的桿端位移向量。下分解，其位移分量就構(gòu)成上面的桿端位移向量。n與坐標(biāo)軸的正方向一致者為正與坐標(biāo)軸的正方向一致者為正; 返回目錄返回目錄分別為單元分別為單

15、元 i，j 兩端沿整體坐標(biāo)兩端沿整體坐標(biāo) 軸方向的力軸方向的力分量、分量、 軸方向的力分量、力矩分量，軸方向的力分量、力矩分量，以與整體坐標(biāo)的方向一致為正。以與整體坐標(biāo)的方向一致為正。 xy3.044.381.240.43M (KN.m)Q (KN)N (KN)作業(yè)1：已知單元的內(nèi)力圖，列出單元坐標(biāo)下及整體坐標(biāo)下的桿端力向量。xy作業(yè)2：已知單元的桿端力如圖，寫出單元坐標(biāo)及整體坐標(biāo)表示的單元桿端力向量，并作出單元的內(nèi)力圖。例題：已知某單元的單元坐標(biāo)下的桿端力，TemKNKNKNmKNKNKNF.04. 343. 024. 1.09. 243. 024. 1)(作出單元的內(nèi)力圖。ij第三節(jié) 單元

16、剛度方程和單元剛度矩陣 v單元的桿端力和桿端位移之間的關(guān)系是通過單元剛度方程反映出來的，本節(jié)重點掌握單元剛度矩陣中每個剛度系數(shù)的物理意義，由此求得不同桿單元的剛度矩陣。（1 1）單元剛度方程）單元剛度方程 n單元的剛度方程給出了單元的單元的剛度方程給出了單元的桿端位移桿端位移(e)與與桿端力桿端力F(e)之間的關(guān)系之間的關(guān)系. n其中矩陣其中矩陣K(e) 稱為稱為單元剛度矩陣單元剛度矩陣。 單元剛度矩陣是一單元剛度矩陣是一個方陣個方陣. 它的階數(shù)和內(nèi)容視單元而定。如桿端位移它的階數(shù)和內(nèi)容視單元而定。如桿端位移(e)和桿端力和桿端力F(e)為為6階向量，則階向量，則K(e)為為6X6方陣。方陣。

17、)()()(eeeK KF Fn單元的剛度方程：單元的剛度方程：654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211654321uuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkFFFFFF 單元剛度矩陣物理意義利用矩陣乘法利用矩陣乘法, ,展開可得：展開可得：n如：單元剛度矩陣中第如：單元剛度矩陣中第i列的元素表示第列的元素表示第i號位移為一單位號位移為一單位值值(ui=1，其它為其它為0) 時引起的六個桿端力時引起的六個桿端力。單元剛度矩陣單元剛度矩陣中

18、的每一個元素稱為剛度系數(shù)中的每一個元素稱為剛度系數(shù)， 剛度系數(shù)表示一個力剛度系數(shù)表示一個力。 n矩陣中第矩陣中第r行行s列的元素列的元素krs，表示第表示第s號位移為一單位值時號位移為一單位值時引起沿第引起沿第r個桿端個桿端力力。由反力互等定理可知由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以所以單元剛度矩陣是一個對稱矩陣。它的每一個元素的值都可單元剛度矩陣是一個對稱矩陣。它的每一個元素的值都可由結(jié)構(gòu)力學(xué)中位移法的剛度方程中獲得。由結(jié)構(gòu)力學(xué)中位移法的剛度方程中獲得。 666565464363262161665655545435325215156465454443432421414636535434

19、333232131362652542432322212126165154143132121111ukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukFukukukukukukF(2) (2) 平面桁架單元平面桁架單元 n平面桁架單元只有軸向變形平面桁架單元只有軸向變形, 桿端力也只有軸力。桿端力也只有軸力。 yxFNjiFNiuilyFNiilxFNjjjujyxFNjiFNiuilyFNiilxFNjjjujjjiiNjNivuvulEAlEAlEAlEAFF00000000000000lEAKe0000010100

20、000101)(n單元的桿端力向量可表示為單元的桿端力向量可表示為: F(e)=FNi 0 FNj 0 Tn單元桿端位移向量可表示為單元桿端位移向量可表示為 ：(e)=ui vi uj vj Tn根據(jù)單元剛度矩陣的物理意義根據(jù)單元剛度矩陣的物理意義, 由由 得得單單元的剛度方程為元的剛度方程為: 則剛度矩陣：則剛度矩陣： ulEAFEAlFuNN（3）平面兩端剛結(jié)點梁單元 n平面兩端剛節(jié)點梁單元在一般情況下單元上作用著桿端力：平面兩端剛節(jié)點梁單元在一般情況下單元上作用著桿端力：軸力、剪力和彎矩，單元的剛度方程為：軸力、剪力和彎矩，單元的剛度方程為： n根據(jù)單元的剛度矩陣的物理意義根據(jù)單元的剛度

21、矩陣的物理意義, ,由梁單元由梁單元受力和變形及前受力和變形及前面等截面直桿的剛度方程面等截面直桿的剛度方程可以列出平面可以列出平面兩端剛節(jié)點梁單元梁單元的單元剛度矩陣為的單元剛度矩陣為: : )()()(eeeK KF FFQjjMiFNiFQiiyMjFNjxTjjjiiievuvu)(則：則：TjQjNjiQiNieMFFMFF)(FTjjjiiieMQNMQN)(F或：或：注意：桿端力與內(nèi)力的符號規(guī)定不盡相同。注意：桿端力與內(nèi)力的符號規(guī)定不盡相同。lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3

22、xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i126EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0jvi=1 lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i126EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0ji=1 lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i12

23、6EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0jvj=1 lyx2lylxvi1l21EIlEIluiEI1lEIlyxluj6EI6EI12EI3ll312EIy6EIl2l312EI12EIl3xl26EIlvj1lyll2lx4EI2EI6EI6EI2l0i126EI4EI2EIl2ll6EI1llyx0jj=1 lEAlEA00000000lEAlEA00312lEI312lEI26lEI26lEI00312lEI312lEI26lEI26lEI0026lEI26lEIlEI4lEI20026lEI26lEIlEI4lEI2ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 j=1 平面梁

24、單元的單元剛度矩陣平面梁單元的單元剛度矩陣iNiQiMjNjQjMui=1 lyx1E AlE Aluiuj=1 E A1lE Alyxluj分別填寫在分別填寫在ui=1 ，vi =1 ，i=1， uj=1，vj=1， j=1 作用下，桿左右端截面的軸力、剪力、彎作用下，桿左右端截面的軸力、剪力、彎矩及右端截面的軸力、剪力、彎矩。矩及右端截面的軸力、剪力、彎矩。由此可得由此可得單元的剛度方程：單元的剛度方程：平面梁單元的單元的剛度方程為平面梁單元的單元的剛度方程為: : jjjiiijjjiiivuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIl

25、EIlEIlEIlEAlEAMQNMQN460260612061200000260460612061200000222323222323平面兩端剛節(jié)點梁單元的單元剛度矩陣為平面兩端剛節(jié)點梁單元的單元剛度矩陣為: : n單元剛度矩陣常用子塊形式表示單元剛度矩陣常用子塊形式表示: : lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAe460260612061200000260460612061200000222323222323)(K K)()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK Kn其中每個都是

26、其中每個都是33的方陣，子塊的方陣，子塊 K K(e)(e)ij ij表示桿端表示桿端j j 作用一單位作用一單位位移時位移時, , 桿桿i i 端引起的桿端力端引起的桿端力。（4）一端剛結(jié)點另一端鉸結(jié)點的梁單元 n鉸支端一般只有兩個位移需計算鉸支端一般只有兩個位移需計算. . 鉸結(jié)點的轉(zhuǎn)角位移可認(rèn)鉸結(jié)點的轉(zhuǎn)角位移可認(rèn)為它是不獨立的而不予考慮為它是不獨立的而不予考慮. . 這樣單元的桿端位移向量及這樣單元的桿端位移向量及桿端力向量都只有五階桿端力向量都只有五階. . 單元剛度矩陣為單元剛度矩陣為5 55:5:BF1F2F3CAF4EF5CETjjiiievuvu)(TQjNjiQiNieFFM

27、FF)(F如梁右端為鉸結(jié)點，則：如梁右端為鉸結(jié)點，則：TjjiiieQNMQN)(F或：或：)()()(eeeK KF Fn根據(jù)單元的剛度矩陣的物理意義根據(jù)單元的剛度矩陣的物理意義, ,由梁單元由梁單元受力和變形受力和變形可以可以列出該單元的單元剛度矩陣為列出該單元的單元剛度矩陣為: : lEAlEA000000lEAlEA0033lEI33lEI23lEI0033lEI33lEI23lEI0023lEI23lEIlEI3ui=1 vi =1 i=1 uj=1 vj=1 平面平面一端剛結(jié)點另一端鉸結(jié)點一端剛結(jié)點另一端鉸結(jié)點梁單元的單元剛度矩陣梁單元的單元剛度矩陣iNiQiMjNjQvi=1 3

28、EI33EIll23EI2ly3EIly123EIlvi3EIl3l3EI3lvj1ll0i13EI2lx3EIl3xi=1 3EI33EIll23EI2ly3EIly123EIlvi3EIl3l3EI3lvj1ll0i13EI2lx3EIl3xvj=1 3EI33EIll23EI2ly3EIly123EIlvi3EIl3l3EI3lvj1ll0i13EI2lx3EIl3x分別填寫在分別填寫在ui=1 ，vi =1 ，i=1， uj=1，vj=1， 作用下，桿左右端作用下，桿左右端截面的軸力、剪力、彎矩及右端截面的軸力、剪力。截面的軸力、剪力、彎矩及右端截面的軸力、剪力。由此可得單由此可得單元

29、的剛度方程：元的剛度方程：v 若單元若單元 i 端為鉸結(jié)點端為鉸結(jié)點， j 端為剛結(jié)點端為剛結(jié)點, 同樣可建立同樣可建立起起單元剛度矩陣單元剛度矩陣: 32322323)(303300003033030330000lEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAKelEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEAlEAKe33030330300003303000022233233)(v 若單元若單元 i 端為剛結(jié)點端為剛結(jié)點， j 端為鉸結(jié)點端為鉸結(jié)點, 則單元剛度則單元剛度矩陣為矩陣為: (5) (5) 空間桁架單元空間桁架單元 n空間桁

30、架單元每個節(jié)點具有空間桁架單元每個節(jié)點具有x、y、z方向的三個位移分量。方向的三個位移分量。00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAKe)(n單元的桿端力向量可表示為單元的桿端力向量可表示為: n單元桿端位移向量可表示為單元桿端位移向量可表示為 ：n單元的剛度方程為：單元的剛度方程為：n根據(jù)單元剛度矩陣的物理意義得根據(jù)單元剛度矩陣的物理意義得: Tjjjiiiewvuwvu)(TjNiNeFFF0000)()()()(eeeKF(6) (6) 空間剛架單元空間剛架單元 n空間剛架單元每個節(jié)點具有應(yīng)有空間剛架單元每個節(jié)點具有應(yīng)有6個自由度，即沿三個

31、坐個自由度，即沿三個坐標(biāo)軸方向的線位移及分別繞三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角標(biāo)軸方向的線位移及分別繞三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角 。桿端位。桿端位移和桿端力向量均為移和桿端力向量均為12階。階。n單元的桿端力向量可表示為單元的桿端力向量可表示為: )()()(eeeKFn單元桿端位移向量可表示為單元桿端位移向量可表示為 ：n單元的剛度方程為：單元的剛度方程為：Tjzjyjxjjjiziyixiiiewvuwvu)(TjzjyjxjzQjyQjNiziyixizQiyQiNeMMMFFFMMMFFFF)(則單元剛度矩陣為則單元剛度矩陣為1212階。可根據(jù)單元剛度矩陣中的階?？筛鶕?jù)單元剛度矩陣中的各系數(shù)的物理意義求得空間剛

32、架單元的剛度矩陣。各系數(shù)的物理意義求得空間剛架單元的剛度矩陣。 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlGJlEIlEIlEAKzzzzYyyyzxyyyzzzzzYzzyze40006020006040600020600000000001200060120012060001200000040006040600000120012022223233232233對稱)(空間剛架單元剛度矩陣 返回目錄返回目錄第四節(jié) 坐標(biāo)變換 v在有限單元法中，總要用到兩類坐標(biāo)系，即單元坐在有限單元法中，總要用到兩類坐標(biāo)系，

33、即單元坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系，在不同的坐標(biāo)系中，單元的桿標(biāo)系和整體坐標(biāo)系，在不同的坐標(biāo)系中，單元的桿端力、桿端位移及剛度矩陣一般都不相同，要得到端力、桿端位移及剛度矩陣一般都不相同，要得到它們之間的關(guān)系，就要用到坐標(biāo)坐標(biāo)變換。首先來它們之間的關(guān)系，就要用到坐標(biāo)坐標(biāo)變換。首先來了解一下兩類坐標(biāo)之間的關(guān)系。了解一下兩類坐標(biāo)之間的關(guān)系。y0 xo1o2o3o41234xyxxxyyy坐標(biāo)變換n在整體分析時，需要把不同單元的桿端力進行疊加，方在整體分析時，需要把不同單元的桿端力進行疊加，方向不一致的力是不能進行代數(shù)值相加的，這就需要將桿向不一致的力是不能進行代數(shù)值相加的，這就需要將桿端力進行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換

34、端力進行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換;n通過坐標(biāo)變換使所有單元的桿端力和桿端位移都換成共通過坐標(biāo)變換使所有單元的桿端力和桿端位移都換成共同的方向，即沿結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)的方向。同的方向，即沿結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)的方向。n在進行單元分析時，使用的是在進行單元分析時，使用的是單元坐標(biāo)系，各桿端力的方向單元坐標(biāo)系，各桿端力的方向與單元坐標(biāo)系的方向是一致的。與單元坐標(biāo)系的方向是一致的。 整個結(jié)構(gòu)中各桿單元坐標(biāo)系的整個結(jié)構(gòu)中各桿單元坐標(biāo)系的方向并不完全一致。方向不同方向并不完全一致。方向不同的單元的桿端力的方向也不一的單元的桿端力的方向也不一致。致。1 1. .坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣 設(shè)一向量設(shè)一向量R在單元坐標(biāo)系在單元坐標(biāo)系x

35、oy上的投影分別為上的投影分別為x 和和y ，而在結(jié)而在結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)上的投影為構(gòu)整體坐標(biāo)上的投影為 和和 ，則它們投影之間的關(guān)系為：，則它們投影之間的關(guān)系為：yxxxayyyyRxxayaxxsincosyxaaaayxcossinsincos 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式： 稱為坐標(biāo)變換矩陣稱為坐標(biāo)變換矩陣, 且是一個正交矩陣且是一個正交矩陣 。為。為兩坐標(biāo)系之間的夾角，兩坐標(biāo)系之間的夾角，即即結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系逆時針逆時針轉(zhuǎn)至與轉(zhuǎn)至與單元坐標(biāo)系單元坐標(biāo)系重合時所轉(zhuǎn)過的角度。重合時所轉(zhuǎn)過的角度。 R R R R 即：即：aaaacossinsincos 其中：其中：T1因因：yxaa

36、aayxcossinsincos 即：即：RRT 則：則：aaayaxycossin2 2平面桁架單元桿端力的平面桁架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣 n把單元兩端的桿端力統(tǒng)一表示，則把單元兩端的桿端力統(tǒng)一表示，則 ： 43FF21FFn設(shè)已知桿端力沿整體坐標(biāo)軸方向的分量為設(shè)已知桿端力沿整體坐標(biāo)軸方向的分量為 和和 ，其沿單元坐標(biāo)軸方向的分量為其沿單元坐標(biāo)軸方向的分量為 F1 、F2 和和F3 、F4 ，則，則2121FFaaaaFFcossinsincos4343FFaaaaFFcossinsincos 4321432100FFFFaaaaaaaaFFFFcossinsincoscoss

37、insincos T T(e)(e)00n則平面桁架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣則平面桁架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣T： )(eF FT TF F( (e e) )( (e e) )即n桿端位移和桿端力是一一對應(yīng)的，所以桿桿端位移和桿端力是一一對應(yīng)的，所以桿端位移也可以用端位移也可以用T矩陣來進行變換。即：矩陣來進行變換。即：)(e( (e e) )( (e e) )T T3 3. .平面剛架單元桿端力的平面剛架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣 則：則：yoxn整體坐標(biāo)系整體坐標(biāo)系 與單元坐標(biāo)系與單元坐標(biāo)系xoy之間的變換可視為坐標(biāo)之間的變換可視為坐標(biāo)系繞系繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)a角。該變換不影響角。

38、該變換不影響彎矩向量彎矩向量對對z軸的投影。軸的投影。n如把單元左端如把單元左端(i 端端)的三個桿端力分量用的三個桿端力分量用F1 , F2 , F3表示，表示，右端右端(j 端端)用用F4 , F5 , F6表示，故表示，故,32132110000FFFaaaaFFFcossinsincos65465410000FFFaaaaFFFcossinsincos10000aaaacossinsincos )(eF FT TF F( (e e) )( (e e) )即： T T(e)(e)00n則平面剛架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣則平面剛架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣T： T( (e e) )( (e

39、e) )T TT T1且：且：( (e e) )T T( (e e) )F FT TF F)(e則：則：n桿端位移的變換：桿端位移的變換：)(e( (e e) )( (e e) )T T例例2-1平面桁架如圖所示，各桿截面平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。已知均為常數(shù)。已知P1=15kN,P2=20kN，試計算桁架各桿軸力。試計算桁架各桿軸力。 1. 對結(jié)點和單元編號如圖示對結(jié)點和單元編號如圖示;2. 列表表示各單元參數(shù)列表表示各單元參數(shù);單元單元單元坐標(biāo)單元坐標(biāo)x軸方向軸方向cossin單元長度單元長度l(m)120101.732 32300.8660.52.001m312P2130P

40、12xy732. 10000010100000101) 1 (EAK3.列出各單元剛度矩陣列出各單元剛度矩陣20000010100000101)2(EAK單元單元(2)的單元坐標(biāo)與整體坐標(biāo)不一致，要進行坐標(biāo)變換：的單元坐標(biāo)與整體坐標(biāo)不一致，要進行坐標(biāo)變換：4. 單元單元(2) 的坐標(biāo)變換矩陣：的坐標(biāo)變換矩陣： 866. 05 . 005 . 0866. 0866. 05 . 005 . 0866. 0) 2(TEAT130998.8500) 1 (EAvEAu/309/98.8522若已經(jīng)求得節(jié)點若已經(jīng)求得節(jié)點2的位移如下，試計算各桿的內(nèi)力的位移如下，試計算各桿的內(nèi)力EAT130998.850

41、0)2(EA158.31004.8000)2(2)(2)T T5. 各單元的桿端位移：各單元的桿端位移：整體坐標(biāo)表示：整體坐標(biāo)表示：單元坐標(biāo)表示：單元坐標(biāo)表示：EAT130998.8500) 1 () 1 ( 1m312P2130P12xy6. 各單元的桿端內(nèi)力：各單元的桿端內(nèi)力：EAl98.85164.4998.853311EAEAlEANEAl04.80202.40)04.80(2222EAEAlEAN方法方法1：由內(nèi)力與變形的關(guān)系計算：由內(nèi)力與變形的關(guān)系計算)()()(eeeK KF F方法方法2：由單元的剛度方程：由單元的剛度方程 計算計算T064.49064.49) 1 () 1 (

42、) 1 (K KF FT002.40002.40)2()2()2(K KF F由各單元的桿端位移向量可得各由各單元的桿端位移向量可得各單元的軸向變形：單元的軸向變形：各桿的軸力：各桿的軸力：由此知各單元的軸力：由此知各單元的軸力：KNN64.491KNN02.4021m312P2130P12xy4 4. .空間桁架單元桿端力的空間桁架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣 n設(shè)一空間向量設(shè)一空間向量F，它在整體坐標(biāo)系上的投影為它在整體坐標(biāo)系上的投影為 ,它它在單元坐標(biāo)系上的投影為在單元坐標(biāo)系上的投影為XYZ，用向量投影定理用向量投影定理 :ZYX),cos(),cos(),cos(),cos()

43、,cos(),cos(),cos(),cos(),cos(zzZzyYzxXZyzZyyYyxXYxzZxyYxxXX等),cos(),cos(),cos(),cos(23131211zyCzxCyxCxxCZYXCCCCCCCCCZYX333231232221131211表示坐標(biāo)軸表示坐標(biāo)軸x與之間夾角的余弦，其余類推。令與之間夾角的余弦，其余類推。令 ),cos(xx空間向量坐標(biāo)變換矩陣：空間向量坐標(biāo)變換矩陣： 333231232221131211CCCCCCCCC F F F F則：則：寫成矩陣的形式：寫成矩陣的形式：4 4. .空間桁架單元桿端力的空間桁架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變

44、換矩陣 n空間桁架單元桿端力只有軸力，且方向也與坐標(biāo)軸空間桁架單元桿端力只有軸力，且方向也與坐標(biāo)軸x重合，重合，桿端力在單元坐標(biāo)軸桿端力在單元坐標(biāo)軸y,z軸的投影總是為零的。即軸的投影總是為零的。即空間向量坐標(biāo)變換矩陣：空間向量坐標(biāo)變換矩陣： 令：令：00),cos(),cos(),cos(321ZYxzFxyFxxFX表示桿端力在整體坐標(biāo)軸上的投影。表示桿端力在整體坐標(biāo)軸上的投影。321FFFzyxClzxzClyxyClxxx),cos(),cos(),cos(ZYXCCCZYXzyx000000000000zyxCCC可寫成：可寫成：F F F F則：則：5 5. .空間桁架單元桿端力的

45、空間桁架單元桿端力的坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣 n考慮空間桁架單元兩端的桿端力，則有考慮空間桁架單元兩端的桿端力，則有n相對于單元坐標(biāo)系的桿端力向量：相對于單元坐標(biāo)系的桿端力向量：n空間桁架桿端力坐標(biāo)變換矩陣空間桁架桿端力坐標(biāo)變換矩陣 ：n其中相對于整體坐標(biāo)系的桿端力向量其中相對于整體坐標(biāo)系的桿端力向量 ：65432141000000000000000000FFFFFFCCCCCCFFzyxzyxTFF000021(e)(e)F FTeFFFFFF654321)(F F T T00即：即：)(eF FT TF F( (e e) )返回目錄返回目錄5210339400424304213104243

46、04072142131169700424300424303394004243042131407210424304213104243040721421310424304072142131.)(稱對K K得單元（得單元（2 2）整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣：）整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣：返回目錄返回目錄第五節(jié)第五節(jié) 用整體坐標(biāo)表示用整體坐標(biāo)表示單元剛度矩陣單元剛度矩陣 v在裝配結(jié)構(gòu)總剛度矩陣時，必須把單元坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣變換到整體坐標(biāo)下，本節(jié)將給出二者之間的關(guān)系。1 1. .公式推導(dǎo)公式推導(dǎo) 單元坐標(biāo)下的桿端力、桿端位移單元坐標(biāo)下的桿端力、桿端位移 ： )()()(eee K KF Fn整體坐

47、標(biāo)表示的單元剛度方程：整體坐標(biāo)表示的單元剛度方程：(e)(e)(e)F FT TF F)()(ee(e)T)()()()()(eeeTee T TK KT TF F)()()()(eeTeeT TK KT TK Kn單元剛度方程：單元剛度方程： 中的桿端位移向量中的桿端位移向量 和桿端力和桿端力向量向量 均應(yīng)進行坐標(biāo)變換，換成按整體坐標(biāo)表示均應(yīng)進行坐標(biāo)變換，換成按整體坐標(biāo)表示 、 。)()()(eee K KF F)(eF F)(e )(eF F)(e )()()(eee K KF F)()()(eee(e)(e)TKF FT T單元坐標(biāo)下的剛度方程單元坐標(biāo)下的剛度方程 化為：化為： 1)()

48、(eTeT TT T上式兩邊分別左乘上式兩邊分別左乘 ， 且由且由 ： Te )(T Tv 得整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣：得整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣：?)(eK K)(eK K2 2. .平面桁架單元整體坐標(biāo)平面桁架單元整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣表示的單元剛度矩陣 aaaaaaaaTecossin0sincoscossin0sincos)(lEAKe0000010100000101)(lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(對稱K Kn由前面求得的平面桁架單元的剛度矩陣和坐標(biāo)變換矩陣由前面求得的平面桁架單元的剛度矩陣和坐標(biāo)變換矩陣)()()()(eeT

49、eeT TK KT TK K令：令： C Cx x=cos=cos, ,C Cy y=sin=sin，且把上式代入且把上式代入 得：得：上式即為平面桁架單元整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣上式即為平面桁架單元整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣?yán)?-1平面桁架如圖所示，各桿截面平面桁架如圖所示，各桿截面EA均為常數(shù)。已知均為常數(shù)。已知P1=15kN,P2=20kN，試桁架各桿軸力。試桁架各桿軸力。 1.對結(jié)點和單元編號如圖示對結(jié)點和單元編號如圖示;2. 列表表示各單元參數(shù)列表表示各單元參數(shù);單元單元單元坐標(biāo)單元坐標(biāo)x軸方向軸方向cos即即Cxsin即即Cy單元長度單元長度l(m)120101.732 323

50、00.8660.52.00732. 10000010100000101) 1 (EAK3.列出各單元剛度矩陣列出各單元剛度矩陣20000010100000101)2(EAK1m312P2130P12xy732.10000010100000101) 1 () 1 (EAKK4.列出整體坐標(biāo)表示的各單元剛度矩陣列出整體坐標(biāo)表示的各單元剛度矩陣;lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(對稱K K2250433025043304330750433075025043302504330433075043307502EA.)(K K第一種方法： 直接代入公式：單元（單

51、元（1 1）的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)一致，所以）的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)一致，所以單元（單元（2 2）的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)不一致，必須經(jīng)過以下變）的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)不一致，必須經(jīng)過以下變換換第二種方法： 利用坐標(biāo)變換公式：)()()()(eeTeeT TK KT TK K 866. 05 . 005 . 0866. 0866. 05 . 005 . 0866. 0) 2(T20000010100000101)2(EAK866. 05 . 0005 . 0866. 00000866. 05 . 0005 . 0866. 020000010100000101866. 05 . 0005 . 0866.

52、00000866. 05 . 0005 . 0866. 0)2(EAK225. 0433. 025. 0433. 0433. 075. 0433. 075. 025. 0433. 025. 0433. 0433. 075. 0433. 075. 0EA)2()2()2()2(T TK KT TK KT以上代入公式：3 3. .平面剛架單元整體坐標(biāo)平面剛架單元整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣表示的單元剛度矩陣 n由前面求得的平面剛架單元的剛度矩陣和坐標(biāo)變換矩陣由前面求得的平面剛架單元的剛度矩陣和坐標(biāo)變換矩陣lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEI

53、lEIlEIlEAlEAe4602606120612000002604606120612000002223232222323)(K K 1000cossin00sincos10000cossin0sincos)(aaaaaaaaTen單元剛度矩陣和坐標(biāo)變換矩陣是單元的固有屬性，僅有單元的單元剛度矩陣和坐標(biāo)變換矩陣是單元的固有屬性，僅有單元的E, I, l, a有關(guān)。利用下式即可計算出整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣。有關(guān)。利用下式即可計算出整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣。)()()()(eeTeeT TK KT TK K3 3. .平面剛架單元整體坐標(biāo)平面剛架單元整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣表示的單元剛度

54、矩陣 上式即為平面剛架整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣。一般不需專門記上式即為平面剛架整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣。一般不需專門記憶，只要記住單元坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣和二者之間的關(guān)系。憶，只要記住單元坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣和二者之間的關(guān)系。)()()()(eeTeeT TK KT TK K令：令： ， ，C Cx x=cos=cos, ,C Cy y=sin=sin，且把上式代入且把上式代入 得：得：lEAB lEIi ixClixCliyBCyCliyCxCliByClixBCixCliyCliixClixCliyBCyCxCliBxClixCliYBCyCliyCxCliByClixBCyCli

55、yCxCliByClixBCeK46221226)212(221222664622122)212(6221226)212(221226)212(22122)(對稱平面剛架整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣程序設(shè)計平面剛架整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣程序設(shè)計void change(double *ke, double *T)int i, j,m; double k66；for(i=0; i6; i+) for(j=0; j6; j+) kij=0; for(m=0; m6; m+) kij+=Tm*6+i*kem*i+j ;for(i=0; i6; i+) for(j=0; j6; j+) kei*6+j

56、=0; for(m=0; m6; m+) kei*6+j+= ki m* Tm*6+j ;q = 20 KN/m26m6m26m11336046060q = 20 KN/m6060606060 6m6m6m=20KN/m例例 2-3 平面剛架如圖所示，各桿截面相同。平面剛架如圖所示，各桿截面相同。E=1107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各桿端力，并畫出內(nèi)力圖。求各桿端力，并畫出內(nèi)力圖。 1231234q = 20 KN/m6m6m6m解解 1.對應(yīng)結(jié)點及各單元編號如圖所示對應(yīng)結(jié)點及各單元編號如圖所示;單元單元單元坐標(biāo)單元坐標(biāo)x軸軸CxCy1301041050.1210

57、523450.70710.70712.82851050.08491053401041050.12105lEAB lEIi 2.列出單元參數(shù)表列出單元參數(shù)表;3.列出單元坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣列出單元坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣 5) 1 (1048. 012. 004. 000424. 012. 0048. 0012. 004. 0012. 004. 00004004稱對K KlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAe4602606120612000002604606120612000002223232222323)(K

58、 K將以上參數(shù)代入公式：5)2(100.3396060. 00.0142008285. 20.1698060. 000.33960060. 00.01420060. 00.01420008285. 2008285. 2稱對K K) 1 () 3 (K KK K3.列出整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣列出整體坐標(biāo)表示的單元剛度矩陣 第一種方法： 直接代入公式：單元（1）(3)的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)一致，所以單元（2）的單元坐標(biāo)和整體坐標(biāo)不一致，必須經(jīng)過以下變換5) 3() 1 (1048. 012. 004. 000424. 012. 0048. 0012. 004. 0012. 004. 000040

59、04稱對K KK KixClixCliyBCyCliyCxCliByClixBCixCliyCliixClixCliyBCyCxCliBxClixCliYBCyCliyCxCliByClixBCyCliyCxCliByClixBCeK46221226)212(221222664622122)212(6221226)212(221226)212(22122)(對稱第二種方法： 利用坐標(biāo)變換公式：)()()()(eeTeeT TK KT TK K)2()2()2()2(T TK KT TK KT以上代入公式：5)2(100.3396060. 00.0142008285. 20.1698060. 0

60、00.33960060. 00.01420060. 00.01420008285. 2008285. 2稱對K K 10000007071. 07071. 000007071. 07071. 000000010000007071. 07071. 000007071. 07071. 01000cossin00sincos10000cossin0sincos) 2 (aaaaaaaaT521033940042430421310424304072142131169700424300424303394004243042131407210424304213104243040721421310424304