第10章動(dòng)量定理

1、動(dòng)力學(xué)普遍定理概述動(dòng)力學(xué)普遍定理概述對(duì)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：理論上講，動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：理論上講，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出3n個(gè)微分方程，個(gè)微分方程， 聯(lián)立求解即可。聯(lián)立求解即可。 1、聯(lián)立求解微分方程、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問(wèn)題尤其是積分問(wèn)題)非常困難。非常困難。實(shí)際上存在兩個(gè)問(wèn)題：實(shí)際上存在兩個(gè)問(wèn)題：2、大量的問(wèn)題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)、大量的問(wèn)題中，不需要了解每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng)動(dòng),僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。僅需要研究質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)情況。 從本章起從本章起, 將要講述解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的其它方將要講述解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的其它方法法, 而首先要討論的是而首先要討論的是動(dòng)力學(xué)普遍定理：

2、動(dòng)力學(xué)普遍定理：質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理動(dòng)量的改變與力的沖動(dòng)量的改變與力的沖量之間的關(guān)系。量之間的關(guān)系。動(dòng)量定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理動(dòng)能定理。動(dòng)能定理。本章中研究?jī)?nèi)容：本章中研究?jī)?nèi)容：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的另一形式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 101 動(dòng)量與沖量動(dòng)量與沖量 102 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 103 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 第十章第十章 動(dòng)量定理動(dòng)量定理10-1 10-1 動(dòng)量與沖量動(dòng)量與沖量1.1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積 mv 稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。 動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一個(gè)

3、物理量。動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一個(gè)物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量小；例：槍彈：速度大，質(zhì)量?。?船：速度小，質(zhì)量大。船：速度小，質(zhì)量大。 一、動(dòng)量一、動(dòng)量注注：動(dòng)量是瞬時(shí)矢量，方向與：動(dòng)量是瞬時(shí)矢量，方向與v 相同。單位相同。單位:kg:kg m/sm/s。2.2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：iivmP vv CiiMm即：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于即：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。CiivMvmPMrmriiC質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。由由兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)求剛體的動(dòng)量求剛體的動(dòng)量ccv0cvcLcvcC

4、vMP 2LMPcMvP 0cMvP 對(duì)于 剛體系統(tǒng)的動(dòng)量也同樣成立。剛體系統(tǒng)的動(dòng)量也同樣成立。CCzzCCyyCCxxzMMvPyMMvPxMMvP向三個(gè)坐標(biāo)軸投影向三個(gè)坐標(biāo)軸投影注注： 沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對(duì)物體作用的累積效應(yīng)的度量。效應(yīng)的度量。二沖量二沖量力與其作用時(shí)間的乘積稱(chēng)為力的沖量力與其作用時(shí)間的乘積稱(chēng)為力的沖量例如，推動(dòng)車(chē)子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與例如，推動(dòng)車(chē)子時(shí)，較大的力作用較短的時(shí)間，與較小的力作用較長(zhǎng)的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。較小的力作用較長(zhǎng)的時(shí)間，可得到同樣的總效應(yīng)。tFI)(12ttFI1力是常矢量力是常矢量：F變力的

5、沖量變力的沖量：21ttdtFIdtFId2力是變矢量：（包括大小和方向的變化）力是變矢量：（包括大小和方向的變化）元沖量元沖量：在dt時(shí)間間隔內(nèi)力F的沖量 3合力的沖量：合力的沖量： ittittttiRIdtFdtFdtFI212121沖量的單位沖量的單位：m/skg sm/skg sN2與動(dòng)量單位同等于各分力沖量的矢量和等于各分力沖量的矢量和212121 , ,ttttttzzyyxxdtFIdtFIdtFI10-2動(dòng)量定理動(dòng)量定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 Fdtvdmam質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理Fvmdtd)(

6、 當(dāng)質(zhì)量不變時(shí)當(dāng)質(zhì)量不變時(shí)（在某一時(shí)間間隔內(nèi)，動(dòng)量的增量等于力在該時(shí)（在某一時(shí)間間隔內(nèi)，動(dòng)量的增量等于力在該時(shí)間內(nèi)的沖量）間內(nèi)的沖量）IddtFvmd)(IdtFvmvmtt2112微分形式：微分形式：（動(dòng)量的微分等于力的元沖量）積分形式積分形式：投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmvdtd)(2112ttxxxxdtFImvmv2112ttyyyydtFImvmv2112ttzzzzdtFImvmv則常量，質(zhì)點(diǎn)沿則常量，質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸的運(yùn)動(dòng)是慣軸的運(yùn)動(dòng)是慣性運(yùn)動(dòng)性運(yùn)動(dòng)xmv二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒0F若若0 xF若若vm則常矢量，質(zhì)點(diǎn)作慣性運(yùn)動(dòng)則常

7、矢量，質(zhì)點(diǎn)作慣性運(yùn)動(dòng)一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn) i，)()()(eiiiiiFFvmdtd對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系： )()()(eiiiiiFFvmdtd)(eiFdtPd質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理10-3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和。點(diǎn)系上所有外力的矢量和。 )0( iiF質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的矢量和。元沖量的矢量和。在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于作在某一時(shí)間間

8、隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。量的矢量和。2.2.積分形式積分形式)(12eiIPPeIdtF 1.1.微分形式微分形式eiPi)()(dd3.3.投影形式：投影形式：)(eixxFdtdP)(eiyyFdtdP)(eizzFdtdP21)()(12tteixexxdtFIixPP21)()(12tteiyeyydtFIiyPP21)()(12tteizezzdtFIizPP 錘重Q=300N，從高度H=1.5m處自由落到鍛件上，鍛件發(fā)生變形，歷 時(shí)=0.01s， 求錘對(duì)鍛件的平均壓力.H研究錘，分

9、析受力:QFN * 錘由高 H 處自由落下所需時(shí)間:gH2t y建投影軸，列動(dòng)量定理:y1y2yImvmv,)(,Ny21FtQI ,0vt0v)(而時(shí)間經(jīng)過(guò)kNtQF9 .16) 1( N質(zhì)量為75kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員，從飛機(jī)中跳出后鉛垂下降，待降落100m時(shí)將傘張開(kāi)，從這時(shí)起經(jīng)過(guò)時(shí)間t=3s后降落速度變?yōu)?m/s。求降落傘繩子拉力的合力（平均值）。以人為研究對(duì)象.視為質(zhì)點(diǎn).人從飛機(jī)上跳下至傘張開(kāi):ghv211008 . 92sm3 .44傘張開(kāi)至降落速度達(dá)到v2=5m/sxtFmgvvmT12?NFT1718則常量。ixixvmP二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒, 0)(eiF若, 0

10、)(eixF若iivmP則常矢量。恒矢量0PPnieiIPP1)(001)(nieiI只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，內(nèi)力不能改變整的動(dòng)量，內(nèi)力不能改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。傳遞。 特別注意：特別注意：機(jī)車(chē)的質(zhì)量為m1，車(chē)輛的質(zhì)量為m2，它們是通過(guò)相互撞擊而掛鉤。若掛鉤前，機(jī)車(chē)的速度為v1，車(chē)輛處于靜止，如圖所示。求（1）掛鉤后的共同速度u；（2）在掛鉤過(guò)程中相互作用的沖量和平均撞擊力。設(shè)掛鉤時(shí)間為t秒，軌道是光滑和水平的。以機(jī)車(chē)和車(chē)輛為研究對(duì)象系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向是守恒的ummvm21112111m

11、mvmu以機(jī)車(chē)為研究對(duì)象Ivmum1112121vmmmmItIF tvmmmm12121例例2 質(zhì)量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體。求小三角形柱體滑到底時(shí),大三角形柱體的位移。 解解：選選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象研究對(duì)象。受力分析受力分析， , 0)(exFxK水平方向常量。ravvvv設(shè)大三角塊速度rv小三角塊相對(duì)大三角塊速度為 則小三角塊運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析， 0)(axmvvM由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止由水平方向動(dòng)量守恒及初始靜止；0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx mmMSSmmMvvrxrx 例例3 流體流過(guò)彎管時(shí)，

12、流體流過(guò)彎管時(shí)， 在截面在截面A和和B處的平均流速分別為處的平均流速分別為 設(shè)流體不可壓縮，流量設(shè)流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，為常量， 密度為密度為 (kg/m3）。）。),m/s(,21vv求流體對(duì)彎管產(chǎn)生的動(dòng)壓力求流體對(duì)彎管產(chǎn)生的動(dòng)壓力(附加動(dòng)壓力附加動(dòng)壓力)。運(yùn)動(dòng)分析，設(shè)經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)分析，設(shè)經(jīng)過(guò) 時(shí)間時(shí)間后，流體后，流體AB運(yùn)動(dòng)到位置運(yùn)動(dòng)到位置ab，)()(12aBAaBbaBABabPPPPPPP1212 )()(vtQvtQPPPPPAaBbaBaB解：解： 取截面取截面A與與B之間的流體作為研究的質(zhì)點(diǎn)系。之間的流體作為研究的質(zhì)點(diǎn)系。受力分析如圖示。受力分析如圖示。靜反力靜反

13、力)(21PPWR)( 12vvQR)()(1221vvQPPWR即即由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理；得由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理；得RPPWvvQtPdtPdt21120)( lim動(dòng)反力動(dòng)反力計(jì)算計(jì)算 時(shí)，常采用投影形式時(shí)，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR與與 相反的力就是管壁上受相反的力就是管壁上受到的流體作用的動(dòng)壓力到的流體作用的動(dòng)壓力 R10-4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將將 代入到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，得代入到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，得CvMP )()(eiCFvMdtd若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變，若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變，或)(eiCFrM 敘述為：敘述為：質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)

14、量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。)(eiCFaM則稱(chēng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程）稱(chēng)為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程）投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMMaFdtdvMMa 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式, 與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似。與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似。 只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心

15、的運(yùn)動(dòng), 內(nèi)力不內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。說(shuō)明：說(shuō)明：若，則若，則 常矢量，質(zhì)心作勻速常矢量，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)；直線運(yùn)動(dòng)； 0)(eiFCCvoa , 若開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，即若開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，即 則常矢量則常矢量,質(zhì)質(zhì)心位置守恒。心位置守恒。00CvCr若則若則 常量，質(zhì)心沿常量，質(zhì)心沿x方向方向速度不變；速度不變；,)( 0eixFCxCxva , 0若存在若存在 則則 常量，質(zhì)心在常量，質(zhì)心在x 軸的位置軸的位置坐標(biāo)保持不變。坐標(biāo)保持不變。00CxvCx 4. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律 兩人若在地面上拔河，

16、力氣大者必勝。若質(zhì)量分別為mA,mB的宇航員A和B在太空中拔河，開(kāi)始時(shí)兩人在太空中保持靜止，然后分別抓住繩子的兩端使盡全力相互對(duì)拉。若A的力氣大于B的力氣，拔河賽的勝利屬于誰(shuí)？動(dòng)量定理在跳高中的應(yīng)用:動(dòng)量定理在跳高中的應(yīng)用:跨越式：一腿向前伸出先過(guò)桿，另一腿再過(guò)。翻滾式：身體繞縱軸翻滾，水平過(guò)桿。背越式：身體彎曲，背部過(guò)桿。0VC質(zhì)心為拋物線0VC橫桿高度0VCC橫桿高度跨越式：1.8m0.3m=1.5m翻滾式：1.8m0.1m=1.7m背越式：1.8m0.1m=1.9m30cm0VCC橫桿高度10cm10cm已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

17、 5 5質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求解兩類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求解兩類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)已知質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng), 求作用于求作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力質(zhì)點(diǎn)系的外力(包括約束反力包括約束反力)。12121mmbmamxC12122)()(mmsbmslamxC122mmlms21CCxx例例4 電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量為電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量為m1, 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子質(zhì)量為子質(zhì)量為m2 , 轉(zhuǎn)子的軸通過(guò)定子的質(zhì)心轉(zhuǎn)子的軸通過(guò)定子的質(zhì)心O1, 但由于制造誤差但由于制造誤差, 轉(zhuǎn)子的質(zhì)心轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到到O1的距離為的距離為e 。求轉(zhuǎn)子以角速度求轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

18、時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底動(dòng)時(shí)，基礎(chǔ)作用在電動(dòng)機(jī)底座上的約束反力。座上的約束反力。運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度運(yùn)動(dòng)分析：定子質(zhì)心加速度a1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的加速度的加速度a2=e 2，方向指向，方向指向O1。解解:取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)系。取整個(gè)電動(dòng)機(jī)作為質(zhì)點(diǎn)系。分析受力，分析受力， 受力圖如圖示。受力圖如圖示。teateayx sin , cos2222根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有xxeixCixiNtemamFamcos ,2222)( ,)(eiyCiyiFamtemgmgmNtemNyxsin ,cos222122可見(jiàn)，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期可見(jiàn)，由于偏心引起的動(dòng)反力是隨時(shí)間而變化的周期函數(shù)。函數(shù)。gmgmNtemamyy212222 sin 例例5 浮動(dòng)起重船浮動(dòng)起重船, 船的重量為船的重量為P1=200kN, 起重桿的重起重桿的重量為量為