第4章機器人動力學

1、 工工業(yè)業(yè)機機器器人人第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.1 4.1 引言引言4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法4.3 4.3 拉格朗日方程法拉格朗日方程法 習題習題 工工業(yè)業(yè)機機器器人人動力學研究的問題動力學研究的問題： 機器人各個機器人各個關節(jié)的運動關節(jié)的運動與與關節(jié)關節(jié)需要的驅動力（矩）需要的驅動力（矩）之間的關系。之間的關系。正問題正問題：已知關節(jié)運動，求：已知關節(jié)運動，求 關節(jié)驅動力（矩）。關節(jié)驅動力（矩）。逆問題逆問題：已知關節(jié)驅動力（矩），：已知關節(jié)驅動力（矩）， 求關節(jié)運動。求關節(jié)運動。第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人數(shù)學模型數(shù)學

2、模型： 關節(jié)運動關節(jié)運動位移、速度、加速度變化位移、速度、加速度變化 關節(jié)驅動力（矩）關節(jié)驅動力（矩）驅動力或驅動力矩驅動力或驅動力矩i動力學方程動力學方程： ， i=1，n正問題正問題：已知：已知 ，求，求i。逆問題逆問題：已知：已知i ，求，求 。),(iiiiqqqf iiiqqq ,iiiqqq ,iiiqqq ,第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人4.1 4.1 引言引言4.1.1 靜力學分析靜力學分析4.1.2 動力學分析動力學分析第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人4.1.1 靜力學分析靜力學分析機器人各個關節(jié)處于靜止狀態(tài)。機器

3、人各個關節(jié)處于靜止狀態(tài)。當負載為一重物時：當負載為一重物時：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)需要的驅動力（矩）：關節(jié)需要的驅動力（矩）：4.1 4.1 引言引言第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)1=02=mgl23=mgm3=0 工工業(yè)業(yè)機機器器人人機器人各個關節(jié)處于靜止狀態(tài)。機器人各個關節(jié)處于靜止狀態(tài)?？紤]桿件自重時：考慮桿件自重時：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)需要的驅動力（矩）：關節(jié)需要的驅動力（矩）：4.1 4.1 引言引言第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.1.1

4、靜力學分析靜力學分析mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)1=02=mgl23=mgm3gm2gm1gm3=0 工工業(yè)業(yè)機機器器人人 機器人各個關節(jié)處于運動狀態(tài)。機器人各個關節(jié)處于運動狀態(tài)。 當負載為一重物時：當負載為一重物時：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)需要的驅動力（矩）：關節(jié)需要的驅動力（矩）：f3f2f1m2l2l1m112311, 22, 33,dd m33dmmg 121)( llm 2121)( llm 4.1 4.1 引言引言第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.1.2 動力學分析動力學分析 工工業(yè)業(yè)機機器器人人牛頓

5、牛頓歐拉方程法原理歐拉方程法原理：將機器人的每個桿件看成剛體：將機器人的每個桿件看成剛體，并確定每個桿件，并確定每個桿件質心的位置質心的位置和表征其質量分布的和表征其質量分布的慣性慣性張量矩陣張量矩陣。當確定機器人坐標系后，根據(jù)機器人關節(jié)速。當確定機器人坐標系后，根據(jù)機器人關節(jié)速度和加速度，則可先由機器人機座開始向手部桿件度和加速度，則可先由機器人機座開始向手部桿件正向正向遞推遞推出每個桿件在自身坐標系中的速度和加速度，再用出每個桿件在自身坐標系中的速度和加速度，再用牛頓牛頓歐拉方程得到機器人每個桿件上的慣性力和慣歐拉方程得到機器人每個桿件上的慣性力和慣性力矩，然后再由機器人末端關節(jié)開始向第一

6、個關節(jié)性力矩，然后再由機器人末端關節(jié)開始向第一個關節(jié)反反向遞推向遞推出機器人每個關節(jié)上承受的力和力矩，最終得到出機器人每個關節(jié)上承受的力和力矩，最終得到機器人每個關節(jié)所需要的驅動力（矩），這樣就確定了機器人每個關節(jié)所需要的驅動力（矩），這樣就確定了機器人關節(jié)的驅動力（矩）與關節(jié)位移、速度和加速度機器人關節(jié)的驅動力（矩）與關節(jié)位移、速度和加速度之間的函數(shù)關系，即建立了機器人的動力學方程。之間的函數(shù)關系，即建立了機器人的動力學方程。 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人牛頓牛頓歐拉方程法遞推過程歐拉方程法遞推過程：正向遞推正向遞

7、推： 已知機器人各個關節(jié)的速度和加速度已知機器人各個關節(jié)的速度和加速度從桿件從桿件1n遞推出機器人每個桿件在自身坐標系中的速度和遞推出機器人每個桿件在自身坐標系中的速度和加速度加速度機器人每個桿件質心上的速度和加速度機器人每個桿件質心上的速度和加速度再再用牛頓用牛頓歐拉方程得到機器人每個桿件質心上的歐拉方程得到機器人每個桿件質心上的慣性力和慣性力矩。慣性力和慣性力矩。反向遞推反向遞推： 根據(jù)正向遞推的結果根據(jù)正向遞推的結果從關節(jié)從關節(jié)n1遞推出機器人遞推出機器人每個關節(jié)上承受的力和力矩每個關節(jié)上承受的力和力矩得到機器人每個關節(jié)所得到機器人每個關節(jié)所需要的驅動力（矩）。需要的驅動力（矩）。 4.

8、2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人4.2.1 牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人4.2.1 牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程1 1、牛頓方程、牛頓方程慣性力慣性力矢量。矢量。質心上的線加速度。質心上的線加速度。 CCamF 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、歐拉方程、歐拉方程慣性力矩慣性力矩

9、矢量。矢量。質心上的慣性張量矩陣。質心上的慣性張量矩陣。 )( CCIIM CzzCyzCxzCyzCyyCxyCxzCxyCxxCIIIIIIIIII4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.1 牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、歐拉方程、歐拉方程慣性力矩慣性力矩慣性張量矩陣：慣性張量矩陣：a.a.坐標系：與桿件坐標系同向，位于桿件質心上。坐標系：與桿件坐標系同向，位于桿件質心上。b.b.元素名稱：元素名稱： Icxx，Icyy，Iczz慣量矩；慣量矩； Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz慣量積。慣

10、量積。 CzzCyzCxzCyzCyyCxyCxzCxyCxxCIIIIIIIIII4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.1 牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、歐拉方程、歐拉方程慣性力矩慣性力矩慣性張量矩陣：慣性張量矩陣：理論計算方法：理論計算方法：實驗測試法：實驗測試法： 慣量擺儀器。慣量擺儀器。 VCxxdvzyI )(22 VCyydvxzI )(22 VCzzdvyxI )(22 VCxydvxyI VCxzdvxzI VCyzdvyzI 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機

11、器人動力學4.2.1 牛頓牛頓歐拉方程歐拉方程 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：已知機器人各個關節(jié)的速度和加速度：已知機器人各個關節(jié)的速度和加速度： 從桿件從桿件1n遞推出機器人每個桿件在自身坐標遞推出機器人每個桿件在自身坐標 系中的速度和加速度；系中的速度和加速度； 機器人每個桿件質心上的速度和加速度；機器人每個桿件質心上的速度和加速度； 機器人每個桿件質心上的慣性力和慣性力矩。機器人每個桿件質心上的慣性力和慣性力矩。4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、

12、正向遞推：（第一種桿件坐標系）（第一種桿件坐標系）桿件速度和加速度桿件速度和加速度遞推計算公式遞推計算公式 建立相鄰兩個建立相鄰兩個桿件的坐標系：桿件的坐標系：i-1i-1、i i Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人 1 1、正向遞推、正向遞推： 桿件速度和加速度桿件速度和加速度 遞推計算公式遞推計算公式已知已知：i-1i-1桿件速度和加速度桿件速度和加速度 i i關節(jié)速度和加速度關節(jié)速度和加速度計算計算：i i桿件速度和加速度桿件

13、速度和加速度iiqq ,1111, iiiiav iiiiav, iiqq ,ii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi1111 iiiiav iiiiav 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人 1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式分析分析：I I、坐標系、坐標系: :相鄰桿件位姿矩陣相鄰桿件位姿矩陣IIII、關節(jié)速度和加速度、關節(jié)速度和加速度 的矢量化：的矢量化：11, iizizieqeq 10111iiiiiipRMiiq

14、q ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式 11iiiiR iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、

15、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式1111 iziiiiiiiieqsRR iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式)(111 iziiiiiieqsR iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2

16、 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式 )(111iziiiiiieqsR iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式)()(1

17、11111 iiziiiiiziiiiiieqsReqsR iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav )1(111iziiiiiieqsvRv4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機

18、器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav )()1(111111iiiiiziiiiiipReqsvRvi 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi

19、-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav )()()1(111111111iiziiiiiiiiiziiiiiipeqsRpReqsvRvii 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式iiqq ,Oiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 11)1()(11111 iiziiiiiiziiiiiiieqsRpeqsvRv 4.2 4.2

20、 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式 )1()(1111111111iiiziiiiiiziiiziiiiiiiiieqsRpeqseqsRaRa 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學關節(jié)關節(jié)iiiqq ,Oiii-1Xi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：

21、桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式 )()()1()(1111111111111111iiziiiziiiiiziiiiiiziiiziiiiiiiiipeqseqsReqsRpeqseqsRaRaiiiii 關節(jié)關節(jié)iiiqq ,Oiii-1Xi-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式關節(jié)關節(jié)iiiqq ,Oiii-1X

22、i-1Z i-1Oi-1XiZi1111 iiiiav iiiiav )1(2)()()1()(1111111111111111111 iiiiiiziiiiiiiziiiziiiiiziiiiiiziiiziiiiiiiiieqsRpeqseqsReqsRpeqseqsRaRa 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件質心上的速度和加速度桿件質心上的速度和加速度iiC )(iiiCiiCiiCrraa iCi iXiZiOiiiiiav iCriCa4.2 4

23、.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件質心上的慣性力和慣性力矩桿件質心上的慣性力和慣性力矩慣性力慣性力：慣性力矩慣性力矩：iiCiCamF )(iCiiCCiiiIIM iXiZiOiiiiiav iCriCFiCM4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：（第二種桿件坐標系）（第二種桿件坐標系）桿件速度和加速度桿件速度和加速度遞推計算公式遞推

24、計算公式 建立相鄰兩個建立相鄰兩個桿件的坐標系：桿件的坐標系：i-1i-1、iiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式已知已知：i-1i-1桿件速度和加速度桿件速度和加速度 i i關節(jié)速度和加速度關節(jié)速度和加速度計算計算：i i桿件速度和加速度桿件速度和加速度iiqq ,1111, iiiiav iiiiav, ii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-

25、1XiZiOi1111 iiiiav iiiiav iiqq ,4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式分析分析：I I、坐標系、坐標系: :相鄰桿件位姿矩陣相鄰桿件位姿矩陣IIII、關節(jié)速度和加速度、關節(jié)速度和加速度 的矢量化：的矢量化：iizizieqeq , 10111iiiiiipRMii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi1111 iiiiav iiiiav iizizieqeq ,4

26、.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式ii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi1111 iiiiav iiiiav iizizieqeq ,iziiiiiieqsR 11 iiziiiiiziiiiiieqsReqsR 1111 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推

27、：桿件速度和加速度遞推計算公式桿件速度和加速度遞推計算公式ii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi1111 iiiiav iiiiav iizizieqeq ,iziiiiiiiiieqspvRv )1()(1111 iiziiiiiiiiiiiziiiiiiiiieqsRpReqspaRa )1(2)()1()(1111111111 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件質心上的速度和加速度桿件質心上的速度和加速度iiC )(iiiCiiCi

28、iCrraa iCi iXiZiOiiiiiav iCriCa4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、正向遞推、正向遞推：桿件質心上的慣性力和慣性力矩桿件質心上的慣性力和慣性力矩慣性力慣性力：慣性力矩慣性力矩：iiCiCamF )(iCiiCCiiiIIM iXiZiOiiiiiav iCriCFiCM4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、反向遞推、反向遞推：已知機器人各個桿

29、件的慣性力和慣性力矩：已知機器人各個桿件的慣性力和慣性力矩：從關節(jié)從關節(jié)n1遞推出機器人每個關節(jié)承受的力和力矩；遞推出機器人每個關節(jié)承受的力和力矩；機器人每個關節(jié)的驅動力或驅動力矩。機器人每個關節(jié)的驅動力或驅動力矩。4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、反向遞推、反向遞推：（第二種桿件坐標系）（第二種桿件坐標系）關節(jié)承受的力和力矩關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式遞推計算公式 建立相鄰兩個建立相鄰兩個桿件的坐標系：桿件的坐標系：i-1i-1、iiii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-

30、1XiZiOi4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、反向遞推、反向遞推：關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式已知已知：i-1i-1桿件的慣性力桿件的慣性力 和慣性力矩和慣性力矩 i i關節(jié)承受的力和力矩關節(jié)承受的力和力矩計算計算：i-1i-1關節(jié)承受的力和關節(jié)承受的力和 力矩力矩11, iiCCMFiimf,11, iimfii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi11 iimfiimf1 iCr1 iCF1 iCM4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方

31、程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、反向遞推、反向遞推：關節(jié)承受的力和力矩關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式遞推計算公式分析分析：I I、坐標系、坐標系: :相鄰桿件位姿矩陣相鄰桿件位姿矩陣IIII、i-1i-1桿件受力分析：桿件受力分析：iiiiiimRfR11, 10111iiiiiipRMii-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi11 iimfiimf1 iCr1 iCF1 iCMiiifR1 iiimR1 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.

32、2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、反向遞推、反向遞推：關節(jié)承受的力和力矩關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式遞推計算公式 以以i-1i-1桿件為研究對象，桿件為研究對象，由達朗貝爾原理可得：由達朗貝爾原理可得：111111)( iiCiiiiiiiiCFfRffRfFi-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-111 iimf1 iCr1 iCF1 iCMiiifR1 iiimR1 iip1 Oi4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、反向遞推、反向遞推：關節(jié)承受的力

33、和力矩關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式遞推計算公式 以以i-1i-1桿件為研究對象，桿件為研究對象，由達朗貝爾原理可得：由達朗貝爾原理可得：)()()()()(11111111111111111iiCiiiiiiCCCiiiiiiiiiCiiiiCprRfRpFrMmRmfRRfrmRmMiiiiii i-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-111 iimf1 iCr1 iCF1 iCMiiifR1 iiimR1 iip1 Oi1 iR4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、反向遞推、反

34、向遞推：關節(jié)驅動力（矩）關節(jié)驅動力（矩）平移關節(jié)：平移關節(jié)：回轉關節(jié)：回轉關節(jié)：則關節(jié)驅動力（矩）為：則關節(jié)驅動力（矩）為：)1(1111111 iizTiizTiiiefsems 111 iizTief 111 izTiiem i-1關節(jié)關節(jié)iXi-1Z i-1Oi-111 iimf4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.2 遞推計算公式遞推計算公式 工工業(yè)業(yè)機機器器人人4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用1 1、遞推初始條件、遞推初始條件正向遞推正向遞推機座機座0 0的速度和加速度：的速度和加速度：* *考慮桿件自重或手部負載為重物時：考

35、慮桿件自重或手部負載為重物時： 為描述在機座坐標系為描述在機座坐標系00中的標準重力加速度。中的標準重力加速度。0g00000 av 00000, 0gav gx0z0Tgg), 0 , 0(0 o04.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人1 1、遞推初始條件、遞推初始條件反向遞推反向遞推機器人手部負載：機器人手部負載：11, nhnhmmff4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學l1l3l2hhmf4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、遞推應用條件、遞推

36、應用條件已知機器人的關節(jié)變量已知機器人的關節(jié)變量 及其速度及其速度 和加速度和加速度 ； 已知任一桿件已知任一桿件i相對于與自身坐標系相對于與自身坐標系ii方向相同的方向相同的坐標系坐標系CCi i 所描述的慣性張量所描述的慣性張量 及其質心在自身坐標及其質心在自身坐標系系ii中的位置矢量中的位置矢量 （可用實驗等方法確定）；（可用實驗等方法確定）； 已知相鄰桿件的位姿矩陣及必要的初始數(shù)據(jù)。已知相鄰桿件的位姿矩陣及必要的初始數(shù)據(jù)。qq q iCIiCr4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2

37、 2、遞推應用條件、遞推應用條件第二種坐標系下遞推算法第二種坐標系下遞推算法正向遞推正向遞推: : )()()1(2)1()()1()(1111111111111111111iCiiCCCiCCiiCiiCziiiiiziiiiiiiiiiiiiziiiiiziiiiiiziiiiiiiiiziiiiiiiiiiiiiiiiiiiiIIMamFrraaeqsReqsppaRaeqsReqsReqspvRveqsR 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人2 2、遞推應用條件、遞推應用條件第二種

38、坐標系下遞推算法第二種坐標系下遞推算法反向遞推反向遞推: : )1(11111111111111111iiiiiizTiizTiiiiiiiiCCCiiiiCiiiiefsemsfRpFrMmRmFfRf 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人例：例：已知二自由度機器人如已知二自由度機器人如圖所示，機器人兩個桿件的圖所示，機器人兩個桿件的長度分別為長度分別為 和和 ，且其質，且其質量量 和和 都集中在桿件的端都集中在桿件的端頭。若用第二種方法建立機頭。若用第二種方法建立機器人的坐標系，當機器

39、人各器人的坐標系，當機器人各個關節(jié)的位移個關節(jié)的位移 、速度、速度 和加速度和加速度 已知時，試用已知時，試用牛頓牛頓歐拉遞推算法計算歐拉遞推算法計算各關節(jié)的驅動力矩。各關節(jié)的驅動力矩。 12m1m2xy關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 21l2l1m2m21, 21, 21, 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：建立坐標系如圖所示。建立坐標系如圖所示。相鄰桿件的位姿矩陣為：相鄰桿件的位姿矩陣為：12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2 10000000000011

40、1101 csscM 100000000002212212 cslscM4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解： (1)(1)正向遞推正向遞推 已知關節(jié)速度和加速度已知關節(jié)速度和加速度分別為分別為 ，由于考，由于考慮桿件的重量，所以機座的慮桿件的重量，所以機座的運動參數(shù)（初始條件）設為：運動參數(shù)（初始條件）設為：2121, Tgav)0 , 0(00000 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器

41、人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推的的速速度度和和加加速速度度：桿桿件件時時1,1 i12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2gTzzeeR), 0 , 0(1001111010111 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2gTzzzeeReR), 0 , 0(100111101010101

42、111 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g01001000100101)(aRppaRa Tgcgsgcssc0,0010000111111 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推則則線線加加速速度度：已已知知,)0 , 0 ,(11TClr 12m

43、1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g)(1111111CCCrraa 0)()(0000000000011121111111111 lgclgsllgcgs4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推則則慣慣性性力力為為：，已已知知桿桿件件質質量量為為的的慣慣性性力力和和慣慣性性力力矩矩：桿桿件件11m12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g 011111211111111 lmgcmlmgsmamFCC4.2

44、4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推則則慣慣性性力力矩矩為為：，已已知知桿桿件件慣慣性性張張量量的的慣慣性性力力和和慣慣性性力力矩矩：桿桿件件011 CI12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g0)(111111 CCCIIM4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推的的速速度度和和加加速速度度：桿桿件

45、件時時2,2 i12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2gTzcssceR), 0 , 0(00001000021212222212122 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2gTzzcssceReR), 0 , 0(0000100002121222221212121222 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3

46、 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g)()(11122112111211212CCrpaRppaRa 00)()(1000012221121112221121111121112222 gcslclgsclsllgclgscssc 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推則則線線加加速速度度：已已知知,)0 , 0 ,(22TClr 12m1m2x

47、0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g)(2222222CCCrraa 122122121222112111222112110)(0)(00 llgcslclgsclsl 0)()(2121222112112212122211211 lgcslcllgsclsl4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推則則慣慣性性力力為為：，已已知知桿桿件件質質量量為為的的慣慣性性力力和和慣慣性性力力矩矩：桿桿件件22m 0)()(212212222112211

48、222122122221122112222 lmgcmslmclmlmgsmclmslmamFCC12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(1)(1)正向遞推正向遞推則則慣慣性性力力矩矩為為：，已已知知桿桿件件慣慣性性張張量量的的慣慣性性力力和和慣慣性性力力矩矩：桿桿件件022 CI0)(222222 CCCIIM12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程

49、法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推 由于機器人手部無負載，由于機器人手部無負載，所以初始條件為：所以初始條件為： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g033 mf4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推 關節(jié)關節(jié)2 2受的力：受的力： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g223232CCFFfRf

50、0)()(212212222112211222122122221122112 lmgcmslmclmlmgsmclmslm4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推 關節(jié)關節(jié)2 2受的力矩：受的力矩： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g22222323233232CCCCCFrfRpFrMmRm )(0021222122222121221212 lmgclmsllmcllm4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章

51、章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推 關節(jié)關節(jié)2 2的驅動力矩：的驅動力矩： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g)(12222212122122221212222 gclmsllmlmcllmemzT 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推 關節(jié)關節(jié)1 1受的力：受的力： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g1

52、2121CFfRf 0)()()()(10000212212221121122212212221121122222 lmgcslclmlmgsclslmcssc 011111211111 lmgcmlmgsm4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推整理可得關節(jié)整理可得關節(jié)1 1受的力：受的力： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g12121CFfRf 011111211111 lmgcmlmgsm 0)()()()(221222

53、221221211222122222122122112 clmslmgcmlmslmclmgsmlm 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推 關節(jié)關節(jié)1 1受的力矩：受的力矩： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g21212212111fRpFrmRmCC )(0021222122222121221212 lmgclmsllmcllm 111121100 gclmlm 2212222212121121212)()(00 clm

54、sllmgclmlm 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推關節(jié)關節(jié)1 1的驅動力矩：的驅動力矩： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g)(2)(2)(1121122221221221221222212222122122222121111gclmmgclmsllmsllmcllmlmcllmlmlmmemzT 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應

55、用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人解：解：(2)(2)反向遞推反向遞推關節(jié)關節(jié)1 1和和2 2的驅動力矩為：的驅動力矩為： 12m1m2x0y0關節(jié)關節(jié)1 1關節(jié)關節(jié)2 2x1x2y1y2g )()(2)(2)(12222212122122221212211211222212212212212222122221221222221211 gclmsllmlmcllmgclmmgclmsllmsllmcllmlmcllmlmlmm 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.3 遞推算法應用遞推算法應用 工工業(yè)業(yè)機機器器人人將例中得到的關節(jié)驅動所需力矩簡寫為如

56、下形式：將例中得到的關節(jié)驅動所需力矩簡寫為如下形式：當機器人有當機器人有n個關節(jié)時，上式可推廣為普遍形式：個關節(jié)時，上式可推廣為普遍形式： 2212212122222221211222121212112111222122211112121111)()(DDDDDDDMDDDDDDDM ), 2 , 1(111niGqqHqDFnjnkikjijknjjiji 4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.4 動力學模型動力學模型 工工業(yè)業(yè)機機器器人人將上式進一步簡化為如下所示的矩陣形式：將上式進一步簡化為如下所示的矩陣形式： 上式也稱為機器人的上式

57、也稱為機器人的動力學模型動力學模型。式中：式中： 是機器人動力學模型中的是機器人動力學模型中的慣性力項慣性力項； 表示機器人操作機的質量矩陣，它是表示機器人操作機的質量矩陣，它是nn階的對稱矩陣；階的對稱矩陣； 是是n1階矩陣，表示機器人動力學模型中階矩陣，表示機器人動力學模型中非線性的非線性的耦合力項耦合力項，包括離心力（自耦力）和哥氏，包括離心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）；力（互耦力）； 也是也是n1階矩陣，表示機器人動力學模型中階矩陣，表示機器人動力學模型中的的重力項重力項。 )(),()(qGqqHqqDF qqD )()(qD),(qqH )(qG4.2 4.2 牛頓牛頓歐拉方程法

58、歐拉方程法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學4.2.4 動力學模型動力學模型 工工業(yè)業(yè)機機器器人人拉格朗日方程的一般形式為：拉格朗日方程的一般形式為：式中，式中， 廣義力，它可以是力，也可以是力矩；廣義力，它可以是力，也可以是力矩； 系統(tǒng)選定的廣義坐標；系統(tǒng)選定的廣義坐標； 廣義坐標對時間的一階導數(shù)，即速度；廣義坐標對時間的一階導數(shù)，即速度； 拉格朗日函數(shù)，又稱為拉格朗日算子，拉格朗日函數(shù)，又稱為拉格朗日算子，它被定義為系統(tǒng)的動能與勢能之差它被定義為系統(tǒng)的動能與勢能之差L= =T- -U。niqLqLdtdFiii, 2 , 1 iFiqiq L4.3 4.3 拉格朗日方程法拉格朗日方程

59、法第第4 4章章 機器人動力學機器人動力學 工工業(yè)業(yè)機機器器人人 對給定的機器人，可以按以下幾個步驟建立拉對給定的機器人，可以按以下幾個步驟建立拉格朗日動力學方程：格朗日動力學方程： （1 1）選取完全并獨立的廣義坐標：）選取完全并獨立的廣義坐標： （2 2）選定廣義力：）選定廣義力： （3 3）求出系統(tǒng)的動能）求出系統(tǒng)的動能T和勢能和勢能U，并用其構造拉格，并用其構造拉格 朗日函數(shù)朗日函數(shù) L=T-U； （4 4）將以上結果代入拉格朗日方程式中，即可求）將以上結果代入拉格朗日方程式中，即可求 得機器人的動力學方程。得機器人的動力學方程。;,21niqqqq ;,21niFFFF 第第4 4章

60、章 機器人動力學機器人動力學4.3 4.3 拉格朗日方程法拉格朗日方程法 工工業(yè)業(yè)機機器器人人例：例：已知二關節(jié)機器人如圖所示，機器人的兩個已知二關節(jié)機器人如圖所示，機器人的兩個連桿長度分別為連桿長度分別為l1和和l2，質量分別為，質量分別為m1和和m2，且集，且集中在各連桿的端部。若將機器人直接懸掛在加速中在各連桿的端部。若將機器人直接懸掛在加速度為度為g的重力場中，試用拉格朗日方程建立該機器的重力場中，試用拉格朗日方程建立該機器人的動力學方程。人的動力學方程。解：解： 選取連桿繞關節(jié)的轉角選取連桿繞關節(jié)的轉角為變量為變量1和和2 ，則系統(tǒng)的廣義，則系統(tǒng)的廣義坐標就可以選為坐標就可以選為 ，