材料力學(xué)第9章

1、第九章第九章 超靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng)9.19.1 超靜定系統(tǒng)概述超靜定系統(tǒng)概述9.2 9.2 用變形能法解超靜定問題用變形能法解超靜定問題9.3 9.3 力法與正則方程力法與正則方程 91超靜定系統(tǒng)概述超靜定系統(tǒng)概述超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)（超靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng)）由靜力平衡方程無法求出全部未知反力的結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)未知力超出靜力平衡方程的數(shù)目。 多余約束有兩類：第一類：結(jié)構(gòu)外部存在多于約束,支反力是超靜定的：外力超靜定第二類：結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多于約束，內(nèi)力是超靜定的：內(nèi)力超靜定ABpAYBYAXBXpABCD第一類超靜定第二類超靜定MBMB三次超靜定結(jié)構(gòu)變形比較法解超靜問題方法：變形比較法解超靜

2、問題方法： 先選取適當(dāng)?shù)撵o定基先選取適當(dāng)?shù)撵o定基; 通過原超靜定梁與靜定基的變形進(jìn)行比較找通過原超靜定梁與靜定基的變形進(jìn)行比較找出變形諧調(diào)條件；出變形諧調(diào)條件； 利用力與位移的物理關(guān)系得到補(bǔ)充方程，從利用力與位移的物理關(guān)系得到補(bǔ)充方程，從而求得多余約束力；而求得多余約束力；由平衡條件求其余支反力。由平衡條件求其余支反力。9.2 用變形法解超能靜定問題 求解超靜定問題的關(guān)鍵是建立變形協(xié)調(diào)條件，并由此得到靜力平衡方程以外的補(bǔ)充方程。由變形協(xié)調(diào)條件得到補(bǔ)充方程這一步，可以利用變形能法來完成。 下面通過例題來說明用變形能法對超靜定系統(tǒng)的求解。例例 三支座等直梁受集度為q的均布載荷作用。試畫出梁的彎矩圖

3、。qllABC解 首先將支座B作為多余約束，解除后代 以反力 ，形成靜定基。 由于B處的撓度為零，故變形條件為 （a） 現(xiàn)利用莫爾積分由上式得到補(bǔ)充方程。ARBRCR1x2x0Bf BRABqllC 在靜定基上與B支座對 應(yīng)處作用一豎直單位力（圖c）。 分別得到在載荷和 共同作用下的彎矩 及單位力引起的彎矩B1(c)ACABqll(a)CqABC(b)ARBRCRBR( )M x0( )MxAB 段: BC段:2222222BqxR xM xqlx0222xMx (c)ABC12x1xABqll(a)CqABC(b)ARBRCR1x2x2111122BqxR xM xqlx0112xMx 根據(jù)

4、莫爾積分，梁在均布載荷和 共同作用下，B點(diǎn)的撓度為零 0BlM x MxfdxEI211111012()222lBqxR xxqlxdxEI0BRqABCARBRCR解得 求得 求出A、C支座的反力為 作彎矩圖如d所示54BqlR 34150624BR lqlEI38ACqlRRABqll(a)C(d)(+)(+)(-)218ql29128ql29128ql例 若抗彎剛度EI為常量，試作出剛架的彎矩圖。解 解除約束，由于C處原為活動鉸支座，故變形條件為豎直向位移為零 （b）利用卡氏定理：AB段： 0CACBpll11CM xR lPxCMlRCR1x2XBC段：例 若抗彎剛度EI為常量，試作出

5、剛架的彎矩圖。22CM xR x2CMxRCR1xACBp2xC處的豎直向位移為：求得 例 若抗彎剛度EI為常量，試作出剛架的彎矩圖。 CCClM xM xUdxREIR11222011llCCoR lPx ldxR x x dxEIEI3341032CR lPlEI38CRpCR1xACBp2x得彎矩圖：例 若抗彎剛度EI為常量，試作出剛架的彎矩圖。38pl58pl38pl 在畫彎矩圖時，約定將圖畫在桿件受壓的一側(cè)。如BC桿的上側(cè)受壓，所以圖畫在上側(cè)。CR1xACBp2x例例 求支座的約束反力。CpABR解解 由三個靜力平衡方程可以求得：將支座B作為多余約束解除后代以水平反力2ABPRRAB

6、HHCBHBRARABjAHB處原為固定鉸支座故變形條件為水平位移為零：可得： 例例 求支座的約束反力。0B sin1cos2BPRMH Rjjj sinBMRHjjpCBHBRARABjAH由卡氏定理及結(jié)構(gòu)的對稱性得：B點(diǎn)的水平位移為：例例 求支座的約束反力。 2022BCBBBBMMUURdHHEIHjjj202sin1cossin2BPRH RRRdEIjjjj331022BH RPREIpCBHBRARABjAH求得：例例 求支座的約束反力。ABPHH本題也可從c點(diǎn)截開，把兩鉸拱轉(zhuǎn)化為三鉸拱pCBHBRARABjAH9.3 力法與正則方程力法與正則方程靜定基靜定基 變形協(xié)調(diào)條件（補(bǔ)充方

7、程）變形協(xié)調(diào)條件（補(bǔ)充方程）解出多余約束反力解出多余約束反力 以以“力力”作為基本未知量求解作為基本未知量求解 超靜定問題的方法稱為超靜定問題的方法稱為力法力法。正則方程正則方程圖a : 一次超靜定梁圖b : 靜定基 靜定基在 單獨(dú)作用下 B點(diǎn)在 方向的位移 靜定基在原有載荷作用下B點(diǎn)沿 方向的 位移變形協(xié)調(diào)條件 ： (b)1D1X1PD11110XPD D D（a） (c)ABC1X11XD1X1X1X1PDABC12ppA(a)BCp2p1 上式中 的表示靜定基在載荷和多余約束力共同作用下，B點(diǎn)沿 方向上的位移。為計(jì)算 ，在靜定基上沿 方向作用一單位力，將B點(diǎn)由單位力引起沿 的位移計(jì)作1D

8、11110XPD D D1X1D1X1X1X11ACB11(d)(b)12pp1PDABC12(c)pp11111XXD(b)(a)ABC1X11XD11111XXD11110XPD DD(a)(b)將(b)式帶入(a)式得：110PXD（9-1）這就是用力法求解一次超靜定系統(tǒng)的正則方程 求出 和 以后，可由（91）式解出未知力X11pD 下面以三次超靜定剛架為例 說明二次以上的超靜定系統(tǒng)正則方程的形式。 以B端的約束作為多余約束， 解除后以、 、 （ 為一力偶矩）來代替。 得圖b所示靜定基。pAB(a)1X2X3X3XpAB1X2X3X(b) B端豎直位移（沿 方向）應(yīng)該為零。 、 、 表示

9、當(dāng) 、 、 均為單位力時，且單獨(dú)作用而引起的B點(diǎn)沿 方向的位移。 B點(diǎn)沿 方向的位移為1112131X2X3X1X1X11111221331PXXXD D1XpAB1X2X3X(b) 變形協(xié)調(diào)條件可寫為： 11112213310PXXX D還可以寫出作為固定端的B點(diǎn)在方向位移為零，在方向轉(zhuǎn)角為零的變形協(xié)調(diào)條件。2X3X同理：pAB1X2X3X(b) 最后得到一組關(guān)于多余約束反力 的非其次線性方程組 123XXX、111122133121122223323113223333000PPPXXXXXXXXXDDD（9-2） 其中， 表示由 方向上的廣義單位力引起的 處沿方向的廣義位移。由位移互等定理

10、可知： ，因此，正則方程(9-2) 的獨(dú)立系數(shù)只有六個。,1,2,3iji jjXiXiX,1,2,3ijjii j 根據(jù)上述原理，用力法解次超靜定系統(tǒng)的正則方程可由（9-2）推廣而來 表示成矩陣形式，即為11112211211222221122000nnPnnPnnnnnnPXXXXXXXXXDDD11121112122222120nPnPnnnnnnPXXXDDD（9-4）（9-3）n 顯然，正則方程式（9-3）或（9-4）中的系數(shù)也有 。因此，（9-4）中的系數(shù)矩陣是對稱陣。 另外根據(jù)莫爾積分可知： 積分式中的單位載荷引起的內(nèi)力是以平方形式出現(xiàn)的，因而總為正。例如對彎曲變形有 由于被積函

11、數(shù)是恒正的，因此0002()iiiiillM MMdxdxEIEI0ii,1,2,3,ijjii jn1,2,3,iii小結(jié)： 以三次超靜定結(jié)構(gòu)為例，闡述用力法正則方程解題的一般步驟： 一. 取靜定基 解除多余約束，加以相應(yīng)的約束反力 二. 列正則方程： 123XXX、111122133121122223323113223333000PPPXXXXXXXXXDDD 三. 靜定基在 單獨(dú)作用下，寫 方程或做 圖。 靜定基在外力單獨(dú)作用下寫 方程 或做 圖。 四. 解方程得 。 1iX 0iM0iMpMpM123XXX、專題：專題： 對稱性的應(yīng)用對稱性的應(yīng)用 利用結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，可使某些對稱結(jié)

12、構(gòu)的計(jì)算得到簡化 AB(a)aaAB(b)aaPPmAB(c)aam結(jié)構(gòu)對稱：結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支撐條件和各桿的抗彎剛度都對稱于某一軸線。EIEI、 對稱內(nèi)力、 反對稱內(nèi)力 一. 結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱 在對稱軸截面，反對稱內(nèi)力為零 二. 結(jié)構(gòu)對稱，載荷反對稱 在對稱軸截面，對稱內(nèi)力為零 nMQMN對稱載荷：載荷的作用位置、大小、方向都對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸反對稱載荷：載荷的作用位置、大小是對稱的，但是方向是反對稱的從截面c截開后， 0 從截面c截開后， = 0 ， = 0paabbpC(a)(b)MMNNQQCCQMMNNQQCC(d)NMaabpbpC(c)1. 對稱載荷，在對稱軸截面，反對稱內(nèi)力為

13、零2. 反對稱載荷，在對稱軸截面，對稱內(nèi)力為零 三. 作用于對稱結(jié)構(gòu)的某些非對稱載荷，也可以轉(zhuǎn)化為對稱載荷與反對稱載荷兩者的疊加。如下圖：ABCq(a)ABC2(b)對稱qABC2q(c)反對稱2q=+例 等截面對徑受拉的圓環(huán) 求P力作用點(diǎn)AB間的相對位移RpABm n(a)ppAB(b)00QQ0Q0Q0M0M0MM00N0N0N0N0M解： 結(jié)構(gòu)對稱，載荷對稱，圖(b)中， 彎矩 無法由靜力平衡求出，因而該圓環(huán)為一次超靜定。00Q 2PN p 根據(jù)對稱性，靜定基可取為圖c所示 以彎矩 為多余約束力并改用 記之1Xp/2(c)0M1X111110PXD D （c） 表示單位力偶矩引起的 截面

14、沿 方向的轉(zhuǎn)角(圖d所示) 111Xmnmn1pD 由軸力 引起的 截面沿 方向的轉(zhuǎn)角(圖e所示)2P1X(e)jp/2nmj1(d)(d)1用正則方程可表示為：j 根據(jù)圖d，e可知，靜定基由于 和 引起彎矩分別為 所以由莫爾積分可得：P1cos2RMj01M 2P11X 0021102M MRRdEIEIjnmj1(d)(d)1j(e)j0210PMMRdEIjD20P1cos12RRdEIjj2122PREI 0021102M MRRdEIEIjnmj1(d)(d)1j(e)j 代入正則方程中可解出 求 出后，可以進(jìn)一步求出1/4結(jié)構(gòu)的彎矩方程為 1112XPR1X( )MjP111cos

15、22RPRj1cos2PRj112REI2122PREI 1PD1Xp/2 為計(jì)算在 力作用下，作用點(diǎn)的相對位移，令原圖中的 并利用上式求出單位力下環(huán)內(nèi)的彎矩為 莫爾積分得 011cos( )( )2PMMRjjjP1P RABmn( )Mj1cos2PRjpp11 0204ABMMRdEIjjjR1ABmn1232041cos2PRdEIjj32()4PREI30.149PREI為正號，表示圓環(huán)的豎直直徑增大AB沿C截面將其分為兩部分:而截面 、 截面的剪力都是，而軸力、彎矩 是未知的。靜定基可取圖c所示的左半部分。例例9 如圖所示，試求支座的反力ABp2l2lC(a)lCC2P1X2XAB

16、P/2p/21X2X2X1XCC(c)pC(b)2p2p 變形協(xié)調(diào)條件為截面 的水平位移和轉(zhuǎn)角均為零，用正則方程表示為 （e） 其中的系數(shù)可以應(yīng)用莫爾積分的圖乘法求得。例例 如圖所示，試求支座的反力。C111112212211222200PPXXXXD DD DABp2l2lC(a)lABP/2p/21X2X2X1XCC(c)在進(jìn)行圖形互乘時，圖形在桿件的同側(cè)時，結(jié)果取正號；在不同側(cè)時，結(jié)果取負(fù)號。由圖可得:例例 如圖所示，試求支座的反力。l1(e)111(f)23110428PPllPlEIEID2222151116416PPlPlPlEIEID 2p(d)Pl/4Pl/4將以上系數(shù)代入式（e），經(jīng)簡化可得聯(lián)立解出 例例 如圖所示，試求支座的反力。2p(d)Pl/4l1(e)111(f)2311120233lllEIEI22122110122llEIEI 22131122lllEIEI 1212103285308lPlXXPllXX18PX 26PlX 為負(fù)值，表示實(shí)際軸力與圖示方向相反。 其他約束反力為 方向如圖 g所示。例例 如圖所示，試求支座的反力。1X8ABPHH2ABPRR24ABPlMMABp2l2lC(a)lMABp2l2lCAHBHABMARBR4pl(g)l總結(jié)：通過對上兩例可以看出，利用結(jié)構(gòu)及載荷的對稱性，可使正則方程得到某些簡化。