微分方程的應(yīng)用舉例

1、微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 根據(jù)研究對象的內(nèi)在規(guī)律運用適當(dāng)根據(jù)研究對象的內(nèi)在規(guī)律運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立起來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。的數(shù)學(xué)工具建立起來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 微分方程微分方程是建立數(shù)學(xué)模型時應(yīng)用是建立數(shù)學(xué)模型時應(yīng)用得最為廣泛的工具之一。得最為廣泛的工具之一。一、微分方程建模的基本步驟： 1、根據(jù)已知規(guī)律建立微分方程；2、根據(jù)已知條件找出初始條件；3、解微分方程(求通解、特解)；4、用所得結(jié)果解釋實際問題。二、生物醫(yī)藥模型舉例例1.（放射性元素的衰變） 放射性元素因不斷放射出各種射線放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量的現(xiàn)象，稱為而逐漸減少其質(zhì)量的現(xiàn)象，稱為衰變衰變。

2、 由原子物理學(xué)知道，放射性元素鐳的衰變由原子物理學(xué)知道，放射性元素鐳的衰變速度與存量成正比，比例系數(shù)為速度與存量成正比，比例系數(shù)為k（k0）。如）。如果當(dāng)時間果當(dāng)時間t=0時，鐳的質(zhì)量為時，鐳的質(zhì)量為 ，求鐳的質(zhì)量，求鐳的質(zhì)量M關(guān)于時間關(guān)于時間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律 。0M)(tM解： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，鐳的衰變速度就是鐳的消耗量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，即)(0tMMdtddtdM將“鐳的衰變速度與存量成正比鐳的衰變速度與存量成正比”表達(dá)成數(shù)學(xué)語言，即寫成微分方程，得設(shè)鐳在時刻t的留存量為M(t)，則鐳從時刻0到時刻t的消耗量為 。)(0tMM kMdtdM)0(k常數(shù)分離變量、兩邊積分，得CktMln

3、lnktCeM或00MMt 時將初始條件 代入，得0MC 因此鐳的質(zhì)量因此鐳的質(zhì)量M關(guān)于時間關(guān)于時間t 的變化規(guī)律為：的變化規(guī)律為：.)(0kteMtM 當(dāng)變量關(guān)于時間的變化率與變量的量成正比時，這個變量總是按指數(shù)規(guī)律變化。 例如，牛頓冷卻定律、化學(xué)中的一級反應(yīng)、早期腫瘤的生長、藥物的分解等自然現(xiàn)象，都按指數(shù)規(guī)律變化。指數(shù)生指數(shù)生長模型長模型例2.（細(xì)菌增殖模型） 理想環(huán)境：理想環(huán)境： （1）除系統(tǒng)本身的繁殖外，沒有由系統(tǒng)外向）除系統(tǒng)本身的繁殖外，沒有由系統(tǒng)外向系統(tǒng)內(nèi)的遷入和由系統(tǒng)內(nèi)向外遷出等情況；系統(tǒng)內(nèi)的遷入和由系統(tǒng)內(nèi)向外遷出等情況； （2）系統(tǒng)本身的繁殖不受空間和營養(yǎng)供應(yīng)的）系統(tǒng)本身的繁殖

4、不受空間和營養(yǎng)供應(yīng)的限制；限制； （3）溫度、濕度等各項環(huán)境因素均對系統(tǒng)適）溫度、濕度等各項環(huán)境因素均對系統(tǒng)適宜。宜。 檢驗人員對某蓄水池定期抽取單位容積水樣檢驗人員對某蓄水池定期抽取單位容積水樣觀察，測得該水池中大腸桿菌的觀察，測得該水池中大腸桿菌的相對增殖率相對增殖率為為kxrdtdxx1單位時間內(nèi)單位數(shù)單位時間內(nèi)單位數(shù)量的生物的增長。量的生物的增長。)(為正常數(shù)、rk試分析該水池中大腸桿菌的繁殖規(guī)律。試分析該水池中大腸桿菌的繁殖規(guī)律。解：解： 將關(guān)于相對增殖率的關(guān)系式進行變量將關(guān)于相對增殖率的關(guān)系式進行變量分離，得分離，得dtkxrxdx)(兩邊積分，得：兩邊積分，得：rtCekxrx假

5、設(shè)初次取樣即假設(shè)初次取樣即t=0t=0時，時，.0 xx 代入上式，有代入上式，有00kxrxC于是有于是有rtekxrxkxrx00或或rtexkxrkrx00.krxt時，當(dāng)kr即即 是該蓄水池中大腸桿菌密度的極限值。是該蓄水池中大腸桿菌密度的極限值。自然生長方程自然生長方程例3.（藥物動力學(xué)一室模型） 藥物動力學(xué)藥物動力學(xué)是一門研究藥物、毒物是一門研究藥物、毒物及其代謝物在機體內(nèi)的吸收、分布、代及其代謝物在機體內(nèi)的吸收、分布、代謝和排泄過程定量規(guī)律的科學(xué)。謝和排泄過程定量規(guī)律的科學(xué)。 假定藥物以恒定的速率假定藥物以恒定的速率 進行靜脈滴進行靜脈滴注，試求體內(nèi)藥量隨時間的變化規(guī)律。注，試求

6、體內(nèi)藥量隨時間的變化規(guī)律。0kxv,0kk解：解： 假定藥物在體內(nèi)假定藥物在體內(nèi)按一級速率過程按一級速率過程消除，消除速率消除，消除速率常數(shù)為常數(shù)為k k .設(shè)靜脈滴注設(shè)靜脈滴注t時刻體內(nèi)藥量為時刻體內(nèi)藥量為x(t),則有則有kxkdtdx0kxkdtdx0此方程是一個可分離變量的一階微分方程，此方程是一個可分離變量的一階微分方程，易求得其在初始條件易求得其在初始條件t=0時時x=0下的特解為下的特解為)1 (0ktekkxkktxt0)(lim 靜脈滴注的速率越大，最后體靜脈滴注的速率越大，最后體內(nèi)藥量的穩(wěn)定水平越高。內(nèi)藥量的穩(wěn)定水平越高。例4.（流行病數(shù)學(xué)模型） 無移除的流行病模型：無移除

7、的流行病模型： （1）感染通過一個團體成員之間的接觸而傳播，）感染通過一個團體成員之間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除；感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除； （2）團體是封閉的，總?cè)藬?shù)為）團體是封閉的，總?cè)藬?shù)為N，最初假設(shè)只，最初假設(shè)只有一個感染者；有一個感染者； （3）團體種各成員之間接觸機會均等，因此易）團體種各成員之間接觸機會均等，因此易感者轉(zhuǎn)化為感染者的變化率與當(dāng)時的易感人數(shù)感者轉(zhuǎn)化為感染者的變化率與當(dāng)時的易感人數(shù)和感染人數(shù)的乘積成正比。和感染人數(shù)的乘積成正比。解：解： 記時刻記時刻t的未感染人數(shù)為的未感染人數(shù)為S，已感染人，已感染人數(shù)為數(shù)為I，根據(jù)以上假設(shè)即可建立下面，根據(jù)以上假設(shè)即可建立下面的微分方程：的微分方程：SIdtdS其中其中1)0(,INIS代入上式，得代入上式，得)(SNSdtdS分離變量后積分，得分離變量后積分，得dtSNSdS)(CtSNSNln1即1)0(I再由初始條件再由初始條件 ， 可得可得) 1ln(1NNC) 1ln(