四川大學(xué)隨機信號第四章習(xí)題解答

1、 第四章隨機信號的功率譜密度n 4.1 功率譜密度 n 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 n 4.3 功率譜密度的性質(zhì)n 4.4 互譜密度及其性質(zhì)n 4.5 白噪聲與白序列 n 4.6 功率譜估值的經(jīng)典方法 n 4.1 功率譜密度 dtetsStj)()(n 確定時間函數(shù)dSdttsE22)(21)(頻譜能量2)(S能譜密度時域內(nèi)信號的能量等于頻域內(nèi)信號的能量n 4.1 功率譜密度 隨機信號的能量一般是無限的，但是其平均功率是有限的。因此可推廣頻譜分析法，引入功率譜的概念。22),(21lim),(21lim),()(TTTTXXXETXTEGEGGx()被稱為隨機過程X(t)的功率譜

2、密度函數(shù)，功率譜密度是從頻率角度描述隨機過程X(t)的統(tǒng)計特性的最主要的數(shù)字特征。n 隨機過程n 4.1 功率譜密度 n 隨機過程隨機過程X(t)的平均功率為：功率譜密度僅表示X(t)的平均功率在頻域上的分布，不包含任何相位信息。dGdttXETWEWXTTT)(21)(21lim2n 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系deSRdeRSjXXjXX)(21)()()(n 維納辛欽定理成立條件是Rx()和Sx()絕對可積dSdRXX)()(即隨機過程平均功率有限，應(yīng)不能含有直流成分或周期性成分 n 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系 當(dāng)=0時是平穩(wěn)隨機過程X(t)的平均功率?？芍猟S

3、tXERXX)(21)()0(2)()0(2tXERXn 維納辛欽定理n 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系(1)如果所遇的問題中，平穩(wěn)過程有非零均值，這時正常意義下的付氏變換不存在，但非零均值可用頻域原點處的-函數(shù)表示。該-函數(shù)的權(quán)重即為直流分量的功率。 我們借助于-函數(shù)，將維納-辛欽公式推廣應(yīng)用到含有直流或周期性成分的平穩(wěn)過程中來。 n 維納辛欽定理(2)當(dāng)平穩(wěn)過程含有對應(yīng)于離散頻率的周期分量時，該成分就在頻域的相應(yīng)頻率上產(chǎn)生-函數(shù)。n 4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系n 典型的傅氏變換22202202022000)2()2(sin , 01,1)()( cos2 )( 2/

4、)2/sin(2)()( cos)(2 11 )(其他aaaaeaaerectttttaan 4.3 功率譜密度的性質(zhì) 性質(zhì)1： 非負性， Gx()0 性質(zhì)2： GX()是實函數(shù)性質(zhì)3： Gx()是偶函數(shù)，即)()(XXGG)()(2XXGGdttdXtX/ )()( 其中性質(zhì)4：n 4.3 功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)5：有理譜密度是實際應(yīng)用中最常見的一類功率譜密度，自然界和工程實際的有色噪聲常?？捎糜欣砗瘮?shù)形式的功率譜密度來逼近。它應(yīng)具有如下形式： 0222220222220)(bbaaGGmmmnnnX n 4.4 互譜密度及其性質(zhì)定義實過程X(t)和Y(t)的互譜密度函數(shù)為TXYETXYEGT

5、TTTTTYX2),(),(lim2),(),(lim)(*TYXETYXEGTTTTTTXY2),(),(lim2),(),(lim)(*n互譜密度n 4.4 互譜密度及其性質(zhì)1.n互譜密度性質(zhì))()()()(*XYYXYXXYGGGG)(Re)(Re)(Re)(ReYXYXXYXYGGGG)(Im)(Im)(Im)(ImYXYXXYXYGGGG0)(XYG0)(YXG2. ReGXY()和ReGYX()實部是的偶函數(shù)； ImGXY()和ImGYX()虛部是的奇函數(shù)。 3.若平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)相互正交，則有 n 4.4 互譜密度及其性質(zhì)4. 若隨機過程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，RX

6、Y()絕對可積，則互譜密度和互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成傅里葉變換對，即:deRGjXYXY)()(deRGjYXYX)()(deGRjXYXY)(21)(deGRjYXYX)(21)(n 4.4 互譜密度及其性質(zhì)5. 若X(t)和Y(t)是兩個不相關(guān)的平穩(wěn)過程，分別有均值mX和mY，則 )(2)()(YXYXXYmmGG)(Rmm )()()()()(YXYXtYEtXEtYtXERXY)()()(2YXXYGGG6. 互譜密度的幅度平方滿足n 4.4 互譜密度及其性質(zhì) 相干函數(shù)用于數(shù)據(jù)分析，系統(tǒng)辨識和功率譜估計n 相干函數(shù)定義2/1)()()()(YXXYXYGGGn 4.5 白噪聲2)(0NSN利用傅

7、立葉反變換可求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：n 白噪聲定義)(2)(0NRNn 4.5 白噪聲上式表明；白噪聲在任何兩個相鄰時刻(不管這兩個時刻多么鄰近)的狀態(tài)都是不相關(guān)的，即白噪聲隨時間的起伏變化極快，而過程的功率譜極寬。 n 白噪聲特性)0(0)0(1)0(2)(2)0()()()(00222NNmRmRCNNNNNNN與連續(xù)的白噪聲過程相對應(yīng)的隨機序列則是白序列。 n 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 2)(1)(NXXNG式中XN()是xN(0nN1)的N點DFT。 n 1. 周期圖法n 2. Blackman-Tukey(BT法)NNkkTjXXSekRG)()(直接采用上面兩個公式的估值方法

8、最大的問題是這個估計量不是一致估計量，即當(dāng)N很大時，方差也不減小。 n 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 n 1. 平均法 將周期圖再加以平均10,.2 , 1,1001)(21100)1(100,100mexGmmkjkkm，101,10010100)(101)(mmGG 將樣本分成小段，計算周期圖合理選擇分段方法：如修正周期圖法或Welch法 n 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 n 1. 平滑法 窗口根據(jù)實際情況選擇 將全部數(shù)據(jù)用來計算出個周期圖，然后在頻域?qū)⑵淦交琇iLijjNiGLG)(121)(n 4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法 n譜估值的一些實際問題1.數(shù)據(jù)采樣率2.每段數(shù)據(jù)的長度L 3.

9、數(shù)據(jù)總長度4.數(shù)據(jù)預(yù)處理a.把無用的直流分量和周期分量(比如市電干擾)去掉b.處理前還應(yīng)去掉信號中的“趨勢項”，比如電生理記錄中的基線漂移，這可以采用一階或二階差分處理或用線性回歸，高次多項式回歸估算出趨勢項，然后再從原來數(shù)據(jù)中減去的辦法來處理。c.對數(shù)據(jù)的開始和結(jié)尾加適當(dāng)?shù)钠交^度窗等 隨機信號分析基礎(chǔ) 第四章習(xí)題講解 解：首先了解一下功率譜密度的性質(zhì)(1),( )0XG非負性(2)( )XG實是、偶函數(shù)2(3):( )( )XXGG微分性質(zhì)22222002222200(4)( ),0,nnnXmmmaaGmbnGGb有理譜密度應(yīng)具分有如下形式母應(yīng)該:其中無實數(shù)根262(1)33它符合有理功

10、率譜密度的性質(zhì)，所以是功率譜密度的正確表達式。2(2) exp (1) 該函數(shù)不關(guān)于縱軸對稱，更不是偶函數(shù)，所以它不是功率譜密度的正確表達式。24(3)()1 ,0,1),仔細觀察會發(fā)現(xiàn) 該表達式在區(qū)間另外 該表達式的分母有實數(shù)根 所以它不是正確的功率譜密度不滿足非負性的表達式.426(4)1j該表達式含有虛部，不是實函數(shù)，所以不是正確的功率譜密度表達式 解：先求出自相關(guān)函數(shù)00( ) ( ) () ( )cos() ()cos()YREY t Y tE X ttX tt0001( ) coscos(22 )2XREt 01( )cos2XR 01( )( )cos2YXGFR 可判斷出Y(t

11、)是平穩(wěn)過程,由維納辛欽定理可得功率譜密度0011( ) ()()22XG 001()()4XXGG 解：22422222( )32(1)(2)2121XG對上式做逆傅立葉變換可得到自相關(guān)函數(shù)應(yīng)熟記一個重要的傅立葉變換對。22112aeaa所以可得：12( )( )2122XXRFGee可求出均方值為：221( )(0)2XE XtR解： 本題與 4.5情形相反：0( )cosXRe 由維納辛欽定理并利用傅立葉變換的性質(zhì)得：002212( )* ( ()()2XG 222200()()圖見書上表4.1 解：現(xiàn)已知：( )( )4coscos2XX tRe平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為2220a tFT

12、aaea 時,000cos ()()FTAtA 基本信號的傅立葉變換：12121( )( )( )( )2FTf t f tFF 由維納辛欽定理可得：2( )( )4coscos218() ()()21 (2 )(2 )XXGF RFe 2244 (2 )(2 )()1()1 : ( )( )( ) ( ) ()( )()()()YX tY tRE Y t Y tEX tX tX tX t證明 輸入為平穩(wěn)過程,輸出的自相關(guān)函數(shù)為2( )()()XXXRRR( )2( )( )( )2( )12jjYXXXjjXGGGeGeeeG利用傅立葉變換的時移性質(zhì)可得：2( )(1 cos)XG 解：,

13、( ),:W t(1)由 題 可 知是 寬 平 穩(wěn) 的且 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為22( )( )()( )()( ) ()() ( )( ) ()WRE W t W tE A X t X tABX t Y tABX tY tB Y t Y t22( )( )( )( )XYXYYXA RB RABRABR由維納辛欽定理可得：22( )( )( )( )( )WXYXYYXGAGB GABGABG,A,B( )( )( )X tYW tAtX tBY t由題可知為實常數(shù),和是寬聯(lián)合平穩(wěn)的( )( ),:X tY t(2)當(dāng)和不相關(guān)時 有12( )( ) ( ) ( )XYYXXYRRE X tE

14、 Y tm m( )( )2( )XYYXXYGGm m 所以：可得：22( )( )( )4( )WXYXYGA GB GABm m （3）( )( )()( )()()( )( )XWXXYRE X t W tE X tAX tBY tARBR互譜密度:( )( )( )YWYXYRARBR同理可得：因此：( )( )( )( )( )( )XWXXYYWYXYGAGBGGAGBG 由題可知，該隨機過程是隨相周期過程，所以它是寬平穩(wěn)的。首先求出該隨機過程的均值和方差：22( )0XXmE X ta接下來的關(guān)鍵是求出基本脈沖波形的頻譜。 解：(1)如果參考書上例4.10，認為基本脈沖波形為如

15、下圖：( )Xtt4T4Ta這是錯誤的參考，因為該隨相周期過程不同于例4.10所提二元信號波形，它的幅度，極性不再是隨機的，而是確定的。隨機性僅僅表現(xiàn)在它的相位！從另外一個角度也可以看到，前面提及的基本波形只包含半個周期，而基本脈沖波形應(yīng)包含一個周期。有理由認為，正確的基本脈沖波形如下所示：( )X ttaa2T2T對于如圖的門函數(shù)( )()2FTG ta Sa 其傅立葉變換為如下的辛格函數(shù):有了基本脈沖波形后，可求出它的頻譜為：3388( )()()()482448TTjjaTTaTTaTTsSaeSaSae()()42TTaT SaSa將上式代入書上公式（4.7.3）可得：42( )()()42XTTGTaSaSa在atlab軟件上可畫出它的圖形為：從該圖可以看出，該隨機過程雖然是周期的，但它并沒有離散譜線，這是因為它的均值為零，8,0, 1, 2,kkT 零點出現(xiàn)在點處其中所有整數(shù)8T8T16T16T24T24T32T32T40T40T ( )( )E Y taE X ta( )(2)( )