精品 輔助角公式及應(yīng)用

1、sincoscossinsin1.兩角和與差的正弦公式兩角和與差的正弦公式sin)(2.兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用sin65sin65sin6sin6sincoscossin6655sincoscossin6655sincoscossin66sincoscossin6631sincos2231sincos22 31sincos22 31sincos22sincoscossin通過前面四個(gè)題目我們發(fā)現(xiàn)，是不是任通過前面四個(gè)題目我們發(fā)現(xiàn)，是不是任何一個(gè)同角的異名函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)角的何一個(gè)同角的異名函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)角的三角函數(shù)值呢？如果能，那么又是怎么轉(zhuǎn)化三角函數(shù)值呢？

2、如果能，那么又是怎么轉(zhuǎn)化的呢的呢?那么這節(jié)課我們就來研究一下這個(gè)問題。那么這節(jié)課我們就來研究一下這個(gè)問題。思考：思考：輔助角公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用輔助角公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用 xcosbxsina)xsin(ba 221 1、了解輔助角公式、了解輔助角公式 的的推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程 xcosbxsina)xsin(ba 223 3、會(huì)利用輔助角公式解決三角函數(shù)問題、會(huì)利用輔助角公式解決三角函數(shù)問題2 2、 會(huì)將會(huì)將 （a a、b b不全為零）化為只含不全為零）化為只含有一個(gè)正弦的三角形式有一個(gè)正弦的三角形式sincosaxbx例例1:求證：求證：3sincosxx2sin()6x分析：分析：其證法是從

3、右往左展開證明其證法是從右往左展開證明,也可以從左往右也可以從左往右 “湊湊”, 使等式得到證明使等式得到證明,并得出結(jié)論并得出結(jié)論:可見，可見， 可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式 3sincosxx思考：思考：一般地，一般地， 是否可以化為是否可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢?sincosaxbx例例2：將將 化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式解：解：若若a=0或或b=0時(shí)，時(shí)， 已經(jīng)是一個(gè)角的已經(jīng)是一個(gè)角的三角函數(shù)形式三角函數(shù)形式 ，無需化簡(jiǎn)，故有，無需化簡(jiǎn)，故有ab0. sincosaxbxsincosaxbx從三角函數(shù)的定義出發(fā)

4、進(jìn)行推導(dǎo)從三角函數(shù)的定義出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,以以a為為橫坐標(biāo)橫坐標(biāo),b為縱坐標(biāo)描一點(diǎn)為縱坐標(biāo)描一點(diǎn)P(a,b)如圖如圖1所示所示,則總有一則總有一個(gè)角個(gè)角 ,它的終邊經(jīng)過點(diǎn)它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P.設(shè)設(shè)OP=r,r= ,由三角函數(shù)由三角函數(shù)的定義知的定義知22ab r圖1O的終邊的終邊P(a,b)xy22sinbbrab22cosaarab所以所以sincosaxbx2222cossinsincosabxabx22sin()abx(tan)ba其中， xcosbxsina)xsin(ba 22)ba( 其 中 t a n=因?yàn)樯鲜龉揭肓溯o助角因?yàn)樯鲜龉揭肓溯o助角

5、，所以把，所以把上述公式叫做上述公式叫做輔助角公式輔助角公式例例3：試將以下各式化為試將以下各式化為 的形式的形式sin(),(0,)AxA 31sincos222sin6 cos3sincos26sin()cos()6363答案：答案：sin()62 2sin()352sin()627sin()364y = sinx+3cosx。例 ：求函數(shù)的周期，最大值和最小值y = sinx+3cosx解：13= 2( sinx+cosx)22= 2(sinxcos+cosxsin)33= 2sin(x+)322- 2。所以，所求函數(shù)的周期為，最大值為 ，最小值為例例5:如圖，已知如圖，已知OPQ是半徑

6、為是半徑為1，圓心角為，圓心角為 的扇形，的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記是扇形的內(nèi)接矩形，記COP= COP= ，問當(dāng)角，問當(dāng)角 取何值時(shí)，矩形取何值時(shí)，矩形ABCDABCD的面積最大？的面積最大？并求出這個(gè)最大面積。并求出這個(gè)最大面積。3OABPCDQ分析分析: :在求當(dāng)在求當(dāng)取何值時(shí)取何值時(shí), ,矩形矩形ABCDABCD的面積的面積S S 最大最大 , ,可分二步進(jìn)行可分二步進(jìn)行: :(1)(1)找出找出S S與與之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系; ; (2) (2)由得出的函數(shù)關(guān)系由得出的函數(shù)關(guān)系, ,求求S S的最大值。的最大值。RtOBCOB

7、= cos,BC = sin解：在中，o，DARtOAD= tan60 =3OA在中333OA = 3DA =BC =sin333所以3AB = OB-OA = cos-sin3所以，ABCDS設(shè)矩形的面積為則S = AB BC3= (cos-sin)sin323= sincos-sin 313=sin2-(1-cos2)26133=sin2+cos2-2661313=(sin2+cos2)-226313=sin(2+)-6630 3由,得2o 2 35 2+666進(jìn)而2+=62所以當(dāng)時(shí)，最大時(shí)133 =,S=-=.6663即3 =ABCD66因此，當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為1.把下列各式化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式把下列各式化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式31sincos22(1)sincos(2)-sincos(3)-sin()3cos()66(4)-32已知函數(shù)已知函數(shù)y3sinxcosxxR.，（1 1）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù)y y取得最大值時(shí)，求自變量取得最大值時(shí)，求自變量x x的集合；的集合；（2 2）該函數(shù)的圖象可由）該函數(shù)的圖象可由y ysinsinx x（x xRR）的圖象經(jīng)）的圖象經(jīng) 過怎樣的平移和伸縮變換得到過怎樣的平移和伸縮變換得到? ?一個(gè)公式：一個(gè)公式： xcosbxsina)xsin(ba 22兩個(gè)