第5章 數(shù)字信號分析-DFT

1、廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械工程機(jī)械工程測試測試信息信息信號分信號分析析主講：曾盛綽主講：曾盛綽 教授教授 20132013年年3 3月月 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械工程測試機(jī)械工程測試信息信息信號分信號分析析Industry-Specific PDAsMedical Devices廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械工程測試機(jī)械工程測試信息信息信號分析信號分析廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院本章學(xué)習(xí)要求：本章學(xué)習(xí)要求：1、了解信號模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)模轉(zhuǎn)換原理、了解信號模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)模轉(zhuǎn)換原理 2、掌握信號采樣定理，能正確選擇采樣頻率、掌握信號采樣定理

2、，能正確選擇采樣頻率 3、了解數(shù)字信號處理中信號截?cái)?、能量泄露、了解?shù)字信號處理中信號截?cái)?、能量泄露、柵欄效?yīng)等現(xiàn)象柵欄效應(yīng)等現(xiàn)象4、掌握離散傅里葉變換、掌握離散傅里葉變換(DFT)的方法的方法廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對于于DTFT(離散時(shí)間傅立葉變換離散時(shí)間傅立葉變換)他更便于用計(jì)算機(jī)處他更便于用計(jì)算機(jī)處理。但是，直至上個(gè)世紀(jì)六十年代，由于數(shù)字計(jì)算機(jī)理。但是，直至上個(gè)世紀(jì)六十年代，由于數(shù)字計(jì)算機(jī)的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計(jì)算量較大，的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計(jì)算量較大，離散傅里

3、葉變換長期得不到真正的應(yīng)用，快速離散傅離散傅里葉變換長期得不到真正的應(yīng)用，快速離散傅里葉變換算法的提出，才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換里葉變換算法的提出，才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換的強(qiáng)大功能，并被廣泛地應(yīng)用于各種數(shù)字信號處理系的強(qiáng)大功能，并被廣泛地應(yīng)用于各種數(shù)字信號處理系統(tǒng)中。近年來，計(jì)算機(jī)的處理速率有了驚人的發(fā)展，統(tǒng)中。近年來，計(jì)算機(jī)的處理速率有了驚人的發(fā)展，同時(shí)在數(shù)字信號處理領(lǐng)域出現(xiàn)了許多新的方法，但在同時(shí)在數(shù)字信號處理領(lǐng)域出現(xiàn)了許多新的方法，但在許多應(yīng)用中始終無法替代離散傅里葉變換及其快速算許多應(yīng)用中始終無法替代離散傅里葉變換及其快速算法。法。 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1、信

4、號必須是離散的、信號必須是離散的 信號離散信號離散2、信號是有限長的、信號是有限長的 信號截?cái)嘈盘柦財(cái)鄰V西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 1 1、數(shù)字信號處理的主要研究內(nèi)容、數(shù)字信號處理的主要研究內(nèi)容 數(shù)字信號處理主要研究用數(shù)字序列來表示數(shù)字信號處理主要研究用數(shù)字序列來表示測試信號，并用數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算來對這些數(shù)字序測試信號，并用數(shù)學(xué)公式和運(yùn)算來對這些數(shù)字序列進(jìn)行處理。內(nèi)容包括數(shù)字波形分析、幅值分析、列進(jìn)行處理。內(nèi)容包括數(shù)字波形分析、幅值分析、頻譜分析和數(shù)字濾波。頻譜分析和數(shù)字濾波。0AtX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)(1iXNE廣

5、西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2 2、數(shù)字信號處理的基本步驟、數(shù)字信號處理的基本步驟 數(shù)字信號處理的一般步驟可用下圖所示的簡單數(shù)字信號處理的一般步驟可用下圖所示的簡單框圖來概括。把連續(xù)時(shí)間信號轉(zhuǎn)換為與其相應(yīng)的數(shù)框圖來概括。把連續(xù)時(shí)間信號轉(zhuǎn)換為與其相應(yīng)的數(shù)字信號的過程稱之為模字信號的過程稱之為模/數(shù)數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換過程，反之則轉(zhuǎn)換過程，反之則稱為數(shù)稱為數(shù)/模模(D/A)轉(zhuǎn)換過程，它們是數(shù)字信號處理的轉(zhuǎn)換過程，它們是數(shù)字信號處理的必要程序。必要程序。 數(shù)字信號處理系統(tǒng)框圖數(shù)字信號處理系統(tǒng)框圖 5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 信號的

6、預(yù)處理是將信號變換成適于數(shù)字處理的信號的預(yù)處理是將信號變換成適于數(shù)字處理的形式，以減小數(shù)字處理的難度。它包括：形式，以減小數(shù)字處理的難度。它包括： (1) 信號電壓幅值處理，使之適宜于采樣；信號電壓幅值處理，使之適宜于采樣； (2) 過濾信號中的高頻噪聲；過濾信號中的高頻噪聲； (3) 隔離信號中的直流分量，消除趨勢項(xiàng)；隔離信號中的直流分量，消除趨勢項(xiàng)； (4) 如果信號是調(diào)制信號，則進(jìn)行解調(diào)。信號如果信號是調(diào)制信號，則進(jìn)行解調(diào)。信號調(diào)理環(huán)節(jié)應(yīng)根據(jù)被測對象、信號特點(diǎn)和數(shù)學(xué)處理設(shè)備調(diào)理環(huán)節(jié)應(yīng)根據(jù)被測對象、信號特點(diǎn)和數(shù)學(xué)處理設(shè)備的能力進(jìn)行安排。的能力進(jìn)行安排。5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信

7、號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 A/DA/D轉(zhuǎn)換包括了在時(shí)間上對原信號等間隔采樣、幅值上轉(zhuǎn)換包括了在時(shí)間上對原信號等間隔采樣、幅值上的量化及編碼，即把連續(xù)信號變成離散的時(shí)間序列，其處理的量化及編碼，即把連續(xù)信號變成離散的時(shí)間序列，其處理過程如下圖所示。過程如下圖所示。 信號A/D轉(zhuǎn)換過程5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 數(shù)字信號分析可以在信號分析儀、通用計(jì)算數(shù)字信號分析可以在信號分析儀、通用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字信息處理機(jī)上進(jìn)行。由于計(jì)算機(jī)只能機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字信息處理機(jī)上進(jìn)行。由于計(jì)算機(jī)只能處理有限長度的數(shù)據(jù)，所以要把長時(shí)間

8、的序列截?cái)?。處理有限長度的數(shù)據(jù)，所以要把長時(shí)間的序列截?cái)?。在截?cái)鄷r(shí)會產(chǎn)生一些誤差，所以有時(shí)要對截?cái)嗟臄?shù)在截?cái)鄷r(shí)會產(chǎn)生一些誤差，所以有時(shí)要對截?cái)嗟臄?shù)字序列進(jìn)行加權(quán)字序列進(jìn)行加權(quán)(乘以窗函數(shù)乘以窗函數(shù))以成為新的有限長的以成為新的有限長的時(shí)間序列。如有必要還可以設(shè)計(jì)專門的程序進(jìn)行數(shù)時(shí)間序列。如有必要還可以設(shè)計(jì)專門的程序進(jìn)行數(shù)字濾波。然后把所得的有限長的時(shí)間序列按給定的字濾波。然后把所得的有限長的時(shí)間序列按給定的程序進(jìn)行運(yùn)算。例如，作時(shí)域中的概率統(tǒng)計(jì)、相關(guān)程序進(jìn)行運(yùn)算。例如，作時(shí)域中的概率統(tǒng)計(jì)、相關(guān)分析、建模和識別，頻域中的頻譜分析、功率譜分分析、建模和識別，頻域中的頻譜分析、功率譜分析、傳遞函數(shù)分

9、析等。析、傳遞函數(shù)分析等。5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 運(yùn)算結(jié)果可直接顯示或打印，也可用數(shù)運(yùn)算結(jié)果可直接顯示或打印，也可用數(shù)/ /模模(D/A)(D/A)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換器再把數(shù)字量轉(zhuǎn)換成模擬量輸入外部被控裝置。如有必?fù)Q器再把數(shù)字量轉(zhuǎn)換成模擬量輸入外部被控裝置。如有必要可將數(shù)學(xué)信號處理結(jié)果輸入后續(xù)計(jì)算機(jī)，用專門程序做要可將數(shù)學(xué)信號處理結(jié)果輸入后續(xù)計(jì)算機(jī)，用專門程序做后續(xù)處理。后續(xù)處理。5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3 3、數(shù)字信號處理的優(yōu)勢、數(shù)字信號處理的優(yōu)勢 1)1)用數(shù)學(xué)計(jì)算和計(jì)

10、算機(jī)顯示代替復(fù)雜的電路用數(shù)學(xué)計(jì)算和計(jì)算機(jī)顯示代替復(fù)雜的電路 和機(jī)械結(jié)構(gòu)和機(jī)械結(jié)構(gòu)NnnxNtxE022)(1)(5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2)2)計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)發(fā)展的有力推動計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)發(fā)展的有力推動a)a)多種多樣的工業(yè)用計(jì)算機(jī)。多種多樣的工業(yè)用計(jì)算機(jī)。 5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院b)b)靈活、方便的計(jì)算機(jī)虛擬儀器開發(fā)系統(tǒng)靈活、方便的計(jì)算機(jī)虛擬儀器開發(fā)系統(tǒng)5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院案例：鐵路機(jī)車案

11、例：鐵路機(jī)車FSKFSK信號檢測與分析信號檢測與分析京廣線計(jì)劃提速到京廣線計(jì)劃提速到200200公里公里/ /小時(shí)小時(shí)合作任務(wù)：機(jī)車狀態(tài)信號識別合作任務(wù)：機(jī)車狀態(tài)信號識別( (頻率解調(diào)頻率解調(diào)) )5.1 5.1 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院5.2 5.2 模數(shù)模數(shù)(A/D)(A/D)和數(shù)模和數(shù)模(D/A) (D/A) 采樣采樣利用采樣脈沖序列，從信號中抽取一系列利用采樣脈沖序列，從信號中抽取一系列 離散值，使之成為采樣信號離散值，使之成為采樣信號x(nTs)x(nTs)的過的過程程 編碼編碼將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎M(jìn)制數(shù)字的過程。將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎?/p>

12、進(jìn)制數(shù)字的過程。 量化量化把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橹挥杏邢迋€(gè)有把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橹挥杏邢迋€(gè)有 效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化1 1、A/DA/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院4 4位位A/D: XXXXA/D: XXXXX(1) 0101X(2) 0011X(3) 00005.2 5.2 模數(shù)模數(shù)(A/D)(A/D)和數(shù)模和數(shù)模(D/A)(D/A) 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)： 5.2 5.2 模數(shù)模數(shù)(A/D)(A/D)和數(shù)模和數(shù)模(D/A)(D/A) 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2 A/D2 A/D轉(zhuǎn)換器的

13、技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換器的技術(shù)指標(biāo) (3) (3) 模擬信號的輸入范圍模擬信號的輸入范圍; ; 如，如，5V5V， +/-5V+/-5V，10V10V，+/-10V+/-10V等。等。 (1) (1) 分辨率分辨率; ; 用輸出二進(jìn)制數(shù)碼的位數(shù)表示。位數(shù)越多，用輸出二進(jìn)制數(shù)碼的位數(shù)表示。位數(shù)越多，量化誤差越小，分辨力越高。常用有量化誤差越小，分辨力越高。常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。 (2) (2) 轉(zhuǎn)換速度轉(zhuǎn)換速度; ; 指完成一次轉(zhuǎn)換所用的時(shí)間，如指完成一次轉(zhuǎn)換所用的時(shí)間，如:1ms(1KHz):1ms(1KHz)； 10us(100kHz) 10us(10

14、0kHz) 5.2 5.2 模數(shù)模數(shù)(A/D)(A/D)和數(shù)模和數(shù)模(D/A)(D/A) 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院3 3、D/AD/A轉(zhuǎn)換過程和原理轉(zhuǎn)換過程和原理 D/A D/A轉(zhuǎn)換器是把數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為電壓或電流轉(zhuǎn)換器是把數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為電壓或電流信號的裝置。信號的裝置。 D/AD/A轉(zhuǎn)換器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換器的技術(shù)指標(biāo) 分辨率分辨率; ; 轉(zhuǎn)換速度轉(zhuǎn)換速度; ; 模擬信號的輸出范圍模擬信號的輸出范圍; ;5.2 5.2 模數(shù)模數(shù)(A/D)(A/D)和數(shù)模和數(shù)模(D/A)(D/A) 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院A/DA/D、D/AD/A轉(zhuǎn)換過程中的量化誤差實(shí)驗(yàn)：轉(zhuǎn)換過程中

15、的量化誤差實(shí)驗(yàn)： 5.2 5.2 模數(shù)模數(shù)(A/D)(A/D)和數(shù)模和數(shù)模(D/A)(D/A) 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 采樣定理采樣定理 采樣是將采樣脈沖序列采樣是將采樣脈沖序列p(t)p(t)與信號與信號x(t)x(t)相相乘，取離散點(diǎn)乘，取離散點(diǎn)x(nt)x(nt)的值的過程。的值的過程。x(t)tp(t)廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院X(0), X(1), X(2), , X(n) 5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院每周期應(yīng)該有多少采樣點(diǎn)每周期應(yīng)該有多少采樣點(diǎn) ？最少最少2 2點(diǎn)點(diǎn): :5.3 5.3 采樣

16、定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)： 5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院頻域解釋頻域解釋 0t0f0t0ft00f5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院采樣定理采樣定理 為保證采樣后信號能真實(shí)地保留原始模擬信為保證采樣后信號能真實(shí)地保留原始模擬信號信息，信號采樣頻率必須至少為原信號中最高號信息，信號采樣頻率必須至少為原信號中最高頻率成分的頻率成分的2 2倍。這是采樣的基本法則，稱為采倍。這是采樣的基本法則，稱為采樣定

17、理。樣定理。 5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 需注意，滿足采樣定理，只保證不發(fā)生頻率需注意，滿足采樣定理，只保證不發(fā)生頻率混疊，而不能保證此時(shí)的采樣信號能真實(shí)地反映混疊，而不能保證此時(shí)的采樣信號能真實(shí)地反映原信號原信號x(t)x(t)。工程實(shí)際中采樣頻率通常大于信號。工程實(shí)際中采樣頻率通常大于信號中最高頻率成分的中最高頻率成分的3 3到到5 5倍。倍。5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院頻混現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)：頻混現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)： 5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院頻混計(jì)算：頻混計(jì)算： F

18、sFsFsFs頻混頻混正常正常Fs/2工程處理：工程處理：混迭頻率混迭頻率=Fs-=Fs-信號頻率信號頻率5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院A/DA/D采樣前的抗混迭濾波：采樣前的抗混迭濾波： 物理信號物理信號對象對象傳傳感感器器電信號電信號放放大大調(diào)調(diào)制制電信號電信號A/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換數(shù)字信號數(shù)字信號展開展開低通濾波低通濾波(0-Fs/2)(0-Fs/2)放大放大5.3 5.3 采樣定理采樣定理 廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院5.4 5.4 信號的截?cái)?、能量泄漏信號的截?cái)唷⒛芰啃孤?為便于數(shù)學(xué)處理，對截?cái)嘈盘栕鲋芷谘油兀玫教摂M的無限長信號。為便

19、于數(shù)學(xué)處理，對截?cái)嘈盘栕鲋芷谘油兀玫教摂M的無限長信號。 用計(jì)算機(jī)進(jìn)行測試信號處理時(shí)，不可能對無用計(jì)算機(jī)進(jìn)行測試信號處理時(shí)，不可能對無限長的信號進(jìn)行測量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)限長的信號進(jìn)行測量和運(yùn)算，而是取其有限的時(shí)間片段進(jìn)行分析，這個(gè)過程稱信號截?cái)?。間片段進(jìn)行分析，這個(gè)過程稱信號截?cái)唷?廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 周期延拓后的信號與真實(shí)信號是不同的，下面周期延拓后的信號與真實(shí)信號是不同的，下面我們就從數(shù)學(xué)的角度來看這種處理帶來的誤差情我們就從數(shù)學(xué)的角度來看這種處理帶來的誤差情況。況。 設(shè)有余弦信號設(shè)有余弦信號x(t), x(t), 用矩形窗函數(shù)用矩形窗函數(shù)w(t)w(t)與其

20、相乘，與其相乘，得到截?cái)嘈盘柕玫浇財(cái)嘈盘? y: y(t) =x(t)w(t) (t) =x(t)w(t) 將截?cái)嘈盘栕V將截?cái)嘈盘栕V X XT T()()與原始信號譜與原始信號譜X()X()相相比較可知，它已不是原比較可知，它已不是原來的兩條譜線，而是兩來的兩條譜線，而是兩段振蕩的連續(xù)譜段振蕩的連續(xù)譜. . 原來原來集中在集中在f0f0處的能量被分處的能量被分散到兩個(gè)較寬的頻帶中散到兩個(gè)較寬的頻帶中去了，這種現(xiàn)象稱之為去了，這種現(xiàn)象稱之為頻譜能量泄漏。頻譜能量泄漏。5.4 信號的截?cái)?、能量泄漏信號的截?cái)唷⒛芰啃孤V西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院周期延拓信號與真實(shí)信號是不同的：周期延拓信

21、號與真實(shí)信號是不同的：能量泄漏誤差能量泄漏誤差5.4 信號的截?cái)?、能量泄漏信號的截?cái)?、能量泄漏廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院能量泄漏實(shí)驗(yàn)：能量泄漏實(shí)驗(yàn)： 5.4 信號的截?cái)唷⒛芰啃孤┬盘柕慕財(cái)?、能量泄漏廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院克服方法之一：信號整周期截?cái)嗫朔椒ㄖ唬盒盘栒芷诮財(cái)?.4 信號的截?cái)唷⒛芰啃孤┬盘柕慕財(cái)?、能量泄漏廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級數(shù)（DFS）表示。1、離散傅里葉級數(shù)（、離散傅里葉級數(shù)（DFS）一個(gè)周期為N的周期序列，即 ， k為任意整數(shù)，N為周期周期序列不能進(jìn)行Z變換，

22、因?yàn)槠湓?n=-到+ 都周而復(fù)始永不衰減，即 z 平面上沒有收斂域。但是，正象連續(xù)時(shí)間周期信號可用傅氏級數(shù)表達(dá)，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。 )()(kNnxnx5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院nNjene/21)(knNjkene/2)(周期為N的正弦序列其基頻成分為： K次諧波序列為：knNjnNkNjee/2)(/2 但離散級數(shù)所有諧波成分中只有N個(gè)是獨(dú)立的，這是與連續(xù)傅氏級數(shù)的不同之處， 即 因此 )()(nenekNk5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西

23、大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 將周期序列展成離散傅里葉級數(shù)時(shí)，只需取 k=0 到(N-1) 這N個(gè)獨(dú)立的諧波分量，所以一個(gè)周期序列的離散傅里葉級數(shù)只需包含這N個(gè)復(fù)指數(shù)， 利用正弦序列的周期性可求解系數(shù) 。將上式兩邊乘以 ，并對一個(gè)周期求和 10/2)(1)(NKknNjekXNnx)(kXrnNje)/2(5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1010)(2101010)(22)(1)(1)(NkNnnrkNjNnNnNknrkNjrnNjekXNekXNenx111)(10/)(2)(2NkNrkjrkjeeNkXrksNrkeNNnnrkNj01110

24、)(2(5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院上式中 部分顯然只有當(dāng)k=r時(shí)才有值為1,其他任意k值時(shí)均為零,所以有 或?qū)憺?1) 可求 N 次諧波的系數(shù) 2） 也是一個(gè)由 N 個(gè)獨(dú)立諧波分量組成的傅立葉級數(shù) 3） 為周期序列，周期為N。)()(102rXenxNnrnNj10)()(102NkenxkXNnknNj)(kX)(kX)(kX5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院)()()()(10/210)(/2kXenxenxmNkXNnknNjNnnmNkNj 時(shí)域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)

25、在頻域上仍是一個(gè)周期序列。5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 是一個(gè)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對，這種對稱關(guān)系可表為： 習(xí)慣上：記 ， )()(nxkX10/2)()()(NnknNjenxnxDFSkX10/2)(1)()(NnnkNjekXNkXIDFSnxNjNeW/25.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 DFS變換對公式表明，一個(gè)周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容（一個(gè)周期內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長序列實(shí)際上只有N個(gè)序

26、列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。1010)()(1)()()()(NkknNNnknNkXIDFSWkXNnxnxDFSWnxkXDFS 離散傅里葉級數(shù)變換IDFS離散傅里葉級數(shù)反變換。則則DFS變換對可寫為：變換對可寫為：5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院DFS的幾個(gè)主要特性：的幾個(gè)主要特性： 假設(shè) 都是周期為 N 的兩個(gè)周期序列，各自的離散傅里葉級數(shù)為： 1）線性）線性 a,b為任意常數(shù))()(nynx、)()()()(nyDFSkYnxDFSkX)()()()(kYbkXanybnxaDFS5.5 離散傅里

27、葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 2）序列移位）序列移位 證：因?yàn)?及 都是以N為周期的函數(shù)，所以有 )()()()(nxwlkXIDFSkXwmnxDFSnlNmkN)(nxknNw101)()()(NnmNmikmNkiNknNwwixwmnxmnxDFS)()()(101kXwwixwwixwmkNNikiNmkNmNmikiNmkN5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院由于 與 對稱的特點(diǎn)，同樣可證明)(nx)(kX)()(nxwlkXIDFSnlN5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）

28、廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院對于復(fù)序列 其共軛序列 滿足 nx nx* kXnx*DFS kXWnxWnxnxNnnkNNnnkN*10*10*)()(DFS證證: kXnx*DFS同理同理: 3）共軛對稱性）共軛對稱性 5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院進(jìn)一步可得進(jìn)一步可得 )()(21DFS21ReDFS*kNXkXnxnxnx )()(21ReDFS*ekNXkXkXnx共軛偶對稱分量共軛偶對稱分量 )()(21ImDFS*okNXkXkXnxj共軛奇對稱分量共軛奇對稱分量 5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）

29、廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院4）周期卷積）周期卷積若若 則則 或或 )()()(kYkXkF10)()()()(NmmnymxkFIDFSnf10)()(Nmmnxmy5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 周周 期期 卷卷 積積5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 這是一個(gè)卷積公式，但與前面討論的線性卷積的差別在于，這是一個(gè)卷積公式，但與前面討論的線性卷積的差別在于，這里的卷積過程只限于一個(gè)周期內(nèi)（即這里的卷積過程只限于一個(gè)周期內(nèi)（即 m=0N-1），稱為周期），稱為周期卷積。卷

30、積。 例：例： 、 ，周期為，周期為 N=7, 寬度分別為寬度分別為 4 和和 3 ，求周期卷積。求周期卷積。 結(jié)果仍為周期序列，周期為結(jié)果仍為周期序列，周期為 N 。10)()(1)()()(NkknNwkYkXNkYkXIDFSnf1010)()(1NkNmnkNmkNwkYwmxN101010)()()()(1)(NmNmNkkmnNmnymxwkYNmx)(nx)(ny證證：5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院)()()(nynxnf1010)()(1)()(1)()(NlNllYlkXNlkYlXNnfDFSkF 由于由于DFS與與

31、IDFS的對稱性，對周期序列乘積，存在的對稱性，對周期序列乘積，存在著頻域的周期卷積公式，著頻域的周期卷積公式，若若 則則 5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2、離散傅里葉變換（、離散傅里葉變換（DFT） 我們知道周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因此我們知道周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因此它的許多特性可推廣到有限長序列上。它的許多特性可推廣到有限長序列上。 一個(gè)有限長序列一個(gè)有限長序列 x(n)，長為，長為N， 為了引用周期序列的概念，假定一個(gè)周期序列為了引用周期序列的概念，假定一個(gè)周期序列 ，它由長度，它由長度為為 N 的

32、有限長序列的有限長序列 x(n) 延拓而成，它們的關(guān)系：延拓而成，它們的關(guān)系： nNnnxnx其余010)()()(nxnNnnxnxrNnxnxr其它010)()()()(5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院周期序列的主值區(qū)間與主值序列： 對于周期序列 ，定義其第一個(gè)周期 n=0N-1，為 的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列 x(n)。x(n)與 的關(guān)系可描述為： 數(shù)學(xué)表示： RN（n）為矩形序列。符號（n）N 是余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式，表示 n 對 N 求余數(shù)。)(nx)(nx)(nx)()()()(主值序列的是的周期延拓是nxnxnxn

33、x)()()()()()()(nRnxnRnxnxnxnxNNNN5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院)(nx)(nx5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院例：例： 是周期為是周期為 N=8 的序列，求的序列，求 n=11 和和 n=-2 對對 N的的余數(shù)。余數(shù)。因此因此 )(nx6)2(68) 1(23)11(3811188nn)6()2(),3()11(xxxx5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 周期序列 的離散付氏級數(shù) 也是一個(gè)周期序

34、列，也可給它定義一個(gè)主值區(qū)間 ，以及主值序列 X(k)。數(shù)學(xué)表示： )(nx)(kX10NkNNkXkXkRkXkX)()()()()(頻域上的主值區(qū)間與主值序列：頻域上的主值區(qū)間與主值序列：5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院10)()()(10NkWnxnxDFSkXNnkn10)(1)()(10NnWkXNkXIDFSnxNnkn再看周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換（DFS）公式： 這兩個(gè)公式的求和都只限于主值區(qū)間（0N-1），它們完全適用于主值序列 x(n) 與 X(k) ，因而我們可得到一個(gè)新的定義有限長序列離散傅里葉變換定義。5.5

35、離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 長度為N的有限長序列 x(n) ，其離散傅里葉變換 X(k) 仍是一個(gè)長度為N 的有限長序列，它們的關(guān)系為： x(n) 與 X(k) 是一個(gè)有限長序列離散傅里葉變換對，已知 x(n) 就能唯一地確定 X(k) ，同樣已知 X(k) 也就唯一地確定 x(n) ，實(shí)際上 x(n) 與 X(k) 都是長度為 N 的序列（復(fù)序列）都有N個(gè)獨(dú)立值，因而具有等量的信息。 有限長序列隱含著周期性。10)(1)()(10)()()(1010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNkknNNnknN5.5 離散傅里葉

36、變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院DFT的矩陣方程表示的矩陣方程表示) 1() 1 ()0(,) 1() 1 ()0(NXXXNxxxXxxWXN)1()1()1(2)1()1(2421211111111NNNNNNNNNNNNNNNWWWWWWWWWNW5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院DFT特性：特性： 以下討論以下討論DFT的一些主要特性，這些特性都與周期序的一些主要特性，這些特性都與周期序列的列的DFS有關(guān)。有關(guān)。 假定假定x(n)與與y(n)是長度為是長度為N的有限長序列，其各自的的有限長序列，

37、其各自的離散傅里葉變換分別為：離散傅里葉變換分別為： X(k)=DFTx(n) Y(k)=DFTy(n)(1) 線性線性 DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k) ,a,b為任意常數(shù)為任意常數(shù)5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院(2) 循環(huán)移位循環(huán)移位 有限長序列x(n)的循環(huán)移位定義為： f(n)=x(n+m)NRN(n)含義：1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列 的移位： 2) x(n+m)NRN(n) 表示對移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列, 所以f(n)仍然是一個(gè)長度為N的有限長序列。f（n）實(shí)際

38、上可看作序列 x（n）排列在一個(gè)N等分圓周上，并向左旋轉(zhuǎn) m 位。 )(nx)()(mnxmnxN5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院) 2(nx)(nx)(nfnnn1N1N1N0005.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院移位前左移兩位后5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院證：利用周期序列的移位特性： 實(shí)際上，利用WN-mk的周期性，將f(n)=x(n+m)NRN(n)代入DFT定義式，同樣很容易證明。 )()(kXwmnxDFSmnxDF

39、SmkNN)()()(nRmnxDFTnfDFTNN)()()()()(kXwkRmnxDFSnRmnxDFTmkNNN序列循環(huán)移位后的DFT為 F（k）=DFTf（n）= x（k）mkNw5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 同樣，對于頻域有限長序列X(k)的循環(huán)移位，有如下反變換特性： IDFTX(k+l)NRN(k)= x（n）nlNw5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（3）循環(huán)卷積）循環(huán)卷積若 F（k）=X（k）Y（k）則 或 10)()()()()(NmNNnRmnymxkFID

40、FTnf10)()()()()(NmNNnRmnxmykFIDFTnf5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院證：這個(gè)卷積可看作是周期序列 卷積后再取其主值序列。將F（k）周期延拓，得： 則根據(jù)DFS的周期卷積公式：因0mN-1時(shí)，x(m)N=x(m)，因此經(jīng)過簡單的換元可證明：)()(nynx與)()()(kYkXkF1010)()()()()(NmNNNmmnymxmnymxnf)()()()()()(10nRmnymxnRnfnfNNmNN10)()()()(NmNNnRmnxmynf5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)

41、機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 這一卷積過程與周期卷積比較，過程是一樣的，只是這里只取結(jié)果的主值序列，由于卷積過程只在主值區(qū)間0mN-1內(nèi)進(jìn)行，所以 實(shí)際上就是 y（m）的圓周移位，稱為“循環(huán)卷積”，習(xí)慣上常用符號“”表示循環(huán)卷積，以區(qū)別于線性卷積。 )()()()()()()()()()(1010nxnynRmnxmynRmnymxnynxNmNNNmNNNmny)( 5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1）由有限長序列 x(n)、y(n) 構(gòu)造周期序列循環(huán)卷積過程循環(huán)卷積過程:)()(nynx與2）計(jì)算周期卷積 10)()()(Nmmn

42、ymxnf3）卷積 結(jié)果取主值)()()(nRnfnfN5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院10)()()(1)()(NlNNkRlkYlXNnfDFTkF10)()()(1NlNNkRlkXlYN同樣，若 f(n)=x(n)y(n)，則5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（4）有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積（循環(huán)卷積的應(yīng)用）有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積（循環(huán)卷積的應(yīng)用） 實(shí)際問題的大多數(shù)是求解線性卷積，如信號實(shí)際問題的大多數(shù)是求解線性卷積，如信號 x（n）通過）通過系統(tǒng)系統(tǒng) h（n），其

43、輸出就是線性卷積），其輸出就是線性卷積 y（n）=x（n）*h（n）。而循環(huán)卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性。而循環(huán)卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用快速傅里葉變換（，它可以采用快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，若能利用循環(huán)）技術(shù)，若能利用循環(huán)卷積求線性卷積，會帶來很大的方便。卷積求線性卷積，會帶來很大的方便。 現(xiàn)在我們來討論上述現(xiàn)在我們來討論上述 x（n）與）與h（n）的線性卷積，如果）的線性卷積，如果 x（n）、）、h（n）為有限長序列，則在什么條件下能用循環(huán)卷）為有限長序列，則在什么條件下能用循環(huán)卷積代替而不產(chǎn)生失真。積代替而不產(chǎn)生失真。 5.5 離散傅里葉

44、變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院有限長序列的線性卷積：有限長序列的線性卷積：假定 x（n）為有限長序列，長度為N， y（n）為有限長序列，長度為M，它們的線性卷積f（n）=x（n）*y（n）也應(yīng)是有限長序列。因 x（m）的非零區(qū)間： 0mN-1， y(n-m)的非零區(qū)間： 0n-mM-1， 這兩個(gè)不等式相加，得： 0nN+M-2， 在這區(qū)間以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0。因此，f（n）是一個(gè)長度為N+M-1的有限長序列。Mmnymxnynxnf)()()(*)()(5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工

45、程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院循環(huán)卷積：循環(huán)卷積： 重新構(gòu)造兩個(gè)有限長序列 x（n）、y（n），長度均為 L maxN,M ，序列 x（n）只有前N個(gè)是非零值，后L-N個(gè)為補(bǔ)充的零值；序列 y（n）只有前M個(gè)是非零值，后L-M個(gè)為補(bǔ)充的零值。為了分析 x（n）與y（n）的循環(huán)卷積，先看x（n），y（n）的周期延拓： rqrLnynyqLnxnx)()()()(5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院1010)()()()()(LmLmlmnymxmnymxnf rrLmLmrrLnfmrLnymxmrLnymx)()()()()(1010其中f（n）

46、就是線性卷積，也就是說，x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷積，是x（n）、y（n）線性卷積的周期延拓，周期為L。它們的周期卷積序列為：5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 根據(jù)前面的分析，f（n）具有 N+M-1 個(gè)非零序列值，因此，如果周期卷積的周期 LN+M-1，那么 f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重疊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。只有 LN+M-1 時(shí)，才不會產(chǎn)生交疊，這時(shí) f（n）的周期延拓 中每一個(gè)周期L內(nèi)，前N+M-1個(gè)序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的 L （N+M-1）點(diǎn)的序列則是補(bǔ)充的零值。循環(huán)卷積正是周期卷積取主

47、值序列： 所以使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是： LN+M-1 )(nfl)()()()()(nRnfnynxnfLll)()(nRrLnfLr5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（5）共軛對稱性）共軛對稱性 設(shè) x*（n）為 x（n）的共軛復(fù)數(shù)序列，則 DFTx*（n）=X*(N-k)證： DFTx*(n) 0kN-1 由于因此， DFTx*(n)10*)(NnnkNWnx*10)(NnnkNWnxknNknNnjknNnNNjknNnNNnkNNWWeWeWWW22)()()()()

48、(*10)(kRkNXkNXWnxNNNnnkNN5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院說明： 當(dāng)k=0時(shí)，應(yīng)為X*(N-0)=X*(0)，因?yàn)榘炊xX（k）只有N個(gè)值，即0kN-1，而XN已超出主值區(qū)間，但一般已習(xí)慣于把X（k）認(rèn)為是分布在N等分的圓周上，它的末點(diǎn)就是它的起始點(diǎn)，即XN= X0，因此仍采用習(xí)慣表示式 DFTx*（n）=X*（N-k）以下在所有對稱特性討論中，XN均應(yīng)理解為XN=X0，同樣，x(N)=x(0)。5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院利用循環(huán)卷積和共軛對稱特性，可證

49、明DFT形式下的Parseval定律： 當(dāng)y（n）= x（n）時(shí)，即為有限長序列的能量： 1010*)()(1)()(NnNkkYkXNnynx101022| )(|1| )(|NnNkkXNnx5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 復(fù)序列的實(shí)部與虛部的復(fù)序列的實(shí)部與虛部的DFT變換變換 以 xr（n）和 xi（n）表示序列x（n）的實(shí)部與虛部 即 x（n）=xr（n）+jxi（n）則 )()(21)()()(21)(*nxnxnjxnxnxnxir 5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 則

50、 Xe（k）和X0（K）表示實(shí)部與虛部序列的DFT，則 )()(21)()(*nxnxDFTnxDFTkXre)()(21*kNXkX)()(21)()(*0nxnxDFTnjxDFTkXi)()(21*KNXkX5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院顯然， Xe(k)與Xo(k)對稱性： 故 因此,Xe(k)具有共軛對稱性，稱為X(k)的共軛偶對稱分量。 )()()(kXkXkXoe*)()(21)(kNNXkNXkNXe)()(21*kXkNX)()(*kNXkXee5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大

51、學(xué)機(jī)械工程學(xué)院用同樣的方法可得到 X0(k)= - X*0(N-k)即Xo(k)具有共軛反對稱特性，稱其為X(k)的共軛奇對稱分量。 對于純實(shí)數(shù)序列 x（n），即x（n）=xr（n），X（k）只有共軛偶對稱部分，即X（k）=Xe（k），表明實(shí)數(shù)序列的DFT滿足共軛對稱性，利用這一特性，只要知道一半數(shù)目的 X（k），就可得到另一半的 X（k），這一特點(diǎn)在DFT運(yùn)算中可以加以利用，以提高運(yùn)算效率。)()(kXnxer)()(kXnxoi5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 根據(jù)x（n）與X（k）的對稱性，同樣可找到X（k）的實(shí)部、虛部與x（n）的

52、共軛偶部與共軛奇部的關(guān)系。 分別以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的圓周共軛偶部與圓周共軛奇部：同樣應(yīng)從圓周意義上理解 x（N-0）=x（0）?？勺C明: DFTxe（n）=ReX（k） DFTx0（n）=jImX（k） )()(21)()()(21)(*nNxnxnjxnNxnxnxoe5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（6）選頻性）選頻性 （對（對0有限制？）有限制？） 對復(fù)指數(shù)函數(shù) 進(jìn)行采樣得復(fù)序列 x（n） 0nN-1其中q為整數(shù)。當(dāng)0=2/N時(shí)，x（n）=ej2nq/N,其離散傅里葉變換為 寫成閉解形式可見，當(dāng)輸入頻率為q0時(shí)

53、，變換X（K）的N個(gè)值中只有 X（q）=N，其余皆為零，如果輸入信號為若干個(gè)不同頻率的信號的組合，經(jīng)離散傅里葉變換后，不同的k上，X（k）將有一一對應(yīng)的輸出，因此，離散傅里葉變換算法實(shí)質(zhì)上對頻率具有選擇性。 njqoenx)(10/2/2)(NnNnkjNnqjeekXqkqkNeekXNkqjkqj011)(/ )(2)(2tjqoenx)(5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（7）DFT與與Z變換變換 有限長序列可以進(jìn)行z變換 比較z變換與DFT變換，可見，當(dāng)z=w-kN時(shí)， 即 10)()()(NnnznxnxZzX)()()()(10

54、kXnxDFTwnxzXnNnkNwzkNkNwzzXkX)()(kNjkNewz25.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院圖 DFT與z變換ooooooooooo2X（ej）X（k）oRezjImzk1N00o5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院變量周期分辨率2N2f、ssf、NfskN5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 是z平面單位圓上幅角為 的點(diǎn)，即將z平面上的單位圓N等分后的第k點(diǎn)。NjkeXkX)(kNwkN2 1）X(k)也就是z

55、變換在單位圓上等間隔的采樣值。 2）X（k）也可看作是對序列付氏變換X（ej）的采樣，采樣間隔為： N=2/N。即結(jié)論：5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 采樣定律告訴我們，一個(gè)頻帶有限的信號，可以對它進(jìn)行時(shí)域采樣而不丟失任何信息； DFT變換進(jìn)一步告訴我們，對于時(shí)間有限的信號（有限長序列），也可以對其進(jìn)行頻域采樣，而不丟失任何信息，這正反應(yīng)了傅立葉變換中時(shí)域、頻域的對稱關(guān)系。它有十分重要的意義，由于時(shí)域上的采樣，使我們能夠采用數(shù)字技術(shù)來處理這些時(shí)域上的信號（序列），而DFT的理論不僅在時(shí)域，而且在頻域也離散化，因此使得在頻域采用數(shù)字技術(shù)處理成為可能。 FFT就是頻域數(shù)字處理中最有成效的一例。5.5 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院（8）DFT形