第三章隨機(jī)變量及其分布

1、例例 1 在在10件同類產(chǎn)品中，有件同類產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)件次品，現(xiàn)任取任取2件，用件，用X表示表示“2件中的次品數(shù)件中的次品數(shù)”，X的取值有哪些？對(duì)應(yīng)的概率是多少的取值有哪些？對(duì)應(yīng)的概率是多少?例例 2 “測(cè)試電子元件壽命測(cè)試電子元件壽命”試驗(yàn)，用試驗(yàn)，用Y表示表示 元件壽命元件壽命(小時(shí)小時(shí))，Y的取值如何的取值如何?一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念一個(gè)變量若滿足：一個(gè)變量若滿足：（1）取值的）取值的隨機(jī)性隨機(jī)性。即取到哪一個(gè)值事前。即取到哪一個(gè)值事前不知道，要由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定；不知道，要由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果而定；（2）取值的）取值的對(duì)應(yīng)性對(duì)應(yīng)性。即取到的每一個(gè)值都。即取到的每一個(gè)

2、值都 對(duì)應(yīng)于某一隨機(jī)現(xiàn)象；對(duì)應(yīng)于某一隨機(jī)現(xiàn)象；（3）概率的）概率的確定性確定性。即它取某一個(gè)值或在。即它取某一個(gè)值或在 某一區(qū)間內(nèi)取值的概率是確定的。某一區(qū)間內(nèi)取值的概率是確定的。 稱這樣的變量為稱這樣的變量為隨機(jī)變量隨機(jī)變量，通常用大寫，通常用大寫 字母字母 X、Y、Z表示。表示。例例 1中，中， “兩件產(chǎn)品中沒(méi)有次品兩件產(chǎn)品中沒(méi)有次品”事件事件 可用可用 X=0表示表示 “兩件產(chǎn)品中至少一件次品兩件產(chǎn)品中至少一件次品”事件事件 可用可用 X1表示表示例例 2中，中， “元件壽命至少元件壽命至少1000小時(shí)小時(shí)”事件事件 可用可用 Y 1000表示表示 “元件壽命不足元件壽命不足500小時(shí)小

3、時(shí)”事件事件 可用可用 Y500表示表示為什么要引入隨機(jī)變量？為什么要引入隨機(jī)變量？可使隨機(jī)事件數(shù)量化，便于數(shù)學(xué)處理，可使隨機(jī)事件數(shù)量化，便于數(shù)學(xué)處理，從而更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象。從而更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象。上述兩例，隨機(jī)現(xiàn)象較容易用數(shù)量來(lái)描述，上述兩例，隨機(jī)現(xiàn)象較容易用數(shù)量來(lái)描述，但在實(shí)際中常遇到一些似乎與數(shù)量無(wú)關(guān)的但在實(shí)際中常遇到一些似乎與數(shù)量無(wú)關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，如何用隨機(jī)變量來(lái)描述它們？隨機(jī)現(xiàn)象，如何用隨機(jī)變量來(lái)描述它們？例例3 拋一枚均勻硬幣，試驗(yàn)的可能結(jié)果兩個(gè)，拋一枚均勻硬幣，試驗(yàn)的可能結(jié)果兩個(gè)， 即即“正面向上正面向上”與與“正面向下正面向下”。通常定義隨機(jī)變量通常定義隨機(jī)變量 1 正面向

4、上正面向上 P(X=1)=0.5X= 且且 0 正面向下正面向下 P(X=0)=0.5例例4 一批產(chǎn)品的合格率為一批產(chǎn)品的合格率為P，隨機(jī)抽一個(gè)檢驗(yàn)，隨機(jī)抽一個(gè)檢驗(yàn)， 可能結(jié)果為可能結(jié)果為 “抽到合格品抽到合格品”與與“抽到廢品抽到廢品”。 通常定義隨機(jī)變量通常定義隨機(jī)變量 1 抽到合格品抽到合格品 P(Y=1)=PY= 且且 0 抽到廢品抽到廢品 P(Y=0)=1-P例例 5 一批產(chǎn)品的一、二、三級(jí)品率為一批產(chǎn)品的一、二、三級(jí)品率為50%、 35%、 15%，隨機(jī)抽取一個(gè)，可能結(jié)果，隨機(jī)抽取一個(gè)，可能結(jié)果“抽到一級(jí)品抽到一級(jí)品” “抽到二級(jí)品抽到二級(jí)品”、“抽到三級(jí)品抽到三級(jí)品”。 可定義可

5、定義 1 抽到一級(jí)品抽到一級(jí)品 P(Z=1)=50% Z = 2 抽到二級(jí)品抽到二級(jí)品 且且 P(Z=2)=35% 3 抽到三級(jí)品抽到三級(jí)品 P(Z=3)=15%二、隨機(jī)變量的種類二、隨機(jī)變量的種類按隨機(jī)變量的取值不同，可分為按隨機(jī)變量的取值不同，可分為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量只取有限個(gè)或：隨機(jī)變量只取有限個(gè)或 可列個(gè)可能值?？闪袀€(gè)可能值。連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量：在某一個(gè)或若干個(gè)有限或：在某一個(gè)或若干個(gè)有限或 無(wú)限區(qū)間取值的隨機(jī)變量。無(wú)限區(qū)間取值的隨機(jī)變量。 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取值為所有可能取值為 x1，x2，xn，其相應(yīng)的概率分別為，其相應(yīng)的概率分

6、別為 p1，p2， pn 記作記作 P(X=xi)=pi， （ i=1，2，n） 稱為離散型隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，的概率分布， 簡(jiǎn)稱分布。簡(jiǎn)稱分布。 也可表示為：也可表示為： p1 p2 P x1 x2 X一、離散型隨機(jī)變量的分布一、離散型隨機(jī)變量的分布概率分布的性質(zhì)概率分布的性質(zhì) 1） 0pi1 i=1，2， 2） pi =1例例 1 （P159 例例4）例例 2 （P160 例例5）二、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 離散型變量離散型變量X的取值為的取值為x1,x2xi 相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為p1,p2pi ,xi與與pi的乘積的乘積 之和為之和為

7、X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值。 記作記作 E (x)或或 E (x) =xi pi例例3 某產(chǎn)品在市場(chǎng)上的價(jià)格某產(chǎn)品在市場(chǎng)上的價(jià)格X（元）及相應(yīng)（元）及相應(yīng)的概率如下表，求該產(chǎn)品的期望價(jià)格。的概率如下表，求該產(chǎn)品的期望價(jià)格。 X 10 11 12 P 0.2 0.3 0.5 例例4 兩家出版社的歷史數(shù)據(jù)表明他們出版的兩家出版社的歷史數(shù)據(jù)表明他們出版的 圖書(shū)任何一頁(yè)的印刷錯(cuò)誤數(shù)圖書(shū)任何一頁(yè)的印刷錯(cuò)誤數(shù)X、Y及對(duì)應(yīng)及對(duì)應(yīng) 概率如下，比較兩家的印刷錯(cuò)誤。概率如下，比較兩家的印刷錯(cuò)誤。 X 0 1 2 3 P 0.81 0.13 0.05 0.01 Y 0 1 2 3 P

8、0.82 0.09 0.08 0.01數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的度量，數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的度量，對(duì)其離散程度的度量用方差。對(duì)其離散程度的度量用方差。 離散型變量離散型變量X離差的平方的數(shù)學(xué)期望離差的平方的數(shù)學(xué)期望 稱為稱為X的方差。記作的方差。記作 D(X) 或或 方差的算術(shù)平方根為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，方差的算術(shù)平方根為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差， 用用 表示。表示。 2iipx22)( )-E(xD(X)例例5 求上例中兩家出版社印刷錯(cuò)誤的方差求上例中兩家出版社印刷錯(cuò)誤的方差 與與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差。三、離散型隨機(jī)變量的方差三、離散型隨機(jī)變量的方差四、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量四、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量（一

9、）（一）兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 1、定義、定義 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X只可能取只可能取0，1兩個(gè)值，兩個(gè)值， 概率分布為：概率分布為： P(X=1)=p，P(X=0)=1p (0p1) 稱稱X服從兩點(diǎn)分布。記為服從兩點(diǎn)分布。記為 XB (1，p)一個(gè)試驗(yàn)如果結(jié)果只有兩個(gè)，都可以一個(gè)試驗(yàn)如果結(jié)果只有兩個(gè)，都可以用兩點(diǎn)分布來(lái)描述。用兩點(diǎn)分布來(lái)描述。2、兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差、兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差 E ( X ) = p D ( X ) = ( 1 p ) p例例 6 （P164 例例11）隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果A 或或 ，且且 P(A)=p， P( )=1p = q 這種試驗(yàn)

10、稱為這種試驗(yàn)稱為Bernoulli試驗(yàn)；試驗(yàn)；試驗(yàn)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)獨(dú)立重復(fù)n次次，稱，稱n重重Bernoulli試驗(yàn)試驗(yàn)。AA（二）（二）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 令令X為為n重重Bernoulli試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，X的所有可能取值為的所有可能取值為0、1、2n X 取值取值 k 的概率為的概率為 ( K=0、1、2 n) 其中其中 P(A)=p， P( )=1p = q 0p0) 的泊松分布。的泊松分布。記作記作 XP()。k!ekPxk泊松分布用來(lái)描述指定時(shí)間內(nèi)某一事件泊松分布用來(lái)描述指定時(shí)間內(nèi)某一事件發(fā)生次數(shù)的分布。發(fā)生次數(shù)的分布。如：如：在某時(shí)間段內(nèi)通過(guò)某十字路口的車

11、輛數(shù)分布；在某時(shí)間段內(nèi)通過(guò)某十字路口的車輛數(shù)分布；某城市除夕之日被爆竹炸傷人數(shù)的分布；某城市除夕之日被爆竹炸傷人數(shù)的分布；某維修部一周內(nèi)接到維修電話次數(shù)分布。某維修部一周內(nèi)接到維修電話次數(shù)分布。2、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差、泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差 E ( X ) = D ( X ) = 例例 8 （P165 例例13） X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量，x為任一實(shí)數(shù)，為任一實(shí)數(shù)， 若函數(shù)若函數(shù)f (x)表示變量表示變量X的分布情況，的分布情況， 即即X取值的規(guī)律，稱取值的規(guī)律，稱f (x)為概率密度為概率密度 函數(shù)，或稱概率分布。函數(shù)，或稱概率分布。 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x， f (x)

12、 0 對(duì)于任意對(duì)于任意x1x2，X在其區(qū)間（在其區(qū)間（x1，x2） 的概率的概率P(x1Xx2)是函數(shù)是函數(shù)f (x) 的曲線的曲線 下從下從x1到到x2的面積；的面積； f (x) 曲線與曲線與x軸構(gòu)成的面積為軸構(gòu)成的面積為1，即，即 P(X)=1。一、概率密度函數(shù)一、概率密度函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)二、常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量二、常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量 （一）（一）均勻分布（一致分布）均勻分布（一致分布） 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 則稱則稱X服從服從 c，d 上的均勻分布。上的均勻分布。 記作記作 XU c，d )xc ( c-d1f(x) d如果如果X在在c，d上服從均勻分布，則對(duì)上

13、服從均勻分布，則對(duì)任意滿足任意滿足 的的a，b有有X 取值于取值于c，d中任一小區(qū)間的概率與中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間該小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該小區(qū)間的具體位置無(wú)關(guān)。的具體位置無(wú)關(guān)。dbaccdabbXaP)( 均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差 在區(qū)間在區(qū)間c，d上均勻分布變量上均勻分布變量X的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué) 期望和方差為：期望和方差為：12c)(dD(X) 2dcE(X)2（二）（二）正態(tài)分布正態(tài)分布 1、正態(tài)分布正態(tài)分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 、 是常數(shù)是常數(shù)（ 0） 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分

14、布, 記作記作 XN ( ， ) )x( 21)(22)(212xexf222 式中的式中的是正態(tài)隨機(jī)變量是正態(tài)隨機(jī)變量X的均值的均值,即即E(X)= 式中的式中的 是正態(tài)隨機(jī)變量是正態(tài)隨機(jī)變量X的方差的方差,即即D(X)= 22)(xf關(guān)于密度函數(shù)關(guān)于密度函數(shù) 的圖形的圖形1) 圖形是關(guān)于圖形是關(guān)于 x = 對(duì)稱的鐘形曲線，對(duì)稱的鐘形曲線， 且峰值在且峰值在 x =處取得。處取得。2) 方差方差 越小，曲線峰值越大，曲線越小，曲線峰值越大，曲線 越狹長(zhǎng)；方差越大，曲線越平坦。越狹長(zhǎng)；方差越大，曲線越平坦。3) 當(dāng)當(dāng)x時(shí)，時(shí)， 0，即，即 以以x軸軸 為漸近線。為漸近線。2)(xf)(xf2、

15、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 若正態(tài)分布若正態(tài)分布 N ( ， )中的參數(shù)中的參數(shù) = 0， = 1時(shí)，其分布時(shí)，其分布 N( 0，1 ) 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 用用 表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù) 2)(zf2221)(zezf標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱z)P(Z1)zP(Z)zP(Z12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率可通過(guò)查表求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率可通過(guò)查表求得表中能查得的概率為表中能查得的概率為 z)P(Z z)P(Z )zZP(z21如何求如何求3、一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) 1 0