D3_4單調與凹凸;D3_5極值與最值;D3_6函數(shù)圖形的描繪;D3-7曲率

1、1 1/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）321(0,1).xx2.證明方程在內有且僅有一個實根22201cos1.lim.sinxxxx求2 2/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）ABC1.1.問題的提出問題的提出xyo1x2x221xx )(2xf)(1xf)2(21xxf 2)()(21xfxf xyo1x2x221xx )(1xf)(2xf)2(21xxf 2)()(21xfxf 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方3 3/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）定義定義1 1 設函數(shù)設函數(shù))(x

2、f在區(qū)間在區(qū)間I I上連續(xù)上連續(xù), ,21Ixx(1)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf圖形是凹的圖形是凹的( (或凹弧或凹弧); );(2)若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱則稱的)(xf圖形是凸的圖形是凸的( (或凸弧或凸弧). ).2.2.曲線凹凸性的定義曲線凹凸性的定義4 4/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）3.3.曲線凹凸性的判定曲線凹凸性的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y( ) , ,( , ),(1)( , )( )0,( ) , ;(2)( ,

3、 )( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa ba bfxf xa b設在上連續(xù) 在內具有一階和二階導數(shù)若在內則在上的圖形是凹的若在內則在上的圖形是凸的定理定理2 25 5/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）定義定義2 連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點. .4.曲線的拐點定義曲線的拐點定義5. 拐點的求法拐點的求法(2) 在在x0的兩側若二階導數(shù)異號的兩側若二階導數(shù)異號,則則(x0 , y0)為拐點為拐點,否否(1) 求求 及二階不可導點；及二階不可導點；0 y則則 (x0 , y0 )不是拐點不是拐點.14334xxy的凹凸區(qū)間

4、及拐點的凹凸區(qū)間及拐點. .注意注意 拐點要用平面坐標拐點要用平面坐標(x0 , f(x0 )表示表示.例例5 5 求曲線求曲線6 6/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）二、最大值與最小值問題最大值與最小值問題 一、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 7 7/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）注意注意 極大值點與極小值點不唯一極大值點與極小值點不唯一; ;極值是局部性的極值是局部性的, ,在定義域內未必為最值在定義域內未必為最值; ;對一個函數(shù)而言對一個函數(shù)而言, ,極小值可能比極大值大極小值可能比極大值大. .00000( )(,(

5、)()( )(),()( )().,.of xU xxU xf xf xf xf xf xf x定義設函數(shù)在某個)有定義 若),有或則稱是的一個極小值 或極大值 函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為極值使函數(shù)取得極值的點稱為極值點極值是內部性的極值是內部性的, ,不考慮端點不考慮端點; ;8 8/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）oxyab)(xfy 1x2x4x5x例如例如極大值極大值)(1xf極小值極小值)(2xf極大值極大值)(4xf極極小小值值)(5xf9 9/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）定理定理1 (1 (極值的必要條件極值的必要條件) )若若x0是是f(x)的極值點的極值點,

6、,則則x0只可只可能是能是f(x)的駐點的駐點(f(x)=0)或或f(x)的不可導點的不可導點. .(2)駐點和一階不可導點不一定是極值點駐點和一階不可導點不一定是極值點. .(1)極值點必為駐點或不可導點；極值點必為駐點或不可導點；注意注意例如：例如：,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但 x1010/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）定理定理2( (極值的第一判別法極值的第一判別法) )0000000000( )0,( )0( )(1),()( );(2),()( )0();(3)0)( )0( )0),()( ).fxf xxxxxf xf xxxf xf xxfxfx

7、f xf xxfxffx 右右鄰鄰域域內內有有左左鄰鄰域域設設函函數(shù)數(shù)在在 的的某某空空心心鄰鄰域域內內可可導導, ,且且在在連連續(xù)續(xù)，如如果果在在 的的在在 的的則則是是的的極極大大值值如如果果在在 的的在在 的的則則是是的的極極小小值值如如果果在在 的的左左右右鄰鄰域域內內內內都都有有或或則則不不有有左左鄰鄰域域內內有有右右是是鄰鄰域域有有的的極極值值內內1111/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）233( )2f xxx的極值的極值.例例1 求函數(shù)求函數(shù)求極值的步驟求極值的步驟: :1.1.寫出函數(shù)寫出函數(shù)f(x)的定義域的定義域; ;2.2.在定義域內求出在定義域內求出f(x)=0

8、及及f(x)不存在的點不存在的點; ;3.3.用上述各點將定義域分成若干區(qū)間用上述各點將定義域分成若干區(qū)間, ,列表討論列表討論各區(qū)間內導數(shù)的符號各區(qū)間內導數(shù)的符號, ,進而確定出函數(shù)的單調增進而確定出函數(shù)的單調增減區(qū)間減區(qū)間, ,以及函數(shù)的極值以及函數(shù)的極值. .1212/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）定理定理3( (第二充分條件第二充分條件) )0000000( )()0(1)()0,()( );(2)()0,()( );(3)()0f xxfxfxf xf xfxf xf xfx 設設函函數(shù)數(shù)在在 處處二二階階可可導導, ,且且, ,則則當當時時是是的的極極小小值值當當時時是是的

9、的極極大大值值當當時時, ,無無法法判判斷斷. .(2)(2)當二階導數(shù)不易求或不存在時當二階導數(shù)不易求或不存在時, ,只能用第一充分只能用第一充分注意注意條件條件( (定理定理2).2).00(1)()0,()0,3fxfx如果則定理 失效;21( )xf xx 的極值的極值.例例2 求函數(shù)求函數(shù)1313/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）步驟步驟: : 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù), ,則其最值只則其最值只 (2) 計算上述各點處的函數(shù)值計算上述各點處的函數(shù)值, ,并與兩個端點處函并與兩個端點處函數(shù)值比較數(shù)值比較, ,最大的為最大值最大的為最大值, ,最小的為

10、最小值最小的為最小值. .1.1.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的方法閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的方法能在能在極值點極值點或或端點端點處達到處達到. .(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內部所有駐點和不可導點內部所有駐點和不可導點;3( )33f xxx例例3 求函數(shù)求函數(shù)在在 上的最值上的最值.33,21414/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）2. 關于最值的兩個重要結論關于最值的兩個重要結論(1)( ) , .f xa b若在上單調,最值必在端點取得(2) , ( )( , ),( ) , .a bf xa bf xa b如如果果上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù), ,在在內內極極有有則則該該極極值值

11、必必是是值值唯唯一一在在上上的的最最值值(1) 正確寫出函數(shù)表達式及其定義域正確寫出函數(shù)表達式及其定義域; ;步驟：步驟：3.3.最值的應用題最值的應用題(2) 計算函數(shù)的駐點計算函數(shù)的駐點; ;(3) 判斷駐點是否為極值點判斷駐點是否為極值點; ;(4) 此時極值點一般都唯一此時極值點一般都唯一, ,即是最值點即是最值點. .1515/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）ACAB, , 要在要在AB線上選定一點線上選定一點D向工廠修一條向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運已知鐵路與公路每公里貨運為使貨物從為使貨物從B運到工運到工 廠廠C的運費最省的運費最省, , 問問D點應如何取點應如何

12、取?2020AB100Cx D公路公路, , 價之比為價之比為3:5,3:5,例例4 4 鐵路上鐵路上AB段的距離為段的距離為100km,100km,工廠工廠C距距A處處20km20km,1616/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例5 5 某工廠生產某產品某工廠生產某產品, ,固定成本為固定成本為400(400(百元百元), ),且每生且每生產產1 1臺產品總成本增加臺產品總成本增加10(10(百元百元). ).若該產品需求量若該產品需求量x( (單單位位: :臺臺) )是價格是價格p( (單位單位: :百元百元/ /臺臺) )的函數(shù)的函數(shù): :則在產銷平衡的條件下則在產銷平衡的條件下

13、, ,生產多少臺時所獲利潤最大生產多少臺時所獲利潤最大? ?最大利潤是多少最大利潤是多少? ?120060 xp1717/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）。則則的的拐拐點點是是曲曲線線點點1, . ;01, .; 100 . ; 121, .). ( ,)1 , 0(23 R,cbRaDR,cbaC,c,baB,cbaAcbxaxyB1818/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）一、曲線的漸近線一、曲線的漸近線二、函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)圖形的描繪第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪1919/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）標原點時標原點時, ,該點該點P與某條定直線與某條定

14、直線L的距離趨于零的距離趨于零, ,則則曲曲線線的的漸漸近近線線水平漸近線水平漸近線鉛垂?jié)u近線鉛垂?jié)u近線斜漸近線斜漸近線yc xa ykxb ()x平平行行于于軸軸()x垂垂直直于于軸軸定義定義 若曲線若曲線y=f(x)上的動點上的動點P沿曲線無限遠離坐沿曲線無限遠離坐稱該定直線稱該定直線L為曲線為曲線y=f(x)的一條漸近線的一條漸近線. . 2020/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）1.1.水平漸近線水平漸近線lim( )lim( )()( ).xxf xbf xbbybyf x 如如果果或或為為常常數(shù)數(shù)那那么么就就是是的的一一條條水水平平漸漸近近線線例如例如,arctan xy 有

15、兩條水平漸近線有兩條水平漸近線: :.2,2 yyxyoxyarctan 2 2 lim arctan2xx lim arctan2xx arctanyx2121/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）2.2.鉛垂?jié)u近線鉛垂?jié)u近線)(xfy xyoa)(xfy xyoalim( ),lim( ),xaxaf xf x 或或下方無限延伸時或下方無限延伸時, ,以直線以直線x=a為鉛垂?jié)u近線為鉛垂?jié)u近線. .如果如果則曲線向上方則曲線向上方例例12232.1xxyx 求求曲曲線線的的鉛鉛垂垂?jié)u漸近近線線2222/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）設設f(x)的定義區(qū)間為無窮區(qū)間的定義區(qū)間為無窮

16、區(qū)間,若若 lim ( )()0,lim ( )()0 xxf xaxbf xaxb 或或3.3.斜漸近線斜漸近線( ,)0,( ).a bayaxbyf x 為為常常數(shù)數(shù) 且且那那么么就就是是的的一一條條斜斜漸漸近近線線斜漸近線求法斜漸近線求法: :,)(limxxfax .)(limaxxfbx )(x)(x.)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲線就是曲線那么那么xfybaxy 2323/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例1 1.)43(1的的斜斜漸漸近近線線求求曲曲線線xexy 注意注意(2)y在 軸的水平漸近線同側,與斜漸近線1011nnnnya xa xax a(1)多項式

17、曲線無漸近線.不可能同時存在2424/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）上述各點分定義域為若干區(qū)間上述各點分定義域為若干區(qū)間, ,列表考察一列表考察一, ,二階導二階導數(shù)符號數(shù)符號, ,確定增減區(qū)間確定增減區(qū)間, ,凹凸區(qū)間凹凸區(qū)間, ,極值極值, ,拐點拐點; ;一般步驟一般步驟求求確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域, ,討論其奇偶性討論其奇偶性, ,周期性周期性; ;求曲線的漸近線求曲線的漸近線; ;根據(jù)以上性質根據(jù)以上性質, ,適當補充一些點作圖適當補充一些點作圖. ., )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 為為0 0和不存在的點和不存在的點; ;2525/32/

18、32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例2 2.2)1(4)(2的的圖圖形形作作函函數(shù)數(shù) xxxfx)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 拐點拐點極值點極值點3 )926, 3( 2626/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）一、弧微分一、弧微分 二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式 三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑 第七節(jié)第七節(jié) 平面曲線的曲率平面曲線的曲率2727/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）NRT0M0 xMxxx xyo00( )( , ).( ),( , ),()f xa byf xMM x yM Mss設在

19、內具有連續(xù)導數(shù)在曲線上取基點任意點并規(guī)定有向弧段的值簡稱為弧如下：(1);x增大的方向為曲線的正向0,0;,0.M Mss當?shù)姆较蚺c曲線正向一致時相反時0(2),M Ms( ).ss xxx則,弧是 的函數(shù)且是 的單調增加函數(shù)21 dsydx弧微分公式弧微分公式2828/32/32高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）1.1.問題的提出問題的提出問題問題: :怎樣定量地描述曲線局部彎曲程度？怎樣定量地描述曲線局部彎曲程度？我們直覺認識我們直覺認識: :直線不彎曲直線不彎曲; ;半徑小的圓彎曲得厲害半徑小的圓彎曲得厲害, ,拋物線在頂點附近彎曲得比遠離頂點的部分厲害拋物線在頂點附近彎曲得比遠離頂點的部分厲害. .1M3M) )2 2M2S 1S MM 1S 2S NN ) )弧段長度相等弧段長度相等, ,轉角越大轉角越大, ,彎曲程度越大