第一章機械優(yōu)化設(shè)計的基本問題new

1、11-1 1-1 緒論緒論1-2 1-2 優(yōu)化設(shè)計問題的示例優(yōu)化設(shè)計問題的示例1-3 1-3 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 1-4 1-4 優(yōu)化計算的數(shù)值解法和收斂條件優(yōu)化計算的數(shù)值解法和收斂條件第一章 機械優(yōu)化設(shè)計的基本問題2教學(xué)目的、要求1熟悉優(yōu)化設(shè)計的基本概念2掌握數(shù)值計算的迭代過程和終止準(zhǔn)則教學(xué)重點1優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型表示方法2數(shù)值計算法的迭代過程3梯度準(zhǔn)則34 優(yōu)化設(shè)計是在現(xiàn)代計算機廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設(shè)計，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計方案的一種現(xiàn)代設(shè)計方法。 1-1 1-

2、1 緒論緒論1.1.優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計和機械優(yōu)化設(shè)計的含義優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計和機械優(yōu)化設(shè)計的含義例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動中經(jīng)過無數(shù)次摸索認識到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大?！皟?yōu)化”yuhuoptimalize 采取一定措施使變得優(yōu)秀所謂優(yōu)化, 是指在一定條件下力求獲得最優(yōu)結(jié)果的思想與觀念。 金山詞霸的解釋國家知識基礎(chǔ)設(shè)施（National Knowledge Infrastructure，CNKI） 的解釋5機械優(yōu)化設(shè)計 就是把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計方案和

3、最佳設(shè)計參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計流程優(yōu)化設(shè)計流程 常規(guī)設(shè)計流程常規(guī)設(shè)計流程二者有何區(qū)別？前者是找到可行解決方案，后者是找到最好的方案。62.2.優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展概況優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展概況 1.古希臘時期 歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。 2.十七、十八世紀(jì) 微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。 3. 1920世紀(jì)初 進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。 4.二戰(zhàn) 軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，如轟炸機最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。 75.50年代末

4、數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。 6.60年代初 最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的設(shè)計方法。使設(shè)計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計問題。 大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。8 7.7.近幾十年來近幾十年來 最優(yōu)化設(shè)計方法已陸續(xù)用到各工程設(shè)計領(lǐng)域。(建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車) 其中在機械設(shè)計方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但

5、也已經(jīng)取得了豐碩的成果。9機械優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用實例 美國波音飛機公司對大型機翼用138個設(shè)計變量進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)化設(shè)計，使成本降低約10%。例如，工廠在安排生產(chǎn)計劃時，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設(shè)備、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導(dǎo)車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。LPD 17級兩棲船塢運輸艦首艦圣

6、安東尼奧號 10體積小如何合理分配傳動比節(jié)能曲柄均方根扭矩最小11 優(yōu)化設(shè)計的優(yōu)點1.保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能2.減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本3.使設(shè)計者從大量繁瑣和重復(fù)的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。12 基礎(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論 （2）現(xiàn)代計算技術(shù) 內(nèi)容：（1）將工程實際問題數(shù)學(xué)化； （建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型） （2）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解 數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計是一種現(xiàn)代設(shè)計方法，是很好的工具3. 本課程的任務(wù)13本課程的主要： 了解和基本掌握機械優(yōu)化設(shè)計的基本知識； 擴大視野，并初步具有應(yīng)用機械優(yōu)化設(shè)計的基本理論和基本方法解決簡單工程實際問

7、題的素質(zhì)。141-2 優(yōu)化設(shè)計問題的示例 已知：制造一體積為100m3，長度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。 分析：（1）箱盒的表面積的表達式；（2）設(shè)計參數(shù)確定：長x1，寬x2，高x3 ；（3）設(shè)計約束條件： （a）體積要求； （b）長度要求；x1x2x315數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型123,x x x122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x設(shè)計變量：設(shè)計變量：設(shè)計目標(biāo)：設(shè)計目標(biāo)：約束條件：約束條件：16 某工廠生產(chǎn)A 和B 兩種產(chǎn)品，A 產(chǎn)品單位價格為PA 萬元， B 產(chǎn)品單位價格為PB 萬元。每生產(chǎn)一個單

8、位A 產(chǎn)品需消耗煤aC 噸，電aE 度，人工aL 個人日；每生產(chǎn)一個單位B 產(chǎn)品需消耗煤bC 噸，電bE 度，人工bL 個人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C 噸，電E 度，勞動力L 個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。 分析：（1）產(chǎn)值的表達式；（2）設(shè)計參數(shù)確定： A 產(chǎn)品xA， B 產(chǎn)品xB ；（3）設(shè)計約束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束； （b）生產(chǎn)資源勞動力約束；17數(shù)學(xué)模型,ABxxmaxAABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標(biāo)：約束條件：181-3 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 1.設(shè)計變量設(shè)計變量在設(shè)計

9、中需進行優(yōu)選的獨立的待求參數(shù)；（從互相依賴的參數(shù)中把真正獨立的參數(shù)分解出來,i=i1*i2） 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達式是進行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。 包括3個要素：設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。設(shè)計變量連續(xù)變量離散變量（齒輪的模數(shù)、螺紋的公稱直徑、滾動軸承的內(nèi)徑）19設(shè)計常量預(yù)先已給定的參數(shù)； 設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n個設(shè)計變量，則稱為n維設(shè)計問題。 1212 ,TnnxxXx xxx 由n個設(shè)計變量 為坐標(biāo)所組成的實空間稱作。一個“設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點表示。12,

10、nx xx 工程中，設(shè)計變量均為實數(shù)，設(shè)計空間為n維歐氏空間。20圖1-1 設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間（a）二維設(shè)計問題 （b）三維設(shè)計問題 n4時，設(shè)計空間成為超越空間21 通常, 設(shè)計自由度 , 越能獲得理想的結(jié)果, 但求解難度 。,n小型設(shè)計問題：一般含有210個設(shè)計變量；中型設(shè)計問題：1050個設(shè)計變量；大型設(shè)計問題：50個以上的設(shè)計變量。 目前已能解決200個設(shè)計變量的大型優(yōu)化設(shè)計問題。222.目標(biāo)函數(shù) 優(yōu)化過程就是使設(shè)計變量的不斷向F(X)值改善的方向自動調(diào)整的過程，最后求得X ，使F(X)值最好，一般處理為求最小值形式。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量?？勺鳛閰?/p>

11、考目標(biāo)函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。 12()()nF XF xxx， ， ， 將優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)用設(shè)計變量的函數(shù)表達，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。 23 在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。 在實際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的

12、關(guān)系。（凸輪機構(gòu)：緊湊，基圓半徑減小，但壓力角增大，傳力性能不好）24 目標(biāo)函數(shù)等值（線）面( )Fcx 目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。 目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達式為： c為一系列常數(shù) *等值線（面）能使目標(biāo)函數(shù)取某一定值的所有設(shè)計點的集合; 在無約束極小點處，等值線一般收縮一個點。1x2x) 1 , 2(1f4f0f2221) 1()2()(xxXf如:25 3.約束條件 設(shè)計空間是所有設(shè)計點的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱

13、為可行設(shè)計。 一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。 約束又可按其數(shù)學(xué)表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0h x ( )0gx26顯式約束 隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式 ,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束只是對設(shè)計變量的

14、取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。27消極約束-能夠被其他約束條件所替代的約束。 可行域 : 在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間 。 D)起作用的約束與不起作用的約束約束邊界上的點為邊界點,其余可行點為內(nèi)點。)邊界點與內(nèi)點D內(nèi)的設(shè)計點為可行點,否則為不可行點。*)可行點與不可行點DX1x2xO28圖1-3 約束條件規(guī)定的可行域D例：某優(yōu)化約束條件如下：g1（X）=x12x2216 Og2（X）2X20。畫出可行域。若又有g(shù)3（X）4X10。則g3（X）是否為一個起作用約束。291-3 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的表示方法

15、滿足約束條件 12 ,TnXx xx()minF X ()0(1,2, )kh Xkl()0(1,2,)jgXjm求設(shè)計變量向量求設(shè)計變量向量使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù)12min()(),:()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRgXjmh Xkl， ， ，D30*12min()(),:()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRgXjmh Xkl， ， ，D對于若有 ，使 ， 則 稱為最優(yōu)點，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 稱為最優(yōu)值， 稱為最優(yōu)解。 *12,TnXxxx*()minF X*X*()F X*(,)XF線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為設(shè)計變量的線性函數(shù)。311）根據(jù)設(shè)計

16、要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量。3）根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時對數(shù)學(xué)模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型一般步驟：32 對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，

17、這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。331-4 優(yōu)化計算的數(shù)值解法和收斂條件求解優(yōu)化問題的基本解法有： 1.基本解法解析法：即利用數(shù)學(xué)分析(微分、變分等）的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法 。在目標(biāo)函數(shù)比較簡單時，求解還可以。局限性：工程優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩。34 優(yōu)點： 1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法； 2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算便于計算機實現(xiàn)； 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。 數(shù)值解法：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L

18、沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長的確定等。35在中間過程中每一步的迭代形式為：在中間過程中每一步的迭代形式為：11()()kkkkkkXXSF XF X k=0,1,2, 迭代逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖迭代逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖 上式中：X（k）第k步迭代計算所得到的點，稱第k步迭代點，亦為第k步設(shè)計方案； a（k）第k步迭代計算的步長； S（k）第k步迭代計算的探索方向。 用迭代法逐步逼近最優(yōu)點的探索過程如圖所示。36迭代步驟： 選擇合適的初始點； 尋找可行的搜索方向； 確定步長因子； 獲得新點后，判斷其是否在可行域內(nèi)、目標(biāo)函數(shù)值是否下降； 檢驗是否收斂。372.迭代終止準(zhǔn)則(1)( )1(1)( )221()kknkkiiiXXxx即（1）點距準(zhǔn)則收斂精度（預(yù)先給定的足夠小的數(shù)）38113()()( ()1)kkkF XF XF X（2）函數(shù)值下降量準(zhǔn)則114()()( ()1)()kkkkF XF XorF XF Xxoffkfk+1xkxk+1(b)3912().TnFFFF Xxxx(1)4()kF X（3）梯度準(zhǔn)則）梯度梯度是