第七講 直線回歸與相關分析

1、060120180施氮量施氮量(kg N/ha)2468植物的生長量植物的生長量判斷試驗效應的真實性判斷試驗效應的真實性, , 分析現(xiàn)象間的關系：分析現(xiàn)象間的關系：一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響，如一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響，如病蟲害發(fā)生時期受溫度的影響，小麥單位面積產量受單位面積病蟲害發(fā)生時期受溫度的影響，小麥單位面積產量受單位面積穗數(shù)、每穗粒數(shù)、千粒重的影響。穗數(shù)、每穗粒數(shù)、千粒重的影響。即兩個變量相互影響，互為因果，如小麥每穗粒即兩個變量相互影響，互為因果，如小麥每穗粒數(shù)與千粒重之間的關系，株高與穗長之間的關系等。數(shù)與千粒重之間的關系，株高與穗長之間的關系等。研究因果

2、關系的相關變量間的關系。研究因果關系的相關變量間的關系。一元回歸分析，多元回歸分析，線性回歸分析，非線性回歸分析等。一元回歸分析，多元回歸分析，線性回歸分析，非線性回歸分析等。建立建立 相關變量間的回歸方程，由自變量來預測、控制依變量。相關變量間的回歸方程，由自變量來預測、控制依變量?；貧w設計廣泛應用于化工、鋼鐵、機械、制藥、農業(yè)等諸多領域。回歸設計廣泛應用于化工、鋼鐵、機械、制藥、農業(yè)等諸多領域。研究平行關系的相關變量間的關系。研究平行關系的相關變量間的關系。直線相關分析（簡單相關分析）、復相關分析、偏相關分析。直線相關分析（簡單相關分析）、復相關分析、偏相關分析。不區(qū)分自變量、依變量不區(qū)分

3、自變量、依變量?？傮w：總體：yi + xi + i a 稱為回歸截距（稱為回歸截距（regression interceptregression intercept） b 稱為回歸系數(shù)（稱為回歸系數(shù)（regression coefficientregression coefficient）i 稱為隨機誤差（稱為隨機誤差（random errorrandom error）樣本：樣本：yi a + b xi + i回歸方程：回歸方程： a + b xy 在在x x、y y直角坐標平面上可以作出無數(shù)條直線，而直角坐標平面上可以作出無數(shù)條直線，而。bxayxbynxbnya-b =SPxy/SSx()

4、()xySPxxyy-離均差的乘積和：2()xSSxx-離均差平方和：v (1)作散點圖（作散點圖（scatter plot/diagram），判斷直線性；），判斷直線性；v (2)令令 ，計算回歸系數(shù)，計算回歸系數(shù)b和回歸截距和回歸截距a；v (3)以求得的以求得的a和和b值代入所令方程值代入所令方程 即得線性回歸方程。即得線性回歸方程。bxaybxay依變量依變量y 的波動（總變異）：的波動（總變異）：2()ySSyy-y與與x間直線關系引起的變異間直線關系引起的變異（回歸平方和）：（回歸平方和）：2()RSSyy-直線關系以外的原因引起的變直線關系以外的原因引起的變異（離回歸平方和）：異

5、（離回歸平方和）：2()rSSyy-yRrSSSSSSvF 檢驗：檢驗：2222()()()yxyRxrySSyySPSSyySSSSyy-的總平方和：回歸平方和：離回歸平方和：112yRrydfndfdfn-的總自由度：回歸自由度：離回歸自由方式：yRrSSSSSSyRrdfdfdfRrRrRrSSSSMSMSdfdf回歸均方，離回歸均方RyMSFMSvt 檢驗：檢驗：2/2xbyxxyyxyxSStb sbsSPSSSSsn -其中離回歸標準誤2dfn-自由度0:0,:0tHHA回歸系數(shù) 的 檢驗：某地某地19911999年年3月下旬至月下旬至4月中旬平均溫度累積值月中旬平均溫度累積值（x

6、，單位：旬，單位：旬.度）和一代三化螟盛發(fā)期（度）和一代三化螟盛發(fā)期（y，以，以5月月10日為日為0）的資料如）的資料如表所示。建立一代三化螟盛發(fā)期表所示。建立一代三化螟盛發(fā)期y與與3月下旬至月下旬至4月中旬平均溫度累積值月中旬平均溫度累積值x的的直線回歸方程。直線回歸方程。年份年份199119921993199419951996199719981999積溫積溫x35.534.131.740.336.840.231.739.244.2盛發(fā)期盛發(fā)期y12169273139-1bxay()()159.0444xySPxx yy- -乘積和：2()144.6356xSSxx-離均差平方和：/37.0

7、778xx n/7.7778yy n/1.0996xyxbSPSS -48.5485aybx-48.5485 1.0996yx-回歸方程的顯著性還有待檢驗?；貧w方程的顯著性還有待檢驗。174.8886/1=16.4074.6670/7RrMSFMSv F 檢驗：（步驟簡略）檢驗：（步驟簡略） 查查F 值表，得值表，得F0.01(1, 7)=12.25F，p0.01，表明一代三化螟盛發(fā)，表明一代三化螟盛發(fā)期期y與積溫與積溫x間存在極顯著的直線關系。間存在極顯著的直線關系。222()249.5556174.8886() =74.6670yxyRxrSSyySPSSSSSSyy-總平方和：回歸平方和

8、：離回歸/殘差平方和：18127yRrydfndfdfn- -的總自由度：回歸自由度：離回歸自由方式：v t 檢驗：（步驟簡略）檢驗：（步驟簡略）=4.0527bbtdfns -， 查查t 值表，得值表，得t 0.01(7)=3.50 |t|，p0.01，表明一代三化螟盛發(fā)期，表明一代三化螟盛發(fā)期y與積溫與積溫x間存在極顯著的直線關系。間存在極顯著的直線關系。v 輸入輸入v 輸出輸出某地某地19911999年年3月下旬至月下旬至4月中旬平均溫度累積值月中旬平均溫度累積值（x，單位：旬，單位：旬.度）和一代三化螟盛發(fā)期（度）和一代三化螟盛發(fā)期（y，以，以5月月10日為日為0）的資料如）的資料如表

9、所示。建立一代三化螟盛發(fā)期表所示。建立一代三化螟盛發(fā)期y與與3月下旬至月下旬至4月中旬平均溫度累積值月中旬平均溫度累積值x的直線回歸方程。的直線回歸方程。年份年份199119921993199419951996199719981999積溫積溫x35.534.131.740.336.840.231.739.244.2盛發(fā)期盛發(fā)期y12169273139-1采用碘量法測定還原糖，用采用碘量法測定還原糖，用0.05 mol/L硫代硫酸硫代硫酸鈉滴定標準葡萄糖溶液，記錄耗用硫代硫酸鈉體積數(shù)（鈉滴定標準葡萄糖溶液，記錄耗用硫代硫酸鈉體積數(shù)（mL），得到），得到如下數(shù)據(jù)，試求如下數(shù)據(jù)，試求y對對x的線性回

10、歸方程。的線性回歸方程。硫代硫酸鈉體積（硫代硫酸鈉體積（x）/mL0.92.43.54.76.07.49.2葡萄糖體積（葡萄糖體積（y）/mg.mL-12468101214 根據(jù)根據(jù)x、y的實際觀測值計算表示兩個相關變量的實際觀測值計算表示兩個相關變量x與與y直線相關程度和性質的統(tǒng)計量直線相關程度和性質的統(tǒng)計量，并進行假設檢驗。并進行假設檢驗。2222/() /()/()xyxyRyyyySPSSSS-回歸平方和 總平方和/xyxyRSPSS SS0R2 1，-1 R 1正相關，負相關正相關，負相關 R 是樣本相關系數(shù)，是雙變量正態(tài)總體的總體相是樣本相關系數(shù)，是雙變量正態(tài)總體的總體相關系數(shù)的估

11、計值。關系數(shù)的估計值。22212(1)=/(2)12RRRF Rssndfdfn-，相關系數(shù)標準誤，v F 檢驗：檢驗：v t 檢驗：檢驗：=2rRtdfns-，研究某小麥品種的單株有效穗數(shù)（研究某小麥品種的單株有效穗數(shù)（x）與單株籽粒）與單株籽粒產量（產量（y, 單位：單位：g）關系的資料，現(xiàn)取得）關系的資料，現(xiàn)取得10對觀察值（見表），試分對觀察值（見表），試分析兩個變量的相關性。析兩個變量的相關性。單株有效穗數(shù)（單株有效穗數(shù)（x）2.92.53.02.93.13.54.03.63.54.0單株籽粒產量（單株籽粒產量（y）4.54.24.74.94.75.76.35.15.25.62222

12、2/() /()/()2.570 /(2.240 3.589)0.822xyxyRyyyySPSSSS-回歸平方和 總平方和/0.906xyxyRSPSS SS單株有效穗數(shù)（單株有效穗數(shù)（x）與單株籽粒產量（）與單株籽粒產量（y）間相關系數(shù)（）間相關系數(shù)（R）為）為0.90622212(1)0.149(2)=/128RRRsnF Rsdfdfn-相關系數(shù)標準誤=36.836，v F 檢驗：檢驗： 查查F 值表，得值表，得F0.01(1, 8)=11.26F，P0.01，表明單株有效穗數(shù)，表明單株有效穗數(shù)（x）與單株籽粒產量（）與單株籽粒產量（y）間相關系數(shù)）間相關系數(shù)R達極顯著水平。達極顯著水

13、平。 確切地說，確切地說，小麥品種的單株有效穗數(shù)與單株籽粒產量呈極顯小麥品種的單株有效穗數(shù)與單株籽粒產量呈極顯著正相關（相關系數(shù)著正相關（相關系數(shù)R=0.906），單株有效穗數(shù)越多，單株籽粒產），單株有效穗數(shù)越多，單株籽粒產量越高量越高。v t 檢驗：檢驗：=28RRtdfns-=6.069， 查查t 值表，得值表，得t 0.01(8)=3.355 |t|，P0.01，表表明單株有效穗數(shù)，表表明單株有效穗數(shù)（x）與單株籽粒產量（）與單株籽粒產量（y）間相關系數(shù)）間相關系數(shù)R達極顯著水平。達極顯著水平。 確切地說，確切地說，小麥品種的單株有效穗數(shù)與單株籽粒產量呈極顯小麥品種的單株有效穗數(shù)與單株籽

14、粒產量呈極顯著正相關（相關系數(shù)著正相關（相關系數(shù)R=0.906），）， 單株有效穗數(shù)越多，單株籽粒產單株有效穗數(shù)越多，單株籽粒產量越高量越高。v 輸入輸入v 輸出輸出研究某小麥品種的單株有效穗數(shù)（研究某小麥品種的單株有效穗數(shù)（x）與單株籽粒）與單株籽粒產量（產量（y, 單位：單位：g）關系的資料，現(xiàn)取得）關系的資料，現(xiàn)取得10對觀察值（見表），試分對觀察值（見表），試分析兩個變量的相關性。析兩個變量的相關性。單株有效穗數(shù)（單株有效穗數(shù)（x）2.92.53.02.93.13.54.03.63.54.0單株籽粒產量（單株籽粒產量（y）4.54.24.74.94.75.76.35.15.25.6采用

15、碘量法測定還原糖，用采用碘量法測定還原糖，用0.05 mol/L硫代硫酸鈉硫代硫酸鈉滴定標準葡萄糖溶液，記錄耗用硫代硫酸鈉體積數(shù)（滴定標準葡萄糖溶液，記錄耗用硫代硫酸鈉體積數(shù)（mL），得到如），得到如下數(shù)據(jù)，試分析兩個變量的相關性。下數(shù)據(jù)，試分析兩個變量的相關性。硫代硫酸鈉體積（硫代硫酸鈉體積（x）/mL0.92.43.54.76.07.49.2葡萄糖體積（葡萄糖體積（y）/mg.mL-12468101214回歸分析回歸分析相關分析相關分析區(qū)別區(qū)別依變量依變量Y Y隨自變量隨自變量X X變化而變化而變化變化兩個變量處于同等地位，即兩個變量處于同等地位，即呈現(xiàn)共同變化呈現(xiàn)共同變化揭示揭示X X對對Y Y的影響大小，并的影響大小，并可由回歸方程進行預測和可由回歸方程進行預測和控制控制主要描述兩個變量之間線性主要描述兩個變量之間線性關系的密切程度關系的密切程度b b為回歸系數(shù)為回歸系數(shù)r r的取值在的取值在-1,1-1,1聯(lián)系聯(lián)系1.r1.r與與b b值可相互換算；值可相互換算；2.r2.r與與b b正負號一致；正負號一致；3.r3.r與與b b的假設檢驗等價；的假設檢驗等價；4.4.回歸可解釋相關?；貧w可解釋相關。案例：采用紫外分光光度計測定水樣的紫外吸光度數(shù)值案