電路分析 第12章.

1、 了解拉普拉斯變換的定義和基本了解拉普拉斯變換的定義和基本性質(zhì)。在熟悉基爾霍夫定律的運(yùn)算形性質(zhì)。在熟悉基爾霍夫定律的運(yùn)算形式、運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納的基礎(chǔ)上，式、運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納的基礎(chǔ)上，掌握拉普拉斯變換法分析和研究線性掌握拉普拉斯變換法分析和研究線性電路的方法和步驟；在求拉氏反變換電路的方法和步驟；在求拉氏反變換時，要求掌握分解定理及其應(yīng)用。時，要求掌握分解定理及其應(yīng)用。了解拉普拉斯變換的定義，理解原函數(shù)、象函數(shù)的概念。 在高等數(shù)學(xué)中，為了把復(fù)雜的計算轉(zhuǎn)化為較簡單的計算，往往采用變換的方法，拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)就是其中的一種。 拉氏變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的常用方法。用拉普拉

2、斯變換分析綜合線性系統(tǒng)(如線性電路)的運(yùn)動過程，在工程上有著廣泛的應(yīng)用。 拉普拉斯變換可將時域函數(shù)f(t)變換為頻域函數(shù)F(s)。只要f(t)在區(qū)間0,有定義，則有 0 )()(dtetfsFst 0 )()(dtetfsFst 上式是拉氏變換的定義式。由定義式可知：一個時域函數(shù)通過拉氏變換可成為一個復(fù)頻域函數(shù)。式中的e-st稱為收斂因子收斂因子，收斂因子中的s=c+j是一個復(fù)數(shù)形式的頻率，稱為，其實(shí)部恒為正，虛部即可為正、為負(fù)，也可為零。上式左邊的，是的拉氏變換， F(s)也叫做f(t)的。記作)()(tfLsF 式中L 是一個算子，表示對括號內(nèi)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換。電路分析中所遇到的電壓、電

3、流一般均為時間的函數(shù)，因此其拉氏變換都是存在的。 如果復(fù)頻域函數(shù)F(s) 已知，要求出與它對應(yīng)的時域函數(shù)f(t) ，又要用到拉氏反變換，即：jjtsdtesFjtf)(21)( 該式左邊的f(t) 在這里稱為F(s)的，此式表明：如果時域函數(shù)f(t)已知，通過拉氏反變換，又可得到它的象函數(shù)F(s)，記作：)()(1sFLtf 式中L-1 也是一個算子，表示對括號內(nèi)的象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換。 在拉氏變換中，一個時域函數(shù)f(t)惟一地對應(yīng)一個復(fù)頻域函數(shù)F(s)；反過來，一個復(fù)頻域函數(shù)F(s)惟一地對應(yīng)一個時域函數(shù)f(t)，即不同的原函數(shù)和不同的象函數(shù)之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系，稱為。在拉氏變換或反變換的

4、過程中，而如電壓原函數(shù)為，對應(yīng)象函數(shù)為。dtedteeeLtssttt 0 )( 0 求指數(shù)函數(shù)f(t)=et 、 f(t)=et (0,是常數(shù))的拉普拉斯變換。由拉氏變換定義式可得此積分在s時收斂，有：sdteeLtst1 0 )(sdteeLtst1 0 )(同理可得f(t)=et 的拉氏變換為：sesdtedtettLsFststst11)()()(0 0 0 求單位階躍函數(shù)f(t)=(t)、單位沖激函數(shù)f(t)=(t)、正弦函數(shù)f(t)=sint的象函數(shù)。由拉氏變換定義式可得單位階躍函數(shù)的象函數(shù)為同理，單位沖激函數(shù)的象函數(shù)為1)()()()()0(0 0 0 sststedtetdte

5、ttLsF22022 0 )cossin(sinsin)(sttssedttetLsFstst正弦函數(shù)sin t的象函數(shù)為：什么是拉普拉斯什么是拉普拉斯變換？什么是拉變換？什么是拉普拉斯反變換？普拉斯反變換？什么是原函數(shù)？什么是原函數(shù)？什么是象函數(shù)？什么是象函數(shù)？二者之間的關(guān)系二者之間的關(guān)系如何？如何？已知原函數(shù)求象函數(shù)的過程稱為拉普拉斯變換；而已知象函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為拉普拉斯反變換。原函數(shù)是時域函數(shù)，一般用小寫字母表示，象函數(shù)是復(fù)頻域函數(shù)，用相應(yīng)的大寫字母表示。原函數(shù)的拉氏變換為象函數(shù)；象函數(shù)的拉氏反變換得到的是原函數(shù)。了解拉氏變換的線性性質(zhì)，微分性質(zhì)和積分性質(zhì)，運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行拉氏變換

6、的形式。 拉普拉斯變換有許多重要的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以很方便地求得一些較為復(fù)雜的函數(shù)的象函數(shù)，同時也可以把線性常系數(shù)微分方程變換為復(fù)頻域中的代數(shù)方程。則函數(shù)，和的象函數(shù)分別為和設(shè)函數(shù) )()()()(2121sFsFtftf的象函數(shù)為：)()()(21tBftAftf 上式中的A和B為任意常數(shù)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))。這一性質(zhì)可以直接利用拉普拉斯變換的定義加以證明。),()()( 21sBFsAFsF的象函數(shù)。和求ttfttfcos)(sin)(21可得：根據(jù)歐拉公式：tjtetjsincos,2sinjeettjtj2costjtjeet 1 jseLtj由前面例題得出 1-jseLtj222221

7、)11(21sin ssjsjsjjsjsjtL故22)11(21cos ssjsjstL同理：的拉氏變換為的導(dǎo)數(shù)則如果dttdftftfsFtfL)()( )(),()()0()()()( fssFdttdfLtfL)0()()()0()()()( )( 0 0 0 0 fssFdtetfsfdtsetfetfdtetfdtdtdfLstststst可以證明：)()( ssFtfL 導(dǎo)數(shù)性質(zhì)表明拉氏變換把原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)換成象函數(shù)乘以s后減初值的代數(shù)運(yùn)算。如果f(0-)=0，則有:(可參看課本172頁下至173頁上)課本173頁的表12.1為一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換表，在解題時可直接套

8、用。拉普拉斯變換的主要性質(zhì)有線性性質(zhì)、微分性質(zhì)。積分性質(zhì)、延遲性質(zhì)、頻移性質(zhì)等，由課本P173頁表12.1表示了這些性質(zhì)的具體應(yīng)用。拉普拉斯變換有拉普拉斯變換有哪些性質(zhì)？哪些性質(zhì)？利用拉普拉利用拉普拉斯變換的性斯變換的性質(zhì)，對解決質(zhì)，對解決問題有何種問題有何種效益？效益？ 利用拉普拉斯變換的性質(zhì)可以很方便地求得一些較為復(fù)雜的函數(shù)的象函數(shù)，同時也可以把線性常系數(shù)微分方程變換為復(fù)頻域中的代數(shù)方程，利用這些性質(zhì)課本表12.1中給出了一些常用的時間函數(shù)的拉氏變換。 了解拉氏反變換解決問題的方法，熟悉拉氏反變換中的分解定理，學(xué)會查表求原函數(shù)。 利用拉普拉斯反變換進(jìn)行系統(tǒng)分析時，常常需要從象函數(shù)F(s)中

9、求出原函數(shù)f(t)，這就要用到拉氏反變換。利用拉氏變換表，將象函數(shù)F(s)展開為簡單分式之和，再逐項(xiàng)求出其拉氏反變換的方法。nnnnmmmmbsbsbsbasasasasFsFsF1110111021)()()( 其中m和n為正整數(shù)，且nm。 把F(s)分解成若干簡單項(xiàng)之和，需要對分母多項(xiàng)式作因式分解，求出F2(s)的根。F2(s)的根可以是單根、共軛復(fù)根和重根3種情況，下面逐一討論。nn2211)(pskpskpsksF nn22111)()()(pskpskpsksFps1)()(11pssFpsk2)()(22pssFpsknpsnnsFpsk)()(同理可得 設(shè)n個單根分別為p1、p2

10、、pn ，于是F2(s)可以展開為式中k1、k2、k3、kn 為待定系數(shù)。這些系數(shù)可以按下述方法確定，即把上式兩邊同乘以 (s-p1)，得令s=p1，則等式除右邊第一項(xiàng)外其余都變?yōu)榱?，即可求得ipsiisFpsk)()()()()()()()(lim)()(lim2121121iiipsipsipFpFsFsFsFpssFpssFkiinisFsFKipsi， 3 2 1 )()(21tpntptpnekekeksFLtf21211)()(所求待定系數(shù)ki為：ni, 3 , 2 , 1上式中： 另外把分部展開公式兩邊同乘以(s-pi),再令spi，然后引用數(shù)學(xué)中的羅比塔法則，可得： 這樣我們又

11、可得到另一求解ki的公式為： 待定系數(shù)確定之后，對應(yīng)的原函數(shù)求解公式為：。的原函數(shù)求)(6554)(2tfssssF52s)(65542221sFssFsF，因?yàn)椋?，代入公式可得：，的根為又由?20)(212ppsF35254)()(22111spssssFsFk75254)()(32122spssssFsFk3723)( sssF得象函數(shù)為tteetf3273)( 得原函數(shù)為jsjssFsFksFsFk-212211)()( )()(，設(shè)共軛復(fù)根為p1=+ +j，p2=- -j，則顯然k1、k2也為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)k1=|k1| ej1，k2=|k1|e-j1，則)cos(2)(11)()(1

12、)(1)(1)(2)(11111tekeeekeekeekekektfttjtjttjjtjjtjtj為共軛復(fù)根，所以時、210)(212jpsF)6 .262cos(12. 1)cos(2)(11tetektftt。的原函數(shù)求)(52)(2tfssssF6 .262121156. 025. 05 . 022)()(1jjspsejsssFsFk6 .261256. 01jjeekk |k1| =0.56，=-1,=2,1=26.6,所以原函數(shù)為 設(shè)p1為F2(s)的重根，pi為其余單根(i從2開始)，則F(s)可分解為： 對于單根，仍然采用前面的方法計算。要確定k11、k12，則需用下式：

13、222111112)()(pskpskpsksF 22211112121)()()()(pskpskkpssFps1)()(2111pssFpsk1)()(2112pssFpsdsdk由上式把k11單獨(dú)分離出來，可得：再對式子中s進(jìn)行一次求導(dǎo)，讓k12也單獨(dú)分離出來，得： 如果F2(s)具有多重根時，利用上述方法可以得到各系數(shù)，即：1 )()()!1(11111psqqqqsFpsdsdqk參看課本P175頁例題12.6。在求拉氏反變換的過程中，出現(xiàn)單根、共軛復(fù)根和重根時如何處理？熟悉基爾霍夫定律的運(yùn)算形式、運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納，掌握應(yīng)用拉氏變換分析線性電路的方法。 時域條件下電阻電路有uR=R

14、iR，把該式進(jìn)行拉氏變換可得到電阻元件上的電壓、電流復(fù)頻域關(guān)系式為：1.電阻元件的運(yùn)算電路時域的電阻電路+)(sUR)(sIR+)(tuR)(tiR復(fù)頻域的電阻運(yùn)算電路同樣成立。顯然歐姆定律在復(fù)頻域 )()(sRIsURR2.電感元件的運(yùn)算電路)0()(1)(L -0 LLLLiuLidtdiLtut)(Lti時域的電感電路+)(LtuL+)(LsU)(LsI復(fù)頻域的電感運(yùn)算電路1sL)0 (LLi復(fù)頻域的電感運(yùn)算電路2)(LsU)(LsIsi)0(LsL1)0()()(LLLLissLIsUsisUsLsI)0()(1)(LLL運(yùn)算阻抗運(yùn)算阻抗運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算導(dǎo)納相應(yīng)附加相應(yīng)附加電流源電流源相應(yīng)

15、附加相應(yīng)附加電壓源電壓源3.電容元件的運(yùn)算電路)0()(1)(C -0 CCCCuiCudtduCtit)0()()(CCCCussCUsIsusIsCsU)0()(1)(CCC運(yùn)算阻抗運(yùn)算阻抗運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算導(dǎo)納相應(yīng)附加相應(yīng)附加電流源電流源相應(yīng)附加相應(yīng)附加電壓源電壓源時域的電容電路+)(CtuC)(Cti+)(CsU)(CsI復(fù)頻域的電容運(yùn)算電路1su)0(CsC1sC)0 (CCu復(fù)頻域的電容運(yùn)算電路2)(CsU)(CsI時域的耦合電感電路L1*L2i1u1M*i2u2dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222)0()0()()()(2112111MiiLssMIsIsLsU

16、附加電壓源附加電壓源)0()0()()()(1221222MiiLssMIsIsLsUsL1*sL2I1(s)U1(s)sM*I2(s)U2(s)0(22iL)0(11iL)0(2Mi)0(1Mi 拉氏變換分析法是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具，它將描述系統(tǒng)的時域微積分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程，更加方便于運(yùn)算和求解；變換自動包含初始狀態(tài)，既可分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可同時求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。1.確定和計算各儲能元件的初始條件；2.將t0時的時域電路變換為相應(yīng)的運(yùn)算電路；3.用以前學(xué)過的任何一種方法分析運(yùn)算電路，求出待求響 應(yīng)的象函數(shù)；4.對待求響應(yīng)的象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換，即可確定時域中

17、的待求響應(yīng)。A51110)0(Li求下圖所示電路在t0時各支路上的電流響應(yīng)。(設(shè)開關(guān)閉合以前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài))ik S(t=0)例題 電路圖110VuC111FiCiL1HIk(s) 例題 運(yùn)算電路圖10s11IC(s)IL(s)5ss5ss1首先確定動態(tài)元件的初始條件V5151)0()0(LCiu1510)1 (5101510)(LssssssssI由此可得出相應(yīng)運(yùn)算電路如圖示(CssssssssI根據(jù)運(yùn)算電路求兩支路電流的象函數(shù)對運(yùn)算電路上結(jié)點(diǎn)列KCL可得：sssssIsIsI10151510)()()(CLkA10)(A5)(A510)(LCLtietietittIk(s) 例題 運(yùn)算電路圖10s11IC(s)IL(s)5ss5ss1再對各支路電流進(jìn)行拉氏反變換V)2(2) 1()()(Sttttu求下圖所示電路的iL(t)。已知例題 電路圖5Hus(t)15畫出(t)作用下的運(yùn)算電路并求解根據(jù)運(yùn)算電路求出1/s作用下運(yùn)算電路的響應(yīng)。5S15( (t t) )作用下的運(yùn)算電路1s5S15( (t t) )作用下的運(yùn)算電路1s對運(yùn)算電路求1/s作用下的響應(yīng)：