第三章§33協(xié)方差,相關系數(shù)(1)

1、12定義定義 設設 為二維隨機變量，如果為二維隨機變量，如果( , )( , )X YX Y ( ( () ) )( ( ( ) ) ) E EX XE E X XY YE E Y Y- - -存在，稱其為存在，稱其為 與與 的協(xié)方差，記為的協(xié)方差，記為X XY Y(,)()( )EXE XYECov X YY= =- - -協(xié)方差協(xié)方差內(nèi)容復習內(nèi)容復習 用公式用公式(,()( )E XYE XCov XE YY- -= =3協(xié)方差性質(zhì)：協(xié)方差性質(zhì)：),(),(1 CovabbaCov ),(),(),(22121 CovCovCov 0),(3 Cov相互獨立，則相互獨立，則與與),(2)(

2、4 CovDDD (,()( )E XYE XCov XE YY- -= =4( , )( )( )EEC vEox xx xh hx x h hh h- - -= =協(xié)方差協(xié)方差注：注：1 協(xié)方差可正、可負、可為零。協(xié)方差可正、可負、可為零。2 受量綱的影響，不便于實際應用。受量綱的影響，不便于實際應用。為了方便應用，消除了量綱的影響為了方便應用，消除了量綱的影響 , ,E EE ED DD Dx xx xh hh hx xh hh hx x DEDEE ( ( , ,) )C C o ov v x x h h DDEEE)( 與與 的的相關系數(shù)相關系數(shù)5定義定義3.5 （P.95）設）設

3、，則稱，則稱 0, 0 DD(,)Cov 為為 與與 的的相關系數(shù)相關系數(shù)。 DDEEE)( 相關系數(shù)相關系數(shù)( ,)CovDD 6221)(0,1),2( 1,1),3)( 1,1),23 ,UUU 求求) )求求求求例例4.解解：1)(,)CovDD ( , )()( ) ( )EC vEEox xh hx xh hx x h h- -= =( )Ex x= =1 12 2( )Dx x= =1 11 12 2 ( )( )( )EDEh hx xx x= =+ +2 2= =+ += =1 11 11 11 12 24 43 3 ( )()( )DEEh hh hh h= =- -2 2

4、2 2 ()( )EEx xh h= =- -2 24 4= =- -= =2 21 11 14 45 53 34 45 5,( ),xfx 其其它它x x1 1 0 01 10 0 ()()EEx xh hx x= =3 3xdx 1 13 30 01 11 14 4( , )Cov x x h h1 11 1 1 11 14 42 2 3 31 12 21120.968141245 7221)(0,1),2( 1,1),3)( 1,1),23 ,UUU 求求) )求求求求例例4.解解：2)(,)CovDD ( , )()( ) ( )EC vEEox xh hx xh hx x h h-

5、-= =( )Ex x= = 0 0( )Dx x= =1 16 6,( ),xf x 其其它它x x1 1 1 11 12 20 0 ()()EEx xh hx x= =3 3xdx 1 13 31 11 10 0( , )Cov x x h h0 0 0 00 000DD 8221)(0,1),2( 1,1),3)( 1,1),23 ,UUU 求求) )求求求求例例4.解解：3)(,)CovDD ( , )( ,)CovCov x x h hx xx x2 23 3319DDD ( , )()( ) ( )EC vEEox xh hx xh hx x h h- -= = ()()EEE x

6、 xx xx xx x2 23 32 23 3()()EEE x xx xx xx x2 22 23 32 2 3 3 EEEE x xx xx xx x2 22 22 23 32 23 3 EED x xx xx x2 22 23 33 33 3()DDh hx x= =+ +2 23 3DDx xx x= = =2 23 39 99221)(0,1),0.9682( 1,1),03)( 1,1),23 ,1UUU 求求) )求求求求例例4.以上結果說明了什么現(xiàn)象？以上結果說明了什么現(xiàn)象？yx= =2 2yx= =+ +3 32 2相關系數(shù)刻劃了兩個變量間相關系數(shù)刻劃了兩個變量間線性相關程度

7、線性相關程度10P.100解解 因因,4,322 DD DDCov ),(6)21(43 所以所以)2,3(24191)23( CovDDDD ),(213124191 CovDD 3 (,)CovDD 例例5.11)23,(),( CovCov)2,()3,( CovCov ),(21),(31 CovCov ),(2131 CovD 0 故故0 (,)CovDD xhxhz z3232D x x9 9( , )Cov x x h h6 612相關系數(shù)的性質(zhì)相關系數(shù)的性質(zhì)(1). |XY|1，即即“相關系數(shù)的絕對值不大于相關系數(shù)的絕對值不大于1”。 * * * * * * *( () )(

8、( ) )( () )2 2c co ov v( ( , ,) )D DD DD Dx xh hx xh hx x h h 2 2( (1 1) )x xh hr r方差的方差的非負性非負性 1 11 1x xh hr r 0 0 1 1xhxhr r證明證明13(2). 若若 與與 相互獨立相互獨立, 則則 0 0 x xh hr r ( ( , , ) )0 0C C o ov vx xh hx x h hQ Q與 相互獨立，則證明證明 ( ( , , ) )= = 0 0C C o ov vD DD Dx xh hx x h hr rx xh h定義定義 若若,0 則稱則稱 與與 不相關

9、不相關。注注: 與與 相互獨立相互獨立）即即0( 與與 不相關不相關見見 P.96 例例114P.96例例6150 160),( DDCov 所以所以 與與 的相關系數(shù)的相關系數(shù) 即即 與與 不相關。不相關。 但但 與與 也不獨立，因為也不獨立，因為00, 0 P161828200 PP 172 與與 相互獨立相互獨立）即即0( 與與 不相關不相關例例1但但 二元正態(tài)分布除外二元正態(tài)分布除外);,;,(),(222211 N設設，則，則 是是 與與 的相關系數(shù)；的相關系數(shù)； 與與 相互獨立相互獨立 0。( , )Cov 0 與與 不獨立不獨立18證明證明（充分性）（充分性）設設=a+b ，則，

10、則E()=aE()+b，D()=a2D()即即 | |=1（必要性（略）（必要性（略）(3).|=1的的充分必要條件充分必要條件是是與與以概率以概率1存在存在線性關系線性關系， 即即 P(=a+b)=1，a0，a,b為常數(shù)。為常數(shù)。 1 10 0C C o ov v( ( , , ) )( ( ) )1 10 0a aa aD Da aa aa aD DD DD Da aD Dx xh hx x h hx xr rx xh hx xx x C C o ov v( ( , , ) )( () )E EE EE Ex x h hx xh hx xh h ( ( ( () ) )( () )E Ea

11、 ab bE Ea aE Eb bx xx xx xx x 2 22 2( () )( () )E E a ab ba a E Eb bE Ex xx xx xx x 2 22 2( () )a aE Eb bE Ea a E Eb bE Ex xx xx xx x 2 22 2 ( () ) a a E EE Ex xx x a aD D x x19即即X與與Y以概率以概率1存在線性關系，此時稱存在線性關系，此時稱X，Y正線性相關正線性相關。當當XY=- -1時時即即X與與Y以概率以概率1存在線性關系，此時稱存在線性關系，此時稱X，Y負線性相關負線性相關。(3).|XY|=1的的充分必要條件

12、充分必要條件是是X與與Y以概率以概率1存在線性關存在線性關系，即系，即 P(Y=aX+b)=1，a0，a,b為常數(shù)。為常數(shù)。當當XY=1一般有一般有當當XY 0稱稱X，Y正相關正相關。當當XY 0, 當方當方差越小時，事件差越小時，事件|X-E(X)| 發(fā)生的概率也越小，即發(fā)生的概率也越小，即X的的取值越集中在取值越集中在E(X)附近這進一步說明附近這進一步說明方差確實是一個方差確實是一個描述隨機變量與其期望值離散程度的一個變量描述隨機變量與其期望值離散程度的一個變量 切比雪夫不等式的用途切比雪夫不等式的用途： （1）估計事件的概率。）估計事件的概率。 （2）證明大數(shù)定律；）證明大數(shù)定律；2(

13、)|( )|D XPE 39切比雪夫不等式的應用切比雪夫不等式的應用22,1.DXP XEXDXP XEX 粗略估計粗略估計X在在 內(nèi)的概率；內(nèi)的概率；),(EXEX例例1 設隨機變量設隨機變量X的數(shù)學期望的數(shù)學期望EX=11,方差方差DX=9,則根據(jù)切比雪夫不等式估計則根據(jù)切比雪夫不等式估計._202 XP解解 由 有21DXP XEX 220112119 PXPX 119 P X2981.9940例例2（P.113A.2) 有有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為概率均為0.7。各電燈開、關相互獨立。估計：同時。各電燈開、關相互獨立。估計：同時開著的燈的數(shù)量在

14、開著的燈的數(shù)量在6800至至7200之間的概率。之間的概率。解解 設設 表示同時開著的燈的數(shù)量，表示同時開著的燈的數(shù)量，則則)7 . 0,10000(B )3 . 07 . 072006800(100007199680110000kkkkCP ,70007 . 010000 npE 21003 . 07 . 010000 D200|7000|72006800 PP220021001 95. 0 41定理定理4.1（切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律）設）設 相互獨立，相互獨立，L,21 ，為為常常數(shù)數(shù));, 2 , 1(,2cicDEiiiiL 有有則對任何則對任何, 0 111lim11 ni

15、iniinnnP證證 niiniiDnnD12111 ncncn 2121111111 niiniiniinDnnP由且比雪夫不等式由且比雪夫不等式21 nc 1 1 11 niin11 )( niin11 42推論推論（伯努利大數(shù)定律）設（伯努利大數(shù)定律）設 為為n重伯努利試驗中重伯努利試驗中A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，An),(APp 則對任給常數(shù)則對任給常數(shù) 有有, 0 1lim pnnPAn即即 事件事件A的頻率的頻率依概率依概率收斂于收斂于A的概率。的概率。證證 設設,0, 1 發(fā)發(fā)生生次次試試驗驗中中，第第發(fā)發(fā)生生次次試試驗驗中中第第AiAii 則則, 1)1(, ppDpEiii

16、,11nnnAnii ,11pnnpnnii 由定理由定理4.1得證。得證。這是用頻率近似代替概率的理論依據(jù)。這是用頻率近似代替概率的理論依據(jù)。 p)( nnA43. , 表表達達了了頻頻率率的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性它它以以嚴嚴格格的的數(shù)數(shù)學學形形式式率率收收斂斂于于事事件件的的概概率率依依概概生生的的頻頻率率伯伯努努利利定定理理表表明明事事件件發(fā)發(fā)pnnA 故而當故而當 n 很大時很大時, 事件發(fā)生的頻率與概率事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小有較大偏差的可能性很小. 在實際應用中在實際應用中, 當試當試驗次數(shù)很大時驗次數(shù)很大時, 便可以用事件發(fā)生的頻率來代便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的

17、概率替事件的概率.44定理定理4.2（辛欽（辛欽Khinchine大數(shù)定律）設大數(shù)定律）設L,21 相互獨立且同分布，相互獨立且同分布，), 2 , 1(L iEi 有有則對任何則對任何, 0 11lim1 niinnP即即 獨立同分布隨機變量的算術平均依概率收斂于獨立同分布隨機變量的算術平均依概率收斂于理論均值。理論均值。證明略證明略 )( niin11 45定理定理4.2的含義：的含義：對于每一個對于每一個 ，其取值相對于均值，其取值相對于均值 來說較分散。來說較分散。這往往是由個別因素（或偶然因素）引起的。但經(jīng)這往往是由個別因素（或偶然因素）引起的。但經(jīng)過過“平均平均”后，這些個別因素互相抵消、互相補償，后，這些個別因素互相抵消、互相補償，使得總體上趨于穩(wěn)定，且密集在均值使得總體上趨于穩(wěn)定，且密集在均值 附近。附近。 i 該定理提供了該定理提供了用樣本均值用樣本均值 （ 是是 的觀的觀測值）測值）近似代替理論均值的理論依據(jù)近似代替理論均值的理論依據(jù)。 niixnx11ixi 同分布：同分布：在相同條件下重復試驗的結果可認為是同在相同條件下重復試驗的結果可認為是同分布的