微積分x二重積分的計(jì)算方法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微積分微積分x二重積分的計(jì)算方法二重積分的計(jì)算方法為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積曲曲面面為為底底，以以的的值值等等于于以以時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),(,0),(yxfzDdxdyyxfyxfD 用平面用平面x=x0截立體截立體，截得，截得A(x0). 應(yīng)用應(yīng)用計(jì)算計(jì)算“平行截面面平行截面面積為已知的立體求積為已知的立體求體積體積”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf得得注意注意D的特殊之處。的特殊之處。第2頁/共52頁定理13-1（基本定理） 函數(shù)f(x,y)在閉矩形區(qū)域D:,axb

2、cyd可積,若每一個(gè) , ,( , ) , ,xa bf x yyc d關(guān)于 在是可積的( , )( , )( , ).dbdbcacaDf x y df x y dx dydyf x y dx 若每一個(gè) , ,( , ) , ,yc df x ya b關(guān)于x在是可積的( , )( , )( , )bdbdacacDf x y df x y dy dxdxf x y dy 第3頁/共52頁*( , )( , )0( , )DDDDDF x y df x y ddf x y dxyodca b2( )yyxD1( )yyx( , )( , )( , )0( , )f x yx yDF x yx

3、yD如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa 12( )( ).y xyyx21( )( )( , )( , ).byxayxDf x y dxdydxf x y dy第4頁/共52頁*( , )( , )bdacDF x y dF x y dy dx 1212( )( )( )( )0( , )0byxbyxbdacayxayxdy dxf x y dy dxdy dx 21( )( )( , )( , ).byxayxDf x y dxdydxf x y dy第5頁/共52頁如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù)

4、.)(1x )(2x ,baX型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf第6頁/共52頁.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域?yàn)槿绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于

5、兩個(gè)交點(diǎn)直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).第7頁/共52頁若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式別使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.對非對非X、Y型區(qū)域型區(qū)域第8頁/共52頁xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖第9頁/共52頁xy 222xxy 例例 2 2 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解

6、積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖第10頁/共52頁xy211xy o221d y,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y例例3 3計(jì)算下列二重積分計(jì)算下列二重積分第11頁/共52頁解解兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)

7、(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 第12頁/共52頁D解解221.,2DxdDyx yxyx(3)計(jì)算其中由圍成X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD第13頁/共52頁,dDyx其中D 是拋物線xy2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 第14頁/共

8、52頁 dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 第15頁/共52頁,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.第16頁/共52頁解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改

9、改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 數(shù)數(shù)表表示示。的的原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等函函注注意意：xxeexxx1,ln1,sin2第17頁/共52頁1111( )xxdxf u du 20()4( )(1):| 1,| 12Duf yx df uduDxy令y-x=u交換積分次序u -1 o 1 x2101( )uf u dudx0121( )uf u dudx 2002( )(2)( )(2)f uu duf uu du令u=-t第18頁/共52頁2( , )( , )( , ),0,1( , ).Df x

10、yf x yxyf u v dudvDyyxxf x y例5：設(shè)連續(xù)，且其中 是由所圍區(qū)域，求 Dcdudvvuf),(解：設(shè)解：設(shè)cxyyxf ),(則則 DDDdxdycxydxdydxdyyxf),( DDdxdycxydxdyc即即 1020 xydyxdx 1020 xdydxccc 312181 c1第19頁/共52頁6例計(jì)算二重積分：1|xyxy d111000044xyxyxyxxyyxydxydxyd解： 10104xydyxdx.612)1(4102 dxxx O 1 x y 1 第20頁/共52頁例例7 7解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中計(jì)算計(jì)算 1D2

11、D3D先去掉絕對值符號，如圖先去掉絕對值符號，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 第21頁/共52頁100( )( )yf y dyf x dx 10101010210)()()()()(dyyfxfdxdxxfdxxfdxxf分析：分析：,)()(010 xdyyfdxxfy o 1 x第22頁/共52頁故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf y o 1 x第23頁/共52頁121100(

12、 )( )( )2xf x dxdxf x f y dy 例：證明：110( )( )xf x dxf y dy證明：左1( )( )xF xf y dy設(shè)( )( )F xf x 10( )( )Fx F x dx 210( )2Fx 11(1)( )0Ff y dy10(0)( )Ff y dy120( )2f x dx第24頁/共52頁例例6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證明證明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy

13、 bbaa第25頁/共52頁Z=f2(x,y)Z=f1(x,y)Z=0dxdyyxfyxfVD),(),(12 利用二重積分計(jì)算空間立體體積利用二重積分計(jì)算空間立體體積第26頁/共52頁例例1.1. 6 4 2Vyxz限上的體積限上的體積所圍成的立體在第一掛所圍成的立體在第一掛及三個(gè)坐標(biāo)面及三個(gè)坐標(biāo)面，平面，平面求由拋物柱面求由拋物柱面 oxyz426解解所求立體可以看成是一個(gè)所求立體可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為曲頂柱體，它的曲頂為,42xz . 60, 20:yxD底為底為 dxVD )4(2 dyxdx 60220 )4( 20602)4( dxyx 202)4(6dxx.32 第2

14、7頁/共52頁xyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD第28頁/共52頁AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrr 2)(21 DiiiiiniiiiiiniiDrdrdrrfrrrrfyxfdxdyyxf)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(1010)211(iiii

15、irrrr 第29頁/共52頁.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r第30頁/共52頁.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(*( , )( , )0( , )DDDDDF x y df x y ddf x y d( , )( , )( , )0( , )f x yx yDF x yx yD第31頁/共52頁AoD)(r.)sin,cos()

16、(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(第32頁/共52頁 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0第33頁/共52頁例例1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD

17、10 x.1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd第34頁/共52頁)1 , 1( sin21)1(22 ryx cos21)1(22 ryx sin204/0)sin,cos(rdrrrfdI cos202/4/)sin,cos(rdrrrfd( , )Df x y dxdy化積分為極坐標(biāo)形式的二次積分第35頁/共52頁例例 2 2 計(jì)算計(jì)算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點(diǎn)，半

18、徑為原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 第36頁/共52頁例例3 3 求求廣廣義義積積分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2第37頁/共52頁又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe

19、1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 第38頁/共52頁當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 第39頁/共52頁例例 4 4 計(jì)算計(jì)算dxdyyxD)(22 ，其，其 D為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(2

20、2 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy第40頁/共52頁例例5 求由球面求由球面x2+y2+z2=4a2與柱面與柱面x2+y2=2ax所圍立體所圍立體的體積。的體積。解：解：122244DVaxy dxdyxyoxyz2 cos2220044adar rdr332032(1 sin)3.ad3322()323a第41頁/共52頁2222( , )( , )( , ):1( , ).Df x yf x yxyf x y dxdyD xyf x y例：設(shè)連續(xù)，且，求( , )Df x x dxdxc解：設(shè)22( , )f x yxyc則

21、22( , )()DDDf x y dxdyxydxdycdxdy第42頁/共52頁值值。切切平平面面方方程程，并并求求最最小小所所圍圍體體積積最最小小，寫寫出出拋拋物物面面及及圓圓柱柱面面與與該該的的一一個(gè)個(gè)切切平平面面，使使得得它它例例：求求拋拋物物面面1)1(12222 yxyxz0122202000 yxzyyxx切切平平面面解解 Ddxdyyxyyxxyxv)1221(20200022 Ddxdyyxxxyx)2(2020022 )()2(2020022yxdxdyxxyxD rdrrxrd)cos2(0cos20222 )(2020yx )22320200yxx （ 第43頁/共5

22、2頁例例 6 6 求曲線求曲線 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所圍圖形最右邊一塊的面積所圍圖形最右邊一塊的面積.解解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交點(diǎn)點(diǎn))6,( aA, 所求面積所求面積 Ddxdy 12Ddxdy 2cos2062aardrd).33(22 a D=2D1第44頁/共52頁例例7 7解解）所圍的面積（取圓外部所圍的面積（取圓外部和圓和圓是由心臟線是由心臟線其中其中計(jì)算計(jì)算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a第45頁/共52頁 .sin,cosryrx間的關(guān)系為間的關(guān)系為坐標(biāo)與極坐標(biāo)之坐標(biāo)與極坐標(biāo)之平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角的一種變換，的一種變換，坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面到直角到直角標(biāo)平面標(biāo)平面上式可看成是從直角坐上式可看成是從直角坐xoyro 換是一對一的換是一對一的，且這種變，且這種變平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn)成成，通過上式變換，變，通過上式變換，變面上的一點(diǎn)面上的一點(diǎn)平平即對于即對于),(),(y