第6章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、1第第6章章 IIR數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)6.1 引言引言6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法6.4 雙線性變換法雙線性變換法6.5 數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)6.6*頻率變換與數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)頻率變換與數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)26.1 引言引言 濾波器濾波器，是，是指能夠使輸入信號(hào)中某些頻率分量充分地衰指能夠使輸入信號(hào)中某些頻率分量充分地衰減，同時(shí)保留那些需要的頻率分量的一類系統(tǒng)。減，同時(shí)保留那些需要的頻率分量的一類系統(tǒng)。 根據(jù)對(duì)不同信號(hào)的處理，濾波器可分為：根據(jù)對(duì)不同信號(hào)的處理，濾波器可分為：p模擬濾波

2、器模擬濾波器由硬件電路來實(shí)現(xiàn)；由硬件電路來實(shí)現(xiàn)；RCRR1RFC+-+p數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成所要求把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成所要求的輸出序列，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)。的輸出序列，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)。 3(1)IIR和和FIR濾波器濾波器 線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均為零，則均為零，則其其z反變換反變換 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為M+1的有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列 6.1.1 濾波器的分類濾波器的分

3、類4 此時(shí)的系統(tǒng)稱為有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（此時(shí)的系統(tǒng)稱為有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（FIR，F(xiàn)inite Impulse Response）系統(tǒng)。）系統(tǒng)。 反之，反之，h(n)是無限長(zhǎng)序列，系統(tǒng)稱為無限長(zhǎng)單位脈沖響是無限長(zhǎng)序列，系統(tǒng)稱為無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（應(yīng)（IIR，Infinite Impulse Response）系統(tǒng)。）系統(tǒng)。(2) 低通、高通、帶通、帶阻濾波器低通、高通、帶通、帶阻濾波器 從功能上，數(shù)字濾波器可分為低通從功能上，數(shù)字濾波器可分為低通（LP，Low Pass）、高通（）、高通（HP，High Pass）、帶通（）、帶通（BP，Band Pass）和帶阻（和帶阻（BS，Band St

4、op）四種類型。）四種類型。56pAFpDF注意：數(shù)字濾波器與模擬濾波器的區(qū)別注意：數(shù)字濾波器與模擬濾波器的區(qū)別 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2為周期的，低通濾波器為周期的，低通濾波器的通頻帶中心處于的通頻帶中心處于2的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶的整數(shù)倍處，而高通濾波器的通頻帶中心在中心在的奇數(shù)倍。一般在數(shù)字頻率的主值區(qū)的奇數(shù)倍。一般在數(shù)字頻率的主值區(qū)-， 描描述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。述數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)特性。7 76.1.2 性能指標(biāo)描述性能指標(biāo)描述 濾波器的指標(biāo)通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響一般濾波器的指標(biāo)通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響一般為復(fù)函數(shù)，表

5、示為：為復(fù)函數(shù)，表示為：其中，其中， 稱為稱為幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)，表示信號(hào)通過該濾波器后各，表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。頻率成分衰減情況。 稱為稱為相頻響應(yīng)，反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間相頻響應(yīng)，反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。上的延時(shí)情況。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 通帶通帶（允許的）（允許的）最大衰減最大衰減(1)低通濾波器的性能指標(biāo)低通濾波器的性能指標(biāo) 通帶截止頻率通帶截止頻率 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 通帶通帶 阻帶阻帶p s 1| )(|1j1eH2j| )(| eH| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|

6、1lg201lg20s2sjeH阻帶阻帶（應(yīng)達(dá)到的）（應(yīng)達(dá)到的）最小衰減最小衰減均勻過渡 通帶下限、上限截止頻率通帶下限、上限截止頻率 、 ；阻帶截止頻率（阻帶截止頻率（ 、 ）；）；通帶頻率處的衰減通帶頻率處的衰減 和阻帶頻率處的衰減和阻帶頻率處的衰減 。13(2)帶通濾波器的性能指標(biāo)帶通濾波器的性能指標(biāo)p1均勻過渡p2s1s2psj20|(e) |H jj20lg(e),20lg(e),ppssHH 稱為稱為 3dB 3dB 截止頻率，截止頻率，該頻率處的幅度衰減：該頻率處的幅度衰減：cj20lg|(e)| 3 dBcH pc當(dāng)通帶的最大衰減當(dāng)通帶的最大衰減 時(shí)，時(shí)，3dBppcs、 、

7、統(tǒng)稱為數(shù)字濾波器的邊界頻率；統(tǒng)稱為數(shù)字濾波器的邊界頻率；需要注意需要注意c166.1.3 設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括三個(gè)基本步驟：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括三個(gè)基本步驟： (1) 確定所設(shè)計(jì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)。確定所設(shè)計(jì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (2).設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)H(z)，使，使 (3).用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH滿足給定的滿足給定的技術(shù)要求技術(shù)要求沒有考慮相位沒有考慮相位 零極點(diǎn)位置累試零極點(diǎn)位置累試 利用模擬濾波器的理論利用模擬濾波器的理論

8、 最優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)化設(shè)計(jì)直接法和直接法和間接法間接法6.1.4 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法數(shù)字?jǐn)?shù)字IIR濾波器設(shè)計(jì)的具體步驟：濾波器設(shè)計(jì)的具體步驟：給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）（更多）spsp, 轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）（更多）spsp, 轉(zhuǎn)換成模擬轉(zhuǎn)換成模擬低通低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo) 得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器spsp, 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 )(pG)(sH)z(

9、H歸一化歸一化（原型原型）濾波器濾波器21第第6章章 IIR數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)6.1 引言引言6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法6.4 雙線性變換法雙線性變換法6.5 數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)6.6*頻率變換與數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)頻率變換與數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)226.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 6.2.1 為何要設(shè)計(jì)模擬低通濾波器？為何要設(shè)計(jì)模擬低通濾波器？ 由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)

10、計(jì)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出模設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器的原型，然后進(jìn)行映射（原型變換）。擬低通濾波器的原型，然后進(jìn)行映射（原型變換）。 23 （1）巴特沃斯（）巴特沃斯（Butterworth）濾波器）濾波器 通帶具有最大平坦度，但從通帶到阻帶衰減較慢。通帶具有最大平坦度，但從通帶到阻帶衰減較慢。01234-40-20001234-5056.2.2 常用的模擬濾波器常用的模擬濾波器主要特點(diǎn)主要特點(diǎn)：在通帶和阻帶都有平坦的幅頻響應(yīng)；在通帶和阻帶都有平坦的幅頻響應(yīng)；且從通帶中心向兩邊的幅頻響應(yīng)單且從通帶中心向兩邊的幅頻響應(yīng)單調(diào)下降調(diào)下降 當(dāng)濾波器的階次當(dāng)濾波器的階次 N

11、較小時(shí)，阻較小時(shí)，阻帶幅頻響應(yīng)的下降速度較慢，帶幅頻響應(yīng)的下降速度較慢，與理想特性相差較遠(yuǎn)；與理想特性相差較遠(yuǎn)；巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）濾波器）濾波器25 （2）切比雪夫（）切比雪夫（Chebyshev）濾波器）濾波器 能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。 （3）橢圓（）橢圓（Ellipse）濾波器）濾波器 通帶和阻帶等波紋。通帶和阻帶等波紋。01234-40-20001234-50501234-80-60-40-20001234-505主要特點(diǎn)：主要特點(diǎn)：阻帶衰減特性較快阻帶衰減特性較快 ；在通帶或阻帶具有等波紋形狀的幅頻響應(yīng)；在通帶或阻帶具有

12、等波紋形狀的幅頻響應(yīng)；型型濾波器的濾波器的幅頻響應(yīng)在通幅頻響應(yīng)在通帶有波紋，而帶有波紋，而阻帶單調(diào)下降阻帶單調(diào)下降 型型則在通帶單調(diào)下降，在阻帶有波紋；則在通帶單調(diào)下降，在阻帶有波紋； 27 （4）貝塞爾（）貝塞爾（Bessel）濾波器）濾波器 著重相頻響應(yīng)，著重相頻響應(yīng)，通帶內(nèi)有較好的線性相位（濾波器對(duì)所通帶內(nèi)有較好的線性相位（濾波器對(duì)所有頻率分量具有相同的時(shí)延，即：相同的群遲延）有頻率分量具有相同的時(shí)延，即：相同的群遲延）。01234-40-30-20-10001234-505*群遲延群遲延頻率特性就是相位頻率特性就是相位頻率特性對(duì)頻率的導(dǎo)數(shù)。頻率特性對(duì)頻率的導(dǎo)數(shù)。29 模擬濾波器幅度響應(yīng)

13、常用幅度平方函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù) 來表來表示，即示，即由于濾波器沖激響應(yīng)由于濾波器沖激響應(yīng) 是實(shí)函數(shù)，因而是實(shí)函數(shù)，因而 具有共軛具有共軛對(duì)稱性對(duì)稱性 ，所以，所以 由于由于Ha(s) 的零、極點(diǎn)共軛成對(duì)出現(xiàn)，的零、極點(diǎn)共軛成對(duì)出現(xiàn)，Ha(s)Ha(-s)的零、極點(diǎn)必成的零、極點(diǎn)必成象限對(duì)稱象限對(duì)稱。6.2.3 由幅度平方函數(shù)來確定傳輸函數(shù)由幅度平方函數(shù)來確定傳輸函數(shù)2| )(| jHa)()(| )(|*aa2a jHjHjH)()(a*a jHjH jssHsHjHjHjH| )()()()(| )(|aaaa2a)(a jH)(tha30 由由 確定確定Ha(s) 的方

14、法的方法 (1)由由 得到象限對(duì)稱的得到象限對(duì)稱的s平面函數(shù)；平面函數(shù)； (2)將將 Ha(s)Ha(-s) 因式分解，得到各個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)；因式分解，得到各個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)； 極點(diǎn)選擇極點(diǎn)選擇：為穩(wěn)定，選擇左半平面的極點(diǎn)作為：為穩(wěn)定，選擇左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的的極點(diǎn)，右半平面作為極點(diǎn)，右半平面作為Ha(-s)的極點(diǎn)；的極點(diǎn)； 零點(diǎn)選擇零點(diǎn)選擇：沒有特殊要求，可將對(duì)稱零點(diǎn)的任意一半：沒有特殊要求，可將對(duì)稱零點(diǎn)的任意一半分配給分配給Ha(s)；如果要求最小相位延時(shí)特性，則；如果要求最小相位延時(shí)特性，則Ha(s)的零點(diǎn)的零點(diǎn)取左半平面。取左半平面。 (3)按照按照 與與Ha(s)的低頻特性的對(duì)比

15、，或高頻特性的低頻特性的對(duì)比，或高頻特性的對(duì)比，確定出增益常數(shù)的對(duì)比，確定出增益常數(shù)K0； 2| )(| jHa)()(| )(|aa2a22sHsHjHs )( jHa31 (4)由由zeros、poles、K0 得得 )()()()()(n10m100pspspszszszsKsHa 33 例例6-1 給定濾波器的幅度平方函數(shù)給定濾波器的幅度平方函數(shù) 求具有最小相位特性的傳輸函數(shù)求具有最小相位特性的傳輸函數(shù) 。 )9)(4()1(4| )(|22222 jHa)(sHa34 解：解：由于由于 是非負(fù)有理函數(shù)，它在是非負(fù)有理函數(shù)，它在j軸上的零軸上的零點(diǎn)是偶次的，所以滿足幅度平方函數(shù)的條件，

16、將點(diǎn)是偶次的，所以滿足幅度平方函數(shù)的條件，將 代代入入 的表達(dá)式，可得的表達(dá)式，可得其極點(diǎn)為其極點(diǎn)為 ， ；零點(diǎn)為；零點(diǎn)為 （皆為二階，位于虛（皆為二階，位于虛軸上）軸上） 為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇左半平面極點(diǎn)為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇左半平面極點(diǎn)s=2，s=3及一對(duì)虛及一對(duì)虛軸軸共軛零點(diǎn)共軛零點(diǎn)s=j作為的零、極點(diǎn)，并設(shè)增益常數(shù)為作為的零、極點(diǎn)，并設(shè)增益常數(shù)為K0，則則2| )(| jHajs/ 2| )(| jHa)3)(3)(2)(2()1()9)(4()1()()(222222 sssssssssHsHaa2 s3 sjs 35 按照按照 和和 的低頻特性或高頻特性的對(duì)比可以的低頻特性或高頻特性的對(duì)

17、比可以確定增益常數(shù)。在這里我們采用低頻特性，即由確定增益常數(shù)。在這里我們采用低頻特性，即由 的條件可得增益常數(shù)的條件可得增益常數(shù) ，因此，因此)3)(2(1)(20 sssKsHa)(sHa)( jHa00| )(| )( jHsHasa20 K)3)(2(22)(2 ssssHa366.2.4 巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯低通濾波器表達(dá)式表達(dá)式 3dB處的截止頻率處的截止頻率 在在=0=0處有最平響應(yīng)。處有最平響應(yīng)。2a2c1|()|1(/)NHj c 巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯低通濾波器其幅度平方函數(shù)為：其幅度平方函數(shù)為：221(j )1()aNcH 當(dāng)當(dāng) ， ，無衰減；，無衰減； 0|(j

18、 )| 1aH 無論無論N如何變化，濾波器的幅頻如何變化，濾波器的幅頻響應(yīng)曲線在響應(yīng)曲線在 處的衰減都是處的衰減都是3dB； c 在在 頻率范圍內(nèi)，頻率范圍內(nèi)，幅度幅度 隨頻率隨頻率的增的增大而單調(diào)衰減，而且阻帶大而單調(diào)衰減，而且阻帶的衰減速度要比通帶快的衰減速度要比通帶快 。0 |(j )|aH.幅度函數(shù)的特點(diǎn)幅度函數(shù)的特點(diǎn)其幅度平方函數(shù)為：其幅度平方函數(shù)為：221(j )( )()1()aaaNcHHs Hsjs21( )()1jaaNcHs Hss可知，可知， 沒有零點(diǎn)，為全極點(diǎn)系統(tǒng)；沒有零點(diǎn)，為全極點(diǎn)系統(tǒng)； ( )()aaHs Hs其極點(diǎn)為：其極點(diǎn)為：1211j222( 1)(j)e,

19、0,1,2,21kNNkccskN 在在 s 平面上有平面上有2N個(gè)極點(diǎn)，是象限對(duì)稱個(gè)極點(diǎn)，是象限對(duì)稱的，等間隔分布在半徑為的，等間隔分布在半徑為 的圓上（稱為巴特的圓上（稱為巴特沃斯圓沃斯圓)，間隔為，間隔為/N rad。c( )()aaHs Hs.極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布.濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù)( )aHs.歸一化系統(tǒng)函數(shù)歸一化系統(tǒng)函數(shù). 濾波器的設(shè)計(jì)步驟濾波器的設(shè)計(jì)步驟56 6.2.5 巴特沃思濾波器的巴特沃思濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 在在MATLAB信號(hào)處理工具箱中，與信號(hào)處理工具箱中，與Butterworth濾波器濾波器相關(guān)的有三個(gè)函數(shù)：相關(guān)的有三個(gè)函數(shù)： （1）n,wn=butt

20、ord(wp,ws,Rp,Rs,s)，求出給定通帶，求出給定通帶截止頻率截止頻率wp、阻帶截止頻率、阻帶截止頻率ws、通帶最大衰減、通帶最大衰減Rp、阻帶最、阻帶最小衰減小衰減Rs條件下，所需要的最小條件下，所需要的最小Butterworth模擬濾波器階模擬濾波器階數(shù)數(shù)n和和3dB截止頻率截止頻率wn。 （2）模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)）模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)buttap，調(diào)用格式，調(diào)用格式為為z,p,k=buttap(n)，其中參數(shù)，其中參數(shù)z、p、k分別為濾波器的零分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。57 （3）Butterworth濾波器完全設(shè)計(jì)函數(shù)，調(diào)用格式為濾波器完全

21、設(shè)計(jì)函數(shù)，調(diào)用格式為b,a=butter(n,wn,ftype,s)，其中，其中ftype為濾波器類型，為濾波器類型，缺省時(shí)表示低通或帶通濾波器。缺省時(shí)表示低通或帶通濾波器。b、a分別為濾波器傳輸函數(shù)分別為濾波器傳輸函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。 例例6-3 利用利用MATLAB實(shí)現(xiàn)例實(shí)現(xiàn)例6-2所述巴特沃斯所述巴特沃斯濾波器。濾波器。 解解 MATLAB實(shí)現(xiàn)程序如下：實(shí)現(xiàn)程序如下：wp=1; ws=2; Rp=3; Rs=20;%計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)n和和3dB截止頻率截止頻率wnn,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,

22、s)kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 58%設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器，傳輸函數(shù)為零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器，傳輸函數(shù)為零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益形式形式z,p,k=buttap(n) %采用另一種方法設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，傳輸函數(shù)為分子、采用另一種方法設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，傳輸函數(shù)為分子、分母多項(xiàng)式形式分母多項(xiàng)式形式b,a=butter(n,wn,s)%求模擬濾波器的頻率響應(yīng)求模擬濾波器的頻率響應(yīng)db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,2*ws);%繪圖繪圖plot(w,db,k);axis(0,2*ws,-50,1);grid on;59仿真曲線仿真曲線kHz5p f

23、kHz10s fdB3p dB20s 626.3脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法6.3.1 變換原理變換原理 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)模仿模擬濾波模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)器的沖激響應(yīng)ha(t)，使，使h(n)等于等于ha(t)的采樣值的采樣值，即，即h(n)ha(nT)。 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)，則且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)，則其拉普拉斯反變換其拉普拉斯反變換 NiiiassAsH1)( NitsiatueAthi1)()(63 對(duì)對(duì)ha(t)采樣，得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)采樣，得

24、到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)為為 對(duì)對(duì)h(n)取取z變換，即得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換，即得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 可見，可見，s平面的極點(diǎn)平面的極點(diǎn)si映射到映射到z平面的極點(diǎn)平面的極點(diǎn) ，而對(duì)應(yīng)系數(shù)不變。而對(duì)應(yīng)系數(shù)不變。 NinTsianTueAnThnhi1)()()( NiTsizeAzHi111)(Tsie64 例例6-5 利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器變換為數(shù)字濾波器 ，采樣周期，采樣周期 。 解：模擬濾波器的傳輸函數(shù)解：模擬濾波器的傳輸函數(shù)極點(diǎn)：極點(diǎn)： ， 。 因此，所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為因此，所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為2

25、332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH65 (1) h(n)的的z變換與變換與ha(t)的拉普拉斯變換之間的的拉普拉斯變換之間的關(guān)系關(guān)系 設(shè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)設(shè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)經(jīng)理想采樣經(jīng)理想采樣后的采樣信號(hào)為后的采樣信號(hào)為則則6.3.2 s平面與平面與z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()( naanTtthth)()()( )(nh

26、 比較序列比較序列h(n)的的Z變換變換 ,可得可得 nnnhHz )()z()(| )z(azsTsHHe 66 由于由于 ，將，將 代代入，得入，得因此因此 ksaajkjHTjH)(1)( js ksaajksHTsH)(1)( kejksHTHsT)(1| )z(saz)z(| )(1zln1saHjksHTTsk )(asH周期延拓周期延拓s與與z的的關(guān)系關(guān)系或或67(2) 關(guān)于關(guān)于z=esT的討論的討論 令令 ， 代入上式，得代入上式，得因此因此討論：討論：=0，r=1，表明，表明s平面平面虛軸虛軸映射為映射為z平面的平面的單單位圓位圓。 jre z js TjTjeere Ter

27、 T 68討論：討論： 0，r0，r1。表明。表明s左半平面左半平面映射映射為為z平面的平面的單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部，而，而s右半平面右半平面則映射為則映射為z平平面面單位圓外部單位圓外部。Ter T 69討論：討論：（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 Ter T s平面上每一條寬為平面上每一條寬為2/T的橫條，都將重疊的的橫條，都將重疊的映射到整個(gè)映射到整個(gè)z平面上。平面上。脈沖響應(yīng)不變法不是從脈沖響應(yīng)不變法不是從s平面平面到到z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系。平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系。 706.3.3 頻率混疊效應(yīng)頻率混疊效應(yīng) 根據(jù)時(shí)域采樣理論，采樣序列根據(jù)時(shí)域采樣理論，采樣序列h(n)的的z變換

28、與模變換與模擬信號(hào)擬信號(hào)ha(t)的拉普拉斯變換之間滿足如下關(guān)系的拉普拉斯變換之間滿足如下關(guān)系 將將 和和 代入，得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)代入，得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) 數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓。拓。 jsT kajkTjTjHTeH)2(1)( 12sTaaz ekH zHsHsjkTT71圖圖6-11 脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象72 只有當(dāng)模擬濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谥挥挟?dāng)模擬濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)，即折疊頻率以內(nèi)，即有有 此時(shí)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)重現(xiàn)模擬濾波器此時(shí)，數(shù)字濾波

29、器的頻率響應(yīng)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真。的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真。TjHa | ,0)(TTjHTeHaj | ,)(1)( 73 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，這就不可避免的會(huì)產(chǎn)生混疊不可能是真正帶限的，這就不可避免的會(huì)產(chǎn)生混疊失真。失真。 答：答：當(dāng)模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上處衰當(dāng)模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上處衰減越大時(shí)，混疊失真就越小。減越大時(shí)，混疊失真就越小。 問題：?jiǎn)栴}：要求混疊要求混疊失真小，對(duì)模擬濾波失真小，對(duì)模擬濾波器的頻響有何要求？器的頻響有何要求？ 混疊混疊TTfs )(746.3.

30、4 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： (1) 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，所以濾波器的沖激響應(yīng)，所以時(shí)域逼近良好時(shí)域逼近良好。 (2) 頻率變化是線性關(guān)系頻率變化是線性關(guān)系=T，頻率特性形，頻率特性形狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴(yán)重）。狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴(yán)重）。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 會(huì)產(chǎn)生會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象頻率混疊現(xiàn)象。只適合帶限濾波器（如。只適合帶限濾波器（如低通、帶通濾波器）的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾低通、帶通濾波器）的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。波器的設(shè)計(jì)。75 例例6-6 利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特

31、利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特沃思低通濾波器，通帶截止頻率沃思低通濾波器，通帶截止頻率fp=0.1kHz，通帶最，通帶最大衰減大衰減Rp=1dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=0.3kHz，阻帶最小，阻帶最小衰減衰減Rs=10dB。研究不同采樣頻率對(duì)所設(shè)計(jì)數(shù)字濾。研究不同采樣頻率對(duì)所設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的影響。設(shè)采樣頻率波器頻率響應(yīng)的影響。設(shè)采樣頻率fs分別取分別取1kHz，2kHz，4kHz。 解解 MATLAB部分程序如下：部分程序如下：wp=2*pi*100;ws=2*pi*300;Rp=1;Rs=10;n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=butter(

32、n,wn,s)76%求模擬濾波器的頻率響應(yīng)求模擬濾波器的頻率響應(yīng)db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,500*2*pi);plot(w/(2*pi),db,LineWidth,2,Color,k);axis(0,500,-20,1);hold on%脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法fs=1000;bz,az=impinvar(b,a,fs);%求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);plot(0.5*fs*w/pi,db, r);axis(0,500,-20,1);hold off77運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行結(jié)果 786.4雙線性

33、變換法雙線性變換法796.4.1 變換原理變換原理 先先將將s平面壓縮成平面壓縮成s1平面上一個(gè)寬度為平面上一個(gè)寬度為2/T的的水平帶狀區(qū)域水平帶狀區(qū)域，然后然后通過通過z=es1T將這個(gè)帶狀區(qū)域映將這個(gè)帶狀區(qū)域映射到整個(gè)射到整個(gè)z平面平面，實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)s平面到平面到z平面的單值映射。平面的單值映射。80引入正切變換引入正切變換 將將s平面的虛軸平面的虛軸變換到變換到s1平面虛軸平面虛軸/T之間之間 延拓到整個(gè)延拓到整個(gè)s平面和平面和s1平面，令平面，令 ， ，則得則得221TtgT 222211111122cos2sin2TjTjTjTjeeeeTTTjTj js11 js222211112T

34、sTsTsTseeeeT TsTseeT11112 s81 再將再將s1平面映射到平面映射到z平面，應(yīng)用平面，應(yīng)用 ，從而實(shí)，從而實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)了s平面到平面到z平面的單值映射。平面的單值映射。 這種這種s平面單值映射為平面單值映射為z平面的映射關(guān)系稱作平面的映射關(guān)系稱作雙雙線性變換法線性變換法。Tsez1 11112 zzTsTsTseeTs11112 sTsTz /2/2簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系 或或82 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，在得到相應(yīng)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，在得到相應(yīng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)后，后，只要將相應(yīng)的變換只要將相應(yīng)的變換關(guān)系代入關(guān)系代

35、入Ha(s)，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：11z1z12a| )()z( TssHH836.4.2 模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系 s平面上平面上與與z平面的平面的成成單值映射單值映射非線性正切非線性正切關(guān)系（關(guān)系（可以避免混疊可以避免混疊），在零頻附近，），在零頻附近，和和變換變換關(guān)系近似于線性，關(guān)系近似于線性，隨著隨著的增加，表現(xiàn)出嚴(yán)重非線的增加，表現(xiàn)出嚴(yán)重非線性性 （頻率失真頻率失真）。）。22221 tgTTtgT 846.4.3 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通、高通、消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通

36、、高通、帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 與與之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率失真。失真。85圖圖6-15 理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變 86 雙線性變換法適合雙線性變換法適合分段常數(shù)分段常數(shù)特性濾波器的設(shè)特性濾波器的設(shè)計(jì)。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)計(jì)。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變畸變。 這種頻率的畸變，可通過頻率的這種頻率的畸變，可通過頻率的預(yù)畸變預(yù)畸變加以校正

37、加以校正。876.4.4 預(yù)畸變預(yù)畸變 預(yù)畸變就是預(yù)畸變就是將臨界模將臨界模擬頻率事先加以畸變擬頻率事先加以畸變，然，然后經(jīng)變換后正好映射到所后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。需要的數(shù)字頻率上。例例6-76-7 試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解：極點(diǎn)s= -利用脈沖響應(yīng)不變法，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為saasHa)(111)(zeazHaT利用雙線性變換法，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為12111121)1 (112)(zazazzTaazH22221aTaTaaTaTa，設(shè)設(shè)a=1000，T0.001

38、和和0.002，H1(z)和和H2(z)的歸一的歸一化幅頻率性分別如圖化幅頻率性分別如圖6-23所示。所示。圖6-23數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z) 的幅頻特性90 例：例：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器來處理模擬信號(hào)，使設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器來處理模擬信號(hào)，使得頻率處于得頻率處于00.2kHz之間的信號(hào)可以通過，而處于之間的信號(hào)可以通過，而處于0.3kHz之外的信號(hào)不能通過，設(shè)采樣間隔之外的信號(hào)不能通過，設(shè)采樣間隔T=1mS（采用雙線性變換法）。（采用雙線性變換法）。 分析：分析：根據(jù)題目要求，應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波根據(jù)題目要求，應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，濾波器的邊界頻率器，濾波器的邊界頻率 400102 . 0

39、23p 600103 . 023s 91當(dāng)采用數(shù)字濾波器來處理模擬信號(hào)時(shí)當(dāng)采用數(shù)字濾波器來處理模擬信號(hào)時(shí)22 tgT T kHz3 . 0/kHz2 . 00kHz2 . 00kHz3 . 0/kHz2 . 0 6 . 0/4 . 00 6 . 0/4 . 0926.4.5 利用利用AF設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟數(shù)字低通濾波器的步驟 (1)確定數(shù)字低通濾波器（確定數(shù)字低通濾波器（LPDF）的性能指標(biāo)）的性能指標(biāo);(2)將將LPDF指標(biāo)轉(zhuǎn)換為指標(biāo)轉(zhuǎn)換為L(zhǎng)PAF的性能指標(biāo)（主要指的性能指標(biāo)（主要指邊界頻率邊界頻率）; 脈沖響應(yīng)不變法：脈沖響應(yīng)不變法： 雙線性變換法：雙線性變換法：(3)設(shè)計(jì)

40、設(shè)計(jì)LPAF;(4)將將)()(zHsHaT 22 tgT 6.5 數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)p無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法是先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后采用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法將其變成數(shù)字濾波器。依據(jù)6.26.4節(jié)的討論，下面總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里主要是將邊界頻率p和s轉(zhuǎn)換成模擬的邊界頻率p和s。對(duì)p和s指標(biāo)不作變化。 如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

41、如果采用脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 T)21tan(2T如果采用雙線性變換法，邊界頻率要先預(yù)畸變，轉(zhuǎn)換關(guān)系為如果采用雙線性變換法，邊界頻率要先預(yù)畸變，轉(zhuǎn)換關(guān)系為 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。設(shè)計(jì)方法及設(shè)計(jì)步驟參考本章6.2節(jié)。(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。如果采用脈沖響應(yīng)不變法如果采用脈沖響應(yīng)不變法 11zeAssATsiiii如果采用雙線性變換法如果采用雙線性變換法11112)()(zzTsasHzH(5)畫出頻率響應(yīng)H(ej)=H(z) ,校核是否滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。 jez采樣間隔采樣間隔T的選擇的選

42、擇p如采用脈沖響應(yīng)不變法，為避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)如采用脈沖響應(yīng)不變法，為避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，要求所設(shè)計(jì)的模擬低通帶限于象，要求所設(shè)計(jì)的模擬低通帶限于/T之間，由之間，由于實(shí)際濾波器都有一定寬度過濾帶，可選擇于實(shí)際濾波器都有一定寬度過濾帶，可選擇T滿滿足公式足公式|s|/T, ,即認(rèn)為混疊現(xiàn)象較小，可達(dá)到要即認(rèn)為混疊現(xiàn)象較小，可達(dá)到要求?？梢姶藭r(shí)求。可見此時(shí)T選擇較小值有利。選擇較小值有利。 例例6-8：設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于于0.2rad時(shí)，容許幅度誤差在時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率以內(nèi)；在頻率0.3到到之間的阻帶衰減大于之間的阻

43、帶衰減大于15dB。指定模擬濾波。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)不變法不變法和和雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。設(shè)計(jì)濾波器。 解：(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為p=0.2rad, p=1dBs=0.3rad, s=15dB模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為(設(shè)T=1 s)p=0.2rad/s，p=1dB，s=0.3rad/s，s=15dB設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率c。spspggkN115 . 12 . 03 . 0pssp092. 01101101 . 01 . 0spspk88

44、4. 55 . 11092. 01ggNp取N=6。為求3dB截止頻率c，將p和p代入教材(6.2.19)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量，這對(duì)防止頻率混疊有一定好處。) 1932. 1)(1414. 1)(15176. 0(1)(222pppppppHap去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)Ha(s) )4945. 03585. 1)(4945. 09945. 0)(4945. 03640. 0(12093. 0)(222sssssssHap根據(jù)階數(shù)N=6,查教材表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為 驗(yàn)證設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波

45、器是否達(dá)到設(shè)計(jì)指標(biāo)。將z=ej代入系統(tǒng)函數(shù)H(z)表示式，計(jì)算幅度響應(yīng)|H(ej)|和相位響應(yīng)arg|H(ej)|, 如圖6-24所示。 2112112112570. 09972. 016304. 08558. 13699. 00691. 111454. 11428. 26949. 01297. 014466. 02871. 0)(zzzzzzzzzzH用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。 圖6-24 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的6階數(shù)字巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)(2)用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍不變數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍不變模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為( (設(shè)設(shè)T=1)T=1)p p